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2026-07-04T11:07:53Z

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= Einleitung =

In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du [[Bruch|Brüche]] in '''feinere Einheiten''' umwandelst. In der [[Bruchrechnung]] bedeutet das meist: Du '''erweiterst''' einen Bruch. Dabei wird das gleiche [[Ganzes|Ganze]] in mehr, aber kleinere Teile zerlegt. Der dargestellte Anteil bleibt gleich.

Ein Beispiel: <math>\frac{1}{2}</math> ist derselbe Anteil wie <math>\frac{2}{4}</math>. Beim zweiten Bruch ist die Einteilung feiner, weil das Ganze in vier statt in zwei gleich große Teile geteilt wird. Du siehst also denselben Anteil, aber mit kleineren [[Einheitsbruch|Einheiten]].

[[Datei:Equal Fractions 123.svg|500px|rahmenlos|center]]

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== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, was es heißt, einen [[Bruch]] in feinere Einheiten umzuwandeln. Du kannst einen [[Erweitern|Bruch erweitern]], einen passenden [[Erweiterungsfaktor]] bestimmen, Brüche auf einen [[Zielnenner]] bringen und überprüfen, ob zwei Brüche [[Gleichwertige Brüche|gleichwertig]] sind. Außerdem kannst Du erklären, warum der Wert eines Bruchs beim Erweitern gleich bleibt und wie das Umwandeln in feinere Einheiten beim [[Vergleichen von Brüchen]], [[Addieren von Brüchen]] und [[Subtrahieren von Brüchen]] hilft.

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= Grundlagen: Was ist ein Bruch? =

Ein [[Bruch]] beschreibt einen Anteil an einem Ganzen. Er besteht aus [[Zähler]], [[Bruchstrich]] und [[Nenner]]. Der [[Nenner]] steht unter dem Bruchstrich und sagt Dir, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt wurde. Der [[Zähler]] steht über dem Bruchstrich und sagt Dir, wie viele dieser Teile gemeint sind.

Beispiel: Bei <math>\frac{3}{4}</math> wurde das Ganze in vier gleich große Teile geteilt. Drei davon sind ausgewählt. Die Einheit ist hier ein Viertel, also <math>\frac{1}{4}</math>.

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== Einheitsbrüche als feine Einheiten ==

Ein [[Einheitsbruch]] hat den Zähler 1, zum Beispiel <math>\frac{1}{2}</math>, <math>\frac{1}{4}</math> oder <math>\frac{1}{8}</math>. Je größer der Nenner ist, desto kleiner ist die einzelne Einheit, wenn das Ganze gleich bleibt. Ein Achtel ist kleiner als ein Viertel, weil das Ganze in mehr Teile zerlegt wird.

[[Datei:Unit fraction representation.png|500px|rahmenlos|center]]

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= Brüche in feinere Einheiten umwandeln =

Wenn Du einen [[Bruch]] in feinere Einheiten umwandelst, wird der [[Nenner]] größer. Damit der Anteil gleich bleibt, muss auch der [[Zähler]] im gleichen Verhältnis größer werden. Genau das nennt man [[Erweitern|Erweitern eines Bruchs]].

'''Regel:''' Du erweiterst einen Bruch, indem Du [[Zähler]] und [[Nenner]] mit derselben Zahl multiplizierst. Diese Zahl heißt [[Erweiterungsfaktor]]. Sie darf nicht 0 sein.

<math>\frac{a}{b}=\frac{a\cdot n}{b\cdot n}</math>

Dabei gilt: <math>b\neq 0</math> und <math>n\neq 0</math>.

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== Warum bleibt der Wert gleich? ==

Beim [[Erweitern]] verfeinerst Du nur die Einteilung. Aus jedem alten Teil entstehen mehrere kleinere Teile. Wenn aus jedem Viertel zwei Achtel werden, werden auch die ausgewählten Teile doppelt gezählt. Der Anteil am Ganzen bleibt deshalb gleich.

Beispiel:

<math>\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 2}=\frac{6}{8}</math>

Drei Viertel und sechs Achtel liegen auf dem [[Zahlenstrahl]] an derselben Stelle und beschreiben denselben Anteil am Ganzen.

[[Datei:FractionStrips.PNG|500px|rahmenlos|center]]

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== Schrittfolge: So wandelst Du einen Bruch in feinere Einheiten um ==

# [[Zielnenner]] prüfen: Überlege, in welche feinere Einheit der Bruch umgewandelt werden soll.
# [[Erweiterungsfaktor]] finden: Teile den Zielnenner durch den alten Nenner.
# [[Zähler]] umwandeln: Multipliziere den alten Zähler mit demselben Faktor.
# [[Nenner]] umwandeln: Multipliziere den alten Nenner mit demselben Faktor.
# [[Probe]] durchführen: Kürze den neuen Bruch gedanklich zurück und prüfe, ob der Ausgangsbruch wieder entsteht.

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== Beispiel 1: Halbe in Viertel umwandeln ==

Du willst <math>\frac{1}{2}</math> in Viertel umwandeln. Der alte Nenner ist 2, der Zielnenner ist 4. Der [[Erweiterungsfaktor]] ist 2, denn <math>4:2=2</math>.

<math>\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 2}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}</math>

Bedeutung: Ein Halb besteht aus zwei Vierteln.

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== Beispiel 2: Drittel in Zwölftel umwandeln ==

Du willst <math>\frac{2}{3}</math> in Zwölftel umwandeln. Der alte Nenner ist 3, der Zielnenner ist 12. Der [[Erweiterungsfaktor]] ist 4, denn <math>12:3=4</math>.

<math>\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{8}{12}</math>

Bedeutung: Zwei Drittel bestehen aus acht Zwölfteln.

[[Datei:PieChartFractionThirdsSplit.svg|500px|rahmenlos|center]]

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== Beispiel 3: Fünftel in Zwanzigstel umwandeln ==

Du willst <math>\frac{3}{5}</math> in Zwanzigstel umwandeln. Der alte Nenner ist 5, der Zielnenner ist 20. Der [[Erweiterungsfaktor]] ist 4, denn <math>20:5=4</math>.

<math>\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 4}{5\cdot 4}=\frac{12}{20}</math>

Bedeutung: Drei Fünftel bestehen aus zwölf Zwanzigsteln.

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= Wann ist eine direkte Umwandlung möglich? =

Eine direkte Umwandlung in feinere Einheiten ist möglich, wenn der [[Zielnenner]] ein Vielfaches des alten [[Nenner|Nenners]] ist. Dann ist der Erweiterungsfaktor eine ganze Zahl.

Beispiel: <math>\frac{2}{3}</math> kann direkt in Zwölftel umgewandelt werden, weil 12 ein Vielfaches von 3 ist. <math>\frac{2}{3}</math> kann nicht direkt in Zehntel umgewandelt werden, weil 10 kein Vielfaches von 3 ist. Du kannst aber einen gemeinsamen feineren Nenner suchen, zum Beispiel 30.

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== Der Hauptnenner als gemeinsame feinere Einheit ==

Wenn Du mehrere [[Ungleichnamige Brüche|ungleichnamige Brüche]] vergleichen, addieren oder subtrahieren willst, brauchst Du oft eine gemeinsame feinere Einheit. Dazu machst Du die Brüche [[Gleichnamige Brüche|gleichnamig]]. Ein besonders günstiger gemeinsamer Nenner ist der [[Hauptnenner]], also meist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.

Beispiel:

<math>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}</math>

Die Nenner 2 und 3 haben das kleinste gemeinsame Vielfache 6. Du wandelst beide Brüche in Sechstel um.

<math>\frac{1}{2}=\frac{3}{6}</math>

<math>\frac{1}{3}=\frac{2}{6}</math>

Jetzt kannst Du addieren:

<math>\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}</math>

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= Typische Fehler und wie Du sie vermeidest =

# [[Nur den Nenner verändern]]: Wenn Du aus <math>\frac{1}{2}</math> einfach <math>\frac{1}{4}</math> machst, veränderst Du den Wert. Richtig ist <math>\frac{1}{2}=\frac{2}{4}</math>.
# [[Verschiedene Faktoren verwenden]]: Du darfst Zähler und Nenner nicht mit unterschiedlichen Zahlen multiplizieren. Sonst entsteht ein anderer Anteil.
# [[Ganzes verwechseln]]: Zwei Brüche sind nur vergleichbar, wenn sie sich auf dasselbe Ganze beziehen.
# [[Zielnenner ungeprüft wählen]]: Prüfe zuerst, ob der Zielnenner ein Vielfaches des alten Nenners ist.
# [[Probe vergessen]]: Kürze den erweiterten Bruch zurück. So erkennst Du schnell, ob Dein Ergebnis stimmt.

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= Brüche im Alltag in feinere Einheiten umwandeln =

Das Umwandeln in feinere Einheiten begegnet Dir im Alltag oft, auch wenn es nicht immer als [[Bruchrechnung]] bezeichnet wird. Wenn Du eine halbe Pizza in vier gleich große Stücke weiterteilst, entstehen zwei Viertel. Wenn Du eine Dreiviertelstunde in Minuten ausdrückst, wandelst Du eine grobe Zeiteinheit in feinere Zeiteinheiten um: <math>\frac{3}{4}</math> Stunde sind 45 Minuten, weil eine Stunde 60 Minuten hat.

Das Prinzip bleibt gleich: Die Einheit wird feiner, der Wert bleibt gleich. In der Mathematik beschreibst Du diese Idee mit [[Erweitern|Erweitern]], [[Gleichwertige Brüche|gleichwertigen Brüchen]] und gemeinsamen Nennern.

[[Datei:Cake fractions.svg|500px|rahmenlos|center]]

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= Lernvideo =

Das folgende Video erklärt das [[Erweitern]] und [[Kürzen]] von Brüchen anschaulich. Achte besonders darauf, dass beim Erweitern Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert werden.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=GpTK8NbM_m0 |500|center}}

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= Vertiefung: Gleichnamig machen =

Beim [[Gleichnamig machen]] wandelst Du Brüche in eine gemeinsame feinere Einheit um. Dadurch kannst Du Brüche besser vergleichen und mit ihnen rechnen.

Beispiel zum Vergleichen:

<math>\frac{5}{8}</math> und <math>\frac{3}{4}</math>

Du wandelst <math>\frac{3}{4}</math> in Achtel um:

<math>\frac{3}{4}=\frac{6}{8}</math>

Jetzt vergleichst Du <math>\frac{5}{8}</math> und <math>\frac{6}{8}</math>. Weil 5 kleiner als 6 ist, gilt:

<math>\frac{5}{8}<\frac{3}{4}</math>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=4zDNbDQWtpM |500|center}}

{{BR}}
= Zusammenfassung =

Beim Umwandeln von [[Bruch|Brüchen]] in feinere Einheiten wird die Einteilung des Ganzen genauer. Das geschieht durch [[Erweitern]]. Du multiplizierst [[Zähler]] und [[Nenner]] mit demselben [[Erweiterungsfaktor]]. Der [[Wert eines Bruchs]] bleibt gleich, aber die Darstellung wird feiner. Diese Fähigkeit brauchst Du besonders beim [[Vergleichen von Brüchen]], beim [[Addieren von Brüchen]], beim [[Subtrahieren von Brüchen]] und beim [[Gleichnamig machen]].

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was bedeutet es, einen Bruch in feinere Einheiten umzuwandeln?'''
(Zähler und Nenner mit demselben Faktor multiplizieren)
(!Nur den Nenner größer machen)
(!Nur den Zähler kleiner machen)
(!Den Bruch immer in eine Dezimalzahl verwandeln)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Darstellung ist eine richtige Umwandlung von ein Halb in Viertel?'''
(2/4)
(!1/4)
(!3/4)
(!4/2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum bleibt der Wert eines Bruchs beim Erweitern gleich?'''
(Weil Zähler und Nenner im gleichen Verhältnis verändert werden)
(!Weil der Nenner kleiner wird)
(!Weil der Zähler unverändert bleibt)
(!Weil der Bruchstrich verschwindet)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Erweiterungsfaktor führt von 3/5 zu 12/20?'''
(4)
(!2)
(!5)
(!8)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Zielnenner passt direkt zu einem Bruch mit dem Nenner 3?'''
(12)
(!10)
(!14)
(!25)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet 5/6 in Achtzehnteln?'''
(15/18)
(!5/18)
(!10/18)
(!18/15)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet gleichnamig machen?'''
(Brüche auf denselben Nenner bringen)
(!Brüche auf denselben Zähler bringen)
(!Alle Brüche kürzen, bis sie gleich aussehen)
(!Alle Brüche in ganze Zahlen verwandeln)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist der Hauptnenner von 1/4 und 1/6?'''
(12)
(!10)
(!18)
(!24)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage ist richtig?'''
(3/4 ist gleich 6/8)
(!3/4 ist gleich 3/8)
(!3/4 ist kleiner als 5/8)
(!3/4 ist gleich 7/8)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist ein häufiger Fehler beim Erweitern?'''
(Nur den Nenner zu verändern)
(!Zähler und Nenner mit demselben Faktor zu multiplizieren)
(!Den Erweiterungsfaktor zu bestimmen)
(!Den erweiterten Bruch zu prüfen)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Erweitern || Zähler und Nenner mal gleicher Faktor
|-
| Kürzen || Zähler und Nenner durch gemeinsamen Teiler
|-
| Nenner || Anzahl gleich großer Teile
|-
| Zähler || Anzahl ausgewählter Teile
|-
| Erweiterungsfaktor || Zahl zum Verfeinern
|-
| Hauptnenner || Gemeinsamer Zielnenner
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtige feinere Einheit zu.
! Gleichwertige Darstellung
|-
| '''Ein Halb'''
| Zwei Viertel
|-
| '''Ein Drittel'''
| Vier Zwölftel
|-
| '''Drei Viertel'''
| Sechs Achtel
|-
| '''Zwei Fünftel'''
| Acht Zwanzigstel
|-
| '''Fünf Sechstel'''
| Fünfzehn Achtzehntel

|}
{{E}}

<br>
...
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Nenner || Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?
|-
| Zaehler || Wie heißt die Zahl über dem Bruchstrich?
|-
| Erweitern || Wie heißt das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit demselben Faktor?
|-
| Kuerzen || Wie heißt das Teilen von Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler?
|-
| Hauptnenner || Wie nennt man einen gemeinsamen Zielnenner, oft das kleinste gemeinsame Vielfache?
|-
| Bruchstrich || Welche Linie zeigt die Division zwischen Zähler und Nenner?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Brüche+in+feinere+Einheiten+umwandeln+Bruchrechnen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Beim Erweitern eines Bruchs werden { Zähler } und Nenner mit demselben Faktor multipliziert. Der Wert des Bruchs bleibt dabei { gleich }. Wenn aus einem Halb zwei Viertel werden, ist die Einteilung { feiner }. Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze { geteilt } ist. Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile { ausgewählt } sind. Um einen Bruch auf einen Zielnenner zu bringen, bestimmst Du zuerst den { Erweiterungsfaktor }. Diesen Faktor erhältst Du, indem Du den Zielnenner durch den alten { Nenner } teilst. Danach multiplizierst Du auch den alten Zähler mit diesem { Faktor }. Beim Gleichnamigmachen bringst Du mehrere Brüche auf denselben { Nenner }. Ein besonders günstiger gemeinsamer Nenner ist oft das kleinste gemeinsame { Vielfache }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Bruchbild zeichnen]]: Zeichne ein Rechteck und färbe ein Halb ein. Teile anschließend jedes Halbteil noch einmal. Beschrifte die neue Darstellung als Viertel.
# [[Brüche im Alltag finden]]: Suche zu Hause oder in der Schule drei Beispiele, bei denen ein Ganzes in feinere Einheiten zerlegt wird. Beschreibe jedes Beispiel mit einem Bruch.
# [[Halbe und Viertel erklären]]: Erkläre einer Mitschülerin oder einem Mitschüler mit einem Bild, warum <math>\frac{1}{2}</math> und <math>\frac{2}{4}</math> gleichwertig sind.
# [[Bruchstreifen basteln]]: Bastle Bruchstreifen für Halbe, Viertel und Achtel. Lege damit gleichwertige Brüche nebeneinander.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Erweiterungsfaktor bestimmen]]: Erstelle eine Tabelle mit fünf Brüchen, einem Zielnenner und dem passenden Erweiterungsfaktor.
# [[Gleichwertige Brüche darstellen]]: Wähle einen Bruch und finde mindestens fünf gleichwertige Darstellungen. Erkläre, woran Du erkennst, dass der Wert gleich bleibt.
# [[Rezept umwandeln]]: Nimm ein einfaches Rezept und beschreibe zwei Mengenangaben als Brüche. Wandle sie in feinere Einheiten um, zum Beispiel in Viertel, Achtel oder Zwölftel.
# [[Brüche vergleichen]]: Vergleiche vier selbst gewählte Brüche, indem Du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringst. Begründe Deine Reihenfolge.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Erklärvideo planen]]: Entwickle ein kurzes Drehbuch für ein Lernvideo, das zeigt, wie aus <math>\frac{3}{5}</math> der Bruch <math>\frac{12}{20}</math> wird.
# [[Fehleranalyse durchführen]]: Sammle drei typische Fehler beim Erweitern von Brüchen. Schreibe zu jedem Fehler ein falsches Beispiel, eine Korrektur und eine Erklärung.
# [[Hauptnenner erforschen]]: Untersuche drei Bruchpaare mit unterschiedlichen Nennern. Bestimme jeweils den Hauptnenner und erkläre, warum er günstiger ist als ein größerer gemeinsamer Nenner.
# [[Transferaufgabe entwickeln]]: Erfinde eine Sachaufgabe aus dem Alltag, bei der Brüche in feinere Einheiten umgewandelt werden müssen. Gib eine Musterlösung mit Begründung an.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Begründen statt Rechnen]]: Erkläre ohne Taschenrechner, warum <math>\frac{2}{3}</math> und <math>\frac{8}{12}</math> denselben Anteil darstellen.
# [[Strategie vergleichen]]: Zwei Lernende wollen <math>\frac{3}{4}</math> und <math>\frac{5}{6}</math> vergleichen. Eine Person nutzt den Nenner 24, die andere den Nenner 12. Beurteile, welche Strategie möglich und welche günstiger ist.
# [[Fehler finden]]: Eine Schülerin schreibt <math>\frac{2}{5}=\frac{2}{10}</math>. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
# [[Sachzusammenhang übertragen]]: Eine halbe Stunde soll in Minuten beschrieben werden. Erkläre, wie diese Umwandlung mit dem Erweitern von Brüchen zusammenhängt.
# [[Modell entwickeln]]: Beschreibe ein eigenes Bildmodell, mit dem Du zeigen kannst, dass <math>\frac{4}{6}</math> und <math>\frac{2}{3}</math> gleichwertig sind.
# [[Entscheidung begründen]]: Prüfe, ob <math>\frac{3}{7}</math> direkt in Einundzwanzigstel, Vierzehntel und Zwanzigstel umgewandelt werden kann. Begründe jede Entscheidung.

<br>
<br>
{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen [[Lernnachweis]] zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennen kannst, sondern auch Deine Denkwege erklärst. Zeige, dass Du Brüche als Anteile verstehst, den [[Erweiterungsfaktor]] sicher bestimmst und die Bedeutung feinerer Einheiten mit Bildern oder Beispielen erklären kannst.

# [[Fachbegriffe verwenden]]: Nutze die Begriffe [[Zähler]], [[Nenner]], [[Bruchstrich]], [[Erweiterungsfaktor]], [[gleichwertige Brüche]] und [[Hauptnenner]] korrekt.
# [[Rechenweg darstellen]]: Schreibe bei Umwandlungen immer den Erweiterungsfaktor und die vollständige Rechnung auf.
# [[Bild und Rechnung verbinden]]: Ergänze mindestens eine Aufgabe durch eine Zeichnung, ein Bruchstreifenmodell oder eine verbale Erklärung.
# [[Fehler begründen]]: Zeige an einem falschen Beispiel, warum Zähler und Nenner immer mit demselben Faktor verändert werden müssen.
# [[Transfer leisten]]: Bearbeite eine Sachaufgabe, in der eine grobe Einheit in feinere Einheiten umgewandelt wird.
# [[Reflexion formulieren]]: Schreibe kurz auf, wann Dir das Umwandeln in feinere Einheiten beim Bruchrechnen hilft.

<br>
<br>
{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Bruchrechnung </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Bruchrechnung]]'''
# [[Bruch]]
# [[Zähler]]
# [[Nenner]]
# [[Bruchstrich]]
# [[Einheitsbruch]]
# [[Erweitern]]
# [[Kürzen]]
# [[Gleichwertige Brüche]]
# [[Gleichnamige Brüche]]
# [[Hauptnenner]]
# [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]]
# [[Vergleichen von Brüchen]]
# [[Addieren von Brüchen]]
# [[Subtrahieren von Brüchen]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Bruchrechnung]]
[[Kategorie:Arithmetik]]
[[Kategorie:Klasse 5-6]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]
[[Kategorie:Mathematik aiMOOC]]
{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Brüche in feinere Einheiten umwandeln - Bruchrechnen - Versionsgeschichte

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