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2026-07-04T06:21:20Z

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= Einleitung =

'''Gemeinsame Vielfache finden''' ist eine wichtige Grundlage der [[Bruchrechnung]]. Du brauchst diese Fähigkeit immer dann, wenn Du [[Brüche]] mit unterschiedlichen [[Nenner|Nennern]] addieren, subtrahieren, vergleichen oder ordnen möchtest. Der zentrale Begriff ist das [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches|kleinste gemeinsame Vielfache]], kurz '''kgV'''. Es ist die kleinste positive Zahl, die gleichzeitig ein [[Vielfaches]] aller betrachteten Zahlen ist. In der [[Bruchrechnung]] ist das kgV der Nenner meistens der beste [[Hauptnenner]], weil es Brüche gleichnamig macht, ohne die Zahlen unnötig groß werden zu lassen.

[[Datei:Least common multiple.svg|500px|rahmenlos|center]]

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= Grundlagen =

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== Was ist ein Vielfaches? ==

Ein [[Vielfaches]] einer Zahl entsteht, wenn Du diese Zahl mit einer [[natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] multiplizierst. Die Vielfachen von 4 sind zum Beispiel 4, 8, 12, 16, 20, 24 und so weiter. Die Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18, 24, 30, 36 und so weiter. Zahlen wie 12 und 24 kommen in beiden Reihen vor. Deshalb sind sie '''gemeinsame Vielfache''' von 4 und 6.

Das kleinste dieser gemeinsamen Vielfachen ist besonders wichtig: Bei 4 und 6 ist es 12. Man schreibt: '''kgV von 4 und 6 ist 12'''. Dieses kgV hilft Dir, Brüche mit den Nennern 4 und 6 auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

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== Warum sind gemeinsame Vielfache beim Bruchrechnen wichtig? ==

Ein [[Bruch]] beschreibt einen Anteil. Der [[Nenner]] zeigt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wurde. Wenn zwei Brüche unterschiedliche Nenner haben, sind ihre Teile unterschiedlich groß. Du kannst sie deshalb nicht direkt addieren oder subtrahieren. Zuerst musst Du sie [[gleichnamig]] machen.

Beispiel: Bei <math>\frac{1}{4}+\frac{1}{6}</math> haben die Nenner 4 und 6 das kgV 12. Deshalb wird 12 als [[Hauptnenner]] verwendet. Aus <math>\frac{1}{4}</math> wird <math>\frac{3}{12}</math>, weil 4 mit 3 zu 12 erweitert wird. Aus <math>\frac{1}{6}</math> wird <math>\frac{2}{12}</math>, weil 6 mit 2 zu 12 erweitert wird. Dann kannst Du die Zähler addieren: <math>\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}</math>.

[[Datei:Fraction addition example.svg|400px|rahmenlos|center]]

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== Wichtige Begriffe ==

# [[Vielfaches]]: Eine Zahl, die durch Multiplikation einer Ausgangszahl mit einer natürlichen Zahl entsteht.
# [[Gemeinsames Vielfaches]]: Eine Zahl, die in mehreren Vielfachenreihen vorkommt.
# [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches|kgV]]: Das kleinste positive gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen.
# [[Nenner]]: Die Zahl unter dem Bruchstrich; sie gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt ist.
# [[Hauptnenner]]: Ein gemeinsamer Nenner, auf den mehrere Brüche gebracht werden.
# [[Erweitern]]: Zähler und Nenner eines Bruchs werden mit derselben Zahl multipliziert.
# [[Kürzen]]: Zähler und Nenner eines Bruchs werden durch dieselbe Zahl dividiert.

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= Methoden zum Finden gemeinsamer Vielfacher =

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== Methode 1: Vielfachenreihen aufschreiben ==

Die einfachste Methode ist das Aufschreiben von [[Vielfachenreihe|Vielfachenreihen]]. Diese Methode ist besonders hilfreich, wenn die Zahlen klein sind.

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=== Beispiel: kgV von 6 und 8 ===

Die Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18, 24, 30, 36 und so weiter. Die Vielfachen von 8 sind 8, 16, 24, 32, 40 und so weiter. Die erste gemeinsame Zahl in beiden Reihen ist 24. Also ist das '''kgV von 6 und 8 gleich 24'''.

In der Bruchrechnung bedeutet das: Wenn Brüche die Nenner 6 und 8 haben, kannst Du 24 als [[Hauptnenner]] verwenden. Zum Beispiel wird <math>\frac{1}{6}</math> zu <math>\frac{4}{24}</math> und <math>\frac{3}{8}</math> zu <math>\frac{9}{24}</math>.

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== Methode 2: Primfaktorzerlegung verwenden ==

Bei größeren Zahlen ist die [[Primfaktorzerlegung]] oft übersichtlicher. Dabei zerlegst Du jede Zahl in [[Primzahl|Primzahlen]]. Für das kgV nimmst Du alle vorkommenden Primfaktoren mit der jeweils höchsten Potenz.

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=== Beispiel: kgV von 18 und 24 ===

Die Zahl 18 zerlegst Du in <math>2 \cdot 3^2</math>. Die Zahl 24 zerlegst Du in <math>2^3 \cdot 3</math>. Für das kgV brauchst Du die höchste Potenz von 2 und die höchste Potenz von 3. Das ergibt <math>2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72</math>. Also ist das '''kgV von 18 und 24 gleich 72'''.

Diese Methode ist besonders nützlich, wenn mehrere Nenner gleichzeitig vorkommen, zum Beispiel bei <math>\frac{5}{18}+\frac{7}{24}</math>. Der [[Hauptnenner]] ist dann 72.

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== Methode 3: Teilbarkeitsregeln nutzen ==

[[Teilbarkeit|Teilbarkeitsregeln]] helfen Dir, gemeinsame Vielfache schneller zu erkennen. Wenn eine Zahl durch beide Nenner teilbar ist, ist sie ein gemeinsames Vielfaches. Wenn Du den kleinsten passenden Kandidaten findest, hast Du das kgV.

Beispiel: Du suchst ein gemeinsames Vielfaches von 9 und 12. Du prüfst die Vielfachen von 12: 12, 24, 36. Die Zahl 36 ist durch 9 teilbar und durch 12 teilbar. Also ist 36 das kgV von 9 und 12.

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= Vom kgV zum Hauptnenner =

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== Schritt-für-Schritt-Anleitung ==

# [[Nenner]] erkennen: Schau Dir die Nenner der Brüche genau an.
# [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches|kgV]] bestimmen: Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.
# [[Hauptnenner]] festlegen: Verwende das kgV als gemeinsamen Nenner.
# [[Erweiterungszahl]] berechnen: Frage Dich, mit welcher Zahl der alte Nenner zum Hauptnenner wird.
# [[Erweitern]]: Multipliziere Zähler und Nenner mit derselben Erweiterungszahl.
# [[Rechnen mit Brüchen]]: Addiere, subtrahiere oder vergleiche die gleichnamigen Brüche.
# [[Kürzen]] prüfen: Vereinfache das Ergebnis, wenn es möglich ist.

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== Beispiel: Brüche addieren ==

Aufgabe: <math>\frac{2}{9}+\frac{5}{12}</math>

Die Nenner sind 9 und 12. Das kgV von 9 und 12 ist 36. Deshalb ist 36 der [[Hauptnenner]]. Der Bruch <math>\frac{2}{9}</math> wird mit 4 erweitert: <math>\frac{2}{9}=\frac{8}{36}</math>. Der Bruch <math>\frac{5}{12}</math> wird mit 3 erweitert: <math>\frac{5}{12}=\frac{15}{36}</math>. Nun addierst Du die Zähler: <math>\frac{8}{36}+\frac{15}{36}=\frac{23}{36}</math>. Das Ergebnis ist bereits vollständig gekürzt.

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== Beispiel: Brüche vergleichen ==

Aufgabe: Vergleiche <math>\frac{3}{8}</math> und <math>\frac{5}{12}</math>.

Die Nenner 8 und 12 haben das kgV 24. Du erweiterst <math>\frac{3}{8}</math> mit 3 und erhältst <math>\frac{9}{24}</math>. Du erweiterst <math>\frac{5}{12}</math> mit 2 und erhältst <math>\frac{10}{24}</math>. Weil 10 größer ist als 9, gilt: <math>\frac{5}{12}</math> ist größer als <math>\frac{3}{8}</math>.

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= Lernvideo =

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=tGDCF575v2o |500|center}}

{{BR}}
== Video zum Gleichnamigmachen von Brüchen ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=4zDNbDQWtpM |500|center}}

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= Typische Fehler und wie Du sie vermeidest =

# [[Nenner addieren]]: Addiere bei gleichnamigen Brüchen nur die Zähler, nicht die Nenner.
# [[Hauptnenner]] zu groß wählen: Ein gemeinsames Vielfaches funktioniert zwar, aber das kgV macht die Rechnung meist einfacher.
# [[Erweiterungszahl]] vergessen: Der Zähler muss immer mit derselben Zahl erweitert werden wie der Nenner.
# [[Kürzen]] übersehen: Prüfe am Ende, ob das Ergebnis noch gekürzt werden kann.
# [[Vielfachenreihe]] zu kurz aufschreiben: Wenn Du noch kein gemeinsames Vielfaches gefunden hast, musst Du die Reihen fortsetzen.
# [[Primfaktorzerlegung]] unvollständig durchführen: Achte darauf, alle Primfaktoren mit der höchsten vorkommenden Potenz zu verwenden.

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= Merksatz =

'''Das kgV der Nenner ist beim Bruchrechnen der kleinste sinnvolle Hauptnenner. Es macht Brüche gleichnamig und hält die Zahlen möglichst übersichtlich.'''

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was ist ein Vielfaches von 6?'''
(18)
(!20)
(!25)
(!14)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet gemeinsames Vielfaches?'''
(Eine Zahl ist Vielfaches aller betrachteten Zahlen)
(!Eine Zahl ist kleiner als alle betrachteten Zahlen)
(!Eine Zahl ist ein Zähler eines Bruchs)
(!Eine Zahl steht immer unter dem Bruchstrich)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welches ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6?'''
(12)
(!10)
(!18)
(!24)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum braucht man gemeinsame Vielfache beim Addieren von Brüchen?'''
(Um einen gemeinsamen Nenner zu finden)
(!Um die Zähler zu vertauschen)
(!Um die Brüche immer zu kürzen)
(!Um aus Brüchen Dezimalzahlen zu machen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Nenner ist beim Gleichnamigmachen meist besonders praktisch?'''
(Der kleinste gemeinsame Nenner)
(!Der größte der ursprünglichen Zähler)
(!Der kleinste der ursprünglichen Zähler)
(!Ein beliebiger Zähler)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welches ist das kgV von 8 und 12?'''
(24)
(!20)
(!32)
(!96)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage stimmt beim Erweitern eines Bruchs?'''
(Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert)
(!Nur der Zähler wird multipliziert)
(!Nur der Nenner wird multipliziert)
(!Zähler und Nenner werden vertauscht)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Womit beginnt die Listenmethode zum Finden des kgV?'''
(Mit den Vielfachenreihen der Nenner)
(!Mit dem Addieren der Zähler)
(!Mit dem Kürzen des Ergebnisses)
(!Mit dem Vertauschen der Brüche)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist der Hauptnenner für Brüche mit den Nennern 6 und 9?'''
(18)
(!15)
(!27)
(!54)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Methode ist bei größeren Zahlen oft besonders übersichtlich?'''
(Primfaktorzerlegung)
(!Zählervergleich ohne Nenner)
(!Abschreiben der Aufgabe)
(!Addieren aller Nenner)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Vielfaches || Produkt einer Zahl mit einer natürlichen Zahl
|-
| Gemeinsames Vielfaches || Zahl in mehreren Vielfachenreihen
|-
| kgV || Kleinstes gemeinsames Vielfaches
|-
| Hauptnenner || Gemeinsamer Nenner beim Bruchrechnen
|-
| Erweitern || Zähler und Nenner gleich multiplizieren
|-
| Kürzen || Zähler und Nenner gleich dividieren
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Nenner prüfen'''
| Brüche vergleichen
|-
| '''kgV bestimmen'''
| Hauptnenner finden
|-
| '''Erweiterungszahl berechnen'''
| Alter Nenner wird Hauptnenner
|-
| '''Zähler erweitern'''
| Bruchwert bleibt gleich
|-
| '''Zähler zusammenfassen'''
| Gleichnamige Brüche addieren
|-
| '''Ergebnis kürzen'''
| Bruch vereinfachen
|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Vielfaches || Wie heißt eine Zahl, die durch Multiplikation einer Ausgangszahl mit einer natürlichen Zahl entsteht?
|-
| Nenner || Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?
|-
| Erweitern || Wie heißt das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit derselben Zahl?
|-
| Gleichnamig || Wie nennt man Brüche mit gleichem Nenner?
|-
| Teilbarkeit || Welche Eigenschaft hilft zu prüfen, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere Zahl geht?
|-
| Hauptnenner || Wie heißt der gemeinsame Nenner, auf den Brüche gebracht werden?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Gemeinsame+Vielfache+finden+Bruchrechnen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein { Vielfaches } entsteht, wenn eine Zahl mit einer natürlichen Zahl multipliziert wird. Ein { gemeinsames Vielfaches } kommt in mehreren Vielfachenreihen vor. Das { kgV } ist das kleinste positive gemeinsame Vielfache. In der Bruchrechnung wird das kgV der Nenner als { Hauptnenner } genutzt. Beim { Erweitern } multiplizierst Du Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Gleichnamige Brüche haben denselben { Nenner }. Deshalb kannst Du ihre { Zähler } addieren oder vergleichen. Nach dem Rechnen prüfst Du, ob der Bruch noch { kürzbar } ist.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Vielfachenreihe]]: Schreibe die Vielfachen von 3, 4 und 5 bis mindestens 60 auf und markiere alle gemeinsamen Vielfachen.
# [[Hauptnenner]]: Finde den Hauptnenner für die Nennerpaare 2 und 5, 3 und 4 sowie 6 und 8.
# [[Bruchstreifen]]: Zeichne zwei Bruchstreifen zu <math>\frac{1}{3}</math> und <math>\frac{1}{6}</math> und erkläre, warum der Nenner 6 hilfreich ist.
# [[Merkkarte]]: Gestalte eine Lernkarte mit den Begriffen Vielfaches, gemeinsames Vielfaches, kgV und Hauptnenner.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Brüche gleichnamig machen]]: Mache die Brüche <math>\frac{2}{7}</math> und <math>\frac{3}{14}</math> gleichnamig und beschreibe jeden Rechenschritt.
# [[Brüche addieren]]: Erfinde drei Aufgaben zur Addition ungleichnamiger Brüche und löse sie mit dem kgV der Nenner.
# [[Fehleranalyse]]: Untersuche eine falsche Rechnung, bei der die Nenner addiert wurden, und erkläre schriftlich, warum das Ergebnis nicht stimmen kann.
# [[Partnerarbeit]]: Erkläre einer Mitschülerin oder einem Mitschüler die Listenmethode und lass Dir anschließend eine eigene Beispielaufgabe geben.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Primfaktorzerlegung]]: Berechne das kgV von 18, 24 und 30 mithilfe der Primfaktorzerlegung und erkläre, warum jede verwendete Primzahl notwendig ist.
# [[Transferaufgabe]]: Vergleiche <math>\frac{7}{12}</math>, <math>\frac{5}{8}</math> und <math>\frac{2}{3}</math>, indem Du einen gemeinsamen Hauptnenner findest.
# [[Sachaufgabe]]: Entwickle eine Alltagssituation, in der zwei Ereignisse in unterschiedlichen Abständen stattfinden, und löse sie mithilfe gemeinsamer Vielfacher.
# [[Erklärvideo]]: Plane ein kurzes Lernvideo, in dem Du zeigst, wie man aus dem kgV der Nenner den Hauptnenner für eine Bruchaufgabe bildet.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Begründen]]: Erkläre, warum <math>\frac{1}{4}+\frac{1}{6}</math> nicht durch Addieren der Nenner gelöst werden darf.
# [[Vergleichen]]: Zwei Lernende vergleichen <math>\frac{3}{10}</math> und <math>\frac{4}{15}</math>. Beschreibe einen Lösungsweg mit dem kgV und entscheide, welcher Bruch größer ist.
# [[Modellieren]]: Beschreibe eine Situation aus dem Alltag, in der gemeinsame Vielfache helfen, wiederkehrende Termine oder Abläufe zu planen.
# [[Strategieauswahl]]: Entscheide, ob Du bei den Nennern 8 und 12 die Listenmethode oder die Primfaktorzerlegung verwenden würdest, und begründe Deine Wahl.
# [[Fehlerkorrektur]]: Eine Person erweitert <math>\frac{2}{9}</math> auf den Nenner 36, schreibt aber <math>\frac{2}{36}</math>. Erkläre den Fehler und korrigiere ihn.
# [[Transfer]]: Entwickle eine Regel, wie man bei drei ungleichnamigen Brüchen vorgehen kann, und teste sie an einem eigenen Beispiel.

<br>
<br>
{{BR}}
= Lernnachweis =

# [[Fachbegriffe]]: Du kannst Vielfaches, gemeinsames Vielfaches, kgV, Nenner, Hauptnenner und Erweitern sicher erklären.
# [[Rechenverfahren]]: Du kannst das kgV mit Vielfachenreihen und mit Primfaktorzerlegung bestimmen.
# [[Bruchrechnung]]: Du kannst ungleichnamige Brüche mithilfe des Hauptnenners gleichnamig machen.
# [[Anwendung]]: Du kannst Brüche addieren, subtrahieren und vergleichen, nachdem Du sie gleichnamig gemacht hast.
# [[Begründung]]: Du kannst erklären, warum das kgV häufig der günstigste Hauptnenner ist.
# [[Fehlerbewusstsein]]: Du erkennst typische Fehler beim Bruchrechnen und kannst sie nachvollziehbar korrigieren.
# [[Transferleistung]]: Du kannst das Finden gemeinsamer Vielfacher auf Alltagssituationen übertragen.

<br>
<br>
{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kleinstes_gemeinsames_Vielfaches </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Gemeinsame Vielfache finden - Bruchrechnen]]'''
# [[Vielfaches]]
# [[Gemeinsames Vielfaches]]
# [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]]
# [[Hauptnenner]]
# [[Bruchrechnung]]
# [[Brüche erweitern]]
# [[Brüche addieren]]
# [[Brüche vergleichen]]
# [[Primfaktorzerlegung]]
# [[Teilbarkeit]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Bruchrechnen]]
[[Kategorie:Arithmetik]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Klasse 5-6]]
[[Kategorie:Klasse 7-8]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =

[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Gemeinsame Vielfache finden - Bruchrechnen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt