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2026-07-13T21:26:57Z

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{{T}}

{{BR}}
= Gauß-Algorithmus - Lineare Gleichungssysteme lösen =

{{BR}}
= Einleitung =

Der [[Gauß-Algorithmus]] ist ein Rechenverfahren zum Lösen von [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystemen]]. Du formst die Gleichungen so um, dass immer weniger [[Variable|Variablen]] vorkommen. Am Ende kannst Du die Lösung von unten nach oben ablesen.

'''Fach:''' [[Mathematik]]
'''Klassen:''' 9–13
'''Themen:''' [[Lineares Gleichungssystem]], [[Matrix]], [[Zeilenumformung]], [[Stufenform]]

[[Datei:Carl Friedrich Gauss.jpg|300px|rahmenlos|center]]

Das Verfahren trägt den Namen des Mathematikers [[Carl Friedrich Gauß]].

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

# [[Lineares Gleichungssystem|lineare Gleichungssysteme]] als erweiterte [[Matrix]] schreiben.
# erlaubte [[Zeilenumformung|Zeilenumformungen]] anwenden.
# eine [[Stufenform]] herstellen.
# durch [[Rückwärtseinsetzen]] die Lösung bestimmen.
# erkennen, ob es eine, keine oder unendlich viele Lösungen gibt.

{{BR}}
= Grundlagen =

{{BR}}
== Was ist ein lineares Gleichungssystem? ==

Ein [[Lineares Gleichungssystem|lineares Gleichungssystem]], kurz '''LGS''', besteht aus mehreren linearen Gleichungen. Gesucht sind Zahlen, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Beispiel:

<math>
\begin{aligned}
x+y+z&=6\\
2x-y+z&=3\\
x+2y-z&=2
\end{aligned}
</math>

Die Zahlen vor den Variablen heißen [[Koeffizient|Koeffizienten]].

[[Datei:Matrix Columns.svg|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Erweiterte Matrix ==

Das Beispiel kann kurz als [[Erweiterte Koeffizientenmatrix|erweiterte Matrix]] geschrieben werden:

<math>
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&6\\
2&-1&1&3\\
1&2&-1&2
\end{array}
\right)
</math>

Links stehen die Koeffizienten. Rechts vom Strich steht die rechte Seite der Gleichungen.

{{BR}}
= Der Gauß-Algorithmus =

{{BR}}
== Erlaubte Zeilenumformungen ==

Diese Umformungen verändern die [[Lösungsmenge]] nicht:

# [[Zeilenvertauschung]]: Zwei Zeilen werden vertauscht.
# [[Skalarmultiplikation]]: Eine Zeile wird mit einer Zahl ungleich null multipliziert.
# [[Zeilenaddition]]: Ein Vielfaches einer Zeile wird zu einer anderen Zeile addiert.

[[Datei:Gaussian elimination animated.gif|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Ablauf ==

# '''Vorwärtselimination:''' Erzeuge Nullen unter den führenden Einträgen.
# '''Stufenform:''' Die Matrix sieht wie eine Treppe aus.
# '''Rückwärtseinsetzen:''' Löse von der letzten Zeile nach oben.

{{BR}}
== Kurzes Beispiel ==

Ausgangsmatrix:

<math>
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&6\\
2&-1&1&3\\
1&2&-1&2
\end{array}
\right)
</math>

Umformungen:

# <math>Z_2 \leftarrow Z_2-2Z_1</math>
# <math>Z_3 \leftarrow Z_3-Z_1</math>
# <math>Z_2 \leftrightarrow Z_3</math>
# <math>Z_3 \leftarrow Z_3+3Z_2</math>

Stufenform:

<math>
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&6\\
0&1&-2&-4\\
0&0&-7&-21
\end{array}
\right)
</math>

Von unten nach oben:

# <math>-7z=-21</math>, also <math>z=3</math>.
# <math>y-2z=-4</math>, also <math>y=2</math>.
# <math>x+y+z=6</math>, also <math>x=1</math>.

'''Lösung:''' <math>(x,y,z)=(1,2,3)</math>

{{BR}}
= Mögliche Lösungsfälle =

{{BR}}
== Genau eine Lösung ==

Die Gleichungen treffen sich in genau einem gemeinsamen Punkt.

[[Datei:Two linear equation sub method.PNG|350px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Keine Lösung ==

Eine Zeile wie <math>0=5</math> ist ein [[Widerspruch]]. Bei zwei Variablen können parallele Geraden diesen Fall zeigen.

[[Datei:Parallel linear equations.PNG|350px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Unendlich viele Lösungen ==

Mindestens eine Variable bleibt frei. Bei zwei Variablen können beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben.

[[Datei:Linear equations coincide.PNG|350px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Gaussian elimination of a linear system with infinitely many solutions - row normal planes animation.gif|400px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Lernvideo =

Das folgende Video zeigt den Gauß-Algorithmus Schritt für Schritt:

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=BkU8zejSys4 |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Videoprotokoll]]: Schreibe jede Umformung des gezeigten Gleichungssystems in der Form <math>Z_i \leftarrow Z_i+aZ_j</math> auf.
# [[Stopp-Aufgabe]]: Halte das Video vor einer neuen Umformung an und sage den nächsten Rechenschritt voraus.
# [[Rechenkontrolle]]: Rechne mindestens drei Umformungen selbst nach.
# [[Fehleranalyse]]: Notiere zwei Stellen, an denen ein Vorzeichenfehler leicht passieren kann.
# [[Kurz-Erklärung]]: Erkläre den Lösungsweg des Videos in höchstens fünf Sätzen.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wozu dient der Gauß-Algorithmus?'''
(Zum Lösen linearer Gleichungssysteme)
(!Zum Zeichnen von Kreisen)
(!Zum Berechnen von Prozenten)
(!Zum Messen von Winkeln)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Umformung ist beim Gauß-Algorithmus erlaubt?'''
(Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren)
(!Eine Variable ohne Grund löschen)
(!Nur die rechte Seite verändern)
(!Alle Zahlen quadrieren)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was enthält eine erweiterte Matrix?'''
(Koeffizienten und rechte Seiten)
(!Nur die Variablennamen)
(!Nur die Lösungen)
(!Nur geometrische Punkte)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist das Ziel der Vorwärtselimination?'''
(Eine Stufenform erzeugen)
(!Alle Zahlen positiv machen)
(!Die Variablen umbenennen)
(!Eine Zeichnung anfertigen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist eine Pivotstelle?'''
(Ein führender Eintrag für die Elimination)
(!Die letzte Lösung des Systems)
(!Ein Rechenfehler)
(!Eine freie Zeichnung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was folgt nach dem Erreichen der Stufenform?'''
(Das Rückwärtseinsetzen)
(!Das Runden aller Zahlen)
(!Das Löschen der Matrix)
(!Das Zeichnen eines Kreises)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann hat ein LGS genau eine Lösung?'''
(Wenn jede Variable eindeutig bestimmt ist)
(!Wenn jede Zeile nur Nullen enthält)
(!Wenn ein Widerspruch entsteht)
(!Wenn keine Gleichung vorhanden ist)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet eine Zeile mit nur Nullen links und einer Zahl ungleich null rechts?'''
(Das LGS hat keine Lösung)
(!Das LGS hat genau zwei Lösungen)
(!Das LGS ist bereits gelöst)
(!Alle Variablen sind null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gilt, wenn eine freie Variable bleibt und kein Widerspruch auftritt?'''
(Das LGS hat unendlich viele Lösungen)
(!Das LGS hat keine Lösung)
(!Das LGS hat immer genau eine Lösung)
(!Die Matrix darf nicht verwendet werden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Arbeitsweise wird im Lernvideo hauptsächlich gezeigt?'''
(Gleichungen schrittweise durch Zeilenumformungen vereinfachen)
(!Geraden nur mit dem Lineal zeichnen)
(!Brüche in Prozentzahlen umwandeln)
(!Flächen von Dreiecken berechnen)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Erweiterte Matrix || Koeffizienten mit rechter Seite
|-
| Pivotstelle || Startpunkt einer Elimination
|-
| Zeilentausch || Reihenfolge der Gleichungen ändern
|-
| Stufenform || Treppenartige Anordnung
|-
| Rücksubstitution || Von unten nach oben lösen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Gauß-Algorithmus
|-
| '''Vorwärtselimination'''
| Nullen unter den Pivotstellen erzeugen
|-
| '''Rückwärtseinsetzen'''
| Unbekannte von unten bestimmen
|-
| '''Einzige Lösung'''
| Jede Variable hat genau einen Wert
|-
| '''Keine Lösung'''
| Eine Gleichung führt zum Widerspruch
|-
| '''Unendlich viele Lösungen'''
| Mindestens eine Variable bleibt frei

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Matrix || Wie heißt die rechteckige Anordnung der Zahlen eines LGS?
|-
| Pivot || Wie heißt der führende Eintrag für einen Eliminationsschritt?
|-
| Zeile || Was entspricht in einer erweiterten Matrix einer Gleichung?
|-
| Stufenform || Wie heißt die treppenartige Form nach der Vorwärtselimination?
|-
| Variable || Wie heißt eine unbekannte Größe wie x oder y?
|-
| Widerspruch || Was zeigt eine Gleichung wie null gleich fünf?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Gauss-Algorithmus+Lineare+Gleichungssysteme+loesen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein LGS besteht aus mehreren { linearen Gleichungen }.
Beim Gauß-Algorithmus werden zuerst Variablen { eliminiert }.
Die rechte Seite steht in der erweiterten { Matrix }.
Durch erlaubte Zeilenumformungen bleibt die { Lösungsmenge } gleich.
In der Stufenform beginnt das Lösen in der untersten { Zeile }.
Eine Widerspruchszeile bedeutet, dass das System { keine Lösung } hat.
Eine freie Variable kann zu { unendlich vielen Lösungen } führen.
Am Ende sollte die Lösung durch Einsetzen { überprüft } werden.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Videoanalyse]]: Sieh das Lernvideo an und notiere die drei wichtigsten Arbeitsschritte.
# [[Begriffsnetz]]: Verbinde die Begriffe LGS, Matrix, Zeile, Pivot und Lösung in einer kleinen Skizze.
# [[Rechenweg erklären]]: Erkläre einer anderen Person, warum man Gleichungen vertauschen darf.
# [[Lösungsprobe]]: Setze <math>x=1</math>, <math>y=2</math> und <math>z=3</math> in das Beispiel ein.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Eigene Rechnung]]: Löse ein selbst gewähltes LGS mit drei Variablen durch den Gauß-Algorithmus.
# [[Videovergleich]]: Vergleiche Deinen Rechenweg mit dem Vorgehen im Lernvideo.
# [[Fehlersuche]]: Erstelle einen falschen Gauß-Rechenweg und markiere die erste fehlerhafte Zeile.
# [[Verfahrensvergleich]]: Löse ein LGS einmal mit Gauß und einmal mit dem Additionsverfahren.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Parameteraufgabe]]: Untersuche ein LGS mit einem Parameter und bestimme, wann es eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat.
# [[Modellierungsaufgabe]]: Erfinde eine Sachaufgabe mit drei unbekannten Größen und löse sie mit Gauß.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes eigenes Lernvideo mit Matrix, Zeilenumformungen und Lösungsprobe.
# [[Algorithmus]]: Formuliere den Gauß-Algorithmus als Ablaufplan oder Pseudocode.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Strategiewahl]]: Begründe, warum der Gauß-Algorithmus für ein LGS mit drei oder mehr Variablen oft übersichtlicher als Einsetzen ist.
# [[Umformungsprüfung]]: Entscheide bei mehreren vorgegebenen Rechenschritten, welche die Lösungsmenge erhalten, und begründe Deine Entscheidung.
# [[Fehlerdiagnose]]: Analysiere einen Rechenweg mit falschem Vorzeichen und beschreibe, wie sich der Fehler bis zur Lösung auswirkt.
# [[Lösungsfall bestimmen]]: Erkläre anhand einer Stufenmatrix, ob ein LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen besitzt.
# [[Rückwärtsplanung]]: Entwickle zu einer vorgegebenen Lösung ein passendes LGS und prüfe es mit dem Gauß-Algorithmus.
# [[Transfer]]: Stelle aus einer Alltagssituation ein LGS auf, löse es und deute die Lösung im Sachzusammenhang.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

# ein [[Lineares Gleichungssystem|LGS]] korrekt in Matrixform schreiben kannst.
# erlaubte [[Zeilenumformung|Zeilenumformungen]] sicher ausführst.
# eine [[Stufenform]] erzeugst.
# durch [[Rückwärtseinsetzen]] eine Lösung bestimmst.
# die Lösung durch Einsetzen prüfst.
# die drei möglichen Lösungsfälle begründet unterscheidest.
# Deinen Rechenweg verständlich erklärst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Gauß-Algorithmus - Lineare Gleichungssysteme lösen]]'''
# [[Lineares Gleichungssystem]]
# [[Gaußsches Eliminationsverfahren]]
# [[Matrix]]
# [[Erweiterte Koeffizientenmatrix]]
# [[Zeilenumformung]]
# [[Stufenform]]
# [[Rückwärtseinsetzen]]
# [[Lösungsmenge]]
# [[Carl Friedrich Gauß]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Gleichungssysteme]]
[[Kategorie:Klasse 9-10]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]
[[Kategorie:Mathematikunterricht]]
[[Kategorie:Video]]
[[Kategorie:Interaktive Aufgabe]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Gauß-Algorithmus - Lineare Gleichungssysteme lösen - Versionsgeschichte

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