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2026-07-13T21:27:14Z

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{{T}}

{{BR}}
= Exponentialfunktion und Logarithmus - Grundlagen =

'''Fach:''' [[Mathematik]]
'''Klassenstufe:''' [[Klasse 10]] bis [[Klasse 13]]

{{BR}}
= Einleitung =

[[Exponentialfunktion|Exponentialfunktionen]] beschreiben schnelles Wachstum oder schnellen Zerfall. Der [[Logarithmus]] hilft Dir, den unbekannten Exponenten zu finden. Beide Funktionen sind [[Umkehrfunktion|Umkehrfunktionen]].

[[Datei:Exponential function and logarithm.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du:
# [[Exponentialfunktion]]en erkennen und einfache Werte berechnen.
# [[Exponentielles Wachstum]] und [[Exponentieller Zerfall|exponentiellen Zerfall]] unterscheiden.
# einfache [[Logarithmus|Logarithmen]] berechnen.
# Exponentialgleichungen in Logarithmusgleichungen umformen.
# den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus erklären.

{{BR}}
= Exponentialfunktion =

Eine einfache Exponentialfunktion lautet:

<math>f(x)=a^x</math>

Dabei ist <math>a</math> die '''Basis''' und <math>x</math> der '''Exponent'''. Es gilt <math>a>0</math> und <math>a\neq 1</math>.

# Bei <math>a>1</math> liegt [[Exponentielles Wachstum]] vor.
# Bei <math>0<a<1</math> liegt [[Exponentieller Zerfall]] vor.
# Jede Funktion <math>f(x)=a^x</math> geht durch den Punkt <math>(0|1)</math>.

'''Beispiel:''' <math>2^3=8</math>. Die Basis ist 2, der Exponent ist 3 und der Funktionswert ist 8.

[[Datei:Exponential function.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Wachstum mit Anfangswert ==

Viele Anwendungen haben die Form:

<math>f(x)=c\cdot a^x</math>

<math>c</math> ist der [[Anfangswert]]. <math>a</math> ist der [[Wachstumsfaktor]].

'''Beispiel:''' <math>f(x)=100\cdot 1{,}05^x</math> beschreibt einen Anfangswert von 100 und ein Wachstum von 5 Prozent pro Schritt.

[[Datei:Exponential decay.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Logarithmus =

Der Logarithmus beantwortet die Frage:

'''Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten?'''

<math>a^x=b</math> bedeutet dasselbe wie <math>\log_a(b)=x</math>.

'''Beispiel:'''

<math>2^3=8</math>

Daher gilt:

<math>\log_2(8)=3</math>

Wichtig ist: Das Argument eines Logarithmus muss positiv sein.

# <math>\lg(x)</math> ist der Logarithmus zur Basis 10.
# <math>\ln(x)</math> ist der natürliche Logarithmus zur Basis <math>e</math>.
# <math>e\approx 2{,}718</math> heißt [[Eulersche Zahl]].

[[Datei:Logarithm plots.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Einfache Logarithmusregeln ==

Für positive Zahlen <math>u</math> und <math>v</math> gilt:

# <math>\log_a(u\cdot v)=\log_a(u)+\log_a(v)</math>
# <math>\log_a\left(\frac{u}{v}\right)=\log_a(u)-\log_a(v)</math>
# <math>\log_a(u^r)=r\cdot\log_a(u)</math>

{{BR}}
= Zusammenhang beider Funktionen =

Exponentialfunktion und Logarithmus machen einander rückgängig:

<math>\log_a(a^x)=x</math>

<math>a^{\log_a(x)}=x</math>

Ihre Graphen sind Spiegelbilder an der Geraden <math>y=x</math>.

