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2026-07-13T21:27:13Z

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{{T}}

{{BR}}
= Gleichsetzungsverfahren - Lineare Gleichungssysteme =

'''Fach:''' [[Mathematik]]
'''Klassen:''' [[Klasse 8]] bis [[Klasse 11]]

{{BR}}
= Einleitung =

Ein [[Lineares Gleichungssystem|lineares Gleichungssystem]] besteht aus mehreren Gleichungen. Gesucht sind Werte für die [[Variable|Variablen]] <math>x</math> und <math>y</math>, die '''beide Gleichungen gleichzeitig''' erfüllen. Beim [[Gleichsetzungsverfahren]] werden zwei Terme gleichgesetzt.

[[Datei:Linear Equation.svg|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Die fünf Schritte ==

# '''Umstellen:''' Stelle beide Gleichungen nach derselben Variablen um, zum Beispiel nach <math>y</math>.
# '''Gleichsetzen:''' Setze die beiden Terme für <math>y</math> gleich.
# '''Lösen:''' Berechne die erste Variable.
# '''Einsetzen:''' Setze den Wert in eine Ausgangsgleichung ein und berechne die zweite Variable.
# '''Prüfen:''' Mache die [[Probe]], indem Du beide Werte in beide Gleichungen einsetzt.

[[Datei:Gleichungswaage.PNG|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Einfaches Beispiel ==

Gegeben ist:

<math>\mathrm{I}:\ y=2x+1</math>

<math>\mathrm{II}:\ y=-x+7</math>

Beide Gleichungen sind schon nach <math>y</math> aufgelöst. Deshalb kannst Du sofort gleichsetzen:

<math>2x+1=-x+7</math>

<math>3x=6</math>

<math>x=2</math>

Nun setzt Du <math>x=2</math> ein:

<math>y=2\cdot 2+1=5</math>

Die Lösung ist <math>L=\{(2|5)\}</math>.

[[Datei:Two Lines.svg|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Warum funktioniert das? ==

Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine [[Gerade]]. Am [[Schnittpunkt]] haben beide Geraden denselben <math>x</math>-Wert und denselben <math>y</math>-Wert. Deshalb dürfen die beiden Terme für <math>y</math> gleichgesetzt werden.

{{BR}}
== Anzahl der Lösungen ==

'''Genau eine Lösung:''' Die Geraden schneiden sich einmal.

'''Keine Lösung:''' Die Geraden sind parallel.

[[Datei:Parallel linear equations.svg|420px|rahmenlos|center]]

'''Unendlich viele Lösungen:''' Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.

[[Datei:Linear equations coincide.PNG|420px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Video: Gleichsetzungsverfahren =

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Halte das Video an, wenn gerechnet wird, und rechne selbst weiter.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=3YChSkp59bs |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Video-Notizen]]: Schreibe die Rechenschritte des Videos in eigenen Worten auf.
# [[Stopp-Aufgabe]]: Halte vor der Lösung des Beispiels an und rechne selbst weiter.
# [[Gleichsetzen]]: Notiere, welche beiden Terme im Video gleichgesetzt werden und warum.
# [[Fehlerkontrolle]]: Suche eine Stelle, an der ein Vorzeichenfehler leicht passieren kann.
# [[Probe]]: Prüfe die Lösung des Video-Beispiels in beiden Ausgangsgleichungen.

{{BR}}
== Zweites Erklärvideo ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=i361KL1OumQ |500|center}}

Vergleiche beide Videos: Welches erklärt Dir die fünf Schritte verständlicher?

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was ist das Ziel eines linearen Gleichungssystems?'''
(Werte finden, die alle Gleichungen erfüllen)
(!Nur eine Gleichung abschreiben)
(!Eine Gerade auswendig lernen)
(!Alle Variablen löschen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist das Gleichsetzungsverfahren besonders praktisch?'''
(Wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind)
(!Wenn keine Variable vorkommt)
(!Wenn nur eine Gleichung gegeben ist)
(!Wenn ausschließlich Kreise gezeichnet werden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht beim Gleichsetzen?'''
(Die beiden Terme derselben Variablen werden gleichgesetzt)
(!Beide Gleichungen werden gelöscht)
(!Alle Zahlen werden addiert)
(!Die Variablen werden umbenannt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Gleichung entsteht aus y gleich 2x plus 1 und y gleich minus x plus 7?'''
(2x plus 1 gleich minus x plus 7)
(!2x plus 1 gleich y)
(!2x plus 7 gleich minus x plus 1)
(!2x minus 1 gleich x plus 7)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Lösung hat das Beispiel y gleich 2x plus 1 und y gleich minus x plus 7?'''
(x gleich 2 und y gleich 5)
(!x gleich 5 und y gleich 2)
(!x gleich 1 und y gleich 3)
(!x gleich 0 und y gleich 7)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was machst Du nach der Berechnung von x?'''
(Du setzt x in eine Gleichung ein und berechnest y)
(!Du beendest die Rechnung sofort)
(!Du tauschst die Gleichungszeichen)
(!Du zeichnest einen Kreis)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet die Lösung grafisch?'''
(Sie ist der Schnittpunkt der beiden Geraden)
(!Sie ist der Ursprung jeder Geraden)
(!Sie ist immer der y-Achsenabschnitt)
(!Sie ist eine beliebige Zahl)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele Lösungen haben zwei verschiedene parallele Geraden?'''
(Keine Lösung)
(!Genau eine Lösung)
(!Genau zwei Lösungen)
(!Unendlich viele Lösungen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele Lösungen haben zwei deckungsgleiche Geraden?'''
(Unendlich viele Lösungen)
(!Keine Lösung)
(!Genau eine Lösung)
(!Genau drei Lösungen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wozu dient die Probe?'''
(Sie prüft die Lösung in beiden Ausgangsgleichungen)
(!Sie verändert die Lösung)
(!Sie ersetzt das Gleichsetzen)
(!Sie macht aus Geraden Kreise)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Gleichsetzungsverfahren || Terme derselben Variablen gleichsetzen
|-
| Schnittpunkt || gemeinsame Lösung
|-
| Probe || Einsetzen in beide Ausgangsgleichungen
|-
| Parallel || keine gemeinsame Lösung
|-
| Deckungsgleich || unendlich viele Lösungen
|-
| Lösungspaar || Werte für x und y
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Arbeitsschritt
|-
| '''Nach derselben Variablen umstellen'''
| Vorbereitung
|-
| '''Terme gleichsetzen'''
| Gleichsetzen
|-
| '''Erste Variable berechnen'''
| Lösen
|-
| '''Wert einsetzen'''
| Rückrechnung
|-
| '''Beide Gleichungen prüfen'''
| Kontrolle
|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Variable || Wie heißt ein Platzhalter wie x oder y?
|-
| Schnittpunkt || Wie heißt der gemeinsame Punkt zweier Geraden?
|-
| Gleichsetzen || Wie heißt der zentrale Schritt des Verfahrens?
|-
| Einsetzen || Wie bestimmst Du nach x den Wert von y?
|-
| Parallel || Wie liegen Geraden ohne gemeinsamen Punkt?
|-
| Probe || Wie heißt die Kontrolle der berechneten Lösung?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Gleichsetzungsverfahren+Lineare+Gleichungssysteme </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein lineares Gleichungssystem enthält mehrere lineare { Gleichungen }. Beim Gleichsetzungsverfahren stellst Du beide Gleichungen nach derselben { Variablen } um. Danach setzt Du die beiden { Terme } gleich. So entsteht eine Gleichung mit nur einer { Unbekannten }. Den berechneten Wert setzt Du in eine Ausgangsgleichung { ein }. Der gemeinsame Punkt der Geraden heißt { Schnittpunkt }. Mit der Probe kontrollierst Du die { Lösung }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Merkzettel]]: Gestalte eine Karte mit den fünf Schritten des Gleichsetzungsverfahrens.
# [[Video-Notizen]]: Fasse das angegebene Video in fünf kurzen Sätzen zusammen.
# [[Beispielrechnung]]: Löse <math>y=x+3</math> und <math>y=-x+7</math>.
# [[Bildbeschreibung]]: Erkläre mit eigenen Worten, was ein Schnittpunkt bedeutet.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Erklärvideo]]: Erstelle ein einminütiges Video zu einem selbst gewählten Gleichungssystem.
# [[Sachaufgabe]]: Erfinde eine Alltagssituation, die zu zwei linearen Gleichungen führt.
# [[Fehleranalyse]]: Baue bewusst einen Vorzeichenfehler in eine Rechnung ein und erkläre die Korrektur.
# [[Methodenvergleich]]: Löse dasselbe System mit Gleichsetzungs- und [[Additionsverfahren]].

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Parameteraufgabe]]: Untersuche, für welche Werte von <math>a</math> die Geraden <math>y=ax+2</math> und <math>y=2x-1</math> parallel sind.
# [[Begründung]]: Erkläre mathematisch, warum das Gleichsetzen am Schnittpunkt erlaubt ist.
# [[Lernstation]]: Entwickle eine Station mit Beispiel, Tippkarte, Lösung und Probe.
# [[Digitale Darstellung]]: Zeichne ein eigenes Gleichungssystem mit einer dynamischen Geometriesoftware und deute den Schnittpunkt.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Verfahrenswahl]]: Entscheide bei drei Gleichungssystemen, ob das Gleichsetzungsverfahren günstig ist, und begründe Deine Wahl.
# [[Fehler finden]]: Prüfe eine vorgegebene falsche Lösung, finde den ersten Fehler und verbessere die Rechnung.
# [[Grafik und Rechnung]]: Zeichne zwei Geraden, schätze den Schnittpunkt und überprüfe ihn rechnerisch.
# [[Modellieren]]: Übersetze eine Preisaufgabe in zwei Gleichungen, löse sie und deute beide Variablen.
# [[Sonderfälle]]: Erstelle je ein Gleichungssystem mit keiner, genau einer und unendlich vielen Lösungen und erkläre die Unterschiede.
# [[Transfer]]: Vergleiche Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren an einem Beispiel und nenne Vor- und Nachteile.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du:

# ein lineares Gleichungssystem sicher nach derselben Variablen umstellen,
# die passenden Terme korrekt gleichsetzen,
# beide Variablen berechnen,
# die Lösung als Lösungspaar angeben,
# eine Probe durchführen,
# die Lösung grafisch als Schnittpunkt deuten,
# die Fälle keine, eine oder unendlich viele Lösungen unterscheiden,
# Deinen Rechenweg verständlich erklären.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Gleichsetzungsverfahren </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Gleichsetzungsverfahren - Lineare Gleichungssysteme]]'''
# [[Lineares Gleichungssystem]]
# [[Gleichsetzungsverfahren]]
# [[Einsetzungsverfahren]]
# [[Additionsverfahren (Mathematik)|Additionsverfahren]]
# [[Lineare Funktion]]
# [[Schnittpunkt]]
# [[Äquivalenzumformung]]
# [[Probe]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Lineare Gleichungssysteme]]
[[Kategorie:Klasse 8]]
[[Kategorie:Klasse 9]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Gleichsetzungsverfahren - Lineare Gleichungssysteme - Versionsgeschichte

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