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2026-07-13T21:27:02Z

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{{BR}}
= Gebrochenrationale Funktionen =

[[Datei:Rational function.png|500px|rahmenlos|center]]

Eine '''[[gebrochenrationale Funktion]]''' ist ein Bruch aus zwei [[Polynom|Polynomen]]:

:<math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math>

Dabei darf der [[Nenner]] nie null sein. Solche Funktionen können [[Nullstelle|Nullstellen]], [[Definitionslücke|Definitionslücken]], [[Polstelle|Polstellen]] und [[Asymptote|Asymptoten]] besitzen.

'''Du lernst:''' die [[Definitionsmenge]] zu bestimmen, Nullstellen zu finden, Lücken zu unterscheiden und einen Graphen zu skizzieren.

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= Grundlagen =

{{BR}}
== Zähler und Nenner ==

Bei <math>f(x)=\frac{x-2}{x+1}</math> ist <math>x-2</math> der [[Zähler]] und <math>x+1</math> der [[Nenner]].

Der Zähler hilft bei der Suche nach [[Nullstelle|Nullstellen]]. Der Nenner zeigt, welche x-Werte ausgeschlossen sind.

{{BR}}
== Definitionsmenge ==

Setze den Nenner gleich null. Diese Lösungen gehören nicht zur [[Definitionsmenge]].

Beispiel:

:<math>f(x)=\frac{1}{x-3}</math>

Der Nenner wird bei <math>x=3</math> null. Deshalb gilt:

:<math>D_f=\mathbb{R}\setminus\{3\}</math>

[[Datei:1 per x.svg|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Nullstellen und Lücken ==

Eine [[Nullstelle]] liegt vor, wenn der Zähler null und der Nenner nicht null ist.

Beispiel:

:<math>f(x)=\frac{x-4}{x+2}</math>

Die Nullstelle ist <math>x=4</math>.

Haben Zähler und Nenner denselben Faktor, kann eine '''hebbare [[Definitionslücke]]''' entstehen.

:<math>f(x)=\frac{x-2}{x-2}</math>

Der Term lässt sich kürzen. Trotzdem bleibt <math>x=2</math> ausgeschlossen.

Bleibt ein Nennerfaktor nach dem Kürzen erhalten, entsteht meist eine [[Polstelle]].

[[Datei:Squared rational function.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Asymptoten ==

Eine [[Asymptote]] ist eine Gerade, der sich der Graph annähert.

# [[Senkrechte Asymptote]]: Sie liegt oft an einer Polstelle.
# [[Waagerechte Asymptote]]: Bei <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> ist sie <math>y=0</math>.
# [[Schiefe Asymptote]]: Sie kann durch [[Polynomdivision]] gefunden werden.

Sind Zählergrad und Nennergrad gleich, ist die waagerechte Asymptote der Quotient der führenden Koeffizienten.

{{BR}}
== Kurvendiskussion in fünf Schritten ==

# [[Definitionsmenge]] bestimmen.
# [[Nullstelle|Nullstellen]] und Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen.
# [[Definitionslücke|Lücken]] und [[Polstelle|Polstellen]] prüfen.
# [[Asymptote|Asymptoten]] bestimmen.
# Punkte berechnen und den [[Funktionsgraph|Graphen]] skizzieren.

Für genauere Untersuchungen kannst Du die [[Quotientenregel]] und [[Grenzwert|Grenzwerte]] verwenden.

[[Datei:GeoGebra tutorial - Graph of a rational function in linear over linear form.webm|400px|center]]

