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2026-07-13T21:26:40Z

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{{T}}

{{BR}}
= Exponentielles Wachstum - Grundlagen =

{{BR}}
= Einleitung =

Beim '''exponentiellen Wachstum''' wird eine Größe in gleichen Zeitabständen immer mit demselben [[Wachstumsfaktor]] multipliziert. Der Zuwachs wird deshalb immer größer. Du begegnest diesem Modell zum Beispiel beim [[Zinseszins]], bei [[Bakterien]] oder bei der Verbreitung von Informationen.

[[Datei:Exponential-Growth.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Grundidee und Formel ==

Die Grundformel lautet:

<math>N(t)=N_0\cdot q^t</math>

# '''<math>N_0</math>''': [[Anfangswert]]
# '''<math>q</math>''': Wachstumsfaktor mit <math>q>1</math>
# '''<math>t</math>''': Anzahl der Zeitschritte
# '''<math>N(t)</math>''': Wert nach <math>t</math> Zeitschritten

Bei einer Zunahme um <math>p</math> Prozent gilt: <math>q=1+\frac{p}{100}</math>. Bei 20 Prozent Wachstum ist also <math>q=1{,}2</math>.

[[Datei:Exponential functions.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Beispiel ==

Eine Kultur startet mit 100 Bakterien und verdoppelt sich in jedem Zeitschritt. Dann ist <math>N_0=100</math> und <math>q=2</math>.

{| class="wikitable" style="margin:auto"
! Zeit <math>t</math>
! Anzahl <math>N(t)</math>
|-
| 0 || 100
|-
| 1 || 200
|-
| 2 || 400
|-
| 3 || 800
|}

[[Datei:Exponential.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernvideo ==

Das Video erklärt die Grundlagen des exponentiellen Wachstums.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=UQYt8HyY37Q |500|center}}

{{BR}}
=== Aufgaben zum Video ===

# [[Begriffe sammeln]]: Notiere drei Fachbegriffe aus dem Video und erkläre sie mit eigenen Worten.
# [[Formel erklären]]: Pausiere bei einer Formel und beschreibe die Bedeutung ihrer Zeichen.
# [[Beispiel nachrechnen]]: Rechne ein Beispiel aus dem Video selbst nach.
# [[Wachstumsfaktor finden]]: Notiere, wie aus einer Prozentangabe ein Wachstumsfaktor wird.
# [[Darstellungen vergleichen]]: Erkläre, wie Tabelle, Term und Graph zusammenpassen.
# [[Frage formulieren]]: Schreibe eine Frage, die nach dem Video noch offen ist.

{{BR}}
== Linear oder exponentiell? ==

Beim [[Lineares Wachstum|linearen Wachstum]] kommt immer derselbe Betrag hinzu. Beim exponentiellen Wachstum wird immer mit demselben Faktor multipliziert.

[[Datei:Graph of linear vs. exponential growth.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Grenzen des Modells ==

Exponentielles Wachstum kann nicht immer unbegrenzt weitergehen. In der Wirklichkeit sind Platz, Nahrung, Geld oder andere Ressourcen oft begrenzt. Dann passen andere [[Wachstumsmodell|Wachstumsmodelle]] besser.

[[Datei:Exponentielles Wachstum kurzerklärt von Tagesschau.webm|500px|center]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Formel beschreibt exponentielles Wachstum?'''
(N von t gleich N null mal q hoch t)
(!N von t gleich N null plus q mal t)
(!N von t gleich q geteilt durch t)
(!N von t gleich N null minus t)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Bedingung gilt beim exponentiellen Wachstum für den Wachstumsfaktor?'''
(q ist größer als 1)
(!q ist gleich 0)
(!q ist kleiner als 0)
(!q ist immer gleich t)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wofür steht der Anfangswert?'''
(Für den Wert zu Beginn)
(!Für die Anzahl der Achsen)
(!Für die Einheit der Zeit)
(!Für die Steigung einer Geraden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Wachstumsfaktor gehört zu 20 Prozent Wachstum?'''
(1,2)
(!0,2)
(!2,0)
(!20)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Eine Menge startet bei 100 und verdoppelt sich dreimal. Wie groß ist sie dann?'''
(800)
(!300)
(!600)
(!1000)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bleibt bei exponentiellem Wachstum konstant?'''
(Der prozentuale Zuwachs)
(!Der absolute Zuwachs)
(!Der Endwert)
(!Die Zeit)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie sieht der Graph bei exponentiellem Wachstum meist aus?'''
(Er steigt immer steiler)
(!Er ist eine waagerechte Gerade)
(!Er fällt immer gleichmäßig)
(!Er bildet einen Kreis)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet Verdopplungszeit?'''
(Die Zeit bis zur Verdopplung eines Wertes)
(!Die Zeit bis zum Wert null)
(!Die Hälfte der gesamten Messzeit)
(!Die Zeit bis zur ersten Messung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Worin unterscheidet sich lineares von exponentiellem Wachstum?'''
(Linear bedeutet gleicher Betrag, exponentiell gleicher Faktor)
(!Linear bedeutet gleicher Faktor, exponentiell gleicher Betrag)
(!Beide haben immer denselben Graphen)
(!Beide enden immer bei null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist exponentielles Wachstum in der Wirklichkeit oft begrenzt?'''
(Weil Ressourcen begrenzt sein können)
(!Weil Zahlen nicht größer als tausend werden)
(!Weil jeder Graph eine Gerade sein muss)
(!Weil Prozentwerte immer null sind)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Anfangswert || Wert zu Beginn
|-
| Wachstumsfaktor || Multiplikation je Zeitschritt
|-
| Verdopplungszeit || Zeit bis zum doppelten Wert
|-
| Exponentialfunktion || Funktion mit variabler Hochzahl
|-
| Prozentzuwachs || Gleichbleibende relative Änderung
|-
| Ressourcenlimit || Grenze eines realen Modells
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Anfangswert'''
| Wert bei Zeit null
|-
| '''Wachstumsfaktor'''
| Faktor pro Zeitschritt
|-
| '''Exponent'''
| Anzahl der Zeitschritte
|-
| '''Verdopplung'''
| Wachstum auf den doppelten Wert
|-
| '''Prozentzuwachs'''
| Gleichbleibende relative Zunahme

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Anfangswert || Wie heißt der Wert zu Beginn?
|-
| Wachstumsfaktor || Welche Größe wird in jedem Zeitschritt multipliziert?
|-
| Exponent || Wie heißt die Hochzahl in einer Potenz?
|-
| Verdopplung || Wie heißt das Anwachsen auf den doppelten Wert?
|-
| Prozent || In welcher Einheit wird eine relative Änderung oft angegeben?
|-
| Kurve || Wie nennt man die graphische Linie einer Funktion?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Exponentielles+Wachstum+Grundlagen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Beim exponentiellen Wachstum wird eine Größe immer mit demselben { Faktor } multipliziert. Der Wert zu Beginn heißt { Anfangswert }. Bei einer Zunahme um 20 Prozent ist der Wachstumsfaktor { 1,2 }. Der variable Wert in der Hochzahl heißt { Exponent }. Der Graph steigt bei Wachstum meist immer { steiler }. Reale Wachstumsprozesse werden oft durch begrenzte { Ressourcen } gebremst.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Wertetabelle]]: Erstelle für <math>N(t)=5\cdot 2^t</math> eine Tabelle von <math>t=0</math> bis <math>t=5</math>.
# [[Wachstumsfaktor]]: Bestimme den Faktor für 5 Prozent, 25 Prozent und 80 Prozent Wachstum.
# [[Video-Skizze]]: Zeichne ein Bild zu einer Erklärung aus dem Lernvideo.
# [[Alltagsbeispiel]]: Finde ein mögliches Beispiel für exponentielles Wachstum und begründe Deine Wahl.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Graph zeichnen]]: Zeichne den Graphen von <math>N(t)=50\cdot 1{,}5^t</math>.
# [[Video-Erklärung]]: Erstelle eine einminütige Sprachnachricht mit den wichtigsten Aussagen des Videos.
# [[Linear und exponentiell]]: Vergleiche zwei selbst gewählte Wertetabellen.
# [[Fehleranalyse]]: Erkläre, warum <math>N(t)=100+1{,}2t</math> kein exponentielles Wachstum beschreibt.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Modellieren]]: Entwickle zu einer realen Situation eine Exponentialfunktion und nenne Deine Annahmen.
# [[Verdopplungszeit]]: Untersuche, wie der Wachstumsfaktor die Verdopplungszeit beeinflusst.
# [[Modellgrenze]]: Zeige an einem Beispiel, wann exponentielles Wachstum unrealistisch wird.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Video mit Formel, Tabelle, Graph und Beispiel.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modellwahl]]: Entscheide bei drei Sachsituationen, ob lineares oder exponentielles Wachstum passt, und begründe.
# [[Parameterwirkung]]: Erkläre, wie sich eine Änderung von <math>N_0</math> oder <math>q</math> auf den Graphen auswirkt.
# [[Darstellungswechsel]]: Überführe eine Wertetabelle in einen Funktionsterm und einen Graphen.
# [[Prognose prüfen]]: Beurteile, ob eine langfristige exponentielle Vorhersage in einer realen Situation sinnvoll ist.
# [[Fehler korrigieren]]: Prüfe eine falsche Rechnung zum Wachstumsfaktor, verbessere sie und erkläre den Fehler.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

# [[Exponentielles Wachstum erkennen]]
# [[Anfangswert]] und [[Wachstumsfaktor]] bestimmen
# eine [[Exponentialfunktion]] aufstellen
# Werte berechnen und einen [[Funktionsgraph|Graphen]] deuten
# lineares und exponentielles Wachstum unterscheiden
# Grenzen eines mathematischen Modells erklären

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Exponentielles_Wachstum </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Exponentielles Wachstum - Grundlagen]]'''
# [[Exponentielles Wachstum]]
# [[Exponentialfunktion]]
# [[Wachstumsfaktor]]
# [[Prozentrechnung]]
# [[Verdopplungszeit]]
# [[Logarithmus]]
# [[Wachstumsmodell]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 9-10]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]
[[Kategorie:Exponentielles Wachstum]]
[[Kategorie:Exponentialfunktion]]
[[Kategorie:Wachstumsmodelle]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Exponentielles Wachstum - Grundlagen - Versionsgeschichte

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