Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-04T09:36:00Z

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{{T}}

{{BR}}
= Einleitung =

'''Antiproportionale Zusammenhänge erkennen''' ist ein zentrales Thema im Bereich [[Funktionen]] und [[Zuordnungen]]. Du lernst dabei, Situationen zu untersuchen, in denen eine Größe größer wird, während eine andere kleiner wird, und zwar so, dass das '''Produkt''' beider Größen gleich bleibt. Solche Zusammenhänge heißen [[Antiproportionalität|antiproportional]], [[Umgekehrte Proportionalität|umgekehrt proportional]], [[Indirekte Proportionalität|indirekt proportional]] oder [[Reziprok|reziprok proportional]].

Typische Beispiele sind: Je mehr Personen an derselben Arbeit mitarbeiten, desto weniger Zeit wird benötigt. Je höher die Geschwindigkeit auf einer festen Strecke ist, desto kürzer ist die Fahrzeit. Je mehr Personen sich einen festen Betrag teilen, desto weniger zahlt jede einzelne Person. Entscheidend ist aber: Nicht jedes „je mehr, desto weniger“ ist automatisch antiproportional. Du musst prüfen, ob das Produkt der zusammengehörigen Werte immer gleich ist.

[[Datei:Inverse proportionality function plot.gif|500px|rahmenlos|center]]

'''Merke:''' Bei einem antiproportionalen Zusammenhang gilt für zusammengehörige Werte <math>x</math> und <math>y</math> immer:

<math>x \cdot y = k</math>

Dabei ist <math>k</math> eine [[Konstante]]. Als [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] kann man den Zusammenhang so schreiben:

<math>y = \frac{k}{x}</math>

Für <math>x = 0</math> ist diese Funktion nicht definiert, weil man nicht durch null teilen darf. Im Schulkontext geht es häufig um positive Größen wie Zeit, Geld, Anzahl oder Geschwindigkeit. Dann betrachtet man meist nur positive Werte von <math>x</math> und <math>y</math>.

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= Lernziele =

In diesem aiMOOC lernst Du:

# [[Antiproportionalität]]: Du erkennst, wann zwei Größen antiproportional zusammenhängen.
# [[Produktgleichheit]]: Du überprüfst Tabellen mithilfe des konstanten Produkts.
# [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]: Du beschreibst antiproportionale Zusammenhänge mit einer Funktionsgleichung.
# [[Hyperbel]]: Du erkennst den Graphen einer antiproportionalen Funktion.
# [[Dreisatz]]: Du löst Sachaufgaben mit antiproportionalen Zuordnungen.
# [[Modellieren]]: Du entscheidest, ob eine Alltagssituation wirklich antiproportional ist.

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= Grundidee der Antiproportionalität =

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== Je mehr, desto weniger reicht nicht ==

Eine Situation wirkt oft antiproportional, wenn eine Größe größer und die andere kleiner wird. Dieses Muster allein reicht aber nicht. Beispiel: Wenn ein Wasserbehälter gleichmäßig leer läuft, nimmt die Wassermenge mit der Zeit ab. Das ist zwar „je mehr Zeit, desto weniger Wasser“, aber nicht antiproportional, sondern bei konstantem Abfluss eher ein [[Lineare Funktion|linearer Zusammenhang]]. Antiproportional ist ein Zusammenhang nur dann, wenn das Produkt der zusammengehörigen Werte konstant bleibt.

'''Prüffrage:''' Kannst Du bei jedem Wertepaar <math>x \cdot y</math> berechnen und erhältst immer denselben Wert? Dann liegt eine antiproportionale Zuordnung vor.

{{BR}}
== Das konstante Produkt ==

Bei einer antiproportionalen Zuordnung gilt:

<math>x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = x_3 \cdot y_3 = k</math>

Das bedeutet: Wird <math>x</math> mit einem Faktor vervielfacht, wird <math>y</math> durch denselben Faktor geteilt. Wenn <math>x</math> doppelt so groß wird, wird <math>y</math> halb so groß. Wenn <math>x</math> dreimal so groß wird, wird <math>y</math> nur noch ein Drittel so groß.

{{BR}}
== Beispiel: Arbeiterinnen, Arbeiter und Arbeitszeit ==

Eine Aufgabe dauert insgesamt gleich lang gemessen in Personenstunden. Vier Personen benötigen zwölf Stunden.

{| class="wikitable"
! Personen <math>x</math>
! Zeit in Stunden <math>y</math>
! Produkt <math>x \cdot y</math>
|-
| 4
| 12
| 48
|-
| 6
| 8
| 48
|-
| 8
| 6
| 48
|-
| 12
| 4
| 48
|}

Das Produkt ist immer <math>48</math>. Deshalb ist der Zusammenhang antiproportional. Die Funktionsgleichung lautet:

<math>y = \frac{48}{x}</math>

{{BR}}
== Beispiel: Feste Strecke, Geschwindigkeit und Zeit ==

Für eine feste Strecke von 180 Kilometern gilt: Je höher die Geschwindigkeit ist, desto kürzer ist die Fahrzeit. Bei idealisierter gleichmäßiger Geschwindigkeit gilt:

{| class="wikitable"
! Geschwindigkeit <math>v</math> in km h
! Fahrzeit <math>t</math> in h
! Produkt <math>v \cdot t</math>
|-
| 30
| 6
| 180
|-
| 45
| 4
| 180
|-
| 60
| 3
| 180
|-
| 90
| 2
| 180
|}

Das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit ist die Strecke. Da die Strecke fest ist, bleibt das Produkt konstant. Die Funktion lautet:

<math>t = \frac{180}{v}</math>

{{BR}}
= Antiproportionale Zusammenhänge als Funktionen =

{{BR}}
== Funktionsgleichung ==

Eine antiproportionale Funktion hat die Form:

<math>f(x) = \frac{k}{x}</math>

Dabei ist <math>k</math> die [[Proportionalitätskonstante]]. Manchmal nennt man <math>k</math> auch [[Produktkonstante]], weil gilt:

<math>x \cdot f(x) = k</math>

Die Variable <math>x</math> steht für die Eingangsgröße, der Funktionswert <math>f(x)</math> für die zugeordnete Ausgangsgröße. Jeder erlaubte Wert von <math>x</math> bekommt genau einen Wert <math>f(x)</math> zugeordnet. Damit ist eine antiproportionale Zuordnung eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], solange der Definitionsbereich passend gewählt wird und <math>x = 0</math> ausgeschlossen ist.

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== Graph einer antiproportionalen Funktion ==

Der Graph einer antiproportionalen Funktion ist keine Gerade. Er ist eine [[Hyperbel]]. Die Kurve nähert sich den Koordinatenachsen immer weiter an, ohne sie zu schneiden. Diese Achsen nennt man in diesem Zusammenhang [[Asymptote|Asymptoten]].

[[Datei:1 per x.svg|500px|rahmenlos|center]]

Bei <math>k > 0</math> liegen die beiden Äste der Hyperbel im ersten und dritten Quadranten. In vielen Sachaufgaben betrachtet man nur positive Werte; dann sieht man nur den Ast im ersten Quadranten. Bei <math>k < 0</math> liegen die Äste im zweiten und vierten Quadranten.

{{BR}}
== Vergleich: proportional und antiproportional ==

{| class="wikitable"
! Merkmal
! [[Proportionalität|Proportional]]
! [[Antiproportionalität|Antiproportional]]
|-
| Sprachliches Muster
| Je mehr, desto mehr
| Je mehr, desto weniger
|-
| Prüfwert
| Quotient bleibt konstant
| Produkt bleibt konstant
|-
| Gleichung
| <math>y = m \cdot x</math>
| <math>y = \frac{k}{x}</math>
|-
| Graph
| [[Ursprungsgerade]]
| [[Hyperbel]]
|-
| Typisches Beispiel
| Preis bei gleichem Stückpreis
| Zeit bei fester Arbeit und mehr Personen
|}

'''Wichtig:''' Bei einer proportionalen Zuordnung ist der Quotient <math>\frac{y}{x}</math> konstant. Bei einer antiproportionalen Zuordnung ist das Produkt <math>x \cdot y</math> konstant.

{{BR}}
= Antiproportionale Zusammenhänge erkennen =

{{BR}}
== In Tabellen erkennen ==

Um eine Tabelle zu prüfen, berechnest Du für jedes Wertepaar das Produkt. Sind alle Produkte gleich, ist der Zusammenhang antiproportional.

{| class="wikitable"
! <math>x</math>
! <math>y</math>
! <math>x \cdot y</math>
! Entscheidung
|-
| 2
| 18
| 36
| antiproportional möglich
|-
| 3
| 12
| 36
| antiproportional möglich
|-
| 4
| 9
| 36
| antiproportional möglich
|-
| 6
| 6
| 36
| antiproportional möglich
|}

Da das Produkt immer <math>36</math> ist, gilt:

<math>y = \frac{36}{x}</math>

{{BR}}
== In Textaufgaben erkennen ==

Achte auf eine feste Gesamtgröße. Bei antiproportionalen Aufgaben bleibt oft etwas unverändert: eine feste Arbeit, eine feste Strecke, ein fester Geldbetrag, ein fester Vorrat oder eine feste Fläche.

Beispiele für feste Gesamtgrößen:

# [[Arbeit]]: Anzahl der Personen mal Arbeitszeit bleibt gleich.
# [[Strecke]]: Geschwindigkeit mal Fahrzeit bleibt gleich.
# [[Kosten]]: Anzahl der Personen mal Kosten pro Person bleibt gleich.
# [[Fläche]]: Länge mal Breite bleibt gleich.
# [[Vorrat]]: Anzahl der Tiere mal Futtertage bleibt gleich.

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== Am Graphen erkennen ==

Ein antiproportionaler Graph ist gekrümmt und nähert sich den Achsen an. Er geht nicht durch den Ursprung. Wenn der Graph eine Ursprungsgerade ist, liegt eine proportionale Zuordnung vor. Wenn der Graph eine fallende Gerade ist, liegt in der Regel kein antiproportionaler Zusammenhang vor, sondern ein anderer Zusammenhang, zum Beispiel eine [[Lineare Funktion]] mit negativer Steigung.

{{BR}}
== An der Gleichung erkennen ==

Antiproportional sind Gleichungen der Form:

<math>y = \frac{k}{x}</math>

oder gleichwertig:

<math>x \cdot y = k</math>

Nicht antiproportional sind zum Beispiel Gleichungen wie <math>y = 3x</math>, <math>y = x + 4</math> oder <math>y = 20 - x</math>. Diese Gleichungen haben andere Funktionsarten.

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= Rechnen mit antiproportionalen Funktionen =

{{BR}}
== Rechenweg mit Produktgleichheit ==

Wenn Du ein Wertepaar kennst, kannst Du zuerst das konstante Produkt berechnen. Danach setzt Du den neuen Wert ein.

'''Beispiel:''' Sechs Maschinen erledigen eine Arbeit in zehn Stunden. Wie lange brauchen fünf Maschinen?

<math>6 \cdot 10 = 60</math>

Das konstante Produkt ist <math>60</math>. Für fünf Maschinen gilt:

<math>5 \cdot y = 60</math>

<math>y = \frac{60}{5} = 12</math>

Fünf Maschinen brauchen zwölf Stunden.

{{BR}}
== Rechenweg mit Funktionsgleichung ==

Aus dem bekannten Wertepaar <math>(6,10)</math> erhältst Du:

<math>k = 6 \cdot 10 = 60</math>

Damit lautet die Funktion:

<math>f(x) = \frac{60}{x}</math>

Für <math>x = 5</math> gilt:

<math>f(5) = \frac{60}{5} = 12</math>

{{BR}}
== Antiproportionaler Dreisatz ==

Beim [[Dreisatz]] musst Du unterscheiden, ob eine Aufgabe proportional oder antiproportional ist. Bei antiproportionalen Aufgaben verändert sich der zweite Wert entgegengesetzt.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=EHYyHg1Wmuk |500|center}}

'''Merksatz:''' Wenn die erste Größe mit einem Faktor multipliziert wird, wird die zweite Größe durch denselben Faktor dividiert.

{{BR}}
= Typische Fehler und Strategien =

{{BR}}
== Häufige Fehler ==

# [[Verwechslung]]: Du prüfst den Quotienten, obwohl das Produkt geprüft werden muss.
# [[Null]]: Du setzt <math>x = 0</math> ein, obwohl Division durch null nicht erlaubt ist.
# [[Graph]]: Du hältst jede fallende Kurve oder fallende Gerade für antiproportional.
# [[Dreisatz]]: Du rechnest proportional, obwohl die Aufgabe antiproportional ist.
# [[Einheit]]: Du vergisst die Bedeutung des konstanten Produkts, zum Beispiel Personenstunden oder Kilometer.

{{BR}}
== Sichere Strategie zum Erkennen ==

# [[Situation verstehen]]: Frage Dich, welche Gesamtgröße gleich bleibt.
# [[Tabelle prüfen]]: Berechne das Produkt der zusammengehörigen Werte.
# [[Gleichung nutzen]]: Suche nach der Form <math>y = \frac{k}{x}</math>.
# [[Graph betrachten]]: Prüfe, ob eine Hyperbel vorliegt.
# [[Einheiten prüfen]]: Überlege, welche Bedeutung das Produkt hat.

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= Vertiefung: Modellieren und Grenzen =

In der Wirklichkeit sind antiproportionale Modelle oft idealisiert. Mehr Personen bedeuten nicht immer genau weniger Zeit, weil Absprachen, Wege, Pausen oder Maschinen begrenzen können, wie gut die Arbeit verteilt wird. Eine höhere Geschwindigkeit führt auf einer festen Strecke zwar zu weniger Fahrzeit, aber Verkehr, Pausen und Tempolimits können das Modell verändern. Beim Modellieren entscheidest Du deshalb, ob die Annahme eines konstanten Produkts sinnvoll ist.

{{BR}}
== Beispiel für sinnvolles Modellieren ==

Eine Klasse mietet einen Bus für einen festen Gesamtpreis von 600 Euro. Wenn sich mehr Personen beteiligen, sinkt der Preis pro Person. Solange der Gesamtpreis wirklich gleich bleibt, gilt:

<math>\text{Personenzahl} \cdot \text{Preis pro Person} = 600</math>

Damit ist der Preis pro Person antiproportional zur Personenzahl.

{{BR}}
== Beispiel für eine Grenze des Modells ==

Zwölf Personen streichen einen Raum nicht unbedingt viermal so schnell wie drei Personen. Vielleicht kommen sie sich gegenseitig in die Quere oder es gibt nur wenige Pinsel. Dann ist das Produkt aus Personenzahl und Zeit nicht mehr konstant. Das Modell ist dann höchstens näherungsweise brauchbar.

{{BR}}
= Lernvideo: Unterscheiden und überprüfen =

Das folgende Video kann Dir helfen, [[Proportionalität]] und [[Antiproportionalität]] zu unterscheiden und an Tabellen, Graphen und Sachaufgaben zu prüfen.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=9f02xJny0Qw |500|center}}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Woran erkennst Du eine antiproportionale Zuordnung in einer Wertetabelle?'''
(Das Produkt zusammengehöriger Werte bleibt konstant)
(!Der Quotient zusammengehöriger Werte bleibt konstant)
(!Die Summe zusammengehöriger Werte bleibt konstant)
(!Alle Werte werden immer größer)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Funktionsgleichung beschreibt eine antiproportionale Funktion?'''
(y ist k geteilt durch x)
(!y ist k mal x)
(!y ist x plus k)
(!y ist k minus x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie verändert sich y, wenn x bei einer antiproportionalen Zuordnung verdoppelt wird?'''
(y wird halbiert)
(!y wird verdoppelt)
(!y bleibt gleich)
(!y wird um zwei größer)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Graph passt zu einer antiproportionalen Funktion?'''
(Eine Hyperbel)
(!Eine Ursprungsgerade)
(!Eine waagerechte Gerade)
(!Ein Kreis)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist bei der Funktion y ist k geteilt durch x nicht erlaubt?'''
(x gleich null)
(!x gleich eins)
(!x gleich zwei)
(!x gleich zehn)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Situation ist typisch antiproportional?'''
(Feste Arbeit wird auf mehr Personen verteilt)
(!Der Preis steigt mit der Anzahl gleicher Hefte)
(!Ein Konto erhält jedes Jahr denselben Zinsbetrag)
(!Eine Pflanze wächst jeden Tag gleich viel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Größe bleibt beim Beispiel feste Strecke und Fahrzeit konstant?'''
(Geschwindigkeit mal Zeit)
(!Geschwindigkeit geteilt durch Zeit)
(!Geschwindigkeit plus Zeit)
(!Zeit minus Geschwindigkeit)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage unterscheidet proportional von antiproportional?'''
(Proportional prüft den Quotienten, antiproportional prüft das Produkt)
(!Proportional prüft das Produkt, antiproportional prüft die Summe)
(!Beide prüft man immer mit der Summe)
(!Beide haben immer denselben Graphen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet die Konstante k in y ist k geteilt durch x?'''
(Sie ist das konstante Produkt aus x und y)
(!Sie ist die konstante Summe aus x und y)
(!Sie ist immer der größte Tabellenwert)
(!Sie ist immer gleich null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist nicht jede fallende Gerade antiproportional?'''
(Bei einer antiproportionalen Funktion entsteht eine Hyperbel)
(!Antiproportionale Graphen sind immer Kreise)
(!Fallende Geraden haben immer ein konstantes Produkt)
(!Jede fallende Gerade geht durch den Ursprung)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Konstantes Produkt || Erkennungsmerkmal einer Antiproportionalität
|-
| Hyperbel || Graph einer antiproportionalen Funktion
|-
| Quotient || Prüfwert bei proportionalen Zuordnungen
|-
| Dreisatz || Rechenverfahren für Zuordnungen
|-
| Asymptote || Linie, der sich ein Graph annähert
|-
| Produktkonstante || Wert k in y gleich k geteilt durch x
|-
| Modellieren || Prüfen, ob eine Sachsituation mathematisch passt
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Mehr Personen'''
| Weniger Arbeitszeit
|-
| '''Feste Strecke'''
| Geschwindigkeit und Fahrzeit
|-
| '''Fester Gesamtpreis'''
| Anzahl und Preisanteil
|-
| '''Konstantes Produkt'''
| Antiproportionale Zuordnung
|-
| '''Hyperbel'''
| Graph der Funktion

|}
{{E}}

<br>
...
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Produkt || Was bleibt bei einer antiproportionalen Zuordnung konstant?
|-
| Hyperbel || Wie heißt der Graph einer antiproportionalen Funktion?
|-
| Funktion || Wie nennt man eine eindeutige Zuordnung in der Mathematik?
|-
| Dreisatz || Welches Rechenverfahren wird oft bei Zuordnungen genutzt?
|-
| Asymptote || Wie heißt eine Linie, der sich ein Graph immer weiter annähert?
|-
| Kehrwert || Mit welchem Begriff beschreibt man eine reziproke Beziehung?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Antiproportionale+Zusammenh%C3%A4nge+erkennen+Funktionen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei einer antiproportionalen Zuordnung bleibt das { Produkt } zusammengehöriger Werte konstant. Die Funktionsgleichung hat die Form y gleich k geteilt durch { x }. Der Graph einer antiproportionalen Funktion heißt { Hyperbel }. Der Wert x gleich { null } ist nicht erlaubt, weil man nicht durch null teilen darf. Wenn x verdoppelt wird, wird y { halbiert }. Bei einer proportionalen Zuordnung bleibt dagegen der { Quotient } konstant. In einer Sachsituation ist oft eine feste Gesamtgröße wie Arbeit, Strecke oder { Preis } entscheidend. Beim festen Arbeitsumfang ist das Produkt aus Personenzahl und { Zeit } konstant. Beim festen Weg ist das Produkt aus Geschwindigkeit und { Fahrzeit } konstant. Eine fallende Gerade ist nicht automatisch { antiproportional }. Zum sicheren Erkennen prüfst Du Tabellen, Gleichungen und { Graphen }. Beim Modellieren musst Du entscheiden, ob die Annahme eines konstanten Produkts { sinnvoll } ist.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Tabelle erstellen]]: Erstelle eine Tabelle zu einer festen Strecke von 120 Kilometern mit verschiedenen Geschwindigkeiten und passenden Fahrzeiten.
# [[Produkt prüfen]]: Prüfe drei vorgegebene Tabellen aus Deinem Schulbuch oder selbst erfundene Tabellen darauf, ob das Produkt konstant bleibt.
# [[Alltagsbeispiel finden]]: Notiere drei Alltagssituationen, die antiproportional sein könnten, und erkläre jeweils die feste Gesamtgröße.
# [[Graph skizzieren]]: Zeichne den Graphen zu <math>y = \frac{24}{x}</math> für positive Werte von <math>x</math>.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Sachaufgabe entwickeln]]: Erfinde eine realistische Textaufgabe zu einer festen Arbeit, löse sie und erkläre den antiproportionalen Zusammenhang.
# [[Proportional oder antiproportional]]: Sammle fünf Situationen und entscheide begründet, ob sie proportional, antiproportional oder keines von beiden sind.
# [[Funktionsgleichung bestimmen]]: Wähle ein Wertepaar, berechne die Produktkonstante und stelle die passende Funktionsgleichung auf.
# [[Fehleranalyse]]: Beschreibe einen typischen Fehler beim antiproportionalen Dreisatz und zeige mit einem Beispiel, wie man ihn vermeidet.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Modellkritik]]: Untersuche, warum die Aussage „doppelt so viele Personen brauchen halb so viel Zeit“ in echten Arbeitssituationen nicht immer stimmt.
# [[Vergleich von Graphen]]: Zeichne eine proportionale Funktion und eine antiproportionale Funktion in ein Koordinatensystem und erkläre die Unterschiede.
# [[Eigene Erklärseite]]: Gestalte eine Lernseite mit Definition, Beispiel, Tabelle, Graph und einer selbst erfundenen Übungsaufgabe.
# [[Erklärvideo produzieren]]: Erstelle ein kurzes Video, in dem Du an einem Alltagsszenario erklärst, wie man Antiproportionalität erkennt.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Transferaufgabe Arbeitsteilung]]: Eine Gruppe plant eine Aktion. Erkläre, unter welchen Bedingungen die benötigte Zeit antiproportional zur Anzahl der Helfenden ist und wann dieses Modell scheitert.
# [[Modellentscheidung]]: Vergleiche die Situationen „Preis für mehrere gleiche Brötchen“ und „fester Buspreis pro Person“. Entscheide jeweils, ob der Zusammenhang proportional oder antiproportional ist, und begründe mit Quotient oder Produkt.
# [[Grapheninterpretation]]: Beschreibe, woran Du in einem Koordinatensystem erkennst, ob ein Graph zu einer antiproportionalen Funktion passen kann.
# [[Funktionsmodell]]: Zu einem Wertepaar ist bekannt, dass <math>x = 5</math> und <math>y = 14</math> gelten. Entwickle die antiproportionale Funktionsgleichung und erkläre, was die Konstante bedeutet.
# [[Sachkontext prüfen]]: Ein Schwimmbecken wird mit mehreren gleich starken Pumpen gefüllt. Erläutere, warum die Füllzeit im Idealfall antiproportional zur Anzahl der Pumpen ist, und nenne zwei reale Einschränkungen.
# [[Fehler begründen]]: Eine Person behauptet, jede fallende Gerade sei antiproportional. Widerlege diese Aussage mit einem selbst gewählten Beispiel.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Rechnungen ausführst, sondern Zusammenhänge erklären und auf neue Situationen übertragen kannst.

# [[Begriffsverständnis]]: Du erklärst die Begriffe [[Antiproportionalität]], [[Produktkonstante]], [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], [[Hyperbel]] und [[Asymptote]].
# [[Tabellenprüfung]]: Du prüfst Tabellen sicher mit dem konstanten Produkt.
# [[Funktionsgleichung]]: Du bestimmst aus einem Wertepaar die Gleichung <math>y = \frac{k}{x}</math>.
# [[Graphisches Darstellen]]: Du zeichnest und interpretierst den Graphen einer antiproportionalen Funktion.
# [[Sachaufgaben]]: Du löst antiproportionale Sachaufgaben mit einer verständlichen Begründung.
# [[Abgrenzung]]: Du unterscheidest proportionale, antiproportionale und andere Zusammenhänge.
# [[Reflexion]]: Du beurteilst, ob ein mathematisches Modell zu einer realen Situation passt.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Umgekehrte_Proportionalit%C3%A4t </iframe>

# [[Wikipedia]]: Der Artikel zur [[Umgekehrte Proportionalität|umgekehrten Proportionalität]] bietet eine fachliche Grundlage.
# [[Wikimedia Commons]]: Freie Grafiken zu [[Hyperbel|Hyperbeln]] und [[Rationale Funktion|rationalen Funktionen]] können zur Visualisierung genutzt werden.
# [[YouTube]]: Eingebettete Lernvideos können den [[Dreisatz]] und die Unterscheidung zwischen proportional und antiproportional ergänzen.

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Antiproportionale Zusammenhänge erkennen - Funktionen]]'''
# [[Antiproportionalität]]
# [[Umgekehrte Proportionalität]]
# [[Funktion (Mathematik)]]
# [[Zuordnung]]
# [[Produktgleichheit]]
# [[Produktkonstante]]
# [[Dreisatz]]
# [[Hyperbel]]
# [[Asymptote]]
# [[Proportionalität]]
# [[Lineare Funktion]]
# [[Modellieren]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Klasse 7-8]]
[[Kategorie:Mathematik aiMOOC]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Antiproportionale Zusammenhänge erkennen - Funktionen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt