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2026-06-13T17:36:49Z

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{{T}}
[[Datei:Proportional variables.svg|500px|rahmenlos|zentriert]]

{{BR}}
= Einleitung =

Der '''[[Dreisatz]] bei [[proportionale Zuordnung|proportionalen Zuordnungen]]''' ist ein grundlegendes Verfahren der [[Mathematik]], mit dem Du aus drei bekannten Werten einen vierten unbekannten Wert berechnen kannst. Er begegnet Dir im Alltag ständig: beim Einkaufen, beim Umrechnen von Rezepten, beim Vergleichen von Preisen, beim Berechnen von Lohn, Strecke, Zeit, Verbrauch oder Materialbedarf.

Eine [[Zuordnung]] ist '''proportional''', wenn gilt: Wird die eine [[Größe]] verdoppelt, verdoppelt sich auch die andere. Wird sie halbiert, halbiert sich auch die andere. Kurz gesagt: '''Je mehr von der ersten Größe, desto mehr von der zweiten Größe – im gleichen Verhältnis.'''

Der Dreisatz hilft Dir, solche Zusammenhänge übersichtlich zu lösen. Besonders wichtig ist dabei, dass Du zuerst erkennst, ob wirklich eine proportionale Zuordnung vorliegt. Nur dann darfst Du den proportionalen Dreisatz anwenden.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=vhr1JSb--8s |500|center}}

{{BR}}
= Was ist eine proportionale Zuordnung? =

Eine '''[[proportionale Zuordnung]]''' beschreibt einen Zusammenhang zwischen zwei [[Größe|Größen]], bei dem der Quotient aus zugeordnetem Wert und Ausgangswert immer gleich bleibt. Dieser gleichbleibende Quotient heißt '''[[Proportionalitätsfaktor]]''' oder '''[[Proportionalitätskonstante]]'''.

Mit der [[MediaWiki-Extension Math]] kann man das so schreiben:

<math>y = k \cdot x</math>

Dabei ist <math>x</math> die Ausgangsgröße, <math>y</math> die zugeordnete Größe und <math>k</math> der [[Proportionalitätsfaktor]]. Der Proportionalitätsfaktor gibt an, wie viel von <math>y</math> auf eine Einheit von <math>x</math> kommt.

Wenn 3 Hefte 6 Euro kosten, dann kostet 1 Heft 2 Euro. Also ist der Proportionalitätsfaktor:

<math>k = \frac{6}{3} = 2</math>

Für jedes Heft werden also 2 Euro berechnet. Die Zuordnung lautet:

<math>y = 2 \cdot x</math>

{{BR}}
== Typische Merkmale proportionaler Zuordnungen ==

# [[Verdopplung]]: Wenn die erste Größe verdoppelt wird, verdoppelt sich auch die zweite Größe.
# [[Halbierung]]: Wenn die erste Größe halbiert wird, halbiert sich auch die zweite Größe.
# [[Ursprung]]: Der [[Graph]] einer proportionalen Zuordnung verläuft durch den [[Koordinatenursprung]].
# [[Gerade]]: Der Graph ist eine [[Gerade]].
# [[Quotient]]: Der Quotient <math>\frac{y}{x}</math> ist immer gleich, solange <math>x \neq 0</math> gilt.

{{BR}}
== Beispiele aus dem Alltag ==

{| class="wikitable"
! Situation
! Proportionale Zuordnung?
! Begründung
|-
| 1 kg Äpfel kostet 3 Euro, 2 kg kosten 6 Euro.
| Ja
| Doppelte Menge bedeutet doppelter Preis.
|-
| 1 Liter Saft enthält 100 g Zucker, 2 Liter enthalten 200 g Zucker.
| Ja
| Der Zuckergehalt steigt im gleichen Verhältnis zur Saftmenge.
|-
| 1 Arbeiter braucht 8 Stunden, 2 Arbeiter brauchen 4 Stunden.
| Nein
| Das ist eine [[antiproportionale Zuordnung]], weil mehr Arbeiter weniger Zeit benötigen.
|-
| Ein Taxi kostet 4 Euro Grundpreis plus 2 Euro pro Kilometer.
| Nein
| Wegen des Grundpreises verläuft der Graph nicht durch den Ursprung.
|}

{{BR}}
= Was bedeutet Dreisatz? =

Der '''[[Dreisatz]]''' ist ein Rechenverfahren, bei dem aus drei bekannten Werten ein vierter Wert bestimmt wird. Bei proportionalen Zuordnungen gehst Du meist in drei gedanklichen Schritten vor:

# [[Ausgangssituation]]: Du notierst die gegebene Zuordnung.
# [[Einheitssatz]]: Du berechnest den Wert für eine Einheit.
# [[Zielsatz]]: Du berechnest den Wert für die gesuchte Anzahl.

Der Dreisatz heißt so, weil die Lösung traditionell in drei Sätzen oder drei Rechenschritten dargestellt wird. Mathematisch steckt dahinter eine [[Verhältnisgleichung]].

{{BR}}
== Grundformel des proportionalen Dreisatzes ==

Wenn <math>a</math> Einheiten einer Größe <math>A</math> zu <math>b</math> Einheiten einer Größe <math>B</math> gehören und Du wissen möchtest, wie viele Einheiten <math>B</math> zu <math>c</math> Einheiten <math>A</math> gehören, dann gilt:

<math>a : b = c : x</math>

Daraus folgt:

<math>x = c \cdot \frac{b}{a}</math>

Diese Formel bedeutet: Zuerst wird der Wert pro Einheit berechnet, also <math>\frac{b}{a}</math>. Danach wird dieser Einheitswert mit der gesuchten Anzahl <math>c</math> multipliziert.

{{BR}}
= Dreisatz in der Tabelle =

Der Dreisatz wird in der Schule häufig in einer [[Tabelle]] dargestellt. Diese Darstellung ist sehr hilfreich, weil Du auf beiden Seiten mit denselben Rechenschritten arbeitest.

{{BR}}
== Beispiel 1: Hefte kaufen ==

'''Aufgabe:''' 4 Hefte kosten 6 Euro. Wie viel kosten 10 Hefte?

{| class="wikitable"
! Hefte
! Preis in Euro
! Rechenschritt
|-
| 4
| 6
| gegeben
|-
| 1
| <math>6 : 4 = 1{,}50</math>
| durch 4
|-
| 10
| <math>1{,}50 \cdot 10 = 15</math>
| mal 10
|}

'''Antwort:''' 10 Hefte kosten '''15 Euro'''.

{{BR}}
== Erklärung zum Beispiel ==

Die Zuordnung ist proportional, weil jedes Heft gleich viel kostet. Wenn Du die Anzahl der Hefte verdoppelst, verdoppelt sich der Preis. Wenn Du die Anzahl der Hefte auf eine Einheit zurückführst, erhältst Du den Einzelpreis.

Der wichtigste Zwischenschritt ist:

<math>1 \text{ Heft} = 1{,}50 \text{ Euro}</math>

Dieser Einheitswert macht die Aufgabe einfach. Sobald Du weißt, wie viel eine Einheit kostet, kannst Du jede andere Anzahl berechnen.

{{BR}}
== Beispiel 2: Rezept umrechnen ==

'''Aufgabe:''' Für 6 Personen brauchst Du 450 g Nudeln. Wie viel brauchst Du für 10 Personen?

{| class="wikitable"
! Personen
! Nudeln in g
! Rechenschritt
|-
| 6
| 450
| gegeben
|-
| 1
| <math>450 : 6 = 75</math>
| durch 6
|-
| 10
| <math>75 \cdot 10 = 750</math>
| mal 10
|}

'''Antwort:''' Für 10 Personen brauchst Du '''750 g Nudeln'''.

{{BR}}
== Beispiel 3: Fahrstrecke und Benzinverbrauch ==

'''Aufgabe:''' Ein Auto verbraucht auf 100 km 6 Liter Benzin. Wie viel Benzin verbraucht es auf 350 km, wenn der Verbrauch gleich bleibt?

{| class="wikitable"
! Strecke in km
! Verbrauch in Liter
! Rechenschritt
|-
| 100
| 6
| gegeben
|-
| 1
| <math>6 : 100 = 0{,}06</math>
| durch 100
|-
| 350
| <math>0{,}06 \cdot 350 = 21</math>
| mal 350
|}

'''Antwort:''' Das Auto verbraucht auf 350 km '''21 Liter Benzin'''.

{{BR}}
= Proportionalitätsfaktor und Dreisatz =

Der Dreisatz und der [[Proportionalitätsfaktor]] hängen eng zusammen. Beim Dreisatz berechnest Du im zweiten Schritt meistens den Wert für eine Einheit. Genau dieser Wert ist häufig der Proportionalitätsfaktor.

Wenn 5 kg Kartoffeln 8 Euro kosten, dann kostet 1 kg:

<math>8 : 5 = 1{,}60</math>

Der Proportionalitätsfaktor ist also:

<math>k = 1{,}60</math>

Die Funktionsgleichung lautet:

<math>y = 1{,}60 \cdot x</math>

Dabei ist <math>x</math> die Masse in Kilogramm und <math>y</math> der Preis in Euro.

{{BR}}
== Dreisatz als Verhältnisgleichung ==

Eine Dreisatzaufgabe kann auch als [[Verhältnisgleichung]] formuliert werden.

'''Beispiel:''' 4 Hefte kosten 6 Euro. Wie viel kosten 10 Hefte?

<math>\frac{4}{6} = \frac{10}{x}</math>

Oder übersichtlicher:

<math>\frac{6}{4} = \frac{x}{10}</math>

Nun wird umgestellt:

<math>x = 10 \cdot \frac{6}{4}</math>

<math>x = 15</math>

Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis. Der Tabellenweg ist besonders anschaulich, die Verhältnisgleichung ist besonders kompakt.

{{BR}}
= Graph einer proportionalen Zuordnung =

[[Datei:Linear functions 01.svg|500px|rahmenlos|zentriert]]

Der [[Graph]] einer proportionalen Zuordnung ist immer eine [[Gerade]], die durch den [[Koordinatenursprung]] verläuft. Der Koordinatenursprung ist der Punkt <math>(0|0)</math>. Das bedeutet: Wenn Du 0 Einheiten kaufst, bezahlst Du 0 Euro. Wenn Du 0 Kilometer fährst, verbrauchst Du 0 Liter Benzin.

Die Steigung der Geraden entspricht dem [[Proportionalitätsfaktor]]. Je größer der Proportionalitätsfaktor ist, desto steiler ist die Gerade.

{{BR}}
== Beispiel zum Graphen ==

Eine Eintrittskarte kostet 4 Euro. Die Zuordnung lautet:

<math>y = 4x</math>

{| class="wikitable"
! Anzahl der Karten <math>x</math>
! Preis <math>y</math> in Euro
|-
| 0
| 0
|-
| 1
| 4
|-
| 2
| 8
|-
| 3
| 12
|-
| 4
| 16
|}

Alle Punkte liegen auf einer Geraden durch den Ursprung. Das zeigt, dass die Zuordnung proportional ist.

{{BR}}
= Proportional oder nicht proportional? =

Nicht jede Aufgabe mit zwei Größen ist proportional. Deshalb musst Du vor dem Rechnen prüfen, ob der Dreisatz wirklich passt.

{{BR}}
== Prüffragen ==

# [[Gleiches Verhältnis]]: Bleibt der Quotient <math>\frac{y}{x}</math> gleich?
# [[Verdoppeln]]: Wird beim Verdoppeln der ersten Größe auch die zweite Größe verdoppelt?
# [[Nullpunkt]]: Gehört zur Ausgangsgröße 0 auch der Wert 0?
# [[Einheitspreis]]: Gibt es einen festen Wert pro Einheit?
# [[Sinnzusammenhang]]: Ist der Zusammenhang sachlich plausibel?

{{BR}}
== Nicht proportionale Beispiele ==

{| class="wikitable"
! Situation
! Warum nicht proportional?
|-
| Eine Taxifahrt kostet 5 Euro Grundgebühr plus 2 Euro pro Kilometer.
| Der Preis beginnt nicht bei 0 Euro, weil es eine Grundgebühr gibt.
|-
| Eine Kerze wird mit der Zeit kürzer.
| Je mehr Zeit vergeht, desto weniger Kerze bleibt übrig.
|-
| 2 Arbeiter brauchen 6 Stunden, 4 Arbeiter brauchen 3 Stunden.
| Mehr Arbeiter bedeuten weniger Zeit; das ist antiproportional.
|-
| Ein Mensch wächst vom 1. bis zum 14. Lebensjahr.
| Wachstum verläuft nicht gleichmäßig proportional zur Zeit.
|}

{{BR}}
= Typische Fehler beim Dreisatz =

Beim proportionalen Dreisatz passieren häufig ähnliche Fehler. Wenn Du sie kennst, kannst Du sie vermeiden.

{{BR}}
== Fehler 1: Falsche Zuordnung erkennen ==

Nicht jede Aufgabe mit „je mehr, desto mehr“ ist automatisch proportional. Beispiel: Ein Handyvertrag kostet 10 Euro Grundgebühr und 5 Euro pro Gigabyte. Wenn Du mehr Datenvolumen nutzt, zahlst Du mehr. Trotzdem ist die Zuordnung nicht proportional, weil die Grundgebühr immer dazukommt.

{{BR}}
== Fehler 2: Einheiten verwechseln ==

Bei Dreisatzaufgaben müssen gleichartige Größen untereinanderstehen. Euro gehören unter Euro, Kilogramm unter Kilogramm, Liter unter Liter, Kilometer unter Kilometer.

Falsch wäre:

{| class="wikitable"
! Hefte
! Euro
|-
| 4
| 10
|-
| 6
| ?
|}

Wenn die Aufgabe eigentlich lautet „4 Hefte kosten 6 Euro“, müssen die Zahlen richtig eingeordnet werden. Eine saubere Tabelle verhindert Rechenfehler.

{{BR}}
== Fehler 3: Rundungsfehler zu früh machen ==

Wenn beim Einheitswert eine lange Dezimalzahl entsteht, solltest Du möglichst spät runden. Runde erst am Ende, wenn die Aufgabe eine gerundete Antwort verlangt.

Beispiel:

<math>7 \text{ kg} = 10 \text{ Euro}</math>

<math>1 \text{ kg} = 10 : 7 \approx 1{,}428571</math>

Wenn Du zu früh auf 1,43 Euro rundest, können bei großen Mengen kleine Abweichungen entstehen. In der Schule ist es oft besser, mit dem Bruch weiterzurechnen:

<math>x = 18 \cdot \frac{10}{7}</math>

{{BR}}
= Strategien zum Lösen von Textaufgaben =

Dreisatzaufgaben sind häufig Textaufgaben. Dabei ist nicht nur das Rechnen wichtig, sondern auch das Verstehen der Situation.

{{BR}}
== Schritt-für-Schritt-Methode ==

# [[Textverständnis]]: Lies die Aufgabe sorgfältig und markiere die gegebenen Werte.
# [[Größen erkennen]]: Bestimme, welche zwei Größen miteinander verknüpft sind.
# [[Proportionalität prüfen]]: Überlege, ob die Zuordnung proportional ist.
# [[Tabelle anlegen]]: Schreibe gleichartige Werte untereinander.
# [[Einheitswert berechnen]]: Rechne auf 1 Einheit herunter.
# [[Gesuchten Wert berechnen]]: Rechne vom Einheitswert auf die gesuchte Anzahl hoch.
# [[Antwortsatz]]: Schreibe einen vollständigen Satz mit Einheit.

{{BR}}
== Beispiel mit vollständigem Lösungsweg ==

'''Aufgabe:''' 8 Flaschen Wasser kosten 5,60 Euro. Wie viel kosten 15 Flaschen?

'''Schritt 1: Größen erkennen'''

Die beiden Größen sind [[Anzahl]] der Flaschen und [[Preis]] in Euro.

'''Schritt 2: Proportionalität prüfen'''

Jede Flasche kostet gleich viel. Also ist die Zuordnung proportional.

'''Schritt 3: Tabelle anlegen'''

{| class="wikitable"
! Flaschen
! Preis in Euro
! Rechenschritt
|-
| 8
| 5,60
| gegeben
|-
| 1
| <math>5{,}60 : 8 = 0{,}70</math>
| durch 8
|-
| 15
| <math>0{,}70 \cdot 15 = 10{,}50</math>
| mal 15
|}

'''Antwort:''' 15 Flaschen Wasser kosten '''10,50 Euro'''.

{{BR}}
= Dreisatz mental rechnen =

Nicht jede Dreisatzaufgabe muss schriftlich gelöst werden. Manche Aufgaben kannst Du im Kopf lösen, wenn Du günstige Zwischenschritte findest.

{{BR}}
== Beispiel: Vom Bekannten zum Gesuchten ==

'''Aufgabe:''' 3 Brötchen kosten 1,80 Euro. Wie viel kosten 6 Brötchen?

Da 6 das Doppelte von 3 ist, musst Du nur den Preis verdoppeln:

<math>1{,}80 \cdot 2 = 3{,}60</math>

'''Antwort:''' 6 Brötchen kosten '''3,60 Euro'''.

{{BR}}
== Beispiel: Geschickter Zwischenschritt ==

'''Aufgabe:''' 12 Kugelschreiber kosten 9 Euro. Wie viel kosten 4 Kugelschreiber?

4 ist ein Drittel von 12. Also kostet ein Drittel der Kugelschreiber auch ein Drittel des Preises:

<math>9 : 3 = 3</math>

'''Antwort:''' 4 Kugelschreiber kosten '''3 Euro'''.

{{BR}}
= Zusammenhang mit Prozentrechnung =

Der Dreisatz ist auch eine wichtige Grundlage der [[Prozentrechnung]]. Viele Prozentaufgaben lassen sich mit dem Dreisatz lösen, weil Prozentangaben proportionale Zusammenhänge beschreiben.

{{BR}}
== Beispiel: Prozentwert berechnen ==

'''Aufgabe:''' Ein Fahrrad kostet 400 Euro. Es wird um 15 Prozent reduziert. Wie viel Euro beträgt der Rabatt?

{| class="wikitable"
! Prozent
! Euro
! Rechenschritt
|-
| 100
| 400
| gegeben
|-
| 1
| <math>400 : 100 = 4</math>
| durch 100
|-
| 15
| <math>4 \cdot 15 = 60</math>
| mal 15
|}

'''Antwort:''' Der Rabatt beträgt '''60 Euro'''.

{{BR}}
= Zusammenhang mit Maßstab =

Auch beim [[Maßstab]] arbeitest Du mit proportionalen Zuordnungen. Wenn eine Karte im Maßstab <math>1 : 50\,000</math> gezeichnet ist, entspricht 1 cm auf der Karte in Wirklichkeit 50.000 cm.

{{BR}}
== Beispiel: Kartenmaßstab ==

'''Aufgabe:''' Auf einer Karte im Maßstab <math>1 : 50\,000</math> sind zwei Orte 6 cm voneinander entfernt. Wie groß ist die wirkliche Entfernung?

<math>6 \cdot 50\,000 = 300\,000</math>

300.000 cm sind 3.000 m, also 3 km.

'''Antwort:''' Die Orte sind in Wirklichkeit '''3 km''' voneinander entfernt.

{{BR}}
= Zusammenhang mit Geschwindigkeit =

Wenn sich ein Körper mit konstanter [[Geschwindigkeit]] bewegt, sind [[Zeit]] und [[Strecke]] proportional. Das bedeutet: Doppelte Zeit führt zu doppelter Strecke.

{{BR}}
== Beispiel: Konstante Geschwindigkeit ==

'''Aufgabe:''' Ein Fahrrad fährt in 2 Stunden 36 km. Wie weit fährt es in 5 Stunden bei gleicher Geschwindigkeit?

{| class="wikitable"
! Zeit in h
! Strecke in km
! Rechenschritt
|-
| 2
| 36
| gegeben
|-
| 1
| <math>36 : 2 = 18</math>
| durch 2
|-
| 5
| <math>18 \cdot 5 = 90</math>
| mal 5
|}

'''Antwort:''' Das Fahrrad fährt in 5 Stunden '''90 km'''.

{{BR}}
= Dreisatz und Einheiten =

Ein sauberer Umgang mit [[Einheit|Einheiten]] ist beim Dreisatz besonders wichtig. Die Einheit gehört immer zur Zahl. Dadurch erkennst Du, was berechnet wird und ob das Ergebnis sinnvoll ist.

{{BR}}
== Häufige Einheiten beim Dreisatz ==

{| class="wikitable"
! Bereich
! Typische Einheiten
! Beispiel
|-
| Geld
| Euro, Cent
| Preis pro Stück
|-
| Masse
| Gramm, Kilogramm, Tonnen
| Zutatenmenge
|-
| Volumen
| Milliliter, Liter
| Getränkemenge
|-
| Strecke
| Zentimeter, Meter, Kilometer
| Maßstab oder Wegstrecke
|-
| Zeit
| Sekunden, Minuten, Stunden
| Geschwindigkeit oder Arbeitszeit
|}

{{BR}}
= Erweiterte Sicht: Dreisatz als lineare Funktion =

Eine proportionale Zuordnung ist eine besondere [[lineare Funktion]]. Ihre Gleichung lautet:

<math>f(x) = kx</math>

Im Unterschied zu allgemeinen linearen Funktionen gibt es keinen zusätzlichen Summanden. Eine allgemeine lineare Funktion hat die Form:

<math>f(x) = mx + b</math>

Eine proportionale Funktion hat immer:

<math>b = 0</math>

Deshalb verläuft ihr Graph durch den Ursprung. Wenn <math>b \neq 0</math> ist, liegt keine proportionale Zuordnung vor.

{{BR}}
== Beispielvergleich ==

{| class="wikitable"
! Funktion
! Proportional?
! Begründung
|-
| <math>y = 3x</math>
| Ja
| Der Graph geht durch den Ursprung und der Quotient ist konstant.
|-
| <math>y = 3x + 2</math>
| Nein
| Der zusätzliche Wert 2 verschiebt den Graphen nach oben.
|-
| <math>y = 0{,}5x</math>
| Ja
| Der Proportionalitätsfaktor ist 0,5.
|-
| <math>y = x^2</math>
| Nein
| Der Quotient <math>\frac{y}{x}</math> ist nicht konstant.
|}

{{BR}}
= Mini-Projekt: Dreisatz im Alltag entdecken =

Untersuche in Deinem Alltag drei Situationen, in denen der Dreisatz vorkommt. Beispiele sind Supermarktpreise, Rezeptmengen, Sportgeschwindigkeit, Druckkosten oder Materialverbrauch. Notiere jeweils:

# [[Situation]]: Wo kommt die Zuordnung vor?
# [[Größen]]: Welche zwei Größen werden verglichen?
# [[Prüfung]]: Ist die Zuordnung proportional?
# [[Rechnung]]: Wie lautet der Dreisatz?
# [[Antwort]]: Was bedeutet das Ergebnis im Alltag?

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wann liegt eine proportionale Zuordnung vor?'''
(Wenn sich beide Größen im gleichen Verhältnis verändern)
(!Wenn eine Größe immer kleiner wird)
(!Wenn ein Grundpreis addiert wird)
(!Wenn der Graph eine Kurve ist)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was berechnest Du im zweiten Schritt des proportionalen Dreisatzes meistens?'''
(Den Wert für eine Einheit)
(!Den größten gegebenen Wert)
(!Den Mittelwert aller Zahlen)
(!Den Wert für null Einheiten)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Gleichung passt zu einer proportionalen Zuordnung?'''
(y = k mal x)
(!y = k plus x)
(!y = x hoch 2)
(!y = k minus x plus 5)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie sieht der Graph einer proportionalen Zuordnung aus?'''
(Eine Gerade durch den Ursprung)
(!Eine Gerade mit Grundgebühr)
(!Eine Kurve durch den Ursprung)
(!Eine waagerechte Linie ohne Zusammenhang)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Vier Hefte kosten 8 Euro. Wie viel kostet ein Heft?'''
(2 Euro)
(!4 Euro)
(!8 Euro)
(!32 Euro)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist bei einer proportionalen Zuordnung konstant?'''
(Der Quotient aus zugeordnetem Wert und Ausgangswert)
(!Die Summe der beiden Werte)
(!Die Differenz der beiden Werte)
(!Der größte Tabellenwert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Situation ist proportional?'''
(3 kg Äpfel kosten dreimal so viel wie 1 kg Äpfel)
(!Ein Taxi kostet Grundpreis plus Kilometerpreis)
(!Vier Arbeiter brauchen halb so lange wie zwei Arbeiter)
(!Eine Kerze wird beim Brennen kürzer)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet der Proportionalitätsfaktor in einer Preisaufgabe?'''
(Den Preis für eine Einheit)
(!Den Gesamtpreis aller Waren)
(!Die Anzahl der gekauften Waren)
(!Den Rabatt nach dem Einkauf)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Rechnung gehört zum Dreisatz, wenn 5 Stück 20 Euro kosten und 8 Stück gesucht sind?'''
(20 durch 5 mal 8)
(!20 mal 5 durch 8)
(!5 durch 20 mal 8)
(!8 durch 20 mal 5)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist eine Taxifahrt mit Grundgebühr nicht proportional?'''
(Weil der Graph nicht durch den Ursprung verläuft)
(!Weil Euro keine mathematische Einheit ist)
(!Weil man Preise nicht vergleichen darf)
(!Weil jede Gerade proportional ist)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Dreisatz || Rechenverfahren mit drei bekannten Werten
|-
| Einheitssatz || Wert für eine Einheit
|-
| Proportionalitätsfaktor || Konstanter Quotient
|-
| Ursprung || Punkt null null im Koordinatensystem
|-
| Verhältnisgleichung || Gleichung mit zwei gleichen Verhältnissen
|-
| Graph || Gerade Darstellung einer Zuordnung
|-
| Tabelle || Übersicht mit gleichartigen Werten
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Gegebene Zuordnung notieren'''
| Ausgangssituation
|-
| '''Wert für eine Einheit berechnen'''
| Einheitssatz
|-
| '''Wert für die gesuchte Anzahl berechnen'''
| Zielsatz
|-
| '''Ergebnis mit Einheit formulieren'''
| Antwortsatz
|-
| '''Verhältnis der Werte prüfen'''
| Proportionalitätsprüfung