{{BR}}
= Video: Gebrochenrationale Funktionen =

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=CJE61O7bCdU |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Video-Notizen]]: Schreibe die Erklärung für eine gebrochenrationale Funktion in einem eigenen Satz auf.
# [[Zähler und Nenner]]: Notiere ein Beispiel aus dem Video und markiere Zähler und Nenner.
# [[Definitionsmenge]]: Erkläre, warum eine Nullstelle des Nenners ausgeschlossen werden muss.
# [[Nullstellen berechnen]]: Beschreibe die Rechenschritte aus dem Video und prüfe sie an <math>f(x)=\frac{x-5}{x+2}</math>.
# [[Fachwortliste]]: Sammle vier wichtige Begriffe aus dem Video und erkläre sie mit einfachen Worten.
# [[Videofrage]]: Formuliere eine Frage, die nach dem Ansehen noch offen ist, und recherchiere eine Antwort.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wie ist eine gebrochenrationale Funktion aufgebaut?'''
(Als Quotient zweier Polynome)
(!Als Summe zweier Winkel)
(!Als Produkt zweier Geraden)
(!Als Folge natürlicher Zahlen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl ist bei f von x gleich eins durch x minus drei ausgeschlossen?'''
(3)
(!Minus 3)
(!0)
(!1)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie findest Du mögliche Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion?'''
(Du setzt den Zähler gleich null)
(!Du setzt immer x gleich null)
(!Du setzt den Nenner gleich eins)
(!Du addierst Zähler und Nenner)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wo liegt die Nullstelle von f von x gleich x minus vier durch x plus zwei?'''
(Bei x gleich 4)
(!Bei x gleich minus 4)
(!Bei x gleich 2)
(!Bei x gleich minus 2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was entsteht häufig an einer nicht kürzbaren Nennernullstelle?'''
(Eine Polstelle)
(!Ein Hochpunkt)
(!Eine Gerade)
(!Eine Konstante)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was kann bei einem gemeinsamen Faktor in Zähler und Nenner entstehen?'''
(Eine hebbare Definitionslücke)
(!Eine neue Variable)
(!Eine quadratische Gleichung)
(!Eine Winkelhalbierende)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche waagerechte Asymptote hat f von x gleich eins durch x?'''
(y gleich 0)
(!x gleich 0)
(!y gleich 1)
(!x gleich 1)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beschreibt eine Asymptote?'''
(Eine Gerade, der sich ein Graph annähert)
(!Eine Stelle, an der jede Funktion endet)
(!Eine Fläche unter einem Graphen)
(!Eine Zahl ohne Einheit)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Methode hilft bei einer schiefen Asymptote?'''
(Polynomdivision)
(!Bruch erweitern)
(!Wurzelziehen)
(!Dreisatz)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gehört nicht zur Definitionsmenge?'''
(Eine Nullstelle des Nenners)
(!Eine erlaubte Nullstelle des Zählers)
(!Ein Punkt auf der y-Achse)
(!Ein positiver Funktionswert)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Zähler || Bestimmt mögliche Nullstellen
|-
| Nenner || Bestimmt ausgeschlossene x-Werte
|-
| Polstelle || Nicht hebbare Definitionslücke
|-
| Hebbare Lücke || Gemeinsamer Faktor lässt sich kürzen
|-
| Senkrechte Asymptote || Gerade mit der Form x gleich a
|-
| Waagerechte Asymptote || Gerade mit der Form y gleich b
|-
| Polynomdivision || Hilft bei unecht gebrochenen Funktionen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Definitionsmenge'''
| Nennernullstellen ausschließen
|-
| '''Nullstelle'''
| Zähler gleich null setzen
|-
| '''Polstelle'''
| Verhalten nahe einer Nennernullstelle prüfen
|-
| '''Asymptote'''
| Annäherung des Graphen beschreiben
|-
| '''Graph'''
| Ergebnisse in ein Koordinatensystem eintragen

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Quotient || Wie nennt man das Ergebnis einer Division?
|-
| Nenner || Welcher Teil eines Bruchs steht unten?
|-
| Nullstelle || Wie heißt ein x-Wert mit dem Funktionswert null?
|-
| Polstelle || Wie heißt eine nicht hebbare Lücke mit starkem Wachstum?
|-
| Asymptote || Wie heißt eine Gerade, der sich ein Graph annähert?
|-
| Definitionsmenge || Wie heißt die Menge aller erlaubten x-Werte?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Gebrochenrationale+Funktionen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine gebrochenrationale Funktion ist ein { Quotient } aus zwei Polynomen. Der untere Teil des Bruchs heißt { Nenner }. Seine Nullstellen werden aus der Definitionsmenge { ausgeschlossen }. Eine Nullstelle der Funktion entsteht meist durch eine Nullstelle des { Zählers }. Ein gemeinsamer Faktor kann zu einer { hebbaren } Definitionslücke führen. Eine nicht kürzbare Nennernullstelle kann eine { Polstelle } erzeugen. Eine Gerade, der sich der Graph annähert, heißt { Asymptote }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Video-Zusammenfassung]]: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.
# [[Begriffskarte]]: Gestalte eine Karte mit Zähler, Nenner, Nullstelle und Definitionsmenge.
# [[Wertetabelle]]: Erstelle für <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> eine Wertetabelle mit sechs erlaubten x-Werten.
# [[Fehlersuche]]: Erkläre den Fehler in der Aussage: Bei <math>f(x)=\frac{1}{x-2}</math> darf man <math>x=2</math> einsetzen.

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=== Standard ===

# [[Funktionsanalyse]]: Untersuche <math>f(x)=\frac{x-1}{x+2}</math> auf Definitionsmenge, Nullstelle und Asymptoten.
# [[GeoGebra]]: Zeichne zwei gebrochenrationale Funktionen digital und vergleiche ihre Graphen.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein einminütiges Video zur Berechnung einer Nullstelle.
# [[Partnerinterview]]: Befrage eine Mitschülerin oder einen Mitschüler zu Polstellen und verbessert gemeinsam die Erklärung.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Parameteraufgabe]]: Untersuche <math>f_a(x)=\frac{x-a}{x+1}</math> für verschiedene Werte von a.
# [[Modellierung]]: Entwickle eine Alltagssituation, die durch eine Funktion der Form <math>f(x)=\frac{k}{x}</math> beschrieben werden kann.
# [[Begründung]]: Erkläre mit Grenzwerten, warum <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> die waagerechte Asymptote <math>y=0</math> besitzt.
# [[Mini-aiMOOC]]: Erstelle eine kleine Lernseite zu hebbaren Definitionslücken mit Beispiel, Bild und drei Aufgaben.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Transfer auf neue Funktionen]]: Untersuche <math>g(x)=\frac{x+3}{x^2-4}</math> und begründe jeden Schritt.
# [[Graph und Term]]: Ordne einem unbekannten Graphen einen passenden Funktionsterm zu und erkläre Deine Entscheidung mit Nullstellen und Asymptoten.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person kürzt in <math>\frac{x+2}{x+2}</math> vollständig und schreibt als Definitionsmenge alle reellen Zahlen. Erkläre den Fehler.
# [[Vergleich]]: Vergleiche <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> und <math>g(x)=\frac{1}{x-2}+3</math>. Beschreibe alle Verschiebungen.
# [[Entscheidungsaufgabe]]: Prüfe, ob eine Nennernullstelle eine Polstelle oder eine hebbare Lücke erzeugt. Entwickle dafür ein allgemeines Vorgehen.
# [[Modellkritik]]: Beurteile, wann ein gebrochenrationales Modell für eine Alltagssituation sinnvoll ist und welche Grenzen das Modell hat.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

# eine gebrochenrationale Funktion mit eigenen Worten erklären,
# die [[Definitionsmenge]] sicher bestimmen,
# [[Nullstelle|Nullstellen]], [[Polstelle|Polstellen]] und hebbare Lücken unterscheiden,
# [[Asymptote|Asymptoten]] berechnen und in einen Graphen einzeichnen,
# eine vollständige Beispielrechnung verständlich darstellen,
# einen neuen Funktionsterm selbstständig untersuchen und das Ergebnis begründen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Rationale_Funktion </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Gebrochenrationale Funktionen]]'''
# [[Rationale Funktion]]
# [[Definitionsmenge]]
# [[Nullstelle]]
# [[Definitionslücke]]
# [[Polstelle]]
# [[Asymptote]]
# [[Polynomdivision]]
# [[Quotientenregel]]
# [[Kurvendiskussion]]
# [[Funktionsgraph]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]
[[Kategorie:Klasse 13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Gebrochenrationale Funktionen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt