Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-13T21:25:26Z

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{{T}}
{{BR}}
= Ableitung der e-Funktion =

{{BR}}
= Einleitung =

Die [[e-Funktion]] ist eine besondere [[Exponentialfunktion]]. Sie heißt

<math>f(x)=e^x</math>.

Das Besondere ist: Beim [[Ableitung|Ableiten]] bleibt die Funktion gleich.

<math>f'(x)=e^x</math>

Das macht viele Rechnungen einfach. Du brauchst vor allem die [[Kettenregel]]. Dieser kurze aiMOOC ist für [[Mathematik]] in Klasse 10 bis 13.

[[Datei:Exp.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach diesem Kurs kannst Du:
# [[e-Funktion]]: die Grundregel nennen.
# [[Kettenregel]]: e-Funktionen mit innerer Funktion ableiten.
# [[Faktorregel]]: feste Faktoren richtig übernehmen.
# [[Produktregel]]: einfache Produkte mit einer e-Funktion ableiten.

{{BR}}
= Die wichtigste Regel =

Für die Grundfunktion gilt:

<math>f(x)=e^x \quad \Rightarrow \quad f'(x)=e^x</math>

Die Steigung der e-Funktion ist an jeder Stelle genauso groß wie ihr Funktionswert. Bei <math>x=0</math> ist der Funktionswert <math>1</math>. Deshalb ist dort auch die Steigung <math>1</math>.

[[Datei:Exp derivative at 0.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Die Kettenregel ==

Steht im Exponenten mehr als nur <math>x</math>, brauchst Du die [[Kettenregel]]:

<math>f(x)=e^{u(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x)=u'(x)\cdot e^{u(x)}</math>

'''Merksatz:''' Die e-Funktion bleibt stehen. Multipliziere sie mit der inneren Ableitung.

'''Beispiele:'''

<math>f(x)=e^{3x} \quad \Rightarrow \quad f'(x)=3e^{3x}</math>

<math>g(x)=5e^{2x-1} \quad \Rightarrow \quad g'(x)=10e^{2x-1}</math>

<math>h(x)=e^{-0{,}5x} \quad \Rightarrow \quad h'(x)=-0{,}5e^{-0{,}5x}</math>

[[Datei:Exponential function.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Faktorregel und Produktregel ==

Ein fester Faktor bleibt erhalten:

<math>f(x)=4e^x \quad \Rightarrow \quad f'(x)=4e^x</math>

Bei einem Produkt brauchst Du die [[Produktregel]]:

<math>f(x)=(x+1)e^x</math>

<math>f'(x)=1\cdot e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x</math>

{{BR}}
== Typische Fehler ==

# [[Kettenregel]] vergessen: Bei <math>e^{4x}</math> fehlt sonst der Faktor <math>4</math>.
# [[Vorzeichen]] übersehen: Bei <math>e^{-x}</math> ist die Ableitung <math>-e^{-x}</math>.
# [[Exponent]] verändern: Der Exponent bleibt beim Ableiten der e-Funktion erhalten.
# [[Produktregel]] vergessen: Bei <math>x\cdot e^x</math> müssen beide Faktoren abgeleitet werden.

{{BR}}
= Video: Ableitung der e-Funktion =

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Stoppe es bei den Beispielen und rechne zuerst selbst.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=FREVZ0ygT84 |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Grundregel]]: Schreibe nach dem ersten Erklärteil die Ableitungsregel für <math>e^x</math> auf.
# [[Kettenregel]]: Notiere, wann im Video eine innere Ableitung gebraucht wird.
# [[Rechenpause]]: Stoppe vor einem Beispiel, rechne selbst und vergleiche danach.
# [[Fehleranalyse]]: Erkläre, warum die Ableitung von <math>e^{3x}</math> nicht nur <math>e^{3x}</math> ist.
# [[Eigene Beispiele]]: Erfinde zwei e-Funktionen und leite sie ab.
# [[Zusammenfassung]]: Erkläre den Inhalt des Videos in drei einfachen Sätzen.

{{BR}}
== Weiteres Erklärvideo ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=9Dj8deA2XLw |500|center}}

{{BR}}
= Anwendungen =

e-Funktionen beschreiben zum Beispiel [[Wachstum]], [[Zerfall]], Zinsmodelle und Abkühlung. Die Ableitung zeigt, wie schnell sich eine Größe in diesem Moment ändert.

[[Datei:Plot-exponential-decay.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wie lautet die Ableitung von e hoch x?'''
(e hoch x)
(!x mal e hoch x)
(!1)
(!0)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet die Ableitung von e hoch 3x?'''
(3 mal e hoch 3x)
(!e hoch 3x)
(!3x mal e hoch x)
(!e hoch x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet die Ableitung von e hoch minus x?'''
(minus e hoch minus x)
(!e hoch minus x)
(!minus e hoch x)
(!x mal e hoch minus x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Regel brauchst Du bei e hoch u von x?'''
(Kettenregel)
(!Summenregel)
(!Potenzregel)
(!Kehrwertregel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet die Ableitung von 5 mal e hoch x?'''
(5 mal e hoch x)
(!e hoch x)
(!5x mal e hoch x)
(!0)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Steigung hat e hoch x bei x gleich null?'''
(1)
(!0)
(!minus 1)
(!e)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet die Ableitung einer e-Funktion mit dem Exponenten 2x plus 1?'''
(2 mal e hoch dem Exponenten 2x plus 1)
(!e hoch dem Exponenten 2x plus 1)
(!3 mal e hoch dem Exponenten 2x plus 1)
(!2x mal e hoch dem Exponenten x plus 1)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was wird bei der Kettenregel zusätzlich multipliziert?'''
(Die innere Ableitung)
(!Der x Wert)
(!Der Funktionswert null)
(!Der Exponent allein)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet die Ableitung von x mal e hoch x?'''
(e hoch x plus x mal e hoch x)
(!x mal e hoch x)
(!e hoch x)
(!1 plus e hoch x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet die Ableitung von e hoch 0 Komma 5x?'''
(0 Komma 5 mal e hoch 0 Komma 5x)
(!e hoch 0 Komma 5x)
(!2 mal e hoch 0 Komma 5x)
(!0 Komma 5x mal e hoch x)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Grundfunktion || bleibt beim Ableiten gleich
|-
| Kettenregel || innere Ableitung mal äußere Ableitung
|-
| Faktorregel || feste Zahl bleibt als Faktor erhalten
|-
| Produktregel || Ableitung eines Produkts
|-
| Tangentensteigung || Wert der ersten Ableitung
|-
| Wachstum || positiver Exponent
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Passende Regel oder Aussage
|-
| '''Grundfunktion'''
| bleibt beim Ableiten gleich
|-
| '''Innere Funktion'''
| Kettenregel anwenden
|-
| '''Negativer Exponent'''
| negatives Vorzeichen beachten
|-
| '''Konstanter Faktor'''
| Faktor bleibt erhalten
|-
| '''Produkt zweier Funktionen'''
| Produktregel anwenden

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Eulerzahl || Welche Zahl ist die Basis der natürlichen Exponentialfunktion?
|-
| Exponent || Wo steht bei einer e-Funktion die Variable?
|-
| Kettenregel || Welche Regel brauchst Du bei einer inneren Funktion?
|-
| Ableitung || Welche Funktion beschreibt die momentane Änderung?
|-
| Tangente || Welche Gerade berührt einen Graphen an einer Stelle?
|-
| Wachstum || Welcher Prozess wird oft mit einer steigenden e-Funktion beschrieben?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Ableitung+der+e-Funktion </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die Ableitung von e hoch x ist wieder { e hoch x }. Steht im Exponenten eine innere Funktion, brauchst Du die { Kettenregel }. Die e-Funktion wird mit der { inneren Ableitung } multipliziert. Ein fester Faktor bleibt beim Ableiten { erhalten }. Bei <math>x=0</math> hat die e-Funktion die Steigung { eins }. Ein negativer innerer Faktor führt in der Ableitung zu einem { Minuszeichen }. Bei einem Produkt aus zwei Funktionen nutzt Du die { Produktregel }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Merksatz]]: Schreibe die Grundregel zur Ableitung von <math>e^x</math> auf eine Lernkarte.
# [[Rechenweg]]: Leite <math>e^{2x}</math>, <math>e^{-x}</math> und <math>3e^x</math> ab.
# [[Graph]]: Zeichne <math>e^x</math> und markiere den Punkt mit der Steigung <math>1</math>.
# [[Erklärung]]: Erkläre einer anderen Person, warum die e-Funktion beim Ableiten gleich bleibt.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Videoanalyse]]: Wähle ein Beispiel aus dem Video und erkläre jeden Rechenschritt.
# [[Fehleranalyse]]: Korrigiere die falsche Ableitung <math>(e^{5x})'=e^{5x}</math>.
# [[Anwendung]]: Erfinde eine kleine Wachstumsgeschichte mit einer e-Funktion und deute ihre Ableitung.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein einminütiges Video zur Kettenregel bei e-Funktionen.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Produktregel]]: Leite <math>(x^2+1)e^x</math> ab und vereinfache das Ergebnis.
# [[Modellierung]]: Untersuche ein Zerfallsmodell der Form <math>N(t)=N_0e^{-kt}</math> und deute <math>N'(t)</math>.
# [[Vergleich]]: Vergleiche die Ableitungen von <math>e^x</math> und <math>2^x</math>. Beschreibe den Unterschied.
# [[Begründung]]: Erkläre mit dem Differenzenquotienten als Idee, warum die e-Funktion eine besondere Basis hat.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Transfer Wachstum]]: Eine Größe wächst nach <math>B(t)=200e^{0{,}03t}</math>. Bestimme <math>B'(t)</math> und erkläre die Bedeutung des Ergebnisses.
# [[Transfer Zerfall]]: Vergleiche <math>e^{-x}</math> und seine Ableitung. Was sagt das Vorzeichen über den Verlauf aus?
# [[Strategiewahl]]: Entscheide bei drei selbst gewählten Funktionen, ob Grundregel, Kettenregel oder Produktregel nötig ist. Begründe.
# [[Fehlerdiagnose]]: Eine Person schreibt <math>(4e^{2x})'=4e^{2x}</math>. Finde den Denkfehler und verbessere die Lösung.
# [[Graphische Deutung]]: Erkläre am Graphen von <math>e^x</math>, warum die Steigung für große positive x-Werte stark zunimmt.
# [[Modellkritik]]: Nenne eine Situation, in der exponentielles Wachstum nur für einen begrenzten Zeitraum sinnvoll ist.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen:
# [[Grundregel]]: Du kannst <math>e^x</math> sicher ableiten.
# [[Kettenregel]]: Du erkennst innere Funktionen und leitest sie richtig ab.
# [[Faktorregel]]: Du übernimmst feste Faktoren korrekt.
# [[Produktregel]]: Du kannst einfache Produkte mit e-Funktionen ableiten.
# [[Deutung]]: Du erklärst die Ableitung als momentane Änderungsrate.
# [[Transfer]]: Du wendest die Regeln auf Wachstum und Zerfall an.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Ableitung der e-Funktion]]'''
# [[e-Funktion]]
# [[Exponentialfunktion]]
# [[Eulersche Zahl]]
# [[Ableitung]]
# [[Kettenregel]]
# [[Faktorregel]]
# [[Produktregel]]
# [[Differentialrechnung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Differentialrechnung]]
[[Kategorie:Exponentialfunktion]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]
[[Kategorie:Klasse 13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Ableitung der e-Funktion - Versionsgeschichte

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