Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-04T06:35:44Z

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{{BR}}
= Einleitung =

Das '''[[kleinstes gemeinsames Vielfaches|kleinste gemeinsame Vielfache]]''', kurz '''[[kgV]]''', hilft Dir beim '''[[Bruchrechnen]]''', sobald Brüche unterschiedliche '''[[Nenner]]''' haben. Besonders wichtig ist es beim '''[[Addieren]]''', '''[[Subtrahieren]]''' und '''[[Vergleichen]]''' von '''[[Bruch|Brüchen]]'''. Der kleinste gemeinsame Nenner, auf den mehrere Brüche gebracht werden können, heißt '''[[Hauptnenner]]'''. Dieser Hauptnenner ist das '''kgV der Nenner'''.

Stell Dir vor, Du möchtest <math>\frac{1}{6}</math> und <math>\frac{1}{8}</math> addieren. Die Teile sind verschieden groß: Sechstel und Achtel passen nicht direkt zusammen. Erst wenn beide Brüche auf gleich große Teile gebracht wurden, kannst Du die Zähler addieren. Dafür suchst Du einen gemeinsamen Nenner. Der kleinste sinnvolle gemeinsame Nenner ist hier <math>24</math>, denn <math>24</math> ist das kleinste gemeinsame Vielfache von <math>6</math> und <math>8</math>.

[[Datei:Least common multiple.svg|500px|rahmenlos|center]]

Dieser aiMOOC zeigt Dir, wie Du das '''[[kleinstes gemeinsames Vielfaches|kgV]]''' sicher bestimmst, warum es beim '''[[Bruchrechnen]]''' so nützlich ist und wie Du typische Fehler vermeidest. Du lernst verschiedene Methoden kennen: das Auflisten von '''[[Vielfaches|Vielfachen]]''', die '''[[Primfaktorzerlegung]]''' und den Zusammenhang mit dem '''[[größter gemeinsamer Teiler|größten gemeinsamen Teiler]]'''.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=tGDCF575v2o |500|center}}

{{BR}}
= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, was ein '''[[Vielfaches]]''', ein '''[[gemeinsames Vielfaches]]''' und das '''[[kleinstes gemeinsames Vielfaches|kgV]]''' sind. Du kannst das kgV von zwei oder mehreren natürlichen Zahlen bestimmen und es als '''[[Hauptnenner]]''' beim '''[[Bruchrechnen]]''' anwenden. Außerdem kannst Du entscheiden, welche Methode in welcher Rechensituation sinnvoll ist, und Deine Rechenwege verständlich begründen.

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= Grundbegriffe =

{{BR}}
== Bruch, Zähler und Nenner ==

Ein '''[[Bruch]]''' beschreibt einen Anteil eines Ganzen. In <math>\frac{3}{5}</math> ist die Zahl <math>3</math> der '''[[Zähler]]'''. Sie sagt, wie viele Teile gemeint sind. Die Zahl <math>5</math> ist der '''[[Nenner]]'''. Sie sagt, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt wurde. Beim '''[[Bruchrechnen]]''' ist der Nenner besonders wichtig, weil Du nur gleich große Teile direkt addieren oder subtrahieren kannst.

Beispiel: <math>\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}</math>. Die Nenner sind gleich, deshalb werden die Zähler addiert und der Nenner bleibt gleich. Anders ist es bei <math>\frac{2}{7}+\frac{1}{5}</math>. Siebtel und Fünftel sind verschieden groß. Deshalb brauchst Du zuerst einen gemeinsamen Nenner.

{{BR}}
== Vielfache und gemeinsame Vielfache ==

Ein '''[[Vielfaches]]''' einer Zahl entsteht, wenn Du diese Zahl mit einer natürlichen Zahl multiplizierst. Die ersten Vielfachen von <math>6</math> sind <math>6, 12, 18, 24, 30, 36</math> und so weiter. Die ersten Vielfachen von <math>8</math> sind <math>8, 16, 24, 32, 40, 48</math> und so weiter. Ein '''[[gemeinsames Vielfaches]]''' zweier Zahlen kommt in beiden Vielfachenreihen vor.

Für <math>6</math> und <math>8</math> sind gemeinsame Vielfache zum Beispiel <math>24, 48, 72</math>. Das kleinste davon ist <math>24</math>. Daher gilt: <math>\operatorname{kgV}(6,8)=24</math>.

[[Datei:D12 D18 M12 M18.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Das kleinste gemeinsame Vielfache ==

Das '''[[kleinstes gemeinsames Vielfaches|kleinste gemeinsame Vielfache]]''' zweier positiver natürlicher Zahlen ist die kleinste positive Zahl, die durch beide Zahlen ohne Rest teilbar ist. In der Schulmathematik wird meist mit positiven natürlichen Zahlen gearbeitet. Für die '''[[Bruchrechnung]]''' bedeutet das: Das kgV der Nenner ist der kleinste gemeinsame Nenner, also der '''[[Hauptnenner]]'''.

Beispiele:
# '''[[kgV]] von 4 und 6''': Vielfache von <math>4</math> sind <math>4, 8, 12, 16, 20, 24</math>. Vielfache von <math>6</math> sind <math>6, 12, 18, 24</math>. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist <math>12</math>.
# '''[[kgV]] von 9 und 12''': Vielfache von <math>9</math> sind <math>9, 18, 27, 36</math>. Vielfache von <math>12</math> sind <math>12, 24, 36</math>. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist <math>36</math>.
# '''[[kgV]] von 5 und 7''': Die Zahlen haben außer <math>1</math> keinen gemeinsamen Teiler. Deshalb ist das kgV <math>5 \cdot 7 = 35</math>.

{{BR}}
== Hauptnenner ==

Der '''[[Hauptnenner]]''' ist der kleinste gemeinsame Nenner mehrerer Brüche. Er ist das '''[[kleinstes gemeinsames Vielfaches|kgV]] der Nenner'''. Wenn Du Brüche addieren oder subtrahieren möchtest, bringst Du sie zuerst durch '''[[Erweitern]]''' auf diesen Hauptnenner.

Beispiel: <math>\frac{5}{12}+\frac{7}{18}</math>. Die Nenner sind <math>12</math> und <math>18</math>. Das kgV ist <math>36</math>. Deshalb werden beide Brüche auf den Nenner <math>36</math> erweitert:
<math>\frac{5}{12}=\frac{15}{36}</math> und <math>\frac{7}{18}=\frac{14}{36}</math>. Dann gilt:
<math>\frac{15}{36}+\frac{14}{36}=\frac{29}{36}</math>.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=j2WBV_9JAj4 |500|center}}

{{BR}}
= Methoden zur Bestimmung des kgV =

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== Methode 1: Vielfachenlisten ==

Die Methode der '''[[Vielfaches|Vielfachenlisten]]''' eignet sich besonders für kleine Zahlen. Du schreibst die Vielfachen der beteiligten Nenner auf und suchst das erste Vielfache, das in allen Listen vorkommt.

Beispiel: Bestimme <math>\operatorname{kgV}(6,8)</math>.
# '''[[Vielfache]] von 6''': <math>6, 12, 18, 24, 30, 36</math>
# '''[[Vielfache]] von 8''': <math>8, 16, 24, 32, 40</math>
# '''Gemeinsames Vielfaches''': <math>24</math>
# '''Ergebnis''': <math>\operatorname{kgV}(6,8)=24</math>

Anwendung beim Bruchrechnen:
<math>\frac{5}{6}+\frac{3}{8}</math>. Der Hauptnenner ist <math>24</math>. Du erweiterst:
<math>\frac{5}{6}=\frac{20}{24}</math> und <math>\frac{3}{8}=\frac{9}{24}</math>. Dann rechnest Du:
<math>\frac{20}{24}+\frac{9}{24}=\frac{29}{24}=1\frac{5}{24}</math>.

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== Methode 2: Primfaktorzerlegung ==

Die '''[[Primfaktorzerlegung]]''' ist besonders nützlich, wenn die Zahlen größer sind oder wenn mehrere Nenner beteiligt sind. Dabei zerlegst Du jede Zahl in '''[[Primzahl|Primfaktoren]]'''. Für das kgV nimmst Du alle Primfaktoren, die vorkommen, jeweils mit der höchsten Potenz.

Beispiel: Bestimme <math>\operatorname{kgV}(12,18)</math>.
# '''[[Primfaktorzerlegung]] von 12''': <math>12=2^2 \cdot 3</math>
# '''[[Primfaktorzerlegung]] von 18''': <math>18=2 \cdot 3^2</math>
# '''Höchste Potenzen''': <math>2^2</math> und <math>3^2</math>
# '''kgV''': <math>2^2 \cdot 3^2=4 \cdot 9=36</math>

Anwendung:
<math>\frac{7}{12}-\frac{5}{18}</math>. Der Hauptnenner ist <math>36</math>. Es gilt:
<math>\frac{7}{12}=\frac{21}{36}</math> und <math>\frac{5}{18}=\frac{10}{36}</math>. Also:
<math>\frac{21}{36}-\frac{10}{36}=\frac{11}{36}</math>.

[[Datei:Lcm.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Methode 3: Zusammenhang mit dem ggT ==

Der '''[[größter gemeinsamer Teiler|größte gemeinsame Teiler]]''', kurz '''[[ggT]]''', ist die größte Zahl, die zwei Zahlen ohne Rest teilt. Für positive natürliche Zahlen gilt der Zusammenhang:
<math>\operatorname{kgV}(a,b)=\frac{a \cdot b}{\operatorname{ggT}(a,b)}</math>.

Beispiel: Bestimme <math>\operatorname{kgV}(12,18)</math>. Der ggT von <math>12</math> und <math>18</math> ist <math>6</math>. Also:
<math>\operatorname{kgV}(12,18)=\frac{12 \cdot 18}{6}=\frac{216}{6}=36</math>.

Diese Methode ist schnell, wenn Du den '''[[größter gemeinsamer Teiler|ggT]]''' leicht erkennst. Beim Bruchrechnen hilft sie Dir vor allem dann, wenn die Nenner größere gemeinsame Teiler haben und das Produkt der Nenner unnötig groß wäre.

{{BR}}
== Methode 4: kgV von mehreren Zahlen ==

Beim Addieren mehrerer Brüche brauchst Du manchmal das kgV von drei oder mehr Nennern. Du kannst entweder alle Vielfachen vergleichen oder die '''[[Primfaktorzerlegung]]''' nutzen. Besonders übersichtlich ist die Primfaktorzerlegung.

Beispiel: Bestimme <math>\operatorname{kgV}(6,8,9)</math>.
# <math>6=2 \cdot 3</math>
# <math>8=2^3</math>
# <math>9=3^2</math>
# Höchste Potenzen: <math>2^3</math> und <math>3^2</math>
# <math>\operatorname{kgV}(6,8,9)=2^3 \cdot 3^2=8 \cdot 9=72</math>

Anwendung:
<math>\frac{1}{6}+\frac{3}{8}+\frac{2}{9}</math>. Der Hauptnenner ist <math>72</math>. Deshalb gilt:
<math>\frac{1}{6}=\frac{12}{72}</math>, <math>\frac{3}{8}=\frac{27}{72}</math>, <math>\frac{2}{9}=\frac{16}{72}</math>. Dann:
<math>\frac{12}{72}+\frac{27}{72}+\frac{16}{72}=\frac{55}{72}</math>.

[[Datei:Symmetrical 5-set Venn diagram LCM 2 3 4 5 7.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= kgV beim Bruchrechnen anwenden =

{{BR}}
== Brüche addieren ==

Beim Addieren ungleichnamiger Brüche gehst Du in vier Schritten vor. Zuerst bestimmst Du das '''[[kleinstes gemeinsames Vielfaches|kgV]]''' der Nenner. Danach erweiterst Du jeden Bruch auf den '''[[Hauptnenner]]'''. Anschließend addierst Du die Zähler. Zum Schluss prüfst Du, ob das Ergebnis gekürzt werden kann.

Beispiel:
<math>\frac{3}{10}+\frac{7}{15}</math>. Die Nenner sind <math>10</math> und <math>15</math>. Das kgV ist <math>30</math>. Du erweiterst:
<math>\frac{3}{10}=\frac{9}{30}</math> und <math>\frac{7}{15}=\frac{14}{30}</math>. Dann:
<math>\frac{9}{30}+\frac{14}{30}=\frac{23}{30}</math>. Der Bruch <math>\frac{23}{30}</math> ist vollständig gekürzt, weil <math>23</math> eine Primzahl ist und kein Teiler von <math>30</math>.

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== Brüche subtrahieren ==

Beim Subtrahieren gehst Du genauso vor. Wichtig ist, dass die Nenner zuerst gleich gemacht werden. Erst danach werden die Zähler subtrahiert.

Beispiel:
<math>\frac{7}{8}-\frac{5}{12}</math>. Die Nenner sind <math>8</math> und <math>12</math>. Das kgV ist <math>24</math>. Du erweiterst:
<math>\frac{7}{8}=\frac{21}{24}</math> und <math>\frac{5}{12}=\frac{10}{24}</math>. Dann:
<math>\frac{21}{24}-\frac{10}{24}=\frac{11}{24}</math>.

{{BR}}
== Brüche vergleichen ==

Auch beim Vergleichen von Brüchen hilft der '''[[Hauptnenner]]'''. Wenn zwei Brüche denselben Nenner haben, ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer.

Beispiel:
Vergleiche <math>\frac{5}{8}</math> und <math>\frac{11}{18}</math>. Die Nenner sind <math>8</math> und <math>18</math>. Das kgV ist <math>72</math>. Du erweiterst:
<math>\frac{5}{8}=\frac{45}{72}</math> und <math>\frac{11}{18}=\frac{44}{72}</math>. Da <math>45>44</math>, gilt:
<math>\frac{5}{8}>\frac{11}{18}</math>.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=W_asKV886mc |500|center}}

{{BR}}
= Typische Fehler und wie Du sie vermeidest =

{{BR}}
== Fehler 1: Nenner einfach addieren ==

Ein häufiger Fehler ist, die Nenner beim Addieren mitzuzählen: <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{2}{7}</math>. Das ist falsch, weil Drittel und Viertel unterschiedlich große Teile sind. Richtig ist:
<math>\operatorname{kgV}(3,4)=12</math>, also <math>\frac{1}{3}=\frac{4}{12}</math> und <math>\frac{1}{4}=\frac{3}{12}</math>. Damit:
<math>\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}</math>.

{{BR}}
== Fehler 2: Nur den Nenner verändern ==

Beim '''[[Erweitern]]''' musst Du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Wenn Du nur den Nenner veränderst, ändert sich der Wert des Bruchs. Aus <math>\frac{2}{5}</math> wird bei Erweiterung auf den Nenner <math>20</math> nicht <math>\frac{2}{20}</math>, sondern <math>\frac{8}{20}</math>, weil <math>5 \cdot 4=20</math> und deshalb auch <math>2 \cdot 4=8</math> gerechnet werden muss.

{{BR}}
== Fehler 3: kgV und ggT verwechseln ==

Das '''[[kleinstes gemeinsames Vielfaches|kgV]]''' ist ein gemeinsames Vielfaches. Es ist meist größer als die beteiligten Zahlen oder genauso groß wie eine davon. Der '''[[größter gemeinsamer Teiler|ggT]]''' ist ein gemeinsamer Teiler. Er ist höchstens so groß wie die kleinste beteiligte Zahl. Beim Suchen des Hauptnenners brauchst Du das kgV, nicht den ggT.

Beispiel: Bei <math>12</math> und <math>18</math> ist der ggT <math>6</math>. Der Hauptnenner kann aber nicht <math>6</math> sein, denn <math>6</math> ist kein Vielfaches von <math>12</math> und kein Vielfaches von <math>18</math>. Das kgV ist <math>36</math>.

{{BR}}
== Fehler 4: Ergebnis nicht kürzen ==

Nach dem Addieren oder Subtrahieren solltest Du prüfen, ob der Bruch gekürzt werden kann. Beispiel:
<math>\frac{5}{12}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}+\frac{3}{12}=\frac{8}{12}</math>. Der Bruch <math>\frac{8}{12}</math> kann durch <math>4</math> gekürzt werden. Das Ergebnis ist <math>\frac{2}{3}</math>.

{{BR}}
= Strategieübersicht =

{| class="wikitable"
! Situation
! Sinnvolle Strategie
! Beispiel
|-
| Kleine Nenner
| [[Vielfaches|Vielfachenlisten]] aufschreiben
| <math>\operatorname{kgV}(4,6)=12</math>
|-
| Größere Nenner
| [[Primfaktorzerlegung]] verwenden
| <math>24=2^3 \cdot 3</math> und <math>36=2^2 \cdot 3^2</math>
|-
| Zwei Zahlen mit erkennbarem gemeinsamen Teiler
| Zusammenhang mit dem [[größter gemeinsamer Teiler|ggT]] nutzen
| <math>\operatorname{kgV}(12,18)=\frac{12 \cdot 18}{6}=36</math>
|-
| Mehrere Brüche
| Alle Nenner in Primfaktoren zerlegen
| <math>\operatorname{kgV}(6,8,9)=72</math>
|-
| Ergebnisbruch
| [[Kürzen]] prüfen
| <math>\frac{8}{12}=\frac{2}{3}</math>
|}

{{BR}}
= Beispielaufgaben mit Lösungswegen =

{{BR}}
== Beispiel 1: Zwei Brüche addieren ==

Berechne <math>\frac{2}{9}+\frac{5}{12}</math>.

Die Nenner sind <math>9</math> und <math>12</math>. Die Vielfachen von <math>9</math> sind <math>9, 18, 27, 36</math>. Die Vielfachen von <math>12</math> sind <math>12, 24, 36</math>. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist <math>36</math>. Daher ist der Hauptnenner <math>36</math>.

<math>\frac{2}{9}=\frac{8}{36}</math> und <math>\frac{5}{12}=\frac{15}{36}</math>. Also:
<math>\frac{8}{36}+\frac{15}{36}=\frac{23}{36}</math>.

{{BR}}
== Beispiel 2: Zwei Brüche subtrahieren ==

Berechne <math>\frac{11}{15}-\frac{1}{6}</math>.

Die Nenner sind <math>15</math> und <math>6</math>. Es gilt <math>15=3 \cdot 5</math> und <math>6=2 \cdot 3</math>. Das kgV ist <math>2 \cdot 3 \cdot 5=30</math>. Daher:
<math>\frac{11}{15}=\frac{22}{30}</math> und <math>\frac{1}{6}=\frac{5}{30}</math>. Also:
<math>\frac{22}{30}-\frac{5}{30}=\frac{17}{30}</math>.

{{BR}}
== Beispiel 3: Drei Brüche addieren ==

Berechne <math>\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}</math>.

Die Nenner sind <math>4, 6, 9</math>. Es gilt <math>4=2^2</math>, <math>6=2 \cdot 3</math> und <math>9=3^2</math>. Das kgV ist <math>2^2 \cdot 3^2=36</math>. Daher:
<math>\frac{1}{4}=\frac{9}{36}</math>, <math>\frac{1}{6}=\frac{6}{36}</math> und <math>\frac{1}{9}=\frac{4}{36}</math>. Also:
<math>\frac{9}{36}+\frac{6}{36}+\frac{4}{36}=\frac{19}{36}</math>.

{{BR}}
= Merksätze =

# '''[[Hauptnenner]]''': Der Hauptnenner ist das [[kleinstes gemeinsames Vielfaches|kgV]] der Nenner.
# '''[[Erweitern]]''': Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert.
# '''[[Addition]] und [[Subtraktion]]''': Nur gleichnamige Brüche können direkt addiert oder subtrahiert werden.
# '''[[Primfaktorzerlegung]]''': Für das kgV nimmt man alle Primfaktoren mit der jeweils höchsten Potenz.
# '''[[Kürzen]]''': Nach dem Rechnen solltest Du prüfen, ob das Ergebnis gekürzt werden kann.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was bedeutet kgV?'''
(kleinstes gemeinsames Vielfaches)
(!kleinster gemeinsamer Vorgänger)
(!größter gemeinsamer Teiler)
(!gemeinsamer gekürzter Vielfachwert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wofür brauchst Du das kgV beim Addieren ungleichnamiger Brüche?'''
(zum Finden des Hauptnenners)
(!zum Kürzen des Zählers)
(!zum Addieren der Nenner)
(!zum Vertauschen von Zähler und Nenner)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist das kgV von 4 und 6?'''
(12)
(!2)
(!10)
(!24)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist das kgV von 8 und 12?'''
(24)
(!4)
(!20)
(!96)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zum Erweitern eines Bruchs ist richtig?'''
(Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert)
(!Nur der Nenner wird multipliziert)
(!Nur der Zähler wird multipliziert)
(!Zähler und Nenner werden addiert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Nenner ist der Hauptnenner von den Brüchen mit den Nennern 9 und 12?'''
(36)
(!3)
(!21)
(!108)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Methode ist bei größeren Nennern oft besonders übersichtlich?'''
(Primfaktorzerlegung)
(!Raten)
(!Nenner addieren)
(!Zähler vergleichen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist der Hauptnenner der Brüche ein Sechstel und ein Achtel?'''
(24)
(!14)
(!48)
(!2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist ein Produkt der Nenner nicht immer der beste gemeinsame Nenner?'''
(weil es oft größer als der Hauptnenner ist)
(!weil es nie ein gemeinsamer Nenner ist)
(!weil es immer kleiner als jeder Nenner ist)
(!weil es den Zähler unverändert lässt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was solltest Du nach dem Addieren oder Subtrahieren von Brüchen prüfen?'''
(ob der Ergebnisbruch gekürzt werden kann)
(!ob die Nenner addiert wurden)
(!ob der kleinere Bruch gestrichen wurde)
(!ob alle Zähler gleich sind)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| kgV || kleinstes gemeinsames Vielfaches
|-
| Hauptnenner || kgV der Nenner
|-
| Zähler || obere Zahl im Bruch
|-
| Nenner || untere Zahl im Bruch
|-
| Erweitern || Zähler und Nenner gleich multiplizieren
|-
| Kürzen || Zähler und Nenner gleich teilen
|-
| Primfaktorzerlegung || Zerlegung in Primzahlen
|-
| ggT || größter gemeinsamer Teiler
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Hauptnenner'''
| kleinster gemeinsamer Nenner
|-
| '''Vielfaches'''
| Ergebnis einer Multiplikation mit einer natürlichen Zahl
|-
| '''Primfaktor'''
| Primzahl als Bestandteil einer Zerlegung
|-
| '''Erweitern'''
| Wertgleiche Veränderung eines Bruchs durch Multiplikation
|-
| '''Kürzen'''
| Wertgleiche Veränderung eines Bruchs durch Division
|-
| '''ggT'''
| größter gemeinsamer Teiler
|}

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Vielfaches || Wie nennt man eine Zahl, die durch eine andere Zahl ohne Rest teilbar ist und zu deren Malreihe gehört?
|-
| Nenner || Wie heißt die untere Zahl in einem Bruch?
|-
| Zaehler || Wie heißt die obere Zahl in einem Bruch?
|-
| Hauptnenner || Wie heißt der kleinste gemeinsame Nenner mehrerer Brüche?
|-
| Primfaktor || Wie heißt ein Faktor, der eine Primzahl ist?
|-
| Erweitern || Wie heißt das gleichwertige Multiplizieren von Zähler und Nenner?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Das+kleinste+gemeinsame+Vielfache+bestimmen+Bruchrechnen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Beim Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche brauchst Du zuerst einen gemeinsamen { Nenner }. Der kleinste gemeinsame Nenner heißt { Hauptnenner }. Er ist das { kgV } der Nenner. Ein Vielfaches entsteht durch { Multiplizieren } mit einer natürlichen Zahl. Bei der Primfaktorzerlegung zerlegst Du Zahlen in { Primzahlen }. Für das kgV nimmst Du jeden vorkommenden Primfaktor mit der { höchsten } Potenz. Beim Erweitern müssen Zähler und Nenner mit derselben Zahl { multipliziert } werden. Nach dem Rechnen prüfst Du, ob der Ergebnisbruch { gekürzt } werden kann.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Vielfachenliste]]: Schreibe die ersten zehn Vielfachen von 4, 6 und 8 auf und markiere jeweils die gemeinsamen Vielfachen.
# [[Hauptnenner]]: Bestimme den Hauptnenner für die Nennerpaare 3 und 5, 4 und 10, 6 und 9 sowie 8 und 12.
# [[Bruchrechnung]]: Erfinde drei Additionsaufgaben mit ungleichnamigen Brüchen und löse sie mithilfe des kgV.
# [[Fehlersuche]]: Erkläre, warum <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{2}{7}</math> falsch ist, und rechne die Aufgabe richtig.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Primfaktorzerlegung]]: Zerlege die Zahlen 18, 24, 30 und 36 in Primfaktoren und bestimme daraus jeweils zwei kgV-Werte.
# [[Erweitern]]: Wähle vier Brüche mit unterschiedlichen Nennern und bringe sie auf einen gemeinsamen Hauptnenner.
# [[Vergleichen von Brüchen]]: Vergleiche fünf selbst gewählte Bruchpaare, indem Du sie auf den Hauptnenner bringst.
# [[Mathematische Erklärung]]: Schreibe eine kurze Lernkarte, die erklärt, warum der Hauptnenner das Rechnen erleichtert.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Mehrere Brüche addieren]]: Erstelle eine Aufgabe mit drei ungleichnamigen Brüchen, deren Hauptnenner größer als 50 ist, und löse sie vollständig.
# [[Transferaufgabe]]: Plane ein Kuchenrezept, bei dem Mengenangaben wie <math>\frac{1}{6}</math>, <math>\frac{1}{8}</math> und <math>\frac{1}{12}</math> zusammengeführt werden müssen.
# [[Beweisidee]]: Begründe an einem Beispiel, warum die Primfaktorzerlegung beim kgV zuverlässiger ist als reines Raten.
# [[Lernvideo]]: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du das kgV von 12, 18 und 20 bestimmst und anschließend eine Bruchaufgabe damit löst.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Rechenstrategie]]: Erkläre an zwei Beispielen, wann Du eine Vielfachenliste verwendest und wann die Primfaktorzerlegung sinnvoller ist.
# [[Transferleistung]]: Entwickle eine Sachaufgabe aus dem Alltag, in der das kgV gebraucht wird, und löse sie mit vollständigem Rechenweg.
# [[Fehleranalyse]]: Untersuche eine falsche Schülerlösung, bei der nur die Nenner addiert wurden, und formuliere eine verständliche Korrektur.
# [[Vergleich von Methoden]]: Bestimme <math>\operatorname{kgV}(24,36)</math> einmal mit Vielfachenlisten und einmal mit Primfaktorzerlegung. Vergleiche den Aufwand.
# [[Argumentieren]]: Begründe, warum der Hauptnenner beim Addieren von Brüchen nicht zwingend das Produkt der Nenner sein muss.
# [[Anwendung]]: Löse eine Aufgabe mit drei ungleichnamigen Brüchen und erkläre jeden Schritt so, dass eine jüngere Schülerin oder ein jüngerer Schüler ihn verstehen kann.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen guten Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du die Grundbegriffe sicher verwendest, das '''[[kleinstes gemeinsames Vielfaches|kgV]]''' berechnen kannst und die Verbindung zum '''[[Hauptnenner]]''' beim '''[[Bruchrechnen]]''' verstehst. Wichtig ist nicht nur das richtige Ergebnis, sondern auch ein nachvollziehbarer Rechenweg.

# [[Begriffe erklären]]: Du kannst [[Vielfaches]], [[gemeinsames Vielfaches]], [[kleinstes gemeinsames Vielfaches]], [[Hauptnenner]], [[Zähler]] und [[Nenner]] verständlich erklären.
# [[kgV bestimmen]]: Du kannst das kgV zweier oder mehrerer Zahlen mit mindestens zwei Methoden berechnen.
# [[Brüche erweitern]]: Du kannst Brüche korrekt auf den Hauptnenner bringen.
# [[Brüche addieren und subtrahieren]]: Du kannst ungleichnamige Brüche sicher addieren und subtrahieren.
# [[Brüche vergleichen]]: Du kannst Brüche durch einen gemeinsamen Nenner vergleichen.
# [[Ergebnisse prüfen]]: Du kannst erkennen, ob ein Ergebnisbruch noch gekürzt werden kann.
# [[Rechenweg darstellen]]: Du kannst Deine Lösung so aufschreiben, dass andere Deinen Gedankengang nachvollziehen können.

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= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kleinstes_gemeinsames_Vielfaches </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hauptnenner </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Bruchrechnung </iframe>

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{{BR}}
= Links =

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{{:D-Tab}}
'''[[Das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen - Bruchrechnen]]'''
# [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]]
# [[Hauptnenner]]
# [[Bruchrechnung]]
# [[Bruch]]
# [[Zähler]]
# [[Nenner]]
# [[Vielfaches]]
# [[Primfaktorzerlegung]]
# [[Primzahl]]
# [[Größter gemeinsamer Teiler]]
# [[Erweitern]]
# [[Kürzen]]
# [[Addition]]
# [[Subtraktion]]
# [[Vergleichen von Brüchen]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Bruchrechnung]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Arithmetik]]
[[Kategorie:Klasse 5-6]]
[[Kategorie:Klasse 7-8]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen - Bruchrechnen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt