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2026-07-13T21:25:55Z

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{{T}}

{{BR}}
= Determinante einer Matrix berechnen =

{{BR}}
= Einleitung =

Die [[Determinante]] ist eine Zahl, die zu einer [[quadratische Matrix|quadratischen Matrix]] gehört. Du schreibst sie als <math>\det(A)</math>. Mit ihr kannst Du zum Beispiel prüfen, ob eine [[Matrix]] eine [[Inverse Matrix|inverse Matrix]] besitzt.

[[Datei:Determinant 2x2.svg|420px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernziele ==

# Du berechnest die Determinante einer 2×2-Matrix.
# Du berechnest die Determinante einer 3×3-Matrix mit der [[Regel von Sarrus]].
# Du erklärst die Bedeutung von <math>\det(A)=0</math>.
# Du nutzt die Determinante bei einfachen Flächen- und Anwendungsaufgaben.

{{BR}}
== Determinante einer 2×2-Matrix ==

Für

<math>A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}</math>

gilt:

<math>\det(A)=a\cdot d-b\cdot c</math>

Du rechnest also: '''Produkt der Hauptdiagonale minus Produkt der anderen Diagonale'''.

'''Beispiel:'''

<math>A=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}</math>

<math>\det(A)=3\cdot4-2\cdot1=12-2=10</math>

{{BR}}
== Determinante einer 3×3-Matrix ==

Bei einer 3×3-Matrix kannst Du die [[Regel von Sarrus]] verwenden. Du schreibst die ersten beiden Spalten noch einmal rechts neben die Matrix. Danach addierst Du die Produkte der fallenden Diagonalen und ziehst die Produkte der steigenden Diagonalen ab.

[[Datei:Determinant 3x3 Example.svg|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Sarrus rule full step example 2.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Beispiel:'''

<math>A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{pmatrix}</math>

<math>\det(A)=0+40+0-15-0-24=1</math>

Die Regel von Sarrus gilt nur für 3×3-Matrizen.

{{BR}}
== Bedeutung der Determinante ==

Ist <math>\det(A)=0</math>, dann besitzt die Matrix keine [[Inverse Matrix|Inverse]]. Ihre Zeilen oder Spalten sind voneinander abhängig.

Der Betrag der Determinante beschreibt außerdem, wie sich eine Fläche oder ein Volumen durch eine [[Lineare Abbildung|lineare Abbildung]] verändert.

[[Datei:Area parallellogram as determinant.svg|430px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernvideo ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=av_qhU4eHL8 |500|center}}

{{BR}}
=== Aufgaben zum Video ===

# [[Formel notieren]]: Schreibe die Formel für die Determinante einer 2×2-Matrix auf.
# [[Beispiel nachrechnen]]: Rechne ein Beispiel aus dem Video ohne Hilfe erneut.
# [[Rechenweg erklären]]: Erkläre in zwei Sätzen, warum ein Produkt abgezogen wird.
# [[Video anhalten]]: Stoppe vor einem Ergebnis, berechne es selbst und vergleiche.
# [[Eigene Aufgabe]]: Erfinde eine passende Matrix und berechne ihre Determinante.

{{BR}}
== Zusatzvideo: Was bedeutet die Determinante? ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=XDjaoEz-7aA |500|center}}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Für welche Matrizen ist eine Determinante definiert?'''
(Für quadratische Matrizen)
(!Für alle Tabellen)
(!Nur für Zeilenmatrizen)
(!Nur für Matrizen mit positiven Zahlen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet die Formel für eine 2×2-Matrix?'''
(ad minus bc)
(!ab minus cd)
(!ac plus bd)
(!abcd)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie groß ist die Determinante der Matrix mit den Zeilen 2, 1 und 3, 4?'''
(5)
(!2)
(!8)
(!11)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet eine Determinante von null?'''
(Die Matrix ist nicht invertierbar)
(!Die Matrix ist immer eine Einheitsmatrix)
(!Alle Einträge sind null)
(!Die Matrix hat nur eine Zeile)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Für welche Größe gilt die Regel von Sarrus direkt?'''
(Für eine 3×3-Matrix)
(!Für eine 2×4-Matrix)
(!Für jede beliebige Matrix)
(!Nur für eine 1×1-Matrix)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht bei der Regel von Sarrus mit den steigenden Diagonalprodukten?'''
(Sie werden abgezogen)
(!Sie werden verdoppelt)
(!Sie werden ignoriert)
(!Sie werden durch null geteilt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie groß ist die Determinante einer Einheitsmatrix?'''
(1)
(!0)
(!2)
(!Minus 1)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht mit der Determinante beim Vertauschen zweier Zeilen?'''
(Ihr Vorzeichen wechselt)
(!Sie bleibt immer gleich)
(!Sie wird immer null)
(!Sie wird quadriert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie berechnet man die Determinante einer Dreiecksmatrix?'''
(Man multipliziert die Diagonaleinträge)
(!Man addiert alle Einträge)
(!Man multipliziert nur die erste Zeile)
(!Man zählt die Nullen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beschreibt der Betrag der Determinante geometrisch?'''
(Einen Flächen- oder Volumenfaktor)
(!Die Anzahl der Matrixzeilen)
(!Die Farbe einer Zeichnung)
(!Nur die Länge eines Vektors)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Determinante || Zahl einer quadratischen Matrix
|-
| Zwei-mal-zwei-Matrix || ad minus bc
|-
| Drei-mal-drei-Matrix || Regel von Sarrus
|-
| Null-Determinante || Keine inverse Matrix
|-
| Betrag der Determinante || Flächen- oder Volumenfaktor
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Hauptdiagonale'''
| Produkt a mal d
|-
| '''Nebendiagonale'''
| Produkt b mal c
|-
| '''Quadratische Matrix'''
| Gleich viele Zeilen und Spalten
|-
| '''Null-Determinante'''
| Keine inverse Matrix
|-
| '''Sarrus-Regel'''
| Verfahren für eine Drei-mal-drei-Matrix

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Matrix || Wie heißt eine rechteckige Anordnung von Zahlen?
|-
| Sarrus || Nach wem ist die bekannte Regel für Drei-mal-drei-Matrizen benannt?
|-
| Inverse || Wie heißt die Umkehrmatrix?
|-
| Diagonale || Auf welcher Linie liegen die Einträge von links oben nach rechts unten?
|-
| Null || Welcher Wert zeigt, dass eine Matrix nicht invertierbar ist?
|-
| Volumen || Welche dreidimensionale Größe kann durch eine Determinante skaliert werden?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Determinante+einer+Matrix+berechnen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine Determinante gehört zu einer { quadratischen } Matrix.
Bei einer Zwei-mal-zwei-Matrix lautet die Formel { ad-bc }.
Für eine Drei-mal-drei-Matrix kann die Regel von { Sarrus } verwendet werden.
Ist die Determinante null, ist die Matrix nicht { invertierbar }.
Der Betrag der Determinante kann einen { Flächenfaktor } beschreiben.
Beim Vertauschen zweier Zeilen wechselt das { Vorzeichen }.
Bei einer Dreiecksmatrix werden die Einträge der { Hauptdiagonale } multipliziert.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Rechenkarte]]: Gestalte eine Karte mit der Formel für eine 2×2-Determinante und einem Beispiel.
# [[Fehler finden]]: Erfinde einen falschen Rechenweg und markiere den Fehler.
# [[Video-Zusammenfassung]]: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.
# [[Merkbild]]: Zeichne ein Bild, das „Hauptdiagonale minus Nebendiagonale“ zeigt.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Sarrus erklären]]: Erkläre die Regel von Sarrus mit einer selbst gewählten Matrix.
# [[Methoden vergleichen]]: Vergleiche die Berechnung bei einer 2×2- und einer 3×3-Matrix.
# [[Flächenaufgabe]]: Wähle zwei Vektoren und bestimme mit der Determinante den Flächeninhalt des Parallelogramms.
# [[Partnerkontrolle]]: Tausche eine selbst erstellte Aufgabe mit einer anderen Person und prüft eure Ergebnisse.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Flächenformel begründen]]: Erkläre, warum der Betrag einer 2×2-Determinante einen Flächeninhalt liefert.
# [[Laplace-Entwicklung]]: Informiere Dich über den [[Laplacescher Entwicklungssatz|Laplaceschen Entwicklungssatz]] und rechne ein Beispiel.
# [[Eigenschaften untersuchen]]: Prüfe an Beispielen, wie Zeilentausch und Zeilenmultiplikation die Determinante verändern.
# [[Erklärvideo erstellen]]: Produziere ein kurzes Lernvideo mit Rechnung, Erklärung und Kontrollaufgabe.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Fehleranalyse]]: Eine Person rechnet bei einer 2×2-Matrix <math>ad+bc</math>. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
# [[Entscheidung begründen]]: Untersuche zwei Matrizen und begründe, welche davon invertierbar ist.
# [[Geometrischer Transfer]]: Erkläre, was eine Determinante von 3 für den Flächeninhalt einer Figur bedeutet.
# [[Methodenwahl]]: Entscheide bei verschiedenen Matrixgrößen, ob Sarrus, eine einfache Formel oder die Laplace-Entwicklung geeignet ist.
# [[Anwendung]]: Beschreibe, welche Rolle die Determinante beim eindeutigen Lösen eines linearen Gleichungssystems spielt.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

# Determinanten von 2×2- und 3×3-Matrizen sicher berechnest,
# Deinen Rechenweg verständlich erklärst,
# die Bedeutung von <math>\det(A)=0</math> kennst,
# geometrische Anwendungen beschreibst,
# Fehler erkennst und korrigierst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Determinante </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Determinante einer Matrix berechnen]]'''
# [[Matrix]]
# [[Determinante]]
# [[Quadratische Matrix]]
# [[Regel von Sarrus]]
# [[Laplacescher Entwicklungssatz]]
# [[Inverse Matrix]]
# [[Lineare Gleichungssysteme]]
# [[Lineare Algebra]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]
[[Kategorie:Klasse 13]]

= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Determinante einer Matrix berechnen - Versionsgeschichte

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