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Dreisatz || Wie heißt das Verfahren, mit dem aus drei bekannten Werten ein vierter Wert berechnet wird?
|-
| Quotient || Wie heißt das Ergebnis einer Division?
|-
| Ursprung || Durch welchen Punkt verläuft der Graph jeder proportionalen Zuordnung?
|-
| Gerade || Welche Form hat der Graph einer proportionalen Zuordnung?
|-
| Einheit || Auf welchen Bezugswert rechnet man im zweiten Schritt häufig herunter?
|-
| Tabelle || Welche Darstellung hilft, gleichartige Werte übersichtlich untereinanderzuschreiben?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Dreisatz+bei+proportionalen+Zuordnungen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine Zuordnung heißt proportional, wenn sich beide Größen im gleichen { Verhältnis } verändern. Beim Dreisatz berechnest Du häufig zuerst den Wert für eine { Einheit }. Der Quotient aus zugeordnetem Wert und Ausgangswert heißt { Proportionalitätsfaktor }. Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine { Gerade }. Diese Gerade verläuft immer durch den { Ursprung }. Eine Grundgebühr verhindert häufig eine { Proportionalität }. Die allgemeine Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet { y gleich k mal x }. Bei Textaufgaben solltest Du zuerst prüfen, ob die Zuordnung wirklich { proportional } ist.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Preisvergleich]]: Suche drei Produkte im Supermarkt, bei denen unterschiedliche Packungsgrößen angeboten werden, und berechne jeweils den Preis pro Einheit.
# [[Rezept]]: Rechne ein Rezept für 4 Personen auf 2 Personen und auf 8 Personen um.
# [[Dreisatztabelle]]: Erstelle zu einer selbst gewählten Alltagssituation eine Tabelle mit Ausgangssituation, Einheitssatz und Zielsatz.
# [[Proportionalitätsprüfung]]: Sammle fünf Alltagssituationen und entscheide, ob sie proportional sind oder nicht.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Textaufgaben]]: Erfinde drei eigene Textaufgaben zum proportionalen Dreisatz und schreibe vollständige Musterlösungen.
# [[Graphische Darstellung]]: Zeichne den Graphen einer proportionalen Zuordnung, beschrifte die Achsen und erkläre die Bedeutung der Steigung.
# [[Prozentrechnung]]: Löse drei Rabattaufgaben mit dem Dreisatz und vergleiche Deine Ergebnisse mit einer Prozentformel.
# [[Maßstab]]: Nutze eine Karte oder einen Stadtplan und berechne mit dem Dreisatz reale Entfernungen.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Fehleranalyse]]: Erstelle eine falsche Dreisatzlösung mit typischem Fehler und erkläre anschließend, wie man den Fehler erkennt und korrigiert.
# [[Funktionenvergleich]]: Vergleiche eine proportionale Funktion mit einer linearen Funktion mit Grundwert und erkläre den Unterschied an Graphen.
# [[Projekt Einkauf]]: Plane einen Einkauf für eine Klassenfeier und berechne mit dem Dreisatz Mengen und Kosten für verschiedene Personenzahlen.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du den Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen mit einem eigenen Beispiel erklärst.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Transferaufgabe Einkauf]]: Ein Getränkemarkt verkauft 12 Flaschen Wasser für 7,20 Euro. Ein anderer Markt verkauft 20 Flaschen für 11,80 Euro. Vergleiche die Angebote sinnvoll und begründe, welches günstiger ist.
# [[Fehlerbegründung]]: Eine Schülerin rechnet bei der Aufgabe „6 kg kosten 15 Euro, wie viel kosten 10 kg?“ zuerst <math>6 : 15</math>. Erkläre, warum diese Rechnung nicht zum gesuchten Einheitspreis passt.
# [[Modellierungsaufgabe]]: Entscheide, ob die Kosten eines Handyvertrags mit monatlicher Grundgebühr proportional zur Datenmenge sind, und begründe Deine Entscheidung mit einem mathematischen Argument.
# [[Grapheninterpretation]]: Zwei Geraden gehen durch den Ursprung. Die eine ist steiler als die andere. Erkläre, was das in einer Preis-pro-Stück-Situation bedeutet.
# [[Alltagsproblem]]: Für 5 m Stoff zahlt man 37,50 Euro. Eine Person möchte Vorhänge aus 8,40 m Stoff nähen. Entwickle einen vollständigen Lösungsweg und prüfe, ob Dein Ergebnis realistisch ist.
# [[Vergleich von Lösungswegen]]: Löse eine Dreisatzaufgabe einmal mit Tabelle und einmal mit Verhältnisgleichung. Vergleiche beide Wege hinsichtlich Übersichtlichkeit und Rechensicherheit.
# [[Grenzen des Verfahrens]]: Beschreibe eine Alltagssituation, die auf den ersten Blick proportional wirkt, es aber nicht ist, und erkläre, warum der Dreisatz dort zu falschen Ergebnissen führen würde.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Dreisatz </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen]]'''
# [[Dreisatz]]
# [[Proportionale Zuordnung]]
# [[Zuordnung]]
# [[Proportionalitätsfaktor]]
# [[Verhältnis]]
# [[Verhältnisgleichung]]
# [[Lineare Funktion]]
# [[Graph]]
# [[Koordinatensystem]]
# [[Prozentrechnung]]
# [[Maßstab]]
# [[Textaufgabe]]
|}

{{BR}}
= Zusammenfassung =

Der '''[[Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen]]''' ist ein Verfahren, um aus drei bekannten Werten einen vierten unbekannten Wert zu berechnen. Voraussetzung ist, dass eine '''[[proportionale Zuordnung]]''' vorliegt. Das erkennst Du daran, dass sich beide Größen im gleichen Verhältnis verändern, der Quotient <math>\frac{y}{x}</math> konstant bleibt und der Graph eine Gerade durch den Ursprung ist. Beim proportionalen Dreisatz rechnest Du häufig zuerst auf eine Einheit herunter und anschließend auf die gesuchte Anzahl hoch. Der Dreisatz ist eng verbunden mit [[Prozentrechnung]], [[Maßstab]], [[Einheitspreis]], [[Geschwindigkeit]] und [[lineare Funktion|linearen Funktionen]].

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse_7-8]]
[[Kategorie:Zuordnungen]]
[[Kategorie:Dreisatz]]
[[Kategorie:Prozentrechnung]]
[[Kategorie:AI_MOOC]]
[[Kategorie:GPT aiMOOC]]

= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
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Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen - aiMOOC - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt