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2026-07-28T13:12:04Z

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{{T}}

{{BR}}
= Einleitung =

[[Datei:Convex lens (magnifying glass) and upside-down image.jpg|600px|rahmenlos|center]]

Eine [[Linse (Optik)|Linse]] kann Licht so brechen, dass ein scharfes Bild entsteht. Bei einer [[Sammellinse]] hängt der Ort dieses Bildes von drei Größen ab: der '''Brennweite''' <math>f</math>, der '''Gegenstandsweite''' <math>g</math> und der '''Bildweite''' <math>b</math>. Die '''Linsengleichung''' beschreibt ihren Zusammenhang.

<math>\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}</math>

Du brauchst die Gleichung zum Beispiel bei [[Kamera]]s, [[Projektor]]en, [[Mikroskop]]en, [[Fernrohr]]en und beim Verständnis des [[Auge]]s. In diesem aiMOOC lernst Du die Größen kennen, stellst die Formel um, berechnest Abbildungen und überprüfst Ergebnisse mit einer Strahlenkonstruktion oder einem Versuch.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=J6RapPPoKno |500|center}}

{{BR}}
= Lernziele =

# [[Linsengleichung|Linsengleichung anwenden]]: Du setzt Brennweite, Gegenstandsweite und Bildweite mit gleichen Längeneinheiten ein.
# [[Formelumstellung|Formeln umstellen]]: Du berechnest jede der drei Größen.
# [[Optische Abbildung|Bildentstehung erklären]]: Du unterscheidest reelle und virtuelle Bilder.
# [[Abbildungsmaßstab|Bildgröße bestimmen]]: Du verknüpfst Bild- und Gegenstandsgröße mit den zugehörigen Weiten.
# [[Experiment|Messungen auswerten]]: Du prüfst die Gleichung an einer Sammellinse.

{{BR}}
= Grundlagen =

{{BR}}
== Die dünne Sammellinse ==

Die Linsengleichung wird in der Schule meist für eine '''dünne Linse''' verwendet. Dabei stellt man sich vor, dass die Brechung in einer einzigen Linsenebene stattfindet. Diese Näherung funktioniert besonders gut für achsennahe Lichtstrahlen und eine Linse, deren Dicke klein gegenüber den betrachteten Abständen ist.

[[Datei:Lens shapes.svg|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Convex lens - perfect.svg|500px|rahmenlos|center]]

Eine Sammellinse bündelt Lichtstrahlen, die parallel zur [[Optische Achse|optischen Achse]] einfallen, im '''Brennpunkt''' <math>F</math>. Der Abstand zwischen Linsenebene und Brennpunkt ist die '''Brennweite''' <math>f</math>.

{{BR}}
== Größen und Formelzeichen ==

{| class="wikitable"
! Größe
! Formelzeichen
! Bedeutung
! Übliche Einheit
|-
| Brennweite
| <math>f</math>
| Abstand zwischen Linse und Brennpunkt
| cm oder m
|-
| Gegenstandsweite
| <math>g</math>
| Abstand zwischen Gegenstand und Linse
| cm oder m
|-
| Bildweite
| <math>b</math>
| Abstand zwischen Linse und scharfem Bild
| cm oder m
|-
| Gegenstandsgröße
| <math>G</math>
| Höhe des Gegenstands
| cm oder m
|-
| Bildgröße
| <math>B</math>
| Höhe des Bildes
| cm oder m
|}

'''Wichtig:''' In einer Rechnung müssen <math>f</math>, <math>g</math> und <math>b</math> in derselben Längeneinheit angegeben sein.

[[Datei:Lens object.jpg|600px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Die Linsengleichung =

{{BR}}
== Grundform ==

Für eine dünne Sammellinse mit einem reellen Gegenstand und einem reellen Schirmbild gilt in der üblichen Schulkonvention:

<math>\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}</math>

Die Gleichung zeigt: Verändert sich der Abstand des Gegenstands zur Linse, verändert sich auch der Ort des scharfen Bildes. Beim Fokussieren einer Kamera wird deshalb der Abstand zwischen Linsensystem und Sensor angepasst.

[[Datei:Abbildungsgleichung.png|650px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Formel umstellen ==

Nach der Bildweite:

<math>b=\frac{f\cdot g}{g-f}</math>

Nach der Gegenstandsweite:

<math>g=\frac{f\cdot b}{b-f}</math>

Nach der Brennweite:

<math>f=\frac{g\cdot b}{g+b}</math>

Die umgestellten Formen gelten für die hier behandelte Schulkonvention mit positiven Weiten bei einer reellen Abbildung durch eine Sammellinse.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=CdmVNo0zb54 |500|center}}

{{BR}}
== Beispiel 1: Bildweite berechnen ==

Gegeben sind <math>f=10\,\mathrm{cm}</math> und <math>g=30\,\mathrm{cm}</math>. Gesucht ist <math>b</math>.

<math>b=\frac{f\cdot g}{g-f}=\frac{10\,\mathrm{cm}\cdot30\,\mathrm{cm}}{30\,\mathrm{cm}-10\,\mathrm{cm}}=15\,\mathrm{cm}</math>

Das scharfe Bild entsteht also 15 cm hinter der Linse.

{{BR}}
== Beispiel 2: Brennweite berechnen ==

Gemessen wurden <math>g=24\,\mathrm{cm}</math> und <math>b=12\,\mathrm{cm}</math>.

<math>f=\frac{g\cdot b}{g+b}=\frac{24\,\mathrm{cm}\cdot12\,\mathrm{cm}}{36\,\mathrm{cm}}=8\,\mathrm{cm}</math>

Die Linse besitzt eine Brennweite von 8 cm.

{{BR}}
= Bildentstehung =

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== Hauptstrahlen ==

Für eine zeichnerische Bildkonstruktion genügen meist zwei der drei Hauptstrahlen:

# [[Parallelstrahl]]: Er verläuft vor der Sammellinse parallel zur optischen Achse und danach durch den bildseitigen Brennpunkt.
# [[Brennpunktstrahl]]: Er verläuft vor der Linse durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt und danach parallel zur optischen Achse.
# [[Mittelpunktstrahl]]: Er geht in der Näherung der dünnen Linse geradlinig durch den optischen Mittelpunkt.

Der Schnittpunkt der gebrochenen Strahlen bestimmt die Lage der Bildspitze.

[[Datei:Lens rays 1.png|600px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=EYtD4xTQCAc |500|center}}

{{BR}}
== Abbildungsfälle der Sammellinse ==

{| class="wikitable"
! Lage des Gegenstands
! Lage des Bildes
! Bildeigenschaften
|-
| <math>g \gt 2f</math>
| <math>f \lt b \lt 2f</math>
| reell, umgekehrt, verkleinert
|-
| <math>g=2f</math>
| <math>b=2f</math>
| reell, umgekehrt, gleich groß
|-
| <math>f \lt g \lt 2f</math>
| <math>b \gt 2f</math>
| reell, umgekehrt, vergrößert
|-
| <math>g=f</math>
| Bild liegt im Unendlichen
| kein scharfes Schirmbild in endlicher Entfernung
|-
| <math>g \lt f</math>
| auf der Gegenstandsseite
| virtuell, aufrecht, vergrößert
|}

[[Datei:Thin lens images.svg|650px|rahmenlos|center]]

Ein '''reelles Bild''' kann auf einem Schirm aufgefangen werden. Ein '''virtuelles Bild''' kann nur beim Blick durch die Linse wahrgenommen werden. Für virtuelle Bilder und Zerstreuungslinsen braucht man eine konsequente Vorzeichenregel, die über die einfache positive Schulkonvention hinausgeht.

[[Datei:Principle-of-Magnifying-Glass.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Der Abbildungsmaßstab =

Der [[Abbildungsmaßstab]] <math>A</math> vergleicht Bildgröße und Gegenstandsgröße:

<math>A=\frac{B}{G}=\frac{b}{g}</math>

Damit gilt:

<math>B=G\cdot\frac{b}{g}</math>

Für Beispiel 1 mit <math>g=30\,\mathrm{cm}</math> und <math>b=15\,\mathrm{cm}</math> ist <math>A=0{,}5</math>. Ein 4 cm hoher Gegenstand wird daher 2 cm hoch abgebildet. Das reelle Bild ist zusätzlich umgekehrt.

{{BR}}
= Experiment: Brennweite bestimmen =

Du benötigst eine beleuchtete Gegenstandsvorlage, eine Sammellinse, einen weißen Schirm, ein Maßband und passende Halterungen.

# Stelle Gegenstand, Linse und Schirm auf einer gemeinsamen optischen Achse auf.
# Verschiebe den Schirm, bis ein möglichst scharfes Bild entsteht.
# Miss Gegenstandsweite <math>g</math> und Bildweite <math>b</math> jeweils von der Linsenebene aus.
# Berechne <math>f=\frac{g\cdot b}{g+b}</math>.
# Wiederhole die Messung mit mehreren Gegenstandsweiten und bilde einen Mittelwert.

{| class="wikitable"
! Messung
! <math>g</math> in cm
! <math>b</math> in cm
! <math>f</math> in cm
|-
| 1
|
|
|
|-
| 2
|
|
|
|-
| 3
|
|
|
|}

'''Sicherheit:''' Richte eine Sammellinse niemals so auf die Sonne, dass das gebündelte Licht Augen, Haut oder brennbare Gegenstände treffen kann.

{{BR}}
= Anwendungen =

[[Datei:Eye and ray path3.svg|550px|rahmenlos|center]]

# [[Kamera]]: Das Objektiv erzeugt ein reelles Bild auf dem Sensor.
# [[Projektor]]: Ein kleines Objekt wird als großes reelles Bild auf einer Leinwand abgebildet.
# [[Lupe]]: Der Gegenstand liegt innerhalb der Brennweite; es entsteht ein vergrößertes virtuelles Bild.
# [[Mikroskop]]: Mehrere Linsen erzeugen eine starke Vergrößerung.
# [[Fernrohr]]: Linsensysteme bilden weit entfernte Objekte ab.
# [[Auge]]: Hornhaut und Augenlinse erzeugen ein Bild auf der Netzhaut.

{{BR}}
= Grenzen des Modells =

Die Linsengleichung beschreibt eine idealisierte dünne Linse. Reale Linsen können [[Linsenfehler]] zeigen. Dazu gehören unter anderem Farbfehler und Abbildungsunschärfen für weit von der optischen Achse entfernte Strahlen. Technische Objektive verwenden deshalb oft mehrere Linsen.

[[Datei:Chromatic aberration lens diagram.svg|550px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Merksätze =

# Die Linsengleichung lautet <math>\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}</math>.
# Alle eingesetzten Längen müssen dieselbe Einheit besitzen.
# Ein reelles Bild kann auf einem Schirm sichtbar gemacht werden.
# Bei <math>g=2f</math> gilt auch <math>b=2f</math>.
# Der Abbildungsmaßstab lautet <math>\frac{B}{G}=\frac{b}{g}</math>.
# Rechnung und Strahlenkonstruktion sollten zum gleichen Ergebnis führen.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wofür steht das Formelzeichen g?'''
(Gegenstandsweite)
(!Bildweite)
(!Brennweite)
(!Bildgröße)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage beschreibt die Linsengleichung?'''
(Der Kehrwert der Brennweite ist die Summe der Kehrwerte von Gegenstandsweite und Bildweite)
(!Die Brennweite ist immer die Summe aus Gegenstandsweite und Bildweite)
(!Die Bildweite ist immer gleich der Gegenstandsweite)
(!Die Gegenstandsweite ist unabhängig von der Bildweite)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Eine Linse hat 10 cm Brennweite und der Gegenstand steht 30 cm entfernt. Wie groß ist die Bildweite?'''
(15 cm)
(!10 cm)
(!20 cm)
(!40 cm)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Einheiten dürfen in einer Rechnung gemeinsam verwendet werden?'''
(Gleiche Längeneinheiten für alle Weiten)
(!Zentimeter für die Brennweite und Sekunden für die Bildweite)
(!Meter für die Gegenstandsweite und Kilogramm für die Bildweite)
(!Beliebige Einheiten ohne Umrechnung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gilt bei einer Sammellinse für g gleich 2f?'''
(Die Bildweite ist ebenfalls 2f)
(!Das Bild liegt im Brennpunkt)
(!Es entsteht kein Bild)
(!Das Bild ist immer virtuell)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie ist das Bild bei g größer als 2f?'''
(Reell umgekehrt und verkleinert)
(!Virtuell aufrecht und vergrößert)
(!Reell aufrecht und gleich groß)
(!Virtuell umgekehrt und verkleinert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welches Bild kann auf einem Schirm aufgefangen werden?'''
(Ein reelles Bild)
(!Ein virtuelles Bild)
(!Nur ein aufrechtes Bild)
(!Nur ein vergrößertes Bild)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Gleichung beschreibt den Abbildungsmaßstab?'''
(Bildgröße durch Gegenstandsgröße gleich Bildweite durch Gegenstandsweite)
(!Bildgröße plus Gegenstandsgröße gleich Brennweite)
(!Bildweite mal Gegenstandsweite gleich Gegenstandsgröße)
(!Brennweite durch Bildgröße gleich Gegenstandsweite)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht mit der Bildweite, wenn sich ein Gegenstand von außen der Brennweite nähert?'''
(Sie wird größer)
(!Sie wird immer null)
(!Sie bleibt stets gleich)
(!Sie wird unabhängig von der Linse)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Annahme gehört zum Modell der dünnen Linse?'''
(Die Brechung wird in einer Linsenebene zusammengefasst)
(!Die Linse besitzt keine Brennweite)
(!Licht wird an der Linse nicht gebrochen)
(!Jede Linse erzeugt nur virtuelle Bilder)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Gegenstandsweite || Abstand zwischen Gegenstand und Linse
|-
| Bildweite || Abstand zwischen Linse und scharfem Bild
|-
| Brennweite || Abstand zwischen Linse und Brennpunkt
|-
| Reelles Bild || Auf einem Schirm auffangbar
|-
| Virtuelles Bild || Nicht auf einem Schirm auffangbar
|-
| Sammellinse || Bündelt achsenparalleles Licht
|-
| Abbildungsmaßstab || Verhältnis von Bildgröße zu Gegenstandsgröße
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Gegenstandsweite'''
| Abstand zwischen Objekt und Linse
|-
| '''Bildweite'''
| Abstand zwischen Linse und Bild
|-
| '''Brennweite'''
| Abstand zwischen Linse und Brennpunkt
|-
| '''Gegenstandsgröße'''
| Höhe des abzubildenden Gegenstands
|-
| '''Bildgröße'''
| Höhe des entstandenen Bildes

|}
{{E}}

<br>
...
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Brennweite || Wie heißt der Abstand zwischen Linse und Brennpunkt?
|-
| Bildweite || Wie heißt der Abstand zwischen Linse und scharfem Bild?
|-
| Gegenstand || Was wird durch die Linse abgebildet?
|-
| Sammellinse || Welche Linse bündelt achsenparalleles Licht?
|-
| Brennpunkt || Wo treffen sich achsenparallel einfallende Strahlen nach der Sammellinse?
|-
| Strahlensatz || Welcher geometrische Satz hilft bei der Herleitung der Linsengleichung?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Die+Linsengleichung+Physik </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine Sammellinse bündelt achsenparallele Lichtstrahlen im { Brennpunkt }. Der Abstand zwischen Linse und Brennpunkt heißt { Brennweite }. Die Entfernung vom Gegenstand zur Linse wird als { Gegenstandsweite } bezeichnet. Die Entfernung von der Linse zum scharfen Bild heißt { Bildweite }. In der Linsengleichung werden die { Kehrwerte } der drei Weiten miteinander verknüpft. Ein Bild, das auf einem Schirm aufgefangen werden kann, heißt { reell }. Bei einer Gegenstandsweite von zweimal der Brennweite ist das Bild { gleichgroß }. Der Abbildungsmaßstab vergleicht die Bildgröße mit der { Gegenstandsgröße }. Nähert sich der Gegenstand von außen dem Brennpunkt, wird die Bildweite { größer }. Das Modell fasst die Brechung in einer einzigen { Linsenebene } zusammen.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Linsen im Alltag]]: Fotografiere oder zeichne drei Geräte, in denen Linsen verwendet werden, und beschreibe ihre Aufgabe.
# [[Begriffskarte Optik]]: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Brennweite, Gegenstandsweite, Bildweite, Gegenstandsgröße und Bildgröße.
# [[Strahlenkonstruktion]]: Zeichne eine Sammellinse mit Gegenstand außerhalb der doppelten Brennweite und konstruiere das Bild.
# [[Rechenbeispiel Linsengleichung]]: Erfinde passende Werte für Brennweite und Gegenstandsweite und berechne die Bildweite.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Optische Bank]]: Baue einen einfachen Versuch mit Lampe, Gegenstand, Linse und Schirm auf und dokumentiere ein scharfes Bild.
# [[Messreihe zur Brennweite]]: Führe mindestens drei Messungen durch, berechne jeweils die Brennweite und vergleiche die Ergebnisse.
# [[Kamera und Fokus]]: Erkläre mit der Linsengleichung, warum eine Kamera beim Scharfstellen den Abstand zwischen Linsen und Sensor verändert.
# [[Erklärvideo Optik]]: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du die Formelzeichen und eine Beispielrechnung erklärst.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Fehleranalyse Experiment]]: Untersuche, wie Messunsicherheiten bei Gegenstandsweite und Bildweite das Ergebnis für die Brennweite beeinflussen.
# [[Bessel-Verfahren]]: Recherchiere das Bessel-Verfahren zur Brennweitenbestimmung und vergleiche es mit der direkten Messung.
# [[Linsensimulation]]: Entwickle in einer Tabellenkalkulation oder Programmiersprache eine Eingabemaske für <math>f</math>, <math>g</math> und <math>b</math>.
# [[Grenzen der dünnen Linse]]: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, warum reale Kameraobjektive aus mehreren Linsen bestehen.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Fokusänderung erklären]]: Ein Gegenstand wird schrittweise von großer Entfernung an eine Sammellinse herangeführt. Erkläre, wie sich die Position des Schirms für ein scharfes Bild verändern muss.
# [[Linsen vergleichen]]: Zwei Sammellinsen besitzen unterschiedliche Brennweiten. Entwickle einen Versuchsplan, mit dem Du ohne Aufschrift herausfindest, welche Linse die kleinere Brennweite hat.
# [[Messfehler beurteilen]]: Eine Gruppe misst <math>g</math> von der Vorderseite der Linsenhalterung, eine andere von der Linsenmitte. Beurteile die Folgen für die berechnete Brennweite.
# [[Projektor übertragen]]: Erkläre, warum bei einem Projektor ein kleines Objekt nahe außerhalb der Brennweite liegt und die Leinwand weit entfernt steht.
# [[Behauptung prüfen]]: Prüfe die Aussage: Ein größeres Bild entsteht immer dann, wenn der Schirm näher an die Linse geschoben wird.
# [[Auge und Kamera vergleichen]]: Vergleiche, wie Auge und Kamera trotz unterschiedlicher Fokussiermechanismen ein scharfes reelles Bild erzeugen.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema sind besonders wichtig:

# Du benennst <math>f</math>, <math>g</math>, <math>b</math>, <math>G</math> und <math>B</math> korrekt.
# Du stellst die Linsengleichung nach der gesuchten Größe um.
# Du rechnest mit einheitlichen Längeneinheiten und gibst Ergebnisse mit Einheit an.
# Du deutest das Ergebnis physikalisch und ordnest die Bildeigenschaften zu.
# Du überprüfst eine Rechnung durch Strahlenkonstruktion, Experiment oder Plausibilitätskontrolle.
# Du erklärst eine Anwendung der Linsengleichung in einem optischen Gerät.
# Du reflektierst Messunsicherheiten und Grenzen des Modells der dünnen Linse.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Linsengleichung </iframe>

<br>

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Die Linsengleichung - Physik]]'''
# [[Geometrische Optik]]
# [[Sammellinse]]
# [[Dünne Linse]]
# [[Brennweite]]
# [[Optische Abbildung]]
# [[Abbildungsmaßstab]]
# [[Strahlensatz]]
# [[Brechung]]
# [[Kamera]]
# [[Auge]]
|}

[[Kategorie:Physik]]
[[Kategorie:Optik]]
[[Kategorie:Geometrische Optik]]
[[Kategorie:Linsen]]
[[Kategorie:Schule]]
[[Kategorie:Klasse 7-8]]
[[Kategorie:Klasse 9-10]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Die Linsengleichung - Physik - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt