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2026-07-03T22:38:07Z

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{{BR}}
= Einleitung =

'''[[Brüche kürzen]]''' ist eine zentrale Grundtechnik der [[Bruchrechnung]]. Dabei veränderst Du die Schreibweise eines [[Bruch|Bruches]], ohne seinen Wert zu verändern. Ein Bruch wie <math>\frac{8}{12}</math> kann zum Beispiel als <math>\frac{2}{3}</math> geschrieben werden, wenn [[Zähler]] und [[Nenner]] durch dieselbe Zahl geteilt werden. Beide Brüche beschreiben denselben Anteil, aber die gekürzte Form ist übersichtlicher und leichter weiterzurechnen.

Beim Kürzen geht es also nicht darum, eine Zahl „kleiner zu machen“, sondern darum, eine '''gleichwertige Darstellung''' zu finden. Das ist wichtig beim [[Addieren von Brüchen]], [[Subtrahieren von Brüchen]], [[Multiplizieren von Brüchen]], [[Dividieren von Brüchen]], beim Umwandeln in [[Dezimalzahl|Dezimalzahlen]] und beim Vergleichen von Anteilen. In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du Brüche sicher kürzt, woran Du vollständig gekürzte Brüche erkennst und wie Du typische Fehler vermeidest.

[[Datei:Fractions of a square.jpg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=WfH9reWAMoA |500|center}}

{{BR}}
== Was ist ein Bruch? ==

Ein [[Bruch]] beschreibt einen Anteil an einem Ganzen oder ein Verhältnis zweier Zahlen. Der obere Teil eines Bruches heißt [[Zähler]]. Er gibt an, wie viele Teile betrachtet werden. Der untere Teil heißt [[Nenner]]. Er gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze eingeteilt ist. Der [[Bruchstrich]] kann als Teilungszeichen verstanden werden: <math>\frac{3}{4}</math> bedeutet auch <math>3:4</math>.

Wenn ein Kuchen in vier gleich große Stücke geteilt wird und drei Stücke markiert sind, beschreibt <math>\frac{3}{4}</math> den markierten Anteil. Werden dieselben drei Viertel in acht kleinere Stücke unterteilt, sind sechs von acht Stücken markiert. Dann gilt <math>\frac{3}{4}=\frac{6}{8}</math>. Beide Brüche sind '''gleichwertige Brüche'''.

[[Datei:FractionStrips.PNG|600px|rahmenlos|center]]

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== Was bedeutet Kürzen? ==

'''Kürzen''' bedeutet: Du teilst [[Zähler]] und [[Nenner]] eines Bruches durch dieselbe Zahl. Diese Zahl muss ein [[gemeinsamer Teiler]] von Zähler und Nenner sein und darf nicht 0 sein. Dadurch erhältst Du einen gleichwertigen Bruch mit kleineren Zahlen.

Beispiel:
<math>\frac{8}{12}=\frac{8:4}{12:4}=\frac{2}{3}</math>

Die Zahl 4 ist hier ein gemeinsamer Teiler von 8 und 12. Man sagt: Der Bruch <math>\frac{8}{12}</math> wird mit 4 gekürzt. Der Wert bleibt gleich, weil Zähler und Nenner im gleichen Verhältnis verändert werden.

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== Warum bleibt der Wert gleich? ==

Ein Bruch ist ein Verhältnis. Wenn Du bei <math>\frac{8}{12}</math> sowohl den Zähler als auch den Nenner durch 4 teilst, vergleichst Du weiterhin denselben Anteil. Aus 8 von 12 gleich großen Teilen werden 2 von 3 größeren Teilgruppen. Die Menge bleibt gleich, nur die Beschreibung wird einfacher.

Das kannst Du Dir mit einem [[Bruchstreifen]] vorstellen: Wenn 12 gleich große Felder in Gruppen zu je 4 Feldern zusammengefasst werden, entstehen 3 gleich große Gruppen. Die ursprünglich markierten 8 Felder entsprechen dann 2 dieser 3 Gruppen. Deshalb gilt <math>\frac{8}{12}=\frac{2}{3}</math>.

[[Datei:Equal Fractions 123.svg|600px|rahmenlos|center]]

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== Vollständig gekürzt und Grunddarstellung ==

Ein Bruch ist '''vollständig gekürzt''', wenn [[Zähler]] und [[Nenner]] keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 mehr haben. Dann ist der Bruch in seiner [[Grunddarstellung]]. Der Bruch <math>\frac{2}{3}</math> ist vollständig gekürzt, denn 2 und 3 haben nur den gemeinsamen Teiler 1.

Beispiele:
# [[Grunddarstellung]]: <math>\frac{6}{9}=\frac{2}{3}</math>, weil 6 und 9 durch 3 teilbar sind.
# [[Grunddarstellung]]: <math>\frac{12}{18}=\frac{2}{3}</math>, weil 12 und 18 durch 6 teilbar sind.
# [[Grunddarstellung]]: <math>\frac{15}{20}=\frac{3}{4}</math>, weil 15 und 20 durch 5 teilbar sind.
# [[Unkürzbarer Bruch]]: <math>\frac{7}{11}</math>, weil 7 und 11 keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben.

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== Schritt-für-Schritt-Methode ==

Eine sichere Methode zum Kürzen besteht aus vier Schritten. Zuerst suchst Du einen gemeinsamen Teiler von [[Zähler]] und [[Nenner]]. Danach teilst Du beide Zahlen durch diesen Teiler. Anschließend prüfst Du, ob der neue Bruch noch weiter gekürzt werden kann. Am Ende kontrollierst Du, ob der gekürzte Bruch denselben Wert beschreibt.

Beispiel <math>\frac{18}{24}</math>:
# [[Gemeinsamer Teiler]]: 18 und 24 sind beide durch 6 teilbar.
# [[Kürzen]]: <math>\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}</math>.
# [[Prüfen]]: 3 und 4 haben keinen gemeinsamen Teiler größer als 1.
# [[Ergebnis]]: <math>\frac{3}{4}</math> ist die Grunddarstellung.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=GpTK8NbM_m0 |500|center}}

{{BR}}
== Kürzen mit dem größten gemeinsamen Teiler ==

Der schnellste Weg zur [[Grunddarstellung]] führt oft über den [[größter gemeinsamer Teiler|größten gemeinsamen Teiler]] (ggT). Der ggT ist die größte Zahl, durch die sowohl der [[Zähler]] als auch der [[Nenner]] ohne Rest teilbar sind. Wenn Du direkt durch den ggT kürzt, bist Du in einem Schritt vollständig fertig.

Beispiel <math>\frac{24}{60}</math>:
# [[Teiler]] von 24 sind 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24.
# [[Teiler]] von 60 sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60.
# Der größte gemeinsame Teiler ist 12.
# <math>\frac{24}{60}=\frac{24:12}{60:12}=\frac{2}{5}</math>.

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== Kürzen durch wiederholtes Teilen ==

Du musst nicht immer sofort den [[größter gemeinsamer Teiler|ggT]] finden. Du kannst auch mehrfach nacheinander kürzen. Das ist besonders hilfreich, wenn Du schnell kleine Teiler erkennst.

Beispiel:
<math>\frac{36}{48}=\frac{18}{24}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}</math>

Hier wurde zuerst durch 2, dann durch 2 und danach durch 3 gekürzt. Das Ergebnis ist dasselbe, als würdest Du <math>\frac{36}{48}</math> direkt durch 12 kürzen.

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== Kürzen mit Primfaktoren ==

Bei größeren Zahlen hilft die [[Primfaktorzerlegung]]. Dabei zerlegst Du [[Zähler]] und [[Nenner]] in [[Primzahl|Primzahlen]]. Gemeinsame Primfaktoren können gestrichen werden, weil sie in Zähler und Nenner gleichermaßen vorkommen.

Beispiel:
<math>\frac{42}{70}=\frac{2\cdot3\cdot7}{2\cdot5\cdot7}</math>

Die gemeinsamen Faktoren 2 und 7 kommen oben und unten vor. Übrig bleibt:
<math>\frac{3}{5}</math>

Damit gilt:
<math>\frac{42}{70}=\frac{3}{5}</math>

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== Kürzen vor dem Multiplizieren ==

Beim [[Multiplizieren von Brüchen]] kannst Du häufig schon vor dem Ausmultiplizieren kürzen. Das macht die Rechnung kleiner und übersichtlicher. Dabei darfst Du einen Zähler mit einem Nenner kürzen, wenn beide Zahlen einen gemeinsamen Teiler haben.

Beispiel:
<math>\frac{6}{15}\cdot\frac{10}{21}</math>

Du kannst 6 und 21 durch 3 kürzen und 10 und 15 durch 5 kürzen:
<math>\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{7}=\frac{4}{21}</math>

Ohne vorheriges Kürzen entstünde zuerst <math>\frac{60}{315}</math>, das danach ebenfalls zu <math>\frac{4}{21}</math> gekürzt werden müsste.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=TfFZ6bU4fl4 |500|center}}

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== Typische Fehler beim Kürzen ==

Beim [[Brüche kürzen|Kürzen]] passieren häufig dieselben Fehler. Besonders wichtig ist: Du darfst nur Faktoren kürzen, nicht einzelne Summanden in einer Addition oder Subtraktion. Außerdem müssen immer Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl geteilt werden. Wenn Du nur den Zähler oder nur den Nenner veränderst, entsteht ein anderer Wert.

Falsch wäre:
<math>\frac{8}{12}\rightarrow\frac{4}{12}</math>

Hier wurde nur der Zähler geteilt. Der Bruch hat dadurch einen anderen Wert. Richtig ist:
<math>\frac{8}{12}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}</math>

Ebenfalls wichtig: Durch 0 darf niemals geteilt werden. Deshalb ist 0 keine erlaubte Kürzungszahl.

{{BR}}
== Strategien zum sicheren Kürzen ==

Gute Strategien helfen Dir, Fehler zu vermeiden. Prüfe zuerst kleine Teiler wie 2, 3, 5 oder 10. Nutze Teilbarkeitsregeln, um schneller gemeinsame Teiler zu erkennen. Suche bei größeren Zahlen den [[größter gemeinsamer Teiler|ggT]]. Kontrolliere am Ende, ob der gekürzte Bruch wirklich nicht weiter kürzbar ist. Eine Skizze mit [[Bruchstreifen]], Kreisen oder Rechtecken kann Dir zeigen, dass der Anteil gleich bleibt.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was bedeutet es, einen Bruch zu kürzen?'''
(Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler teilen)
(!Nur den Zähler kleiner machen)
(!Nur den Nenner größer machen)
(!Zähler und Nenner addieren)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum bleibt der Wert eines Bruches beim Kürzen gleich?'''
(Weil Zähler und Nenner im gleichen Verhältnis verändert werden)
(!Weil der Zähler immer größer wird)
(!Weil der Nenner verschwindet)
(!Weil der Bruch in eine natürliche Zahl umgewandelt wird)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet die vollständig gekürzte Form von 12/18?'''
(2/3)
(!3/2)
(!6/9)
(!4/6)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist der größte gemeinsame Teiler von 24 und 60?'''
(12)
(!6)
(!24)
(!36)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl darf niemals als Kürzungszahl verwendet werden?'''
(0)
(!1)
(!2)
(!5)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist ein Bruch vollständig gekürzt?'''
(Wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben)
(!Wenn der Zähler größer als der Nenner ist)
(!Wenn beide Zahlen gerade sind)
(!Wenn der Nenner eine Primzahl ist)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Durch welche Zahl wird 15/20 direkt zu 3/4 gekürzt?'''
(5)
(!2)
(!3)
(!10)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist der Zähler eines Bruches?'''
(Die Zahl über dem Bruchstrich)
(!Die Zahl unter dem Bruchstrich)
(!Das Ergebnis einer Addition)
(!Der gemeinsame Nenner)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was passiert, wenn beim Kürzen nur der Zähler geteilt wird?'''
(Der Wert des Bruches verändert sich)
(!Der Bruch bleibt immer gleichwertig)
(!Der Nenner wird automatisch mitgeteilt)
(!Der Bruch wird immer vollständig gekürzt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist Kürzen vor dem Multiplizieren von Brüchen oft sinnvoll?'''
(Die Zahlen werden kleiner und die Rechnung übersichtlicher)
(!Die Rechenzeichen verschwinden)
(!Alle Brüche werden zu Dezimalzahlen)
(!Das Ergebnis wird immer eine ganze Zahl)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Zähler || obere Zahl im Bruch
|-
| Nenner || untere Zahl im Bruch
|-
| Gemeinsamer Teiler || Zahl teilt beide Werte ohne Rest
|-
| Kürzen || Zähler und Nenner teilen
|-
| Grunddarstellung || vollständig gekürzte Form
|-
| ggT || größter gemeinsamer Teiler
|-
| Äquivalente Brüche || gleicher Wert bei anderer Schreibweise
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Zähler'''
| obere Zahl eines Bruches
|-
| '''Nenner'''
| untere Zahl eines Bruches
|-
| '''Kürzungszahl'''
| gemeinsamer Teiler zum Teilen
|-
| '''Grunddarstellung'''
| nicht weiter kürzbarer Bruch
|-
| '''Bruchstreifen'''
| anschauliches Modell für Anteile

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Zaehler || Wie heißt die obere Zahl eines Bruches?
|-
| Nenner || Wie heißt die untere Zahl eines Bruches?
|-
| Teiler || Wie heißt eine Zahl, durch die eine andere Zahl ohne Rest teilbar ist?
|-
| Kuerzen || Wie nennt man das Teilen von Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl?
|-
| Grunddarstellung || Wie heißt die vollständig gekürzte Form eines Bruches?
|-
| Bruchstreifen || Welches Modell zeigt Brüche als gleich lange unterteilte Streifen?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Br%C3%BCche+k%C3%BCrzen+Bruchrechnen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Beim Kürzen werden { Zähler } und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler dividiert. Der Wert des Bruches bleibt gleich, weil das { Verhältnis } unverändert bleibt. Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen { Teiler } größer als eins haben. Die schnellste Methode nutzt oft den { ggT } von Zähler und Nenner. Durch Kürzen wird aus 24/60 die übersichtlichere Darstellung { 2/5 }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Bruchbild]]: Zeichne ein Rechteck mit 12 gleich großen Feldern, markiere 8 Felder und zeige anschließend durch Gruppieren, warum 8/12 gleich 2/3 ist.
# [[Kürzungszahl]]: Sammle zehn Brüche aus Deinem Schulbuch oder Heft und notiere zu jedem Bruch eine mögliche Kürzungszahl.
# [[Alltagsbruch]]: Fotografiere oder zeichne eine Alltagssituation mit Anteilen, zum Beispiel Pizza, Schokolade oder Saftmischung, und beschreibe einen kürzbaren Bruch dazu.
# [[Fehler erkennen]]: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, warum man beim Kürzen immer Zähler und Nenner teilen muss.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Rechenweg]]: Kürze die Brüche 18/30, 28/42, 45/60 und 56/98 vollständig und schreibe zu jedem Beispiel den Rechenweg auf.
# [[Teilbarkeitsregeln]]: Erstelle ein Lernplakat, das zeigt, wie die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10 beim Kürzen helfen.
# [[Partnerinterview]]: Befrage eine Mitschülerin oder einen Mitschüler dazu, welche Fehler beim Kürzen häufig passieren, und formuliere daraus drei Lerntipps.
# [[Bruchstreifen]]: Baue aus Papier Bruchstreifen für Halbe, Drittel, Viertel, Sechstel und Zwölftel und finde damit mindestens fünf gleichwertige Brüche.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Größter gemeinsamer Teiler]]: Entwickle eine eigene Methode, um den ggT zweier Zahlen zu finden, und erkläre sie an den Beispielen 84 und 126 sowie 72 und 180.
# [[Primfaktorzerlegung]]: Kürze fünf Brüche mit großen Zahlen mithilfe der Primfaktorzerlegung und vergleiche diese Methode mit wiederholtem Teilen.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du den Unterschied zwischen Kürzen und Erweitern mit einer Zeichnung erklärst.
# [[Transferaufgabe]]: Untersuche ein Rezept, eine Landkarte oder eine Statistik und zeige, wie Kürzen hilft, Verhältnisse verständlicher darzustellen.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Begründung]]: Erkläre ohne Rechnung, warum 6/8 und 3/4 denselben Anteil darstellen, und nutze dafür eine Skizze oder ein Alltagsbeispiel.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person schreibt 10/15 gleich 5/15. Beschreibe den Fehler und korrigiere die Rechnung vollständig.
# [[Methodenvergleich]]: Kürze 48/120 einmal durch wiederholtes Teilen und einmal mit dem größten gemeinsamen Teiler. Vergleiche beide Wege.
# [[Transfer]]: Ein Rezept verwendet 12 von 18 Teilen Mehlmischung. Stelle das Verhältnis vollständig gekürzt dar und erkläre, warum die gekürzte Form praktischer ist.
# [[Argumentation]]: Begründe, warum ein Bruch mit zwei Primzahlen als Zähler und Nenner nicht automatisch vollständig gekürzt sein muss.
# [[Anwendung]]: Beim Multiplizieren von 14/25 und 10/21 kann vor dem Rechnen gekürzt werden. Zeige einen sinnvollen Kürzungsweg und erkläre den Vorteil.

<br>
<br>
{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen [[Lernnachweis]] solltest Du zeigen, dass Du nicht nur Ergebnisse nennen, sondern auch erklären kannst, warum das Kürzen funktioniert. Wichtig sind eine saubere mathematische Schreibweise, verständliche Begründungen und die Fähigkeit, Fehler zu erkennen.

# [[Grundwissen]]: Du kannst [[Zähler]], [[Nenner]], [[Bruchstrich]], [[gemeinsamer Teiler]] und [[Grunddarstellung]] erklären.
# [[Rechenkompetenz]]: Du kannst kürzbare Brüche vollständig kürzen und Deinen Rechenweg nachvollziehbar darstellen.
# [[Begründungskompetenz]]: Du kannst mit Worten, Skizzen oder Modellen erklären, warum der Wert beim Kürzen gleich bleibt.
# [[Fehlerkompetenz]]: Du erkennst falsches Kürzen, zum Beispiel das Teilen nur einer Zahl, und kannst den Fehler verbessern.
# [[Transferkompetenz]]: Du kannst Kürzen bei Sachaufgaben, Rezepten, Verhältnissen und beim Multiplizieren von Brüchen sinnvoll anwenden.
# [[Medienprodukt]]: Du kannst ein Lernplakat, eine Präsentation, ein Erklärvideo oder ein digitales Übungsset zum Thema gestalten.

<br>
<br>
{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/K%C3%BCrzen </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Bruchrechnung </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Brüche kürzen]]'''
# [[Bruchrechnung]]
# [[Bruch]]
# [[Zähler]]
# [[Nenner]]
# [[Bruchstrich]]
# [[Gemeinsamer Teiler]]
# [[Größter gemeinsamer Teiler]]
# [[Primfaktorzerlegung]]
# [[Erweitern]]
# [[Grunddarstellung]]
# [[Dezimalzahl]]
# [[Prozentrechnung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Bruchrechnung]]
[[Kategorie:Klasse 5-6]]
[[Kategorie:Klasse 7-8]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]
[[Kategorie:Grundrechenarten]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Brüche kürzen - Bruchrechnen - Versionsgeschichte

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