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2026-07-13T21:25:26Z

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{{T}}
{{BR}}
= Ableitung von e hoch x und natürlicher Logarithmus =

{{BR}}
= Einleitung =

Die [[Exponentialfunktion|e-Funktion]] <math>f(x)=e^x</math> hat eine besondere Eigenschaft: Ihre [[Ableitung]] ist wieder dieselbe Funktion. Der [[Natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]] <math>\ln(x)</math> ist die [[Umkehrfunktion]] von <math>e^x</math>. In diesem kurzen Kurs lernst Du die wichtigsten Regeln und wendest sie direkt an.

'''Fach:''' [[Mathematik]]
'''Klassen:''' 10 bis 13
'''Themen:''' [[Differentialrechnung]], [[Exponentialfunktion]], [[Logarithmus]]

[[Datei:Exponential function and logarithm.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Lernziele =

Nach dem Kurs kannst Du <math>e^x</math> und <math>\ln(x)</math> ableiten, die [[Kettenregel]] nutzen und beide Funktionen als Umkehrfunktionen erklären.

{{BR}}
= Grundwissen =

{{BR}}
== Die e-Funktion ==

Für <math>f(x)=e^x</math> gilt:

<math>f'(x)=e^x</math>

Die Steigung ist an jeder Stelle genauso groß wie der Funktionswert.

[[Datei:Exp e.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=bRodgiY6yCw |500|center}}

{{BR}}
== Der natürliche Logarithmus ==

<math>\ln(x)</math> ist nur für <math>x>0</math> definiert. Es gilt:

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln(x)=\frac{1}{x}</math>

[[Datei:Logarithme neperien.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=FMBY5W6XE7Q |500|center}}

{{BR}}
== Umkehrfunktionen ==

Die Funktionen <math>e^x</math> und <math>\ln(x)</math> machen einander rückgängig:

<math>\ln(e^x)=x</math>

<math>e^{\ln(x)}=x</math> für <math>x>0</math>

Ihre Graphen sind an der Geraden <math>y=x</math> gespiegelt.

[[Datei:Logarithm inversefunctiontoexpB.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Die wichtigsten Ableitungsregeln ==

{| class="wikitable"
! Funktion
! Ableitung
|-
| <math>e^x</math>
| <math>e^x</math>
|-
| <math>e^{u(x)}</math>
| <math>u'(x)\cdot e^{u(x)}</math>
|-
| <math>\ln(x)</math>
| <math>\frac{1}{x}</math>
|-
| <math>\ln(u(x))</math>
| <math>\frac{u'(x)}{u(x)}</math>
|}

Bei zusammengesetzten Funktionen brauchst Du die [[Kettenregel]].

'''Beispiel 1:''' <math>f(x)=3e^{2x}</math> ergibt <math>f'(x)=6e^{2x}</math>.

'''Beispiel 2:''' <math>g(x)=\ln(5x+1)</math> ergibt <math>g'(x)=\frac{5}{5x+1}</math>. Dabei muss <math>5x+1>0</math> gelten.

[[Datei:Exp tangent.svg|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Aufgaben zum Video =

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=XVCBYo2_OoM |500|center}}

# [[Videonotizen]]: Notiere die beiden wichtigsten Ableitungsregeln aus dem Video.
# [[Stopp-Aufgabe]]: Pausiere nach der Erklärung von <math>e^x</math>. Erkläre mit einem Satz, was daran besonders ist.
# [[Beispielanalyse]]: Schreibe zwei Beispielaufgaben aus dem Video ab und rechne sie selbst nach.
# [[Umkehrfunktion]]: Erkläre nach dem Video, warum <math>\ln(x)</math> und <math>e^x</math> zusammengehören.
# [[Fehlercheck]]: Formuliere einen typischen Fehler beim Ableiten von <math>e^{u(x)}</math> oder <math>\ln(u(x))</math> und verbessere ihn.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wie lautet die Ableitung von e hoch x?'''
(e hoch x)
(!x mal e hoch x)
(!e hoch x plus 1)
(!1 durch e hoch x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet die Ableitung von ln x?'''
(1 durch x)
(!ln x)
(!x)
(!e hoch x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Für welche reellen x ist ln x definiert?'''
(Für positive x)
(!Für alle x)
(!Nur für negative x)
(!Nur für x gleich null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von e hoch x?'''
(ln x)
(!x hoch e)
(!1 durch x)
(!Wurzel x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Regel brauchst Du bei e hoch u von x?'''
(Kettenregel)
(!Additionsregel)
(!Dreisatz)
(!Pythagoras)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist die Ableitung von e hoch 2x?'''
(2 mal e hoch 2x)
(!e hoch 2x)
(!2x mal e hoch x)
(!e hoch x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist die Ableitung von ln 3x?'''
(1 durch x)
(!3 durch x)
(!ln 3)
(!3 mal ln x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von e hoch x?'''
(Null Komma eins)
(!Eins Komma null)
(!Null Komma null)
(!Eins Komma eins)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von ln x?'''
(Eins Komma null)
(!Null Komma eins)
(!Null Komma null)
(!Eins Komma eins)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gilt für ln von e hoch x?'''
(Das Ergebnis ist x)
(!Das Ergebnis ist e)
(!Das Ergebnis ist null)
(!Das Ergebnis ist eins)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| e-Funktion || eigene Ableitung
|-
| natürlicher Logarithmus || Kehrwertregel
|-
| Eulerzahl || Basis der natürlichen Exponentialfunktion
|-
| positiver Definitionsbereich || erlaubte Argumente von ln
|-
| Spiegelgerade || Symmetrieachse der Umkehrfunktionen
|-
| innere Funktion || Kettenfaktor
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''e-Funktion'''
| bleibt beim Ableiten erhalten
|-
| '''Logarithmusfunktion'''
| liefert den Kehrwert
|-
| '''Kettenregel'''
| berücksichtigt die innere Ableitung
|-
| '''Umkehrfunktion'''
| macht eine Zuordnung rückgängig
|-
| '''Definitionsbereich'''
| begrenzt erlaubte Eingaben

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Ableitung || Wie heißt die Funktion, die die Steigung beschreibt?
|-
| Eulerzahl || Wie heißt die Zahl e auch?
|-
| Logarithmus || Welche Funktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion?
|-
| Kettenregel || Welche Regel wird bei einer inneren Funktion gebraucht?
|-
| Kehrwert || Wie heißt ein Ausdruck der Form eins durch x?
|-
| Tangente || Welche Gerade zeigt die Steigung an einem Punkt?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Ableitung+von+e+hoch+x+und+natürlicher+Logarithmus </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die Funktion <math>e^x</math> heißt natürliche { Exponentialfunktion }. Ihre Ableitung ist wieder die Funktion { selbst }. Der natürliche Logarithmus ist ihre { Umkehrfunktion }. Für <math>\ln(x)</math> sind nur { positive } Werte von <math>x</math> erlaubt. Die Ableitung von <math>\ln(x)</math> ist der { Kehrwert } von <math>x</math>. Bei <math>e^{u(x)}</math> nutzt man die { Kettenregel }. Die innere Ableitung wird dabei als { Faktor } eingesetzt.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Formelkarte]]: Gestalte eine Karte mit den vier wichtigsten Ableitungsregeln.
# [[Graphenskizze]]: Zeichne <math>e^x</math> und <math>\ln(x)</math> in ein Koordinatensystem.
# [[Erklärsatz]]: Erkläre in zwei einfachen Sätzen, warum <math>e^x</math> besonders ist.
# [[Mini-Quiz]]: Erfinde drei leichte Fragen mit Lösungen.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Rechenweg]]: Leite <math>4e^{3x}</math> und <math>\ln(2x+5)</math> ab und erkläre jeden Schritt.
# [[Fehlersuche]]: Erfinde zwei falsche Ableitungen und korrigiere sie.
# [[Lernvideo]]: Produziere ein einminütiges Erklärvideo zur Kettenregel bei der e-Funktion.
# [[Vergleich]]: Vergleiche die Graphen von <math>e^x</math> und <math>\ln(x)</math> in einer Tabelle.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Modellierung]]: Erstelle ein Wachstumsmodell <math>N(t)=N_0e^{kt}</math> und deute seine Ableitung.
# [[Begründung]]: Erkläre mithilfe der Umkehrfunktion, warum <math>e^{\ln(x)}=x</math> nur für <math>x>0</math> gilt.
# [[Anwendung]]: Entwickle eine Sachaufgabe, in der eine Exponentialgleichung mit <math>\ln</math> gelöst wird.
# [[Untersuchung]]: Analysiere <math>h(x)=e^x+\ln(x)</math> hinsichtlich Definitionsbereich, Ableitung und Monotonie.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Regelwahl]]: Entscheide bei drei selbst gewählten Funktionen, welche Ableitungsregel nötig ist, und begründe Deine Wahl.
# [[Graph und Ableitung]]: Erkläre am Graphen von <math>e^x</math>, warum Funktionswert und Steigung zusammenpassen.
# [[Transfer]]: Vergleiche die Ableitungen von <math>e^{2x}</math> und <math>e^{x^2}</math>. Erkläre den Unterschied.
# [[Fehlerdiagnose]]: Prüfe die Behauptung <math>(\ln(4x))'=\frac{4}{x}</math> und korrigiere sie.
# [[Modellbewertung]]: Beurteile, was die Ableitung in einem exponentiellen Wachstumsmodell praktisch bedeutet.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis sollst Du:

# die Grundregeln sicher anwenden,
# die [[Kettenregel]] erklären,
# den Definitionsbereich von <math>\ln(x)</math> beachten,
# einen vollständigen Rechenweg darstellen,
# die Beziehung zwischen <math>e^x</math> und <math>\ln(x)</math> erklären,
# eine neue Aufgabe selbstständig lösen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Natürlicher_Logarithmus </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Ableitung von e hoch x und natürlicher Logarithmus]]'''
# [[Exponentialfunktion]]
# [[Natürlicher Logarithmus]]
# [[Ableitung]]
# [[Kettenregel]]
# [[Umkehrfunktion]]
# [[Differentialrechnung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Differentialrechnung]]
[[Kategorie:Exponentialfunktion]]
[[Kategorie:Logarithmus]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]
[[Kategorie:Klasse 13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Ableitung von e hoch x und natürlicher Logarithmus - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt