Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-13T21:26:43Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

Neue Seite

{{T}}

{{BR}}
= Extrempunkte - Hochpunkte und Tiefpunkte =

[[Datei:Kurvendiskussion.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Einleitung =

Ein [[Extrempunkt]] ist ein besonders hoher oder besonders tiefer Punkt eines [[Funktionsgraph|Funktionsgraphen]]. Ein hoher Punkt heißt [[Hochpunkt]], ein tiefer Punkt heißt [[Tiefpunkt]]. Extrempunkte sind wichtig in der [[Kurvendiskussion]] und bei [[Extremwertproblem|Optimierungsaufgaben]].

Du lernst hier:
# [[Extrempunkt|Extrempunkte]] am Graphen zu erkennen.
# [[Ableitung|Ableitungen]] zum Berechnen zu nutzen.
# [[Hochpunkt|Hochpunkte]] und [[Tiefpunkt|Tiefpunkte]] zu unterscheiden.
# Ergebnisse als Punkt <math>E(x_E|y_E)</math> anzugeben.

{{BR}}
= Grundbegriffe =

'''Extremstelle''': die x-Koordinate <math>x_E</math>.

'''Extremwert''': der Funktionswert <math>f(x_E)</math>.

'''Extrempunkt''': der ganze Punkt <math>E(x_E|f(x_E))</math>.

[[Datei:Extrema example de2.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Hochpunkt und Tiefpunkt ==

Bei einem [[Hochpunkt]] ist der Funktionswert in der Nähe besonders groß. Bei einem [[Tiefpunkt]] ist er in der Nähe besonders klein.

[[Datei:Criteria lokal maximum de.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Extrempunkte berechnen =

Für eine zweimal ableitbare Funktion gehst Du meist in vier Schritten vor:

# [[Erste Ableitung]] bilden: Berechne <math>f'(x)</math>.
# [[Kritischer Punkt|Kandidaten]] finden: Löse <math>f'(x)=0</math>.
# Art prüfen: Bei <math>f''(x_E)<0</math> liegt ein Hochpunkt vor. Bei <math>f''(x_E)>0</math> liegt ein Tiefpunkt vor.
# y-Koordinate berechnen: Setze <math>x_E</math> in <math>f(x)</math> ein.

'''Wichtig:''' <math>f'(x_E)=0</math> allein beweist noch keinen Extrempunkt. Auch ein [[Sattelpunkt]] kann eine waagerechte Tangente haben.

[[Datei:X Cubed.svg|420px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Beispiel ==

Gegeben ist <math>f(x)=x^3-3x</math>.

<math>f'(x)=3x^2-3</math> und <math>f''(x)=6x</math>.

Aus <math>f'(x)=0</math> folgt <math>x=-1</math> oder <math>x=1</math>.

Bei <math>x=-1</math> gilt <math>f''(-1)=-6</math>. Also liegt der Hochpunkt <math>H(-1|2)</math> vor.

Bei <math>x=1</math> gilt <math>f''(1)=6</math>. Also liegt der Tiefpunkt <math>T(1|-2)</math> vor.

[[Datei:Function x^3-3x.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung ==

Auch der Wechsel des Vorzeichens von <math>f'(x)</math> hilft:

# Von plus zu minus: [[Hochpunkt]].
# Von minus zu plus: [[Tiefpunkt]].
# Kein Wechsel: meist kein Extrempunkt.

[[Datei:Function sin x with extrema.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Video und Aufgaben =

Sieh Dir das Video an. Bearbeite danach die Aufgaben.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=XzUYwFMXB40 |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Rechenschritte]]: Notiere die Schritte zur Berechnung eines Extrempunkts in der richtigen Reihenfolge.
# [[Ableitung]]: Schreibe auf, welche Gleichung im Video gelöst wird, um mögliche Extremstellen zu finden.
# [[Hochpunkt und Tiefpunkt]]: Erkläre mit einem Satz, wie die zweite Ableitung zur Unterscheidung genutzt wird.
# [[Beispielrechnung]]: Rechne ein Beispiel aus dem Video ohne Hilfe noch einmal.
# [[Fehlerkontrolle]]: Nenne einen Rechenfehler, der bei Extrempunkten leicht passieren kann.
# [[Merksatz]]: Formuliere einen kurzen Merksatz für Hochpunkt und Tiefpunkt.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was ist ein Extrempunkt?'''
(Ein besonders hoher oder tiefer Punkt eines Funktionsgraphen)
(!Eine Nullstelle jeder Funktion)
(!Ein Punkt auf der y-Achse)
(!Ein Punkt mit der Steigung eins)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Gleichung liefert mögliche Extremstellen?'''
(Die erste Ableitung ist null)
(!Die Funktion ist null)
(!Die zweite Ableitung ist null)
(!Die erste Ableitung ist eins)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was zeigt eine negative zweite Ableitung an der Extremstelle an?'''
(Einen Hochpunkt)
(!Einen Tiefpunkt)
(!Eine Nullstelle)
(!Einen Schnittpunkt mit der y-Achse)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was zeigt eine positive zweite Ableitung an der Extremstelle an?'''
(Einen Tiefpunkt)
(!Einen Hochpunkt)
(!Einen Sattelpunkt)
(!Eine Polstelle)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie erhältst Du die y-Koordinate eines Extrempunkts?'''
(Durch Einsetzen der Extremstelle in die Funktion)
(!Durch Einsetzen der Extremstelle in die erste Ableitung)
(!Durch Nullsetzen der zweiten Ableitung)
(!Durch Ablesen der Steigung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist die Extremstelle?'''
(Die x-Koordinate des Extrempunkts)
(!Die y-Koordinate des Extrempunkts)
(!Die Steigung der Tangente)
(!Die zweite Ableitung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist der Extremwert?'''
(Der Funktionswert an der Extremstelle)
(!Die Nullstelle der Ableitung)
(!Die x-Koordinate des Hochpunkts)
(!Die Steigung neben dem Punkt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung gehört zu einem Hochpunkt?'''
(Von plus zu minus)
(!Von minus zu plus)
(!Von null zu plus)
(!Kein Vorzeichenwechsel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung gehört zu einem Tiefpunkt?'''
(Von minus zu plus)
(!Von plus zu minus)
(!Von null zu minus)
(!Kein Vorzeichenwechsel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum reicht eine waagerechte Tangente allein nicht aus?'''
(Weil auch ein Sattelpunkt eine waagerechte Tangente haben kann)
(!Weil jede Nullstelle ein Hochpunkt ist)
(!Weil die Funktion dann nicht definiert ist)
(!Weil die zweite Ableitung immer null ist)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Hochpunkt || lokales Maximum
|-
| Tiefpunkt || lokales Minimum
|-
| Extremstelle || x-Koordinate
|-
| Extremwert || y-Koordinate
|-
| Notwendige Bedingung || erste Ableitung gleich null
|-
| Zweite Ableitung || Art des Extremums
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Erste Ableitung bilden'''
| Steigung untersuchen
|-
| '''Erste Ableitung nullsetzen'''
| mögliche Extremstellen finden
|-
| '''Zweite Ableitung einsetzen'''
| Hochpunkt oder Tiefpunkt prüfen
|-
| '''Extremstelle einsetzen'''
| Extremwert berechnen
|-
| '''Koordinaten angeben'''
| Extrempunkt vollständig notieren

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Ableitung || Welche Funktion beschreibt die Steigung?
|-
| Hochpunkt || Wie heißt ein lokales Maximum als Punkt?
|-
| Tiefpunkt || Wie heißt ein lokales Minimum als Punkt?
|-
| Extremstelle || Wie heißt die x-Koordinate eines Extrempunkts?
|-
| Sattelpunkt || Welcher Punkt kann trotz waagerechter Tangente kein Extrempunkt sein?
|-
| Nullstelle || Was sucht man bei der ersten Ableitung?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Extrempunkte+Hochpunkte+Tiefpunkte </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein besonders hoher oder tiefer Punkt heißt { Extrempunkt }. Die x-Koordinate heißt { Extremstelle }. Der zugehörige Funktionswert heißt { Extremwert }. Für mögliche Extremstellen setzt man die erste Ableitung gleich { null }. Ist die zweite Ableitung negativ, liegt ein { Hochpunkt } vor. Ist die zweite Ableitung positiv, liegt ein { Tiefpunkt } vor. Die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen in die ursprüngliche { Funktion }. Eine Stelle mit waagerechter Tangente kann auch ein { Sattelpunkt } sein.
</quiz>

<br>

[[Datei:Function x^2 for -1 le x le 2.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Graph lesen]]: Markiere in einem gegebenen Graphen alle Hochpunkte und Tiefpunkte.
# [[Begriffe erklären]]: Erkläre Extremstelle, Extremwert und Extrempunkt mit eigenen Worten.
# [[Skizze]]: Zeichne einen Graphen mit einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt.
# [[Video-Merkkarte]]: Gestalte aus dem Video eine kleine Merkkarte mit vier Rechenschritten.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Berechnung]]: Bestimme die Extrempunkte von <math>f(x)=x^3-3x</math>.
# [[Parabel]]: Bestimme den Tiefpunkt von <math>f(x)=x^2-4x+1</math>.
# [[Fehleranalyse]]: Prüfe die Aussage „Aus <math>f'(x)=0</math> folgt immer ein Extrempunkt“ und begründe.
# [[Erklärvideo]]: Nimm ein kurzes Erklärvideo zur zweiten Ableitung auf.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Parameter]]: Untersuche <math>f_a(x)=x^3-3ax</math> für <math>a>0</math> auf Extrempunkte.
# [[Optimierung]]: Entwickle eine Sachaufgabe, in der eine Fläche maximiert wird, und löse sie.
# [[Vergleich]]: Vergleiche die Prüfung mit der zweiten Ableitung und den Vorzeichenwechsel von <math>f'</math>.
# [[Digitales Werkzeug]]: Kontrolliere eine eigene Rechnung mit einem [[Computer-Algebra-System]] und bewerte das Ergebnis.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Transfer auf einen Graphen]]: Ein Graph steigt, fällt und steigt wieder. Erkläre, wo ein Tiefpunkt liegen muss und wie sich das Vorzeichen von <math>f'</math> ändert.
# [[Begründung]]: Zeige am Beispiel <math>f(x)=x^3</math>, warum <math>f'(0)=0</math> nicht für einen Extrempunkt reicht.
# [[Modellierung]]: Die Höhe eines Balls wird durch eine Funktion beschrieben. Erkläre, welche Bedeutung ein Hochpunkt in diesem Modell hat.
# [[Methodenwahl]]: Entscheide bei einer gegebenen Funktion, ob die zweite Ableitung oder ein Vorzeichenwechseltest geeigneter ist, und begründe.
# [[Fehlerkorrektur]]: Jemand berechnet nur die Extremstellen. Ergänze die fehlenden Schritte, damit vollständige Extrempunkte entstehen.
# [[Vergleich lokaler Werte]]: Erkläre den Unterschied zwischen einem lokalen und einem globalen Maximum an einem selbst gezeichneten Beispiel.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du:
# [[Begriffe]] sicher unterscheiden.
# [[Ableitung|erste und zweite Ableitung]] korrekt bilden.
# [[Extremstelle|Extremstellen]] berechnen und prüfen.
# [[Extrempunkt|Punktkoordinaten]] vollständig angeben.
# [[Rechenweg]] verständlich begründen.
# [[Anwendung]] auf eine neue Funktion oder Sachaufgabe übertragen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Extremwert </iframe>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Extrempunkte - Hochpunkte und Tiefpunkte]]'''
# [[Extremwert]]
# [[Extremstelle]]
# [[Hochpunkt]]
# [[Tiefpunkt]]
# [[Ableitung]]
# [[Kurvendiskussion]]
# [[Sattelpunkt]]
# [[Extremwertproblem]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Differentialrechnung]]
[[Kategorie:Kurvendiskussion]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]
[[Kategorie:Klasse 13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Extrempunkte - Hochpunkte und Tiefpunkte - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt