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2026-07-28T07:53:48Z

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{{T}}
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= Federpendel - Physik =

{{BR}}
= Einleitung =

Ein [[Federpendel]] besteht aus einer [[Feder (Technik)|Feder]] und einem Körper mit der Masse <math>m</math>. Wird der Körper aus seiner '''Ruhelage''' ausgelenkt und losgelassen, wirkt die Federkraft zurück zur Ruhelage. Im idealen Modell entsteht eine [[Harmonische Schwingung|harmonische Schwingung]].

[[Datei:Federpendel.svg|500px|rahmenlos|center|Federpendel mit wichtigen Größen]]

Das Federpendel ist ein Grundmodell der [[Mechanik]]. An ihm kannst Du Kräfte, Bewegung, Energie und Messverfahren gemeinsam untersuchen. Besonders wichtig sind die [[Federkonstante]], die Masse, die Amplitude, die Frequenz und die Schwingungsdauer.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=Z74fc-gRyVg |500|center}}

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du ein Federpendel beschreiben, das [[Hookesches Gesetz|Hookesche Gesetz]] anwenden und die Größen einer Schwingung unterscheiden. Du kannst außerdem die Schwingungsdauer berechnen, Energieumwandlungen erklären, Messdaten auswerten und reale Abweichungen durch [[Dämpfung]] beurteilen.

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= Aufbau und Bewegung =

Ein einfaches Federpendel besteht aus einer Feder mit der Federkonstante <math>D</math> und einem Pendelkörper mit der Masse <math>m</math>. Die Bewegung wird meist entlang einer geraden Achse betrachtet.

[[Datei:Animated-mass-spring.gif|500px|rahmenlos|center|Ungedämpfte Schwingung eines Feder-Masse-Systems]]

Bei einem '''horizontalen Federpendel''' wird die Gewichtskraft durch eine Unterlage oder eine Führung ausgeglichen. Bei einem '''vertikalen Feder-Schwere-Pendel''' dehnt die Gewichtskraft die Feder zunächst. Dadurch verschiebt sich die Ruhelage nach unten. Misst man die Auslenkung von dieser neuen Ruhelage aus, gilt für die ideale Schwingung dieselbe Formel für die Schwingungsdauer.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=7t4ASp5fRo8 |500|center}}

{{BR}}
== Wichtige Größen ==

{| class="wikitable"
! Größe
! Symbol
! Einheit
! Bedeutung
|-
| Auslenkung
| <math>x</math>
| Meter
| Momentaner Abstand von der Ruhelage mit Vorzeichen
|-
| Amplitude
| <math>A</math>
| Meter
| Größter Betrag der Auslenkung
|-
| Schwingungsdauer
| <math>T</math>
| Sekunde
| Zeit für eine vollständige Schwingung
|-
| Frequenz
| <math>f</math>
| Hertz
| Anzahl vollständiger Schwingungen pro Sekunde
|-
| Kreisfrequenz
| <math>\omega</math>
| Radiant pro Sekunde
| Winkelgeschwindigkeit der zugehörigen Sinusbewegung
|-
| Federkonstante
| <math>D</math>
| Newton pro Meter
| Maß für die Steifigkeit der Feder
|}

Zwischen Frequenz und Schwingungsdauer gilt:

:<math>f=\frac{1}{T}</math>

Die Kreisfrequenz ist:

:<math>\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}</math>

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= Kräfte am Federpendel =

Wird der Körper aus der Ruhelage ausgelenkt, übt die Feder eine Kraft in Richtung der Ruhelage aus. Diese Kraft heißt '''Rückstellkraft'''.

[[Datei:Vertical-mass-on-spring.svg|500px|rahmenlos|center|Kräfte und Rückstellwirkung am vertikalen Federpendel]]

{{BR}}
== Hookesches Gesetz ==

Im elastischen Bereich ist die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung:

:<math>F_\mathrm{R}=-D\,x</math>

Das Minuszeichen zeigt: Kraft und Auslenkung sind entgegengesetzt gerichtet. Ist <math>x</math> positiv, zeigt die Rückstellkraft in negative Richtung. Je größer <math>D</math> ist, desto härter ist die Feder.

[[Datei:Hookes-law-springs.png|500px|rahmenlos|center|Verdopplung der Kraft führt im linearen Bereich zur Verdopplung der Dehnung]]

Das Hookesche Gesetz gilt nur, solange die Feder elastisch und näherungsweise linear reagiert. Wird sie zu stark gedehnt, kann sie dauerhaft verformt werden.

{{BR}}
== Von der Kraft zur Bewegung ==

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt <math>F=m\,a</math>. Mit <math>a=\ddot{x}</math> folgt:

:<math>m\,\ddot{x}=-D\,x</math>

oder

:<math>\ddot{x}+\frac{D}{m}x=0</math>

Diese Gleichung beschreibt eine harmonische Schwingung. Eine mögliche Lösung lautet:

:<math>x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)</math>

Dabei ist <math>\varphi</math> die Anfangsphase. Sie hängt davon ab, wo sich der Körper beim Start befindet und welche Anfangsgeschwindigkeit er besitzt.

[[Datei:Harmonic oscillator.svg|420px|rahmenlos|center|Rückstellkraft bei verschiedenen Auslenkungen]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=8C_W8KGKoTU |500|center}}

{{BR}}
= Schwingungsdauer und Frequenz =

Für ein ideales Federpendel gilt:

:<math>\omega=\sqrt{\frac{D}{m}}</math>

Daraus folgt für die Schwingungsdauer:

:<math>T=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}</math>

und für die Frequenz:

:<math>f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}</math>

Die Formeln zeigen zwei zentrale Zusammenhänge:

# [[Masse]]: Eine größere Masse führt zu einer längeren Schwingungsdauer.
# [[Federkonstante]]: Eine härtere Feder mit größerem <math>D</math> führt zu einer kürzeren Schwingungsdauer.
# [[Amplitude]]: Im idealen linearen Modell beeinflusst die Amplitude die Schwingungsdauer nicht.

{{BR}}
== Beispielrechnung ==

Gegeben sind <math>m=0{,}20\,\mathrm{kg}</math> und <math>D=20\,\mathrm{\frac{N}{m}}</math>.

:<math>T=2\pi\sqrt{\frac{0{,}20\,\mathrm{kg}}{20\,\mathrm{N/m}}}</math>

:<math>T=2\pi\sqrt{0{,}010\,\mathrm{s^2}}\approx 0{,}63\,\mathrm{s}</math>

Die Frequenz beträgt:

:<math>f=\frac{1}{T}\approx 1{,}59\,\mathrm{Hz}</math>

Das Federpendel führt also ungefähr 1,59 vollständige Schwingungen pro Sekunde aus.

{{BR}}
== Qualitative Vorhersagen ==

Verdoppelst Du die Masse, wächst die Schwingungsdauer nicht auf das Doppelte, sondern um den Faktor <math>\sqrt{2}</math>. Vervierfachst Du die Masse, verdoppelt sich die Schwingungsdauer. Vervierfachst Du dagegen die Federkonstante, halbiert sich die Schwingungsdauer.

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= Orte, Geschwindigkeit und Beschleunigung =

Während einer Schwingung ändern sich Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung fortlaufend.

{| class="wikitable"
! Position
! Auslenkung
! Geschwindigkeit
! Rückstellkraft und Beschleunigung
|-
| Ruhelage
| <math>x=0</math>
| Betrag maximal
| Null
|-
| Positiver Umkehrpunkt
| <math>x=+A</math>
| Null
| Maximal zur Ruhelage gerichtet
|-
| Negativer Umkehrpunkt
| <math>x=-A</math>
| Null
| Maximal zur Ruhelage gerichtet
|}

Die Beschleunigung ist proportional zur negativen Auslenkung:

:<math>a(t)=-\omega^2x(t)</math>

Damit zeigt die Beschleunigung stets zur Ruhelage. Die Geschwindigkeit ist beim Durchgang durch die Ruhelage am größten, weil der Körper dort seine Bewegungsrichtung noch nicht wechselt.

[[Datei:Simple Harmonic Motion Orbit.gif|500px|rahmenlos|center|Federbewegung und zugehörige Darstellung im Phasenraum]]

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= Energie des Federpendels =

Beim idealen, ungedämpften Federpendel bleibt die gesamte mechanische Energie erhalten. Sie wechselt zwischen [[Kinetische Energie|kinetischer Energie]] und elastischer [[Potentielle Energie|potenzieller Energie]].

Die potenzielle Energie der Schwingung bezogen auf die Ruhelage ist:

:<math>E_\mathrm{pot}=\frac{1}{2}D\,x^2</math>

Die Bewegungsenergie des Körpers ist:

:<math>E_\mathrm{kin}=\frac{1}{2}m\,v^2</math>

Die Gesamtenergie beträgt:

:<math>E_\mathrm{ges}=E_\mathrm{pot}+E_\mathrm{kin}=\frac{1}{2}D\,A^2</math>

Am Umkehrpunkt ist die Geschwindigkeit null. Dort liegt die Schwingungsenergie vollständig als potenzielle Energie vor. In der Ruhelage ist die potenzielle Energie der Schwingung minimal und die Bewegungsenergie maximal.

[[Datei:Energía del oscilador armónico simple.png|500px|rahmenlos|center|Wechsel zwischen potenzieller und kinetischer Energie über eine Periode]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=3TkB3y0aGns |500|center}}

{{BR}}
= Reales Federpendel und Dämpfung =

Reale Schwingungen verlieren durch Luftwiderstand, Reibung und innere Verformung Energie. Dadurch nimmt die Amplitude mit der Zeit ab. Dieser Vorgang heißt '''Dämpfung'''.

[[Datei:Damped oscillation graph.svg|500px|rahmenlos|center|Auslenkung einer gedämpften Schwingung]]

Je nach Stärke der Dämpfung kann das System schwingen, besonders schnell ohne Überschwingen zur Ruhelage zurückkehren oder sich langsam ohne Schwingung annähern.

[[Datei:Federpendel verschiedene Dämpfungen.gif|500px|rahmenlos|center|Schwingfall, aperiodischer Grenzfall und Kriechfall]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=7_0uBMKyn74 |500|center}}

Wird das Federpendel regelmäßig von außen angeregt, kann [[Resonanz]] auftreten. Liegt die Anregungsfrequenz nahe der Eigenfrequenz, kann die Amplitude stark anwachsen. Dämpfung begrenzt dieses Anwachsen.

{{BR}}
= Experiment: Schwingungsdauer untersuchen =

{{BR}}
== Material und Sicherheit ==

Du benötigst eine geeignete Feder, mehrere bekannte Massen, ein Stativ, ein Lineal und eine Stoppuhr. Eine Videoaufnahme kann die Zeitmessung verbessern. Sichere das Stativ, überlaste die Feder nicht und halte den Bereich unter der Masse frei.

{{BR}}
== Durchführung ==

# [[Versuchsaufbau]]: Befestige die Feder sicher und hänge eine bekannte Masse an.
# [[Ruhelage]]: Warte, bis die Masse stillsteht, und markiere die Ruhelage.
# [[Auslenkung]]: Lenke die Masse nur wenig aus und lasse sie ohne zusätzlichen Stoß los.
# [[Zeitmessung]]: Miss die Zeit für zehn vollständige Schwingungen.
# [[Periodendauer]]: Teile die gemessene Gesamtzeit durch zehn.
# [[Messreihe]]: Wiederhole den Versuch mit weiteren Massen und führe jede Messung mehrfach durch.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=M1_56LgqcQc |500|center}}

{{BR}}
== Auswertung ==

Für jede Masse bestimmst Du <math>T</math> und berechnest <math>T^2</math>. Aus

:<math>T^2=\frac{4\pi^2}{D}\,m</math>

folgt: Ein Diagramm von <math>T^2</math> gegen <math>m</math> sollte näherungsweise eine Gerade ergeben. Aus ihrer Steigung <math>k</math> kann die Federkonstante bestimmt werden:

:<math>D=\frac{4\pi^2}{k}</math>

Abweichungen können durch Reaktionszeit, zu große Auslenkung, Reibung, schiefes Schwingen oder die nicht vernachlässigbare Masse der Feder entstehen.

{{BR}}
== Statische Bestimmung der Federkonstante ==

Bei einer vertikal hängenden Feder gilt im Gleichgewicht:

:<math>D\,s=m\,g</math>

Damit folgt:

:<math>D=\frac{m\,g}{s}</math>

Hier ist <math>s</math> die zusätzliche Dehnung durch die angehängte Masse. Vergleiche den statisch bestimmten Wert mit dem Wert aus der Schwingungsmessung.

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= Typische Missverständnisse =

# [[Ruhelage und Nulllage]]: Beim vertikalen Aufbau liegt die Ruhelage wegen der Gewichtskraft unterhalb der unbelasteten Federlänge.
# [[Amplitude und Weg]]: Während einer vollständigen Schwingung legt der Körper insgesamt den Weg <math>4A</math> zurück.
# [[Kraft am Umkehrpunkt]]: Dort ist die Geschwindigkeit null, die Rückstellkraft aber maximal.
# [[Kraft in der Ruhelage]]: Bezogen auf die Schwingung um die Ruhelage ist die resultierende Rückstellkraft dort null.
# [[Ideales Modell]]: Die Unabhängigkeit der Schwingungsdauer von der Amplitude gilt nur im linearen, näherungsweise ungedämpften Bereich.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Kraft führt den Körper zur Ruhelage zurück?'''
(Die Rückstellkraft)
(!Die Trägheitskraft)
(!Die Auftriebskraft)
(!Die Normalkraft)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Einheit hat die Federkonstante?'''
(Newton pro Meter)
(!Kilogramm pro Sekunde)
(!Joule pro Meter)
(!Meter pro Newtonsekunde)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet das Minuszeichen in der Gleichung für die Rückstellkraft?'''
(Die Kraft wirkt entgegen der Auslenkung)
(!Die Federkonstante ist negativ)
(!Die Masse nimmt ab)
(!Die Energie wird immer negativ)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie verändert sich die Schwingungsdauer bei größerer Masse?'''
(Sie wird größer)
(!Sie wird kleiner)
(!Sie bleibt immer gleich)
(!Sie wird null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie verändert sich die Schwingungsdauer bei größerer Federkonstante?'''
(Sie wird kleiner)
(!Sie wird größer)
(!Sie verdoppelt sich immer)
(!Sie hängt nur von der Amplitude ab)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wo ist der Betrag der Geschwindigkeit am größten?'''
(In der Ruhelage)
(!Am positiven Umkehrpunkt)
(!Am negativen Umkehrpunkt)
(!Nur außerhalb der Feder)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie groß ist die Geschwindigkeit an einem Umkehrpunkt?'''
(Sie ist null)
(!Sie ist maximal)
(!Sie ist unendlich)
(!Sie entspricht der Federkonstante)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Energie ist am Umkehrpunkt maximal?'''
(Die elastische potenzielle Energie)
(!Die kinetische Energie)
(!Die elektrische Energie)
(!Die Kernenergie)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht bei einer gedämpften Schwingung?'''
(Die Amplitude nimmt mit der Zeit ab)
(!Die Masse wächst mit jeder Periode)
(!Die Federkonstante wird sofort null)
(!Die Frequenz wird immer unendlich)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel beschreibt die Schwingungsdauer des idealen Federpendels?'''
(T gleich zwei Pi mal Wurzel aus Masse durch Federkonstante)
(!T gleich Masse mal Federkonstante)
(!T gleich Federkonstante durch Masse)
(!T gleich Amplitude durch Zeit)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Amplitude || Größter Betrag der Auslenkung
|-
| Periodendauer || Zeit für eine vollständige Schwingung
|-
| Frequenz || Schwingungen pro Sekunde
|-
| Federkonstante || Maß für die Steifigkeit
|-
| Ruhelage || Ort mit verschwindender resultierender Rückstellkraft
|-
| Umkehrpunkt || Ort mit momentaner Geschwindigkeit null
|-
| Dämpfung || Abnahme der Amplitude durch Energieverlust
|-
| Resonanz || Starke Reaktion bei passender Anregungsfrequenz
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Eigenschaft
|-
| '''Ruhelage'''
| Geschwindigkeit maximal
|-
| '''Umkehrpunkt'''
| Geschwindigkeit null
|-
| '''Harte Feder'''
| Große Federkonstante
|-
| '''Große Masse'''
| Lange Schwingungsdauer
|-
| '''Dämpfung'''
| Abnehmende Amplitude

|}
{{E}}

<br>
...
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Federkonstante || Wie heißt das Maß für die Steifigkeit einer Feder?
|-
| Ruhelage || Wie heißt die mittlere Lage der Schwingung?
|-
| Amplitude || Wie heißt der größte Betrag der Auslenkung?
|-
| Frequenz || Welche Größe gibt die Schwingungen pro Sekunde an?
|-
| Daempfung || Wie heißt der Energieverlust einer realen Schwingung?
|-
| Beschleunigung || Welche Bewegungsgröße zeigt beim Federpendel zur Ruhelage?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Federpendel+Physik </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein Federpendel besteht aus einer Feder und einer angehängten { Masse }. Die mittlere Lage der Bewegung heißt { Ruhelage }. Die Kraft zurück zur Mitte heißt { Rückstellkraft }. Nach dem Hookeschen Gesetz ist diese Kraft proportional zur { Auslenkung }. Die Steifigkeit der Feder wird durch die { Federkonstante } beschrieben. Die Zeit für eine vollständige Schwingung heißt { Periodendauer }. Ihr Kehrwert ist die { Frequenz }. In der Ruhelage ist der Betrag der Geschwindigkeit { maximal }. An den Umkehrpunkten ist die Geschwindigkeit { null }. Durch Reibung nimmt bei einer realen Schwingung die { Amplitude } ab.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Begriffsplakat Federpendel]]: Gestalte ein Plakat mit Ruhelage, Amplitude, Periodendauer, Frequenz und Federkonstante.
# [[Bewegungsfolge fotografieren]]: Stelle mit mehreren Fotos die Bewegung zwischen den beiden Umkehrpunkten dar und beschrifte die Positionen.
# [[Alltagsfedern untersuchen]]: Finde drei technische Anwendungen von Federn und erkläre ihre jeweilige Aufgabe.
# [[Erklärkarte Hookesches Gesetz]]: Formuliere das Hookesche Gesetz in eigenen Worten und ergänze eine Skizze.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Federpendel bauen]]: Baue unter Aufsicht ein einfaches Federpendel und dokumentiere Aufbau, Sicherheitsregeln und Beobachtungen.
# [[Schwingungsdauer messen]]: Miss für mindestens vier Massen die Zeit von jeweils zehn Schwingungen und berechne die Periodendauer.
# [[Zeitlupenvideo auswerten]]: Filme ein Federpendel und markiere Ruhelage, Umkehrpunkte sowie die Stelle maximaler Geschwindigkeit.
# [[Energiegeschichte schreiben]]: Beschreibe für eine ganze Periode, wie sich kinetische und potenzielle Energie verändern.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Linearisierung auswerten]]: Erstelle ein Diagramm von <math>T^2</math> gegen <math>m</math> und bestimme daraus die Federkonstante.
# [[Messmethoden vergleichen]]: Bestimme <math>D</math> statisch und dynamisch, vergleiche die Ergebnisse und diskutiere Unsicherheiten.
# [[Dämpfung erforschen]]: Untersuche mit Videoaufnahmen, wie schnell die Amplitude abnimmt, und entwickle eine geeignete grafische Darstellung.
# [[Resonanzprojekt]]: Plane ein Experiment zur erzwungenen Schwingung und erkläre, wie Anregungsfrequenz und Dämpfung die Amplitude beeinflussen.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modellkritik Federpendel]]: Erkläre, welche Annahmen hinter der Formel für die Schwingungsdauer stehen und wann sie ungenau wird.
# [[Parametervergleich]]: Zwei Federpendel besitzen unterschiedliche Massen und Federkonstanten. Begründe ohne vollständige Rechnung, welches langsamer schwingt.
# [[Diagrammanalyse]]: Deute ein gegebenes Zeit-Auslenkungs-Diagramm hinsichtlich Amplitude, Periodendauer, Frequenz und Dämpfung.
# [[Energietransfer]]: Erkläre den Energiefluss vom positiven Umkehrpunkt über die Ruhelage zum negativen Umkehrpunkt.
# [[Versuchsplanung]]: Entwickle eine Messstrategie, mit der geprüft werden kann, ob die Schwingungsdauer von der Amplitude abhängt.
# [[Fehlerbewertung]]: Beurteile, wie Reaktionszeit, Federmasse, Reibung und zu große Auslenkung ein Messergebnis beeinflussen können.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du den Aufbau eines Federpendels fachsprachlich beschreiben, Kräfte richtig einzeichnen und das Hookesche Gesetz anwenden können. Du solltest <math>T</math>, <math>f</math> und <math>\omega</math> unterscheiden, die Formel <math>T=2\pi\sqrt{m/D}</math> verwenden und qualitative Änderungen von Masse oder Federkonstante vorhersagen können. Wichtig sind außerdem die Deutung von Zeit-Auslenkungs-Diagrammen, die Erklärung der Energieumwandlung, die Planung einer Messung und eine begründete Bewertung realer Abweichungen durch Dämpfung oder Modellgrenzen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Federpendel </iframe>

<br>

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Federpendel]]'''
# [[Mechanische Schwingung]]
# [[Harmonische Schwingung]]
# [[Hookesches Gesetz]]
# [[Federkonstante]]
# [[Periodendauer]]
# [[Frequenz]]
# [[Kreisfrequenz]]
# [[Energieerhaltung]]
# [[Dämpfung]]
# [[Resonanz]]
|}

[[Kategorie:Physik]]
[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Schwingungen]]
[[Kategorie:Klasse 9-10]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]
[[Kategorie:Schule]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Federpendel - Physik - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt