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2026-09-28T16:00:29Z

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{{BR}}
= ABI LF - Umkehrfunktionen als Abiturvoraussetzung 2027 =

'''Mini-Beschreibung:''' Sichere die für das Mathematik-Abitur 2027 in Baden-Württemberg zusätzlich vorausgesetzten Grundlagen zu [[Umkehrfunktion|Umkehrfunktionen]]. Du trainierst Definitionsmenge, Wertemenge, Spiegelung an <math>y=x</math>, Umkehrbarkeit und einfache Funktionsterme der Umkehrfunktion. Im Zentrum steht die Beziehung zwischen <math>e^x</math> und <math>\ln x</math>.

[[Datei:Obtaining the inverse function by reflection.gif|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Prüfungsbezug 2027 ==

Für das '''Leistungsfach Mathematik''' nennt der Facherlass Baden-Württemberg für die Abiturprüfung 2027 ergänzend grundlegende Kenntnisse über Umkehrfunktionen: '''Definitions- und Wertemenge, Graph und Funktionsterm'''. Maßgeblich bleiben der jeweils gültige Facherlass und der Bildungsplan.

[https://km.baden-wuerttemberg.de/fileadmin/redaktion/m-km/intern/PDF/Dateien/Gymnasium/Dokumente_Abitur/Abitur_2027/Facherlass_2027_Stand_09.09.2025.pdf Facherlass Abitur 2027, Stand 09.09.2025]

[https://www.bildungsplaene-bw.de/BP2016BW_ALLG_GYM_M.V2_IK_11-12-LF_04 Bildungsplan Mathematik Leistungsfach – Funktionaler Zusammenhang]

'''Prüfungshinweis:''' GeoGebra, Videos, LearningApps und andere digitale Werkzeuge in diesem aiMOOC sind Trainingsmedien. Sie sind nicht automatisch zugelassene Prüfungshilfsmittel. Nach dem genannten Facherlass sind die Regelungen zu Prüfungsteilen und Hilfsmitteln gesondert zu beachten.

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= Lernziele =

Nach dem Kurs kannst Du:

# [[Definitionsmenge]] und [[Wertemenge]] einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion korrekt zuordnen.
# Punkte <math>(a|b)</math> beim Übergang zur Umkehrfunktion als <math>(b|a)</math> interpretieren.
# die Graphspiegelung an <math>y=x</math> erklären und nutzen.
# Umkehrbarkeit mit Injektivität beziehungsweise strenger Monotonie begründen.
# durch geeignete Einschränkung der Definitionsmenge eine Funktion umkehrbar machen.
# einfache Terme von Umkehrfunktionen bestimmen und durch Verkettung prüfen.
# <math>e^x</math> und <math>\ln x</math> als zueinander inverse Funktionen sicher verknüpfen.
# mathematische Aussagen, digitale Ergebnisse und KI-Ausgaben durch Definitionen, Rechnung oder Beweis prüfen.

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= Kurzer Einstieg =

Eine Umkehrfunktion macht die eindeutige Zuordnung rückwärts.

<math>f(a)=b \quad \Longleftrightarrow \quad f^{-1}(b)=a</math>

Grafisch werden die Koordinaten vertauscht:

<math>(a|b)\longmapsto(b|a)</math>

Damit ist die Spiegelachse:

<math>y=x</math>

[[Datei:Inverse Function Graph.png|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=XDgIhvwdLtg |500|center}}

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= Vorwissen-Check =

Prüfe ohne Hilfsmittel:

# Kannst Du für <math>f(x)=x^2</math> erklären, warum auf <math>\mathbb{R}</math> keine eindeutige Umkehrfunktion existiert?
# Kannst Du aus <math>f(2)=5</math> sofort <math>f^{-1}(5)=2</math> folgern?
# Kennst Du <math>D_{e^x}=\mathbb{R}</math> und <math>W_{e^x}=(0,\infty)</math>?
# Weißt Du, warum <math>\ln x</math> nur für <math>x>0</math> definiert ist?
# Kannst Du eine lineare Gleichung nach <math>x</math> auflösen?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Selbstkontrolle:''' Wenn mindestens vier Punkte sicher sind, kannst Du direkt mit den Abiturbeispielen starten. Sonst bearbeite zuerst die Abschnitte zu Definitionsmenge, Wertemenge und Umkehrbarkeit.
</div>

{{BR}}
= Grundidee der Umkehrfunktion =

Für eine bijektive Funktion

<math>f:D\to Z</math>

existiert eine Umkehrfunktion

<math>f^{-1}:Z\to D</math>.

Dabei gilt:

<math>f^{-1}(f(x))=x</math>

und

<math>f(f^{-1}(y))=y</math>.

Wird als Zielmenge direkt die Wertemenge gewählt, ist vor allem die '''Eindeutigkeit''' entscheidend: Kein Funktionswert darf zu zwei verschiedenen Argumenten gehören.

'''Achtung:'''

<math>f^{-1}(x)\neq \frac{1}{f(x)}</math>

Die Hochzahl <math>-1</math> bezeichnet hier die inverse Funktion, nicht den Kehrwert.

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== Definitionsmenge und Wertemenge tauschen ihre Rollen ==

Ist <math>f</math> umkehrbar, dann gilt:

<math>D_{f^{-1}}=W_f</math>

<math>W_{f^{-1}}=D_f</math>

Beispiel:

<math>f(x)=e^x</math>

<math>D_f=\mathbb{R}</math>

<math>W_f=(0,\infty)</math>

also:

<math>f^{-1}(x)=\ln x</math>

<math>D_{f^{-1}}=(0,\infty)</math>

<math>W_{f^{-1}}=\mathbb{R}</math>

[[Datei:Logarithm inversefunctiontoexpB.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Graphspiegelung an y=x ==

Aus einem Punkt

<math>P=(a|b)</math>

wird beim Spiegeln an <math>y=x</math>

<math>P'=(b|a)</math>.

Das erklärt unmittelbar, warum sich Definitions- und Wertemenge vertauschen.

'''Dynamisches Modell:'''

<iframe> https://www.geogebra.org/m/B4hxehCZ </iframe>

'''Arbeitsauftrag:''' Verändere die Ausgangsfunktion und beobachte, wie der Graph beim Achsentausch an <math>y=x</math> gespiegelt wird.

{{BR}}
== Wann ist eine Funktion umkehrbar? ==

Für eine eindeutige Umkehrfunktion muss die Zuordnung rückwärts eindeutig sein.

Graphisch: Jede waagerechte Gerade darf den Graphen höchstens einmal schneiden.

Ein wichtiges hinreichendes Kriterium ist '''strenge Monotonie''' auf der betrachteten Definitionsmenge.

<math>x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)</math>

oder

<math>x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)</math>.

Beispiel:

<math>f(x)=x^2</math>

ist auf <math>\mathbb{R}</math> nicht umkehrbar, denn

<math>f(-2)=f(2)=4</math>.

Mit der Einschränkung

<math>D_f=[0,\infty)</math>

ist <math>f</math> streng monoton steigend und damit umkehrbar:

<math>f^{-1}(x)=\sqrt{x}</math>.

'''Interaktiver Umkehrbarkeitstest:'''

<iframe> https://www.geogebra.org/m/jxPJ1tx9 </iframe>

{{BR}}
= Umkehrfunktion rechnerisch bestimmen =

Für einfache Fälle:

# Schreibe <math>y=f(x)</math>.
# Löse die Gleichung nach <math>x</math> auf.
# Vertausche die Rollen von <math>x</math> und <math>y</math>.
# Bestimme die neue Definitionsmenge.
# Prüfe durch Verkettung oder durch Rückeinsetzen.

{{BR}}
== Beispiel 1: Lineare Funktion ==

Gegeben:

<math>f(x)=2x-3</math>

'''Schritt 1'''

<math>y=2x-3</math>

'''Schritt 2'''

<math>y+3=2x</math>

'''Schritt 3'''

<math>x=\frac{y+3}{2}</math>

'''Ergebnis'''

<math>f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}</math>

'''Probe'''

<math>f^{-1}(f(x))=\frac{2x-3+3}{2}=x</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' Wenn Deine Umkehrfunktion wieder linear ist und die Steigung <math>\frac12</math> besitzt, passt die Rechnung. Prüfe zusätzlich den Achsenabschnitt.
</div>

{{BR}}
== Beispiel 2: Exponentialfunktion und Logarithmus ==

Gegeben:

<math>f(x)=e^x</math>

Aus

<math>y=e^x</math>

folgt durch Logarithmieren:

<math>\ln y=x</math>.

Damit:

<math>f^{-1}(x)=\ln x</math>

mit

<math>x>0</math>.

Zwei zentrale Identitäten:

<math>\ln(e^x)=x \qquad \text{für alle } x\in\mathbb{R}</math>

<math>e^{\ln x}=x \qquad \text{für } x>0</math>

[[Datei:Function-log-animation.gif|400px|rahmenlos|center]]

'''Dynamischer Vergleich von <math>e^x</math> und <math>\ln x</math>:'''

<iframe> https://www.geogebra.org/m/vDDS5srF </iframe>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=Pk29c_Kk_dM |500|center}}

{{BR}}
== Beispiel 3: Mehrschrittige Exponentialfunktion ==

Gegeben:

<math>f(x)=2e^{3x}-1</math>

Setze:

<math>y=2e^{3x}-1</math>

Dann:

<math>y+1=2e^{3x}</math>

<math>\frac{y+1}{2}=e^{3x}</math>

<math>\ln\left(\frac{y+1}{2}\right)=3x</math>

<math>x=\frac13\ln\left(\frac{y+1}{2}\right)</math>

Also:

<math>f^{-1}(x)=\frac13\ln\left(\frac{x+1}{2}\right)</math>

mit:

<math>D_{f^{-1}}=(-1,\infty)</math>.

'''Warum?'''

Weil:

<math>W_f=(-1,\infty)</math>

und daher:

<math>D_{f^{-1}}=W_f</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Abitur-Check:''' Ein formal korrekter Funktionsterm ohne passende Definitionsmenge kann unvollständig sein. Prüfe bei Logarithmen immer die Bedingung für das Argument.
</div>

{{BR}}
= Interaktive Beispiele =

{{BR}}
== Punktspiegelung ==

Wenn

<math>f(1)=e</math>,

dann gilt für die Umkehrfunktion:

<math>f^{-1}(e)=1</math>.

Für <math>f(x)=e^x</math> bedeutet das:

<math>\ln(e)=1</math>.

[[Datei:Logarithm inversefunctiontoexpC.svg|450px|rahmenlos|center]]

'''Denkfrage:''' Wo liegt der gespiegelte Punkt zu <math>(0|1)</math> des Graphen von <math>e^x</math>?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung:''' Der Punkt ist <math>(1|0)</math>. Er liegt auf dem Graphen von <math>\ln x</math>.
</div>

{{BR}}
== Interaktives Experiment zur Spiegelung ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/fZZqFCDS </iframe>

'''Auftrag:''' Beobachte die Bewegung eines Punktes und formuliere selbst eine Regel für den Übergang von <math>(x|f(x))</math> zu einem Punkt des inversen Graphen.

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= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung 1: Definitions- und Wertemenge ==

Gegeben:

<math>f(x)=e^{x-2}+4</math>

Bestimme <math>D_f</math>, <math>W_f</math>, <math>D_{f^{-1}}</math> und <math>W_{f^{-1}}</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' <math>e^{x-2}>0</math>. Deshalb liegt der Graph stets oberhalb von <math>y=4</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>D_f=\mathbb{R}</math>, <math>W_f=(4,\infty)</math>, <math>D_{f^{-1}}=(4,\infty)</math>, <math>W_{f^{-1}}=\mathbb{R}</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung 2: Umkehrbarkeit begründen ==

Untersuche:

<math>g(x)=x^3-2</math>

auf <math>\mathbb{R}</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' Nutze die strenge Monotonie von <math>x^3</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>g</math> ist auf <math>\mathbb{R}</math> streng monoton steigend und damit auf seine Wertemenge eindeutig umkehrbar.
</div>

{{BR}}
== Übung 3: Term bestimmen ==

Bestimme die Umkehrfunktion von:

<math>h(x)=3x+6</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' Setze <math>y=3x+6</math> und löse nach <math>x</math> auf.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>h^{-1}(x)=\frac{x-6}{3}</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung 4: Exponentialfunktion umkehren ==

Bestimme die Umkehrfunktion von:

<math>p(x)=e^{2x+1}</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' Logarithmiere erst, nachdem Du <math>y=e^{2x+1}</math> gesetzt hast.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>p^{-1}(x)=\frac{\ln x-1}{2}</math> mit <math>x>0</math>.
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =

'''Fehler 1:'''

<math>f^{-1}(x)=\frac{1}{f(x)}</math>

'''Korrektur:''' Umkehrfunktion und Kehrwert sind verschiedene Begriffe.

'''Fehler 2:'''

<math>x^2</math> wird auf ganz <math>\mathbb{R}</math> direkt zu <math>\sqrt{x}</math> umgekehrt.

'''Korrektur:''' <math>x^2</math> ist auf <math>\mathbb{R}</math> nicht injektiv. Erst eine passende Einschränkung wie <math>[0,\infty)</math> liefert eine eindeutige Umkehrfunktion.

'''Fehler 3:'''

Aus <math>e^{\ln x}=x</math> wird geschlossen, dies gelte für alle reellen <math>x</math>.

'''Korrektur:'''

<math>e^{\ln x}=x</math>

gilt nur für:

<math>x>0</math>.

'''Fehler 4:''' Ein CAS, eine KI oder ein Graphikprogramm liefert einen Term und dieser wird ungeprüft übernommen.

'''Korrektur:''' Prüfe Definitionsmenge, Wertemenge, Verkettung und gegebenenfalls Monotonie. KI-Ausgaben können einen Rechenweg vorschlagen, ersetzen aber keinen mathematischen Beweis.

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Beantworte ohne Nachschlagen:

# Warum werden beim Übergang zur Umkehrfunktion Definitions- und Wertemenge vertauscht?
# Was bedeutet die Spiegelung an <math>y=x</math> für einen Punkt <math>(a|b)</math>?
# Warum ist strenge Monotonie ein geeignetes Kriterium für Umkehrbarkeit?
# Warum ist <math>\ln x</math> die Umkehrfunktion von <math>e^x</math>?
# Welche Bedingung muss bei einem Logarithmusargument immer geprüft werden?

'''Kurzcheck:'''

<math>f^{-1}(f(x))=x</math>

ist nur dort sinnvoll, wo alle beteiligten Ausdrücke definiert sind.

{{BR}}
= Transfer =

Ein Wachstumsmodell lautet:

<math>N(t)=120e^{0{,}08t}</math>.

Gesucht ist die Zeit <math>t</math> zu einem gegebenen Bestand <math>N</math>.

Aus:

<math>N=120e^{0{,}08t}</math>

folgt:

<math>\frac{N}{120}=e^{0{,}08t}</math>

<math>\ln\left(\frac{N}{120}\right)=0{,}08t</math>

und damit:

<math>t=\frac{1}{0{,}08}\ln\left(\frac{N}{120}\right)</math>.

Die Umkehrfunktion beantwortet hier die Rückwärtsfrage:

'''Welcher Zeitpunkt gehört zu einem bekannten Bestand?'''

{{BR}}
= Kompetenzcheck Leistungsfach =

Du bist abiturorientiert sicher, wenn Du folgende Aussagen begründen kannst:

# Aus <math>f(a)=b</math> folgt bei umkehrbarem <math>f</math> die Beziehung <math>f^{-1}(b)=a</math>.
# Der Graph von <math>f^{-1}</math> entsteht durch Spiegelung des Graphen von <math>f</math> an <math>y=x</math>.
# <math>D_{f^{-1}}=W_f</math> und <math>W_{f^{-1}}=D_f</math>.
# Strenge Monotonie verhindert doppelte Funktionswerte.
# <math>x^2</math> benötigt für eine eindeutige Umkehrfunktion eine geeignete Einschränkung der Definitionsmenge.
# <math>e^x</math> bildet <math>\mathbb{R}</math> auf <math>(0,\infty)</math> ab.
# <math>\ln x</math> bildet <math>(0,\infty)</math> auf <math>\mathbb{R}</math> ab.
# Ein gefundener Term wird durch Verkettung, Definitionsmengenvergleich oder beides geprüft.

{{BR}}
= Reflexion =

Formuliere in drei kurzen Sätzen:

# Was bedeutet „Umkehren“ bei einer Funktion geometrisch?
# Was bedeutet „Umkehren“ algebraisch?
# Welche Rolle spielen Definitions- und Wertemenge?

Notiere anschließend einen eigenen typischen Fehler und eine Prüfmethode, mit der Du ihn künftig erkennst.

{{BR}}
= Folgekurs =

Sinnvolle nächste Themen:

# [[Exponentialfunktion]]
# [[Logarithmus]]
# [[Logarithmusgesetze]]
# [[Funktionsverkettung]]
# [[Monotonie]]
# [[Differentialrechnung]]
# [[Abitur Mathematik Baden-Württemberg]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Definitionsmenge besitzt die Funktion <math>f(x)=e^x</math>?'''
(ℝ)
(!Alle positiven reellen Zahlen)
(!Alle negativen reellen Zahlen)
(!Nur die natürlichen Zahlen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Wertemenge besitzt die Funktion <math>f(x)=e^x</math>?'''
(Alle positiven reellen Zahlen)
(!Alle reellen Zahlen)
(!Alle nichtpositiven reellen Zahlen)
(!Nur die ganzen Zahlen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von <math>e^x</math>?'''
(ln x)
(!x hoch minus eins)
(!e mal x)
(!x hoch e)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''An welcher Geraden werden die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion gespiegelt?'''
(y gleich x)
(!x gleich null)
(!y gleich null)
(!y gleich minus x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Punkt gehört nach der Umkehrung zum Punkt 2 Strich 5?'''
(5 Strich 2)
(!2 Strich minus 5)
(!minus 2 Strich 5)
(!5 Strich minus 2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet die Umkehrfunktion von f mit f von x gleich 2x minus 3?'''
(x plus 3 geteilt durch 2)
(!2x plus 3)
(!x minus 3 geteilt durch 2)
(!1 geteilt durch 2x minus 3)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist x Quadrat auf ganz ℝ nicht eindeutig umkehrbar?'''
(Die Funktion ist nicht injektiv)
(!Die Funktion besitzt keine Nullstelle)
(!Die Funktion ist nicht stetig)
(!Die Funktion ist überall negativ)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Umkehrfunktion erhält man für x Quadrat auf dem Bereich x größer gleich null?'''
(Quadratwurzel aus x)
(!minus Quadratwurzel aus x)
(!x hoch minus 2)
(!2x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Für welche x gilt e hoch ln x gleich x?'''
(Für x größer null)
(!Für alle reellen x)
(!Nur für x gleich null)
(!Nur für x kleiner null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Definitionsmenge besitzt die Umkehrfunktion von 2e hoch 3x minus 1?'''
(x größer minus 1)
(!x größer 1)
(!x kleiner minus 1)
(!Alle reellen x)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Definitionsmenge || zulässige Eingaben
|-
| Wertemenge || tatsächlich angenommene Funktionswerte
|-
| Umkehrfunktion || rückwärts eindeutige Zuordnung
|-
| Spiegelachse y gleich x || grafischer Zusammenhang
|-
| Exponentialfunktion e hoch x || natürlicher Logarithmus ln x
|-
| Strenge Monotonie || hinreichendes Kriterium für Injektivität
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Umkehrfunktion
|-
| '''<math>e^x</math>'''
| <math>\ln x</math>
|-
| '''<math>\ln x</math>'''
| <math>e^x</math>
|-
| '''<math>2x-3</math>'''
| <math>\frac{x+3}{2}</math>
|-
| '''<math>x^3</math>'''
| <math>\sqrt[3]{x}</math>
|-
| '''<math>x^2</math> auf <math>[0,\infty)</math>'''
| <math>\sqrt{x}</math>
|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Bijektion || Welche Eigenschaft aus Injektivität und Surjektivität ermöglicht eine echte Umkehrfunktion zwischen zwei festgelegten Mengen?
|-
| Logarithmus || Welche Funktion kehrt eine Exponentialfunktion um?
|-
| Wertemenge || Welche Menge wird zur Definitionsmenge der Umkehrfunktion?
|-
| Spiegelung || Welche geometrische Operation verbindet die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion?
|-
| Monotonie || Welche Eigenschaft kann zur Begründung der Eindeutigkeit genutzt werden?
|-
| Definitionsmenge || Welche Menge enthält alle zulässigen Eingaben einer Funktion?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Umkehrfunktionen+Abitur+2027 </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei einer Umkehrfunktion werden Eingabe und Ausgabe { vertauscht }.<br>
Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung an der Geraden { y=x }.<br>
Die Wertemenge einer Funktion wird zur { Definitionsmenge } ihrer Umkehrfunktion.<br>
Eine streng monotone Funktion ist auf ihrem betrachteten Bereich { injektiv }.<br>
Die Umkehrfunktion von <math>e^x</math> ist { ln x }.<br>
Die Definitionsmenge von <math>\ln x</math> besteht aus den { positiven } reellen Zahlen.<br>
Die Funktion <math>x^2</math> ist auf ganz <math>\mathbb{R}</math> nicht eindeutig { umkehrbar }.<br>
Ein gefundener Term kann durch die { Verkettung } mit der Ausgangsfunktion geprüft werden.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Punktspiegelung]]: Zeichne fünf Punkte eines selbst gewählten Funktionsgraphen und spiegle sie an <math>y=x</math>. Beschrifte jeweils Original und Spiegelpunkt.
# [[Definitionsmenge und Wertemenge]]: Erstelle eine grafische Lernkarte, die <math>D_f</math>, <math>W_f</math>, <math>D_{f^{-1}}</math> und <math>W_{f^{-1}}</math> miteinander verknüpft.
# [[Exponentialfunktion und Logarithmus]]: Erstelle eine Skizze mit <math>e^x</math>, <math>\ln x</math> und <math>y=x</math> und markiere die Punkte <math>(0|1)</math> und <math>(1|0)</math>.
# [[Fehlersuche]]: Erkläre in einem kurzen Audio oder Text, warum <math>f^{-1}(x)</math> nicht dasselbe wie <math>1/f(x)</math> ist.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Umkehrfunktion bestimmen]]: Bestimme zu drei selbst gewählten linearen Funktionen die Umkehrfunktionen und kontrolliere jeweils durch Verkettung.
# [[Umkehrbarkeit]]: Vergleiche <math>x^2</math>, <math>x^3</math> und <math>e^x</math>. Begründe jeweils, auf welchen Bereichen eine eindeutige Umkehrfunktion existiert.
# [[GeoGebra]]: Erstelle ein dynamisches Modell, in dem ein Punkt <math>(x|f(x))</math> und sein Spiegelpunkt <math>(f(x)|x)</math> gleichzeitig bewegt werden.
# [[Logarithmusfunktion]]: Entwickle eine Schritt-für-Schritt-Erklärung zur Umkehrung von <math>f(x)=ae^{bx}+c</math> für geeignete Parameter.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Beweisidee]]: Begründe formal, warum eine streng monotone Funktion injektiv ist.
# [[Modellierung]]: Entwickle ein realistisches exponentielles Modell und formuliere eine Rückwärtsfrage, die mit der Umkehrfunktion gelöst wird.
# [[Vergleich von Lösungswegen]]: Löse eine Umkehraufgabe algebraisch und grafisch. Vergleiche Genauigkeit, Voraussetzungen und Aussagekraft beider Verfahren.
# [[KI-Prüfung]]: Lass Dir von einem KI-System einen Term für eine Umkehrfunktion vorschlagen. Prüfe den Vorschlag vollständig mit Definitionsmenge, Monotonie und Verkettung und dokumentiere mögliche Fehler. Verwende keine personenbezogenen Daten.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Begründung der Umkehrbarkeit]]: Gegeben ist <math>f(x)=x^3+x</math>. Begründe ohne bloßes Ablesen eines Graphen, warum <math>f</math> auf <math>\mathbb{R}</math> umkehrbar ist.
# [[Bereichseinschränkung]]: Finde zwei verschiedene Definitionsbereiche, auf denen <math>f(x)=(x-2)^2</math> jeweils umkehrbar ist. Bestimme zu einem Bereich den Term der Umkehrfunktion.
# [[Exponentialmodell]]: Eine Größe wird durch <math>N(t)=80e^{0{,}15t}</math> modelliert. Entwickle die Umkehrfunktion und erkläre sachbezogen, was ihre Eingabe und Ausgabe bedeuten.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Lösung behauptet für <math>f(x)=e^{2x}-4</math> die Umkehrfunktion <math>f^{-1}(x)=\frac12\ln(x-4)</math>. Prüfe die Behauptung, korrigiere sie und begründe die Definitionsmenge.
# [[Graph und Term]]: Beschreibe, wie sich die Spiegelung an <math>y=x</math> algebraisch im Vertauschen der Variablen zeigt. Verknüpfe Deine Erklärung mit einem konkreten Beispiel.
# [[Transfer]]: Entscheide bei einer unbekannten Funktion anhand eines Graphen, ob eine Umkehrfunktion existieren kann. Formuliere anschließend, welche zusätzliche Information für eine vollständig formale Begründung nötig sein könnte.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können:

# Definitionsmenge und Wertemenge korrekt bestimmen und beim Umkehren vertauschen.
# Umkehrbarkeit anhand von Injektivität oder strenger Monotonie begründen.
# einen Graphen an <math>y=x</math> spiegeln und Koordinaten korrekt tauschen.
# einfache Terme von Umkehrfunktionen algebraisch bestimmen.
# Einschränkungen der Definitionsmenge fachlich begründen.
# <math>e^x</math> und <math>\ln x</math> als inverse Funktionen erklären.
# Verkettungen <math>f^{-1}\circ f</math> und <math>f\circ f^{-1}</math> unter Beachtung der Definitionsmengen prüfen.
# mehrschrittige Rechenwege nachvollziehbar dokumentieren und Fehler begründet korrigieren.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Umkehrfunktion </iframe>

'''Freie Medien:'''

# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Obtaining_the_inverse_function_by_reflection.gif Commons: Animation zur Spiegelung einer Funktion]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Function-log-animation.gif Commons: Animation zum Logarithmus als Umkehrfunktion]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Logarithm_inversefunctiontoexpB.svg Commons: Exponential- und Logarithmusfunktion mit Spiegelachse]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Inverse_Function_Graph.png Commons: Funktion und Umkehrfunktion]

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Umkehrfunktion]]'''
# [[Definitionsmenge]]
# [[Wertemenge]]
# [[Injektivität]]
# [[Bijektivität]]
# [[Monotonie]]
# [[Graph einer Funktion]]
# [[Exponentialfunktion]]
# [[Logarithmus]]
# [[Funktionsverkettung]]
# [[Abitur Mathematik]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Umkehrfunktion]]
[[Kategorie:Exponentialfunktion]]
[[Kategorie:Logarithmus]]
[[Kategorie:Mathematik Abitur]]
[[Kategorie:Abitur 2027]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Leistungsfach]]
[[Kategorie:Gymnasium]]
[[Kategorie:Oberstufe]]

{{BR}}
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ABI LF - Umkehrfunktionen als Abiturvoraussetzung 2027 - Versionsgeschichte

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