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2026-07-03T22:09:21Z

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= Einleitung =

Das [[Kommutativgesetz]] ist ein wichtiges [[Rechengesetz]] der [[Mathematik]]. Es wird auch '''Vertauschungsgesetz''' genannt. Es hilft Dir beim [[Rechnen]], weil Du bei bestimmten Aufgaben die Reihenfolge der [[Zahl|Zahlen]] verändern darfst, ohne dass sich das [[Ergebnis]] ändert. Das ist besonders nützlich beim [[Kopfrechnen]], beim geschickten Rechnen und beim Überprüfen von [[Rechenaufgabe|Rechenaufgaben]].

Beim [[Kommutativgesetz]] geht es um die Frage: '''Darf ich die Zahlen vertauschen?''' Bei der [[Addition]] und bei der [[Multiplikation]] lautet die Antwort: '''Ja.''' Bei der [[Subtraktion]] und bei der [[Division]] lautet die Antwort meistens: '''Nein.'''

[[Datei:Commutative Addition.svg|500px|rahmenlos|center]]

Das Bild zeigt eine Grundidee des [[Kommutativgesetz]]es bei der [[Addition]]: Es ist egal, ob Du zuerst eine Anzahl und dann eine andere Anzahl zählst oder die Reihenfolge vertauschst. Die Gesamtmenge bleibt gleich.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=735scMudFWw |500|center}}

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= Grundidee des Kommutativgesetzes =

Das [[Kommutativgesetz]] beschreibt eine [[Eigenschaft]] von [[Rechenoperation]]en. Wenn eine Rechenoperation '''kommutativ''' ist, dürfen die Zahlen ihre Plätze tauschen. Das Ergebnis bleibt trotzdem gleich.

Bei zwei Zahlen '''a''' und '''b''' bedeutet das:

'''a + b = b + a'''

und

'''a · b = b · a'''

Diese Schreibweise zeigt: Die Reihenfolge der Zahlen kann sich ändern, aber das [[Ergebnis]] bleibt gleich. Deshalb nennt man das Gesetz auch [[Vertauschungsgesetz]].

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== Das Kommutativgesetz bei der Addition ==

Bei der [[Addition]] heißen die Zahlen, die addiert werden, [[Summand]]en. Das Ergebnis heißt [[Summe]]. Das [[Kommutativgesetz]] der [[Addition]] sagt: '''Summanden dürfen vertauscht werden.'''

Beispiele:

# [[Addition]]: 3 + 5 = 8 und 5 + 3 = 8
# [[Tauschaufgabe]]: 12 + 7 = 19 und 7 + 12 = 19
# [[Kopfrechnen]]: 46 + 9 = 55 und 9 + 46 = 55

In allen Beispielen bleibt die [[Summe]] gleich. Du darfst also bei Plusaufgaben überlegen, welche Reihenfolge für Dich leichter ist.

'''Merksatz:''' Bei der [[Addition]] darfst Du die [[Summand]]en vertauschen. Das Ergebnis bleibt gleich.

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== Warum hilft das beim Kopfrechnen? ==

Das [[Kommutativgesetz]] hilft Dir, Aufgaben übersichtlicher zu machen. Manchmal steht eine Aufgabe so da, dass sie auf den ersten Blick schwierig wirkt. Durch Vertauschen kannst Du sie leichter rechnen.

Beispiel:

'''8 + 37'''

Vielleicht ist es für Dich leichter, mit der größeren Zahl zu beginnen:

'''37 + 8 = 45'''

Das Ergebnis bleibt gleich. Du hast nur die Reihenfolge verändert.

Ein anderes Beispiel:

'''6 + 94'''

Vertauscht:

'''94 + 6 = 100'''

Hier ist die zweite Reihenfolge besonders praktisch, weil Du schnell zur [[Hunderterzahl]] kommst.

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== Das Kommutativgesetz bei der Multiplikation ==

Bei der [[Multiplikation]] heißen die Zahlen, die miteinander malgenommen werden, [[Faktor]]en. Das Ergebnis heißt [[Produkt]]. Das [[Kommutativgesetz]] der [[Multiplikation]] sagt: '''Faktoren dürfen vertauscht werden.'''

[[Datei:Commutative Multiplication.svg|500px|rahmenlos|center]]

Beispiele:

# [[Multiplikation]]: 4 · 6 = 24 und 6 · 4 = 24
# [[Tauschaufgabe]]: 3 · 9 = 27 und 9 · 3 = 27
# [[Einmaleins]]: 7 · 8 = 56 und 8 · 7 = 56

Die [[Faktor]]en werden vertauscht, aber das [[Produkt]] bleibt gleich.

'''Merksatz:''' Bei der [[Multiplikation]] darfst Du die [[Faktor]]en vertauschen. Das Ergebnis bleibt gleich.

{{BR}}
== Ein Beispiel aus dem Alltag ==

Stell Dir vor, in einer Kiste liegen 4 Reihen mit je 6 Äpfeln. Dann kannst Du rechnen:

'''4 · 6 = 24'''

Wenn Du die Kiste drehst, siehst Du vielleicht 6 Reihen mit je 4 Äpfeln:

'''6 · 4 = 24'''

Die Anzahl der Äpfel bleibt gleich. Nur die Sichtweise ändert sich. Genau das ist das [[Kommutativgesetz]] bei der [[Multiplikation]].

[[Datei:CommutativeExample.svg|500px|rahmenlos|center]]

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== Wann gilt das Kommutativgesetz nicht? ==

Das [[Kommutativgesetz]] gilt nicht für alle [[Grundrechenarten]]. Bei der [[Subtraktion]] und bei der [[Division]] verändert sich das Ergebnis meistens, wenn Du die Zahlen vertauschst.

Beispiele zur [[Subtraktion]]:

# 9 - 4 = 5
# 4 - 9 = -5

Die Ergebnisse sind nicht gleich. Deshalb darfst Du bei Minusaufgaben die Zahlen nicht einfach vertauschen.

Beispiele zur [[Division]]:

# 12 : 3 = 4
# 3 : 12 = 0,25

Auch hier sind die Ergebnisse verschieden. Deshalb gilt das [[Kommutativgesetz]] bei der [[Division]] im Allgemeinen nicht.

'''Merksatz:''' Plus und Mal sind vertauschbar. Minus und Geteilt sind normalerweise nicht vertauschbar.

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== Unterschied zwischen Kommutativgesetz und Assoziativgesetz ==

Das [[Kommutativgesetz]] wird manchmal mit dem [[Assoziativgesetz]] verwechselt. Beide gehören zu den wichtigen [[Rechengesetze]]n, aber sie bedeuten nicht dasselbe.

# [[Kommutativgesetz]]: Zahlen dürfen ihre Plätze tauschen. Beispiel: 2 + 5 = 5 + 2
# [[Assoziativgesetz]]: Klammern dürfen anders gesetzt werden. Beispiel: 2 + (5 + 3) = (2 + 5) + 3
# [[Distributivgesetz]]: Eine Klammer wird verteilt. Beispiel: 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2

Wenn Du Rechengesetze sicher unterscheiden kannst, wirst Du beim [[Kopfrechnen]], beim [[Term]]umformen und beim Lösen von [[Sachaufgabe]]n schneller und genauer.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=yYknxIg1W58 |500|center}}

{{BR}}
= Das Kommutativgesetz anwenden =

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== Tauschaufgaben erkennen ==

Eine [[Tauschaufgabe]] entsteht, wenn Du die Reihenfolge der Zahlen vertauschst. Bei der [[Addition]] und [[Multiplikation]] ist die Tauschaufgabe gleichwertig.

Beispiele:

# 15 + 6 und 6 + 15
# 2 · 8 und 8 · 2
# 37 + 13 und 13 + 37
# 5 · 12 und 12 · 5

Tauschaufgaben helfen Dir besonders beim Lernen des [[Einmaleins]]. Wenn Du weißt, dass 6 · 7 = 42 ist, weißt Du auch sofort, dass 7 · 6 = 42 ist.

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== Geschickt rechnen mit Plusaufgaben ==

Du kannst das [[Kommutativgesetz]] nutzen, um Zahlen so zu ordnen, dass sie gut zusammenpassen.

Beispiele:

# 8 + 25 + 2 = 8 + 2 + 25 = 10 + 25 = 35
# 17 + 6 + 3 = 17 + 3 + 6 = 20 + 6 = 26
# 49 + 12 + 1 = 49 + 1 + 12 = 50 + 12 = 62

Hier hilft Dir das [[Kommutativgesetz]], passende Zahlen zusammenzubringen. Oft entstehen dabei glatte [[Zehnerzahl]]en oder [[Hunderterzahl]]en.

