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2026-06-13T15:56:20Z

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= Einleitung =

'''Ganze Zahlen und negative Zahlen''' gehören zu den wichtigsten Grundlagen der [[Mathematik]]. Du kennst aus dem Alltag wahrscheinlich schon Situationen, in denen Zahlen kleiner als [[Null]] vorkommen: Temperaturen unter dem Gefrierpunkt, Schulden auf einem Konto, Stockwerke unter dem Erdgeschoss oder Höhen unter dem Meeresspiegel. Solche Zahlen nennt man '''negative Zahlen'''. Zusammen mit der [[Null]] und den positiven natürlichen Zahlen bilden sie die Menge der '''ganzen Zahlen'''.

In diesem aiMOOC lernst Du, wie [[ganze Zahl|ganze Zahlen]] aufgebaut sind, wie Du sie am [[Zahlenstrahl]] einordnest, wie Du sie vergleichst und wie Du mit ihnen rechnest. Dabei wird die [[MediaWiki-Extension Math]] genutzt, um mathematische Schreibweisen sauber darzustellen.

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== Was sind ganze Zahlen? ==

Die Menge der '''ganzen Zahlen''' wird in der Mathematik mit dem Zeichen <math>\mathbb{Z}</math> bezeichnet. Sie enthält alle positiven Zahlen ohne Komma, die [[Null]] und alle negativen Zahlen ohne Komma:

<math>\mathbb{Z} = \{\dots, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\}</math>

Das Zeichen <math>\mathbb{Z}</math> kommt vom deutschen Wort '''Zahlen'''. Ganze Zahlen haben keine Nachkommastellen. Deshalb gehören Zahlen wie <math>3</math>, <math>0</math> und <math>-8</math> zu den ganzen Zahlen. Zahlen wie <math>2{,}5</math>, <math>\frac{1}{2}</math> oder <math>-3{,}7</math> sind dagegen keine ganzen Zahlen, sondern gehören zu anderen [[Zahlenmenge|Zahlenmengen]].

[[Datei:Number-line.svg|500px|rahmenlos|zentriert]]

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== Positive Zahlen, negative Zahlen und Null ==

Eine '''positive Zahl''' ist größer als <math>0</math>. Häufig schreibt man positive Zahlen ohne Pluszeichen: Statt <math>+7</math> schreibt man meist einfach <math>7</math>. Eine '''negative Zahl''' ist kleiner als <math>0</math> und besitzt ein [[Minuszeichen]] als [[Vorzeichen]], zum Beispiel <math>-4</math>. Die [[Null]] ist weder positiv noch negativ.

<math>5 > 0</math> bedeutet: <math>5</math> ist größer als <math>0</math>.

<math>-5 < 0</math> bedeutet: <math>-5</math> ist kleiner als <math>0</math>.

<math>0</math> liegt genau zwischen den positiven und den negativen Zahlen.

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== Der Zahlenstrahl und die Zahlengerade ==

Auf einem [[Zahlenstrahl]] werden Zahlen in einer festen Reihenfolge angeordnet. Für ganze Zahlen verwendet man oft eine [[Zahlengerade]], weil sie nach links und rechts unbegrenzt weitergeht. Rechts von der [[Null]] liegen die positiven Zahlen, links von der [[Null]] liegen die negativen Zahlen.

Wichtig ist: Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie. Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie.

Beispiele:

<math>-6 < -2</math>, weil <math>-6</math> weiter links liegt als <math>-2</math>.

<math>-1 < 0</math>, weil <math>-1</math> links von <math>0</math> liegt.

<math>4 > -3</math>, weil <math>4</math> rechts von <math>-3</math> liegt.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=QV8tW0QoCfM |500|center}}

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== Ganze Zahlen im Alltag ==

Negative Zahlen sind nicht nur ein mathematisches Hilfsmittel. Sie beschreiben echte Situationen:

# [[Temperatur]]: Bei <math>-6^\circ\text{C}</math> ist es sechs Grad unter dem Gefrierpunkt.
# [[Schulden]]: Ein Kontostand von <math>-20</math> Euro bedeutet, dass zwanzig Euro fehlen.
# [[Höhe]]: Ein Ort kann <math>-5</math> Meter unter dem Meeresspiegel liegen.
# [[Aufzug]]: In Gebäuden kann das Stockwerk <math>-1</math> für ein Untergeschoss stehen.
# [[Spielstand]]: Eine Punktedifferenz von <math>-3</math> bedeutet, dass drei Punkte Rückstand bestehen.

Solche Beispiele helfen Dir, negative Zahlen nicht nur als Zeichen auf dem Papier zu sehen, sondern als Zahlen mit Bedeutung.

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== Vorzeichen und Rechenzeichen unterscheiden ==

Das [[Minuszeichen]] kann zwei Rollen haben. Es kann als '''Vorzeichen''' zeigen, dass eine Zahl negativ ist. Es kann aber auch als '''Rechenzeichen''' für eine [[Subtraktion]] verwendet werden.

Beispiele:

<math>-7</math> ist eine negative Zahl. Das Minuszeichen ist hier ein Vorzeichen.

<math>9 - 7</math> ist eine Rechnung. Das Minuszeichen ist hier ein Rechenzeichen.

In der Rechnung <math>5 - (-3)</math> kommen beide Bedeutungen vor. Das erste Minuszeichen bedeutet Subtraktion, das zweite Minuszeichen gehört zur Zahl <math>-3</math>.

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== Gegenzahlen ==

Zu jeder ganzen Zahl gibt es eine '''Gegenzahl'''. Die Gegenzahl liegt auf der Zahlengeraden gleich weit von der [[Null]] entfernt, aber auf der anderen Seite.

Die Gegenzahl von <math>6</math> ist <math>-6</math>.

Die Gegenzahl von <math>-9</math> ist <math>9</math>.

Die Gegenzahl von <math>0</math> ist <math>0</math>.

Mathematisch schreibt man: Die Gegenzahl von <math>a</math> ist <math>-a</math>. Wenn <math>a = 4</math> ist, dann ist <math>-a = -4</math>. Wenn <math>a = -4</math> ist, dann ist <math>-a = 4</math>.

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== Betrag einer ganzen Zahl ==

Der '''Betrag''' einer Zahl beschreibt ihren Abstand von der [[Null]]. Abstände sind nie negativ. Deshalb ist der Betrag immer positiv oder null.

Der Betrag von <math>7</math> ist <math>7</math>.

Der Betrag von <math>-7</math> ist ebenfalls <math>7</math>.

Man schreibt:

<math>|7| = 7</math>

<math>|-7| = 7</math>

<math>|0| = 0</math>

Der Betrag hilft besonders beim Vergleichen und Rechnen mit negativen Zahlen.

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== Ganze Zahlen vergleichen und ordnen ==

Beim Vergleichen ganzer Zahlen helfen die Zeichen <math><</math>, <math>></math> und <math>=</math>. Eine Zahl ist größer, wenn sie auf der Zahlengeraden weiter rechts liegt.

Beispiele:

<math>-3 > -8</math>, weil <math>-3</math> weiter rechts liegt als <math>-8</math>.

<math>-10 < 1</math>, weil <math>-10</math> links von <math>1</math> liegt.

<math>0 > -4</math>, weil <math>0</math> rechts von <math>-4</math> liegt.

Ein häufiger Fehler ist die Annahme, dass <math>-9</math> größer sei als <math>-3</math>, weil <math>9</math> größer als <math>3</math> ist. Bei negativen Zahlen ist es umgekehrt: <math>-9</math> liegt weiter links und ist deshalb kleiner.

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== Addition ganzer Zahlen ==

Beim Addieren ganzer Zahlen kannst Du Dir Bewegungen auf der [[Zahlengerade]] vorstellen.

Eine positive Zahl addieren bedeutet: nach rechts gehen.

Eine negative Zahl addieren bedeutet: nach links gehen.

Beispiele:

<math>3 + 4 = 7</math>

<math>3 + (-4) = -1</math>

<math>-3 + 4 = 1</math>

<math>-3 + (-4) = -7</math>

Wenn beide Zahlen dasselbe Vorzeichen haben, addierst Du die Beträge und übernimmst das gemeinsame Vorzeichen:

<math>(-5) + (-2) = -7</math>

Wenn die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben, bildest Du die Differenz der Beträge und übernimmst das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag:

<math>-8 + 3 = -5</math>, weil <math>|-8| > |3|</math>.

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== Subtraktion ganzer Zahlen ==

Eine Subtraktion kann als Addition der Gegenzahl verstanden werden. Das ist eine sehr wichtige Regel:

<math>a - b = a + (-b)</math>

Beispiele:

<math>7 - 3 = 7 + (-3) = 4</math>

<math>7 - (-3) = 7 + 3 = 10</math>

<math>-7 - 3 = -7 + (-3) = -10</math>

<math>-7 - (-3) = -7 + 3 = -4</math>

Besonders wichtig ist: Ein Minus vor einer negativen Zahl wird beim Umwandeln zur Addition einer positiven Zahl.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=N7xN_OI0nIA |500|center}}

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== Multiplikation und Division ganzer Zahlen ==

Beim Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen entscheidet das [[Vorzeichen]] über das Vorzeichen des Ergebnisses.

<math>(+) \cdot (+) = (+)</math>

<math>(-) \cdot (-) = (+)</math>

<math>(+) \cdot (-) = (-)</math>

<math>(-) \cdot (+) = (-)</math>

Das bedeutet:

<math>4 \cdot 3 = 12</math>

<math>(-4) \cdot (-3) = 12</math>

<math>4 \cdot (-3) = -12</math>

<math>(-4) \cdot 3 = -12</math>

Für die Division gilt dieselbe Vorzeichenregel:

<math>12 : 3 = 4</math>

<math>(-12) : (-3) = 4</math>

<math>12 : (-3) = -4</math>

<math>(-12) : 3 = -4</math>

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== Rechengesetze bei ganzen Zahlen ==

Für ganze Zahlen gelten viele bekannte [[Rechengesetz|Rechengesetze]]. Das hilft Dir, sicher und geschickt zu rechnen.

Das '''Kommutativgesetz''' der Addition lautet:

<math>a + b = b + a</math>

Beispiel:

<math>-4 + 9 = 9 + (-4) = 5</math>

Das '''Assoziativgesetz''' der Addition lautet:

<math>(a + b) + c = a + (b + c)</math>

Beispiel:

<math>(-2 + 5) + (-3) = -2 + (5 + (-3)) = 0</math>

Das '''Distributivgesetz''' verbindet Multiplikation und Addition:

<math>a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c</math>

Beispiel:

<math>-3 \cdot (4 + 2) = (-3) \cdot 4 + (-3) \cdot 2 = -12 - 6 = -18</math>

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== Typische Fehler und Strategien ==

Viele Fehler entstehen, weil Vorzeichen und Rechenzeichen verwechselt werden. Deshalb ist es hilfreich, negative Zahlen zunächst mit Klammern zu schreiben.

Statt <math>5 + -3</math> schreibt man übersichtlicher:

<math>5 + (-3)</math>

Auch bei der Subtraktion negativer Zahlen helfen Klammern:

<math>8 - (-2)</math>

Eine gute Strategie ist es, jede Subtraktion in eine Addition der Gegenzahl umzuwandeln:

<math>8 - (-2) = 8 + 2 = 10</math>

Beim Vergleichen negativer Zahlen hilft immer die Zahlengerade. Frage Dich: Welche Zahl liegt weiter rechts?

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== Merksätze ==

# [[Ganze Zahl]]: Ganze Zahlen sind positive Zahlen ohne Komma, die Null und negative Zahlen ohne Komma.
# [[Negative Zahl]]: Negative Zahlen sind kleiner als Null und stehen auf der Zahlengeraden links von der Null.
# [[Zahlengerade]]: Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie.
# [[Gegenzahl]]: Die Gegenzahl liegt gleich weit von Null entfernt, aber auf der anderen Seite.
# [[Betrag]]: Der Betrag ist der Abstand einer Zahl von Null.
# [[Subtraktion]]: Eine Zahl subtrahieren heißt, ihre Gegenzahl addieren.
# [[Vorzeichenregel]]: Bei Multiplikation und Division ergeben gleiche Vorzeichen ein positives Ergebnis, unterschiedliche Vorzeichen ein negatives Ergebnis.

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= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Menge wird mit dem Zeichen Z für ganze Zahlen bezeichnet?'''
(Alle positiven und negativen Zahlen ohne Komma sowie die Null)
(!Nur die positiven Zahlen)
(!Nur die negativen Zahlen)
(!Alle Zahlen mit Komma)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wo liegen negative Zahlen auf der Zahlengeraden?'''
(Links von der Null)
(!Rechts von der Null)
(!Immer genau bei der Null)
(!Nur zwischen Null und Eins)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage über die Null ist richtig?'''
(Die Null ist weder positiv noch negativ)
(!Die Null ist immer positiv)
(!Die Null ist immer negativ)
(!Die Null gehört nicht zu den ganzen Zahlen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl ist größer?'''
(minus 2)
(!minus 8)
(!minus 12)
(!minus 20)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist die Gegenzahl von minus 6?'''
(6)
(!minus 6)
(!0)
(!minus 12)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist der Betrag von minus 9?'''
(9)
(!minus 9)
(!0)
(!18)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ergibt minus 4 plus minus 3?'''
(minus 7)
(!7)
(!minus 1)
(!1)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ergibt 8 minus minus 5?'''
(13)
(!3)
(!minus 13)
(!minus 3)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Vorzeichenregel gilt bei der Multiplikation?'''
(Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Ergebnis)
(!Gleiche Vorzeichen ergeben immer ein negatives Ergebnis)
(!Unterschiedliche Vorzeichen ergeben immer ein positives Ergebnis)
(!Das Vorzeichen spielt keine Rolle)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl gehört nicht zu den ganzen Zahlen?'''
(2 Komma 5)
(!minus 4)
(!0)
(!17)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Ganze Zahlen || Positive Zahlen, Null und negative Zahlen ohne Komma
|-
| Zahlengerade || Darstellung von Zahlen nach links und rechts
|-
| Gegenzahl || Gleich weit von Null entfernt auf der anderen Seite
|-
| Betrag || Abstand einer Zahl von Null
|-
| Vorzeichen || Plus oder Minus vor einer Zahl
|-
| Subtraktion || Addition der Gegenzahl
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Positive Zahl'''
| Größer als Null
|-
| '''Negative Zahl'''
| Kleiner als Null
|-
| '''Null'''
| Weder positiv noch negativ
|-
| '''Betrag'''
| Abstand von Null
|-
| '''Gegenzahl'''
| Zahl mit entgegengesetztem Vorzeichen
|-
| '''Zahlengerade'''
| Geordnete Darstellung ganzer Zahlen

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Betrag || Wie heißt der Abstand einer Zahl von der Null?
|-
| Vorzeichen || Wie heißt das Plus oder Minus vor einer Zahl?
|-
| Null || Welche Zahl ist weder positiv noch negativ?
|-
| Addition || Welche Rechenart bedeutet Zusammenzählen?
|-
| Ganzzahl || Wie nennt man eine Zahl ohne Nachkommastellen aus der Menge Z?
|-
| Gegenzahl || Wie heißt die Zahl mit gleichem Abstand zur Null und anderem Vorzeichen?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Ganze+Zahlen+und+negative+Zahlen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die Menge der ganzen Zahlen wird mit dem Zeichen { Z } bezeichnet. Negative Zahlen sind kleiner als { Null }. Auf der Zahlengeraden liegen negative Zahlen { links } von der Null. Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto { größer } ist sie. Die Gegenzahl von minus acht ist { acht }. Der Betrag beschreibt den { Abstand } einer Zahl von der Null. Eine Subtraktion kann als Addition der { Gegenzahl } verstanden werden. Bei der Multiplikation ergeben gleiche Vorzeichen ein { positives } Ergebnis. Unterschiedliche Vorzeichen ergeben bei Multiplikation und Division ein { negatives } Ergebnis. Die Zahl Null ist weder positiv noch { negativ }.
</quiz>

<br>

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= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Zahlenstrahl]]: Zeichne eine Zahlengerade von <math>-10</math> bis <math>10</math> und markiere fünf positive Zahlen, fünf negative Zahlen und die Null.
# [[Alltag]]: Sammle fünf Alltagssituationen, in denen negative Zahlen vorkommen, und erkläre jede Situation in einem Satz.
# [[Temperatur]]: Notiere eine Woche lang fiktive oder echte Temperaturen und ordne sie von der kältesten bis zur wärmsten Temperatur.
# [[Gegenzahl]]: Erstelle zehn Zahlenkarten und schreibe auf die Rückseite jeweils die passende Gegenzahl.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Vergleichen]]: Erstelle eine Tabelle mit zehn Zahlenpaaren und setze jeweils das richtige Zeichen <math><</math>, <math>></math> oder <math>=</math> ein.
# [[Betrag]]: Erkläre mit einer eigenen Zeichnung, warum <math>|-7| = 7</math> gilt.
# [[Rechenweg]]: Schreibe zu fünf Aufgaben mit negativen Zahlen einen ausführlichen Rechenweg und erkläre die Bedeutung jedes Vorzeichens.
# [[Fehleranalyse]]: Erfinde drei typische Fehler beim Rechnen mit negativen Zahlen und verbessere sie mit einer Erklärung.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Modellieren]]: Entwickle eine Sachaufgabe zu Schulden, Temperatur oder Höhenangaben, in der mindestens drei negative Zahlen vorkommen.
# [[Mathematische Argumentation]]: Begründe, warum <math>-9 < -2</math> gilt, obwohl <math>9 > 2</math> ist.
# [[Vorzeichenregel]]: Erkläre die Regel <math>(-) \cdot (-) = (+)</math> mit einem selbst gewählten Beispiel oder Modell.
# [[Lernvideo]]: Plane ein kurzes Erklärvideo zur Subtraktion negativer Zahlen mit Drehbuch, Beispielaufgaben und Merksatz.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Transfer]]: Ein Fahrstuhl startet im Stockwerk <math>-2</math>, fährt fünf Stockwerke nach oben, dann drei Stockwerke nach unten und anschließend vier Stockwerke nach oben. Erkläre den Rechenweg und bestimme das Zielstockwerk.
# [[Argumentieren]]: Zwei Lernende behaupten Unterschiedliches: Person A sagt, <math>-12</math> sei größer als <math>-5</math>, weil <math>12</math> größer als <math>5</math> ist. Person B widerspricht. Entscheide begründet.
# [[Sachaufgabe]]: Eine Taucherin befindet sich <math>8</math> Meter unter der Wasseroberfläche und steigt <math>3</math> Meter auf. Danach taucht sie weitere <math>6</math> Meter ab. Beschreibe die Situation mit ganzen Zahlen und berechne die neue Tiefe.
# [[Strategie]]: Erkläre, warum die Umwandlung <math>a - b = a + (-b)</math> beim Rechnen mit negativen Zahlen hilfreich ist.
# [[Anwendung]]: Erstelle ein eigenes Beispiel, in dem eine negative Zahl nicht schlecht oder falsch ist, sondern eine sinnvolle Information darstellt.
# [[Vergleich]]: Ordne die Zahlen <math>-4</math>, <math>7</math>, <math>-10</math>, <math>0</math>, <math>3</math> und <math>-1</math> der Größe nach und begründe Deine Reihenfolge mit der Zahlengeraden.

{{BR}}
= Lernnachweis =

# [[Grundverständnis]]: Erkläre schriftlich, was ganze Zahlen sind, und nenne drei Beispiele sowie drei Gegenbeispiele.
# [[Zahlengerade]]: Zeichne eine Zahlengerade und markiere die Zahlen <math>-6</math>, <math>-1</math>, <math>0</math>, <math>2</math> und <math>5</math>.
# [[Rechnen]]: Berechne jeweils mit Rechenweg: <math>-5 + 9</math>, <math>6 - (-4)</math>, <math>(-3) \cdot 7</math> und <math>(-24) : (-6)</math>.
# [[Begründen]]: Beschreibe den Unterschied zwischen Vorzeichen und Rechenzeichen an zwei Beispielen.
# [[Reflexion]]: Formuliere drei Merksätze, die Dir beim Rechnen mit ganzen Zahlen helfen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Ganze_Zahl </iframe>

<br>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Negative_Zahl </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Ganze Zahlen und negative Zahlen]]'''
# [[Ganze Zahl]]
# [[Negative Zahl]]
# [[Null]]
# [[Zahlenstrahl]]
# [[Zahlengerade]]
# [[Vorzeichen]]
# [[Minuszeichen]]
# [[Gegenzahl]]
# [[Betrag]]
# [[Addition]]
# [[Subtraktion]]
# [[Multiplikation]]
# [[Division]]
# [[Rechengesetz]]
# [[Zahlenmenge]]
|}

{{BR}}
= Zusammenfassung =

'''Ganze Zahlen''' umfassen positive Zahlen ohne Komma, die [[Null]] und negative Zahlen ohne Komma. Sie werden als <math>\mathbb{Z}</math> geschrieben. Negative Zahlen liegen auf der [[Zahlengerade]] links von der Null und sind kleiner als Null. Beim Vergleichen ganzer Zahlen ist die Lage auf der Zahlengeraden entscheidend: Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie. Die [[Gegenzahl]] hat denselben Abstand von Null, aber das entgegengesetzte [[Vorzeichen]]. Der [[Betrag]] einer Zahl ist ihr Abstand von Null. Beim Rechnen mit ganzen Zahlen helfen klare Regeln: Eine Subtraktion kann als Addition der Gegenzahl verstanden werden, und bei Multiplikation sowie Division bestimmen gleiche oder unterschiedliche Vorzeichen das Vorzeichen des Ergebnisses.

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse_5-6]]
[[Kategorie:Zahlen]]
[[Kategorie:Arithmetik]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]

= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Ganze Zahlen und negative Zahlen - aiMOOC - Versionsgeschichte

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