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2026-07-13T21:27:07Z

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{{T}}

{{BR}}
= Erwartungswert - Stochastik =

'''Fach:''' [[Mathematik]]
'''Klassenstufe:''' 9–13
'''Thema:''' [[Erwartungswert]], [[Stochastik]], [[Zufallsgröße]]

{{BR}}
= Einleitung =

Der '''[[Erwartungswert]]''' beschreibt den durchschnittlichen Wert, den Du bei sehr vielen Wiederholungen eines [[Zufallsexperiment|Zufallsexperiments]] erwarten kannst. Er ist ein gewichteter [[Mittelwert]]. Große [[Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeiten]] zählen stärker als kleine.

[[Datei:Coin Toss (3635981474).jpg|350px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Grundidee ==

Eine [[Zufallsgröße]] ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu. Diese möglichen Zahlen heißen [[Ausprägung|Ausprägungen]]. Für den Erwartungswert multiplizierst Du jede Ausprägung mit ihrer Wahrscheinlichkeit. Danach addierst Du alle Produkte.

<math>E(X)=x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+\ldots+x_n\cdot p_n</math>

Dabei gilt:

<math>p_1+p_2+\ldots+p_n=1</math>

[[Datei:Fair dice probability distribution.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Beispiel mit einem Würfel ==

Bei einem fairen Würfel sind die Zahlen 1 bis 6 gleich wahrscheinlich.

<math>E(X)=1\cdot\frac16+2\cdot\frac16+3\cdot\frac16+4\cdot\frac16+5\cdot\frac16+6\cdot\frac16=3{,}5</math>

Die Zahl 3,5 kann bei einem einzelnen Wurf nicht fallen. Sie beschreibt den langfristigen Durchschnitt.

[[Datei:Dice Distribution (bar).svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Erwartungswert bei Spielen ==

Bei einem [[Glücksspiel]] ist die Zufallsgröße oft der Gewinn oder Verlust. Ein Spiel heißt [[Faires Spiel|fair]], wenn der erwartete Nettogewinn 0 ist.

<math>E(Gewinn)=E(Auszahlung)-Einsatz</math>

Ist der Erwartungswert negativ, verlierst Du langfristig im Durchschnitt Geld. Ist er positiv, gewinnst Du langfristig im Durchschnitt Geld.

{{BR}}
== Video: Erwartungswert ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=w3hc_B_GhYw |500|center}}

{{BR}}
=== Aufgaben zum Video ===

# [[Videoauftrag – Grundidee]]: Erkläre nach dem Video in einem Satz, was der Erwartungswert bedeutet.
# [[Videoauftrag – Rechenweg]]: Notiere die Rechenschritte aus dem Video in der richtigen Reihenfolge.
# [[Videoauftrag – Fachbegriffe]]: Schreibe die Begriffe Zufallsgröße, Ausprägung, Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert auf und erkläre sie kurz.
# [[Videoauftrag – Beispiel]]: Rechne das Beispiel aus dem Video selbst nach.
# [[Videoauftrag – Fehlercheck]]: Nenne einen typischen Fehler beim Berechnen des Erwartungswerts.
# [[Videoauftrag – Transfer]]: Erfinde ein ähnliches Zufallsexperiment und berechne seinen Erwartungswert.

{{BR}}
== Weitere Erklärvideos ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=h6oLhYTGCs0 |500|center}}

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=CiOXkkrakmo |500|center}}

{{BR}}
== Verteilungen sehen ==

Eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] zeigt, welche Werte möglich sind und wie wahrscheinlich sie sind. Beim wiederholten Münzwurf entstehen mehrere mögliche Anzahlen von Kopf.

[[Datei:Coin flip outcomes.png|500px|rahmenlos|center]]

Das [[Galtonbrett]] zeigt anschaulich, wie viele zufällige Entscheidungen zusammen eine typische Verteilung bilden können.

[[Datei:GaltonBoard.png|350px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}
'''Was beschreibt der Erwartungswert?'''
(Den langfristigen Durchschnitt einer Zufallsgröße)
(!Das sicherste Einzelergebnis)
(!Die größte mögliche Zahl)
(!Die Anzahl aller Versuche)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wie wird ein Erwartungswert berechnet?'''
(Ausprägungen mit ihren Wahrscheinlichkeiten multiplizieren und addieren)
(!Alle Ausprägungen nur addieren)
(!Die größte Ausprägung durch zwei teilen)
(!Alle Wahrscheinlichkeiten voneinander abziehen)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wie groß ist der Erwartungswert eines fairen sechsseitigen Würfels?'''
(3,5)
(!3)
(!6)
(!21)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was gilt für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten?'''
(Sie ist gleich 1)
(!Sie ist gleich 0)
(!Sie ist immer größer als 2)
(!Sie ist gleich der größten Ausprägung)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was bedeutet ein erwarteter Nettogewinn von 0?'''
(Das Spiel ist fair)
(!Das Spiel ist immer kostenlos)
(!Man gewinnt jeden Versuch)
(!Man verliert jeden Versuch)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Eine Zufallsgröße nimmt den Wert 0 mit Wahrscheinlichkeit 0,8 und den Wert 10 mit Wahrscheinlichkeit 0,2 an. Wie groß ist der Erwartungswert?'''
(2)
(!5)
(!8)
(!10)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Ein Spiel kostet 2 Euro. Mit Wahrscheinlichkeit 0,4 erhältst Du 5 Euro, sonst nichts. Wie groß ist der erwartete Nettogewinn?'''
(0 Euro)
(!2 Euro)
(!3 Euro)
(!5 Euro)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Kann ein Erwartungswert ein Wert sein, der bei einem einzelnen Versuch nie auftritt?'''
(Ja)
(!Nein)
(!Nur bei Münzwürfen)
(!Nur bei sicheren Ereignissen)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Art von Mittelwert ist der Erwartungswert?'''
(Ein gewichteter Mittelwert)
(!Ein geometrischer Mittelwert)
(!Ein ungewichteter Höchstwert)
(!Ein zufälliger Einzelwert)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was passiert mit dem Erwartungswert, wenn alle Ausprägungen verdoppelt werden?'''
(Er verdoppelt sich)
(!Er halbiert sich)
(!Er bleibt immer gleich)
(!Er wird automatisch null)
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Erwartungswert || langfristiger Mittelwert
|-
| Zufallsgröße || ordnet Ergebnissen Zahlen zu
|-
| Ausprägung || möglicher Wert
|-
| Wahrscheinlichkeit || Chance eines Werts
|-
| Faires Spiel || erwarteter Nettogewinn null
|-
| Einsatz || Kosten der Teilnahme
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">
{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Ausprägung'''
| möglicher Wert
|-
| '''Wahrscheinlichkeit'''
| Chance einer Ausprägung
|-
| '''Produkt'''
| gewichteter Beitrag
|-
| '''Summe'''
| Erwartungswert
|-
| '''Fairness'''
| erwarteter Nettogewinn null
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Mittelwert || Wie heißt die langfristig erwartete Durchschnittszahl?
|-
| Gewinn || Welche Größe wird bei einem Glücksspiel oft untersucht?
|-
| Einsatz || Was zahlst Du vor der Teilnahme an einem Spiel?
|-
| Wuerfel || Welcher Zufallsgegenstand zeigt Zahlen von eins bis sechs?
|-
| Chance || Welches Alltagswort passt zur Wahrscheinlichkeit?
|-
| Fairness || Welche Eigenschaft hat ein Spiel mit erwartetem Nettogewinn null?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Erwartungswert+Stochastik </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Der Erwartungswert ist ein gewichteter { Mittelwert }. Eine Zufallsgröße ordnet Ergebnissen { Zahlen } zu. Jede Ausprägung wird mit ihrer { Wahrscheinlichkeit } multipliziert. Danach werden alle Produkte { addiert }. Beim fairen Würfel ist der Erwartungswert { 3,5 }. Ein Spiel mit erwartetem Nettogewinn null heißt { fair }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Münzwurf]]: Wirf eine Münze 20-mal und vergleiche das Ergebnis mit dem erwarteten Wert.
# [[Würfeltabelle]]: Erstelle eine Tabelle für einen fairen Würfel und berechne den Erwartungswert.
# [[Video-Lernkarte]]: Gestalte eine Lernkarte mit Formel und Beispiel aus dem Video.
# [[Erwartungswert erklären]]: Erkläre den Begriff mit höchstens drei einfachen Sätzen.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Glücksrad]]: Entwirf ein Glücksrad mit vier Feldern und berechne den Erwartungswert.
# [[Spielvergleich]]: Vergleiche zwei Spiele und entscheide, welches langfristig günstiger ist.
# [[Simulation]]: Simuliere mindestens 100 Würfe mit einer Tabelle oder einem digitalen Werkzeug.
# [[Erklärplakat]]: Gestalte ein Plakat mit Ausprägungen, Wahrscheinlichkeiten und Rechnung.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Faires Spiel entwickeln]]: Erfinde ein Spiel mit mindestens drei Ausprägungen und Erwartungswert 0.
# [[Regeländerung]]: Verändere bei einem Spiel den Einsatz und untersuche die Wirkung auf den Erwartungswert.
# [[Risiko und Erwartungswert]]: Vergleiche zwei Spiele mit gleichem Erwartungswert, aber unterschiedlich hohen Gewinnen und Verlusten.
# [[Werbung prüfen]]: Untersuche eine Gewinnspielwerbung und bewerte sie mithilfe des Erwartungswerts.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =
# [[Spielentscheidung]]: Zwei Spiele haben unterschiedliche Einsätze und Gewinne. Berechne beide Erwartungswerte und begründe Deine Wahl.
# [[Erwartungswert und Einzelergebnis]]: Erkläre, warum der Wert 3,5 beim Würfel sinnvoll ist, obwohl er nie gewürfelt wird.
# [[Veränderte Wahrscheinlichkeit]]: Untersuche, wie sich der Erwartungswert ändert, wenn ein Hauptgewinn seltener wird.
# [[Gleicher Erwartungswert]]: Entwickle zwei verschiedene Zufallsgrößen mit demselben Erwartungswert und vergleiche ihr Risiko.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person addiert nur die möglichen Gewinne. Erkläre den Fehler und verbessere den Rechenweg.
# [[Transfer]]: Begründe, warum ein positiver Erwartungswert keinen sicheren Gewinn bei einem einzelnen Spiel garantiert.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =
# den [[Erwartungswert]] in eigenen Worten erklären,
# eine [[Zufallsgröße]] mit Ausprägungen und Wahrscheinlichkeiten angeben,
# eine vollständige Erwartungswertrechnung durchführen,
# ein [[Faires Spiel|faires Spiel]] erkennen oder entwickeln,
# Erwartungswert und Einzelergebnis unterscheiden,
# eine Entscheidung mithilfe des Erwartungswerts begründen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =
<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Erwartungswert - Stochastik]]'''
# [[Erwartungswert]]
# [[Stochastik]]
# [[Zufallsgröße]]
# [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
# [[Zufallsexperiment]]
# [[Faires Spiel]]
# [[Glücksspiel]]
# [[Wahrscheinlichkeit]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Klasse 9-10]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Erwartungswert - Stochastik - Versionsgeschichte

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