Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-28T21:48:40Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

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{{T}}

{{BR}}
= Einleitung =

'''Mini-Beschreibung:''' Löse überschaubare, aber leistungsfachgerechte Aufgaben zu [[Baumdiagramm|Baumdiagrammen]], [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingter Wahrscheinlichkeit]], [[Erwartungswert]] und einfachen [[Binomialverteilung|Binomialwahrscheinlichkeiten]] ohne WTR. Trainiert werden exakte Brüche, saubere Modellierung, begründete Verfahrenswahl und prüfungstaugliche Rechenwege für das Mathematik-Abitur in Baden-Württemberg.

'''Zielgruppe:''' Leistungsfach Mathematik, gymnasiale Oberstufe, Vorbereitung auf den schriftlichen Abiturteil ohne WTR.

'''Trainingsmodus:''' Rechne die Kernaufgaben zunächst ohne wissenschaftlichen Taschenrechner und ohne Formeldokument. Nutze GeoGebra, Videos und andere digitale Werkzeuge erst zur Kontrolle oder Vertiefung. Übungswerkzeuge sind nicht automatisch zugelassene Prüfungshilfsmittel.

'''Prüfungsbezug 2027:''' Nach dem Facherlass Baden-Württemberg für die Abiturprüfung 2027 wird Teil A ohne Formeldokument und ohne WTR bearbeitet und spätestens nach 110 Minuten abgegeben. Der gesamte schriftliche Prüfungsteil im Leistungsfach umfasst 300 Minuten. Prüfe vor Deiner eigenen Prüfung immer den für Deinen Jahrgang gültigen Erlass.

[https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Offizielle Informationen zum Abitur Baden-Württemberg]

[https://km.baden-wuerttemberg.de/fileadmin/redaktion/m-km/intern/PDF/Dateien/Gymnasium/Dokumente_Abitur/Abitur_2027/Facherlass_2027_Stand_09.09.2025.pdf Facherlass Abitur 2027]

'''Arbeitsregel:''' KI-Ausgaben, Musterlösungen und digitale Berechnungen musst Du mathematisch prüfen. Sie ersetzen keine Begründung und keinen Beweis.

[[Datei:Probability tree diagram.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=I71baBM05l8 |500|center}}

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du

# [[Baumdiagramm]]: Pfadwahrscheinlichkeiten exakt berechnen und Pfadregeln begründen.
# [[Bedingte Wahrscheinlichkeit]]: <math>P(A\mid B)</math> korrekt aus Schnitt- und Bedingungswahrscheinlichkeit bestimmen.
# [[Erwartungswert]]: Erwartungswerte diskreter Zufallsgrößen als gewichtete Mittelwerte berechnen und deuten.
# [[Binomialverteilung]]: Bernoulli-Situationen erkennen und einfache Einzel-, Gegen- und Summenwahrscheinlichkeiten ohne WTR bestimmen.
# [[Mathematisches Modellieren]]: selbst entscheiden, welches Verfahren zur Situation passt.