[[Datei:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Video =

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Stoppe es bei Beispielen und rechne selbst weiter.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=e7d2iUOxAbo |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Videonotiz]]: Schreibe die Erklärung des Begriffs Exponentialfunktion in einem Satz auf.
# [[Basis und Exponent]]: Notiere aus einem Beispiel im Video die Basis, den Exponenten und das Ergebnis.
# [[Umformung]]: Schreibe eine Gleichung aus dem Video zuerst als Potenz und dann als Logarithmus.
# [[Leitfrage]]: Erkläre mit eigenen Worten, welche Frage ein Logarithmus beantwortet.
# [[Rechenweg]]: Stoppe das Video vor einer Lösung, rechne selbst und vergleiche anschließend.
# [[Eigenes Beispiel]]: Erfinde eine ähnliche Aufgabe wie im Video und löse sie.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}
'''Welche Funktion ist eine Exponentialfunktion?'''
(f von x gleich zwei hoch x)
(!f von x gleich zwei mal x)
(!f von x gleich x Quadrat)
(!f von x gleich x plus zwei)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was ist bei drei hoch x die Basis?'''
(3)
(!x)
(!1)
(!0)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welcher Wert gilt für fünf hoch null?'''
(1)
(!0)
(!5)
(!25)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wann beschreibt a hoch x exponentielles Wachstum?'''
(a ist größer als eins)
(!a ist gleich eins)
(!a ist gleich null)
(!a ist kleiner als null)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wann beschreibt a hoch x exponentiellen Zerfall?'''
(a liegt zwischen null und eins)
(!a ist größer als eins)
(!a ist gleich eins)
(!a ist kleiner als null)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was ist der Logarithmus von acht zur Basis zwei?'''
(3)
(!2)
(!4)
(!8)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Potenzgleichung gehört zum Logarithmus von neun zur Basis drei gleich zwei?'''
(drei hoch zwei gleich neun)
(!neun hoch zwei gleich drei)
(!zwei hoch drei gleich neun)
(!drei hoch neun gleich zwei)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Zahl darf nicht als Argument eines reellen Logarithmus verwendet werden?'''
(0)
(!1)
(!2)
(!10)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von zwei hoch x?'''
(Logarithmus von x zur Basis zwei)
(!zwei mal x)
(!x Quadrat)
(!eins durch x)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was bedeutet ln von x?'''
(Logarithmus zur Basis e)
(!Logarithmus zur Basis zwei)
(!Logarithmus zur Basis zehn)
(!Quadrat von x)
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Exponentialfunktion || Variable im Exponenten
|-
| Logarithmus || Gesuchter Exponent
|-
| Basis || Feste Zahl einer Potenz
|-
| Wachstumsfaktor || Faktor pro Schritt
|-
| Anfangswert || Wert bei Schritt null
|-
| Umkehrfunktion || Macht eine Funktion rückgängig
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Exponentielles Wachstum'''
| Basis größer als eins
|-
| '''Exponentieller Zerfall'''
| Basis zwischen null und eins
|-
| '''Logarithmus'''
| Bestimmt einen gesuchten Exponenten
|-
| '''Eulersche Zahl'''
| Basis des natürlichen Logarithmus
|-
| '''Anfangswert'''
| Funktionswert zu Beginn
|-
| '''Spiegelachse'''
| Gerade zwischen Umkehrfunktionen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Exponent || Welche Größe steht bei einer Exponentialfunktion oben an der Potenz?
|-
| Basis || Wie heißt die feste Zahl unter dem Exponenten?
|-
| Logarithmus || Welche Rechenart bestimmt einen unbekannten Exponenten?
|-
| Wachstum || Wie heißt eine exponentielle Zunahme?
|-
| Zerfall || Wie heißt eine exponentielle Abnahme?
|-
| Umkehrfunktion || Wie heißt eine Funktion, die eine andere Funktion rückgängig macht?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Exponentialfunktion+und+Logarithmus+Grundlagen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im { Exponenten }. Die feste Zahl der Potenz heißt { Basis }. Ist die Basis größer als eins, liegt exponentielles { Wachstum } vor. Eine Basis zwischen null und eins beschreibt exponentiellen { Zerfall }. Der Logarithmus bestimmt einen unbekannten { Exponenten }. Aus <math>a^x=b</math> folgt <math>\log_a(b)=</math> { x }. Exponentialfunktion und Logarithmus sind { Umkehrfunktionen }. Ihre Graphen sind an der Geraden <math>y=</math> { x } gespiegelt.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Wertetabelle]]: Erstelle für <math>f(x)=2^x</math> eine Wertetabelle für fünf ganzzahlige x-Werte.
# [[Graph zeichnen]]: Zeichne den Graphen von <math>f(x)=2^x</math> in ein Koordinatensystem.
# [[Begriffskarte]]: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Basis, Exponent und Funktionswert.
# [[Alltagsbeispiel]]: Finde ein Beispiel für Wachstum oder Zerfall aus Deinem Alltag.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Funktionsvergleich]]: Vergleiche die Graphen von <math>2^x</math> und <math>\left(\frac{1}{2}\right)^x</math>.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Video, in dem Du <math>\log_2(8)=3</math> erklärst.
# [[Wachstumsmodell]]: Entwickle ein einfaches Modell für ein Guthaben, das jährlich um 4 Prozent wächst.
# [[Interview]]: Frage eine Person, wo exponentielle Prozesse in ihrem Beruf vorkommen.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Umkehrfunktionen]]: Zeichne <math>2^x</math>, <math>\log_2(x)</math> und <math>y=x</math> in dasselbe Koordinatensystem.
# [[Datenanalyse]]: Suche eine kleine Datenreihe und prüfe, ob ein exponentielles Modell sinnvoll ist.
# [[Halbwertszeit]]: Entwickle eine eigene Aufgabe zu einer Halbwertszeit und löse sie.
# [[Modellkritik]]: Erkläre, warum exponentielles Wachstum in der Wirklichkeit meist nicht unbegrenzt anhält.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modell auswählen]]: Eine Größe steigt jedes Jahr um denselben Prozentsatz. Begründe, warum ein exponentielles und kein lineares Modell passt.
# [[Fehler erklären]]: Jemand behauptet <math>\log_2(8)=4</math>. Widerlege die Aussage mit einer passenden Potenz.
# [[Graphen deuten]]: Erkläre, woran Du am Graphen Wachstum, Zerfall und den Anfangswert erkennst.
# [[Umkehrung anwenden]]: Forme <math>5^x=125</math> in eine Logarithmusgleichung um und bestimme <math>x</math>.
# [[Transfer]]: Ein Bestand halbiert sich in jedem Schritt. Stelle eine passende Funktion auf und beschreibe ihre langfristige Entwicklung.
# [[Vergleich]]: Vergleiche <math>100\cdot1{,}03^x</math> mit <math>100+3x</math> und erkläre den Unterschied der Modelle.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:
# die Begriffe [[Basis]], [[Exponent]], [[Anfangswert]] und [[Wachstumsfaktor]] erklären.
# eine Exponentialfunktion erkennen und ihren Graphen beschreiben.
# Wachstum und Zerfall unterscheiden.
# einfache Logarithmen ohne Taschenrechner berechnen.
# zwischen Potenzform und Logarithmusform wechseln.
# den Zusammenhang von Exponentialfunktion und Logarithmus erklären.
# ein einfaches Sachproblem mit einer Exponentialfunktion modellieren.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion </iframe>
<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Logarithmus </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Exponentialfunktion und Logarithmus - Grundlagen]]'''
# [[Exponentialfunktion]]
# [[Exponentielles Wachstum]]
# [[Exponentieller Zerfall]]
# [[Logarithmus]]
# [[Natürlicher Logarithmus]]
# [[Eulersche Zahl]]
# [[Umkehrfunktion]]
# [[Exponentialgleichung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Exponentialfunktion]]
[[Kategorie:Logarithmus]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]
[[Kategorie:Klasse 13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Exponentialfunktion und Logarithmus - Grundlagen - Versionsgeschichte

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