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== Geschickt rechnen mit Malaufgaben ==

Auch bei [[Multiplikation]]en kann das Vertauschen helfen.

Beispiele:

# 2 · 17 · 5 = 2 · 5 · 17 = 10 · 17 = 170
# 4 · 9 · 25 = 4 · 25 · 9 = 100 · 9 = 900
# 8 · 3 · 5 = 8 · 5 · 3 = 40 · 3 = 120

Du siehst: Das [[Kommutativgesetz]] hilft Dir, günstige [[Faktor]]en zusammenzustellen. Besonders praktisch sind Kombinationen, die 10, 100 oder 1000 ergeben.

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== Fehler vermeiden ==

Ein häufiger Fehler ist, das [[Kommutativgesetz]] auch bei der [[Subtraktion]] oder [[Division]] anzuwenden. Das ist meistens falsch.

Falsch wäre zum Beispiel:

'''18 - 5 = 5 - 18'''

Richtig ist:

'''18 - 5 = 13'''

und

'''5 - 18 = -13'''

Die Aufgaben haben verschiedene Ergebnisse. Deshalb musst Du immer prüfen, welche [[Rechenoperation]] vorliegt.

{{BR}}
== Strategien für sicheres Rechnen ==

Beim Anwenden des [[Kommutativgesetz]]es hilft Dir eine einfache Denkstrategie:

# [[Rechenoperation]] prüfen: Ist es Plus oder Mal?
# [[Tauschaufgabe]] bilden: Vertausche die Zahlen.
# [[Ergebnis]] vergleichen: Bleibt das Ergebnis gleich?
# [[Kopfrechnen]] verbessern: Wähle die leichtere Reihenfolge.
# [[Fehlerkontrolle]] durchführen: Prüfe, ob Du nicht aus Versehen Minus oder Geteilt vertauscht hast.

So nutzt Du das [[Kommutativgesetz]] nicht nur als Regel, sondern als hilfreiches Werkzeug beim Rechnen.

{{BR}}
= Beispiele und Übungen im Input =

{{BR}}
== Beispiel 1: Addition ==

Aufgabe:

'''27 + 8'''

Du darfst die Zahlen vertauschen:

'''8 + 27'''

Das Ergebnis bleibt gleich:

'''27 + 8 = 35'''

und

'''8 + 27 = 35'''

Die Vertauschung kann helfen, weil Du Dir die Aufgabe vielleicht leichter vorstellen kannst.

{{BR}}
== Beispiel 2: Multiplikation ==

Aufgabe:

'''9 · 6'''

Du darfst die [[Faktor]]en vertauschen:

'''6 · 9'''

Das Ergebnis bleibt gleich:

'''9 · 6 = 54'''

und

'''6 · 9 = 54'''

Wenn Du eine Malaufgabe besser in der anderen Reihenfolge kennst, darfst Du sie umdrehen.

{{BR}}
== Beispiel 3: Keine Vertauschung bei Subtraktion ==

Aufgabe:

'''14 - 9'''

Vertauscht wäre:

'''9 - 14'''

Das Ergebnis ist nicht gleich:

'''14 - 9 = 5'''

und

'''9 - 14 = -5'''

Deshalb gilt das [[Kommutativgesetz]] hier nicht.

{{BR}}
== Beispiel 4: Keine Vertauschung bei Division ==

Aufgabe:

'''20 : 5'''

Vertauscht wäre:

'''5 : 20'''

Das Ergebnis ist nicht gleich:

'''20 : 5 = 4'''

und

'''5 : 20 = 0,25'''

Deshalb gilt das [[Kommutativgesetz]] auch hier nicht.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wie heißt das Kommutativgesetz auf Deutsch auch?'''
(Vertauschungsgesetz)
(!Verteilungsgesetz)
(!Klammergesetz)
(!Rundungsgesetz)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Bei welcher Rechenart gilt das Kommutativgesetz?'''
(Addition)
(!Subtraktion)
(!Division)
(!Potenzieren)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aufgabe ist die passende Tauschaufgabe zu 7 + 12?'''
(12 + 7)
(!7 - 12)
(!12 - 7)
(!7 : 12)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zur Multiplikation ist richtig?'''
(Faktoren dürfen vertauscht werden)
(!Summen dürfen nicht vertauscht werden)
(!Produkte ändern sich immer beim Tauschen)
(!Division und Multiplikation sind immer gleich)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Gleichung zeigt das Kommutativgesetz der Addition?'''
(4 + 9 = 9 + 4)
(!4 - 9 = 9 - 4)
(!4 : 9 = 9 : 4)
(!4 + 9 = 4 - 9)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Gleichung zeigt das Kommutativgesetz der Multiplikation?'''
(6 · 8 = 8 · 6)
(!6 : 8 = 8 : 6)
(!6 - 8 = 8 - 6)
(!6 · 8 = 6 + 8)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist das Kommutativgesetz beim Kopfrechnen nützlich?'''
(Man kann eine leichtere Reihenfolge wählen)
(!Man muss nie mehr rechnen)
(!Alle Rechenarten werden gleich)
(!Jede Aufgabe wird automatisch kleiner)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Bei welcher Rechenart darf man die Zahlen normalerweise nicht vertauschen?'''
(Subtraktion)
(!Addition)
(!Multiplikation)
(!Plusrechnung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bleibt bei einer richtigen Tauschaufgabe gleich?'''
(Das Ergebnis)
(!Immer die erste Zahl)
(!Immer das Rechenzeichen)
(!Die Reihenfolge der Zahlen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aufgabe hat dasselbe Ergebnis wie 5 · 11?'''
(11 · 5)
(!11 : 5)
(!5 + 11)
(!5 - 11)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Vertauschungsgesetz || Anderer Name für das Kommutativgesetz
|-
| Addition || Summanden dürfen getauscht werden
|-
| Multiplikation || Faktoren dürfen getauscht werden
|-
| Subtraktion || Reihenfolge ist wichtig
|-
| Tauschaufgabe || Aufgabe mit gleichem Ergebnis
|-
| Kopfrechnen || Leichtere Reihenfolge wählen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Addition'''
| Vertauschen erlaubt
|-
| '''Multiplikation'''
| Faktoren tauschen
|-
| '''Subtraktion'''
| Vertauschen meistens falsch
|-
| '''Division'''
| Reihenfolge beachten
|-
| '''Tauschaufgabe'''
| Gleiches Ergebnis bei Plus und Mal

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Addition || Bei welcher Plus-Rechenart gilt das Kommutativgesetz?
|-
| Faktoren || Wie heißen die Zahlen bei einer Malaufgabe?
|-
| Summanden || Wie heißen die Zahlen bei einer Plusaufgabe?
|-
| Produkt || Wie heißt das Ergebnis einer Malaufgabe?
|-
| Summe || Wie heißt das Ergebnis einer Plusaufgabe?
|-
| Division || Bei welcher Geteilt-Rechenart gilt das Kommutativgesetz normalerweise nicht?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Kommutativgesetz+anwenden+Rechnen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Das Kommutativgesetz heißt auch { Vertauschungsgesetz }. Es gilt bei der { Addition } und bei der { Multiplikation }. Bei einer Plusaufgabe dürfen die { Summanden } vertauscht werden. Bei einer Malaufgabe dürfen die { Faktoren } vertauscht werden. Das Ergebnis einer Addition heißt { Summe }. Das Ergebnis einer Multiplikation heißt { Produkt }. Bei der Subtraktion gilt das Kommutativgesetz meistens { nicht }. Auch bei der { Division } darf man die Zahlen normalerweise nicht einfach vertauschen. Beim Kopfrechnen hilft das Kommutativgesetz, eine { leichtere } Reihenfolge zu wählen.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Tauschaufgabe]]: Schreibe zu zehn Plusaufgaben jeweils die passende Tauschaufgabe und berechne beide Aufgaben.
# [[Einmaleins]]: Wähle zehn Malaufgaben aus dem kleinen Einmaleins und notiere die passende Tauschaufgabe.
# [[Rechenplakat]]: Gestalte ein kleines Plakat mit dem Merksatz: Plus und Mal sind vertauschbar.
# [[Alltagsbeispiel]]: Finde drei Beispiele aus Deinem Alltag, bei denen die Reihenfolge beim Zählen oder Anordnen keine Rolle spielt.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Kopfrechnen]]: Erstelle fünf Aufgaben, bei denen Du durch Vertauschen schneller zu einer Zehnerzahl oder Hunderterzahl kommst.
# [[Fehlersuche]]: Schreibe sechs Rechenaufgaben auf, darunter richtige und falsche Anwendungen des Kommutativgesetzes. Tausche sie mit einer Partnerin oder einem Partner.
# [[Sachaufgabe]]: Erfinde eine Sachaufgabe zur Multiplikation, bei der zwei verschiedene Sichtweisen zum selben Ergebnis führen.
# [[Erklärvideo]]: Plane ein kurzes Erklärvideo, in dem Du das Kommutativgesetz mit Gegenständen wie Stiften, Würfeln oder Bausteinen zeigst.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Rechengesetze]]: Vergleiche Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz in einer Tabelle mit eigenen Beispielen.
# [[Begründung]]: Erkläre schriftlich, warum das Kommutativgesetz bei der Subtraktion nicht allgemein gilt.
# [[Mathematische Darstellung]]: Zeige mit Rechteckfeldern, warum 3 · 8 und 8 · 3 dasselbe Produkt haben.
# [[Lernstation]]: Entwickle eine Lernstation für jüngere Kinder mit Material, Anleitung, Lösungskarte und kurzer Reflexionsfrage.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Transferaufgabe]]: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, wie das Kommutativgesetz beim Kopfrechnen Zeit sparen kann.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Schülerin behauptet: 15 - 8 ist dasselbe wie 8 - 15. Erkläre den Fehler und formuliere eine passende Regel.
# [[Darstellung wechseln]]: Stelle eine Malaufgabe als Punktefeld dar und erkläre, warum die gedrehte Darstellung dieselbe Anzahl zeigt.
# [[Sachzusammenhang]]: Entwickle eine Alltagssituation, in der eine Plusaufgabe und ihre Tauschaufgabe sinnvoll beschrieben werden.
# [[Rechengesetze vergleichen]]: Beschreibe den Unterschied zwischen Vertauschen und Umklammern mit eigenen Beispielen.
# [[Strategie erklären]]: Zeige an einer Aufgabe mit drei Zahlen, wie Du durch Vertauschen eine günstigere Rechenreihenfolge findest.

<br>
<br>
{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen gelungenen [[Lernnachweis]] zum Thema [[Kommutativgesetz]] solltest Du zeigen, dass Du die Regel nicht nur auswendig kennst, sondern sicher anwenden und erklären kannst.

# [[Begriffsverständnis]]: Du kannst erklären, was das Kommutativgesetz bedeutet.
# [[Addition]]: Du kannst Tauschaufgaben zu Plusaufgaben bilden und berechnen.
# [[Multiplikation]]: Du kannst Tauschaufgaben zu Malaufgaben bilden und berechnen.
# [[Nichtbeispiele]]: Du kannst begründen, warum Subtraktion und Division normalerweise nicht vertauschbar sind.
# [[Kopfrechnen]]: Du kannst das Kommutativgesetz nutzen, um geschickter zu rechnen.
# [[Darstellung]]: Du kannst das Gesetz mit Bildern, Material oder Punktefeldern veranschaulichen.
# [[Transfer]]: Du kannst eigene Sachaufgaben entwickeln, in denen das Kommutativgesetz sinnvoll angewendet wird.

<br>
<br>
{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kommutativgesetz </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Kommutativgesetz]]'''
# [[Vertauschungsgesetz]]
# [[Addition]]
# [[Multiplikation]]
# [[Subtraktion]]
# [[Division]]
# [[Tauschaufgabe]]
# [[Kopfrechnen]]
# [[Rechengesetze]]
# [[Assoziativgesetz]]
# [[Distributivgesetz]]
|}

{{BR}}
= Zusammenfassung =

Das [[Kommutativgesetz]] ist eine wichtige Regel beim [[Rechnen]]. Es sagt, dass man bei bestimmten [[Rechenoperation]]en die Zahlen vertauschen darf, ohne das Ergebnis zu verändern. Bei der [[Addition]] gilt: '''a + b = b + a'''. Bei der [[Multiplikation]] gilt: '''a · b = b · a'''. Bei der [[Subtraktion]] und bei der [[Division]] gilt diese Regel im Allgemeinen nicht. Wenn Du das [[Kommutativgesetz]] sicher anwenden kannst, hilft es Dir beim [[Kopfrechnen]], beim [[Einmaleins]], bei [[Tauschaufgabe]]n und beim geschickten Lösen von [[Sachaufgabe]]n.

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Rechnen]]
[[Kategorie:Grundrechenarten]]
[[Kategorie:Grundschule]]
[[Kategorie:Klasse 3-4]]
[[Kategorie:Klasse 5-6]]
[[Kategorie:AI_MOOC]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Das Kommutativgesetz anwenden - Rechnen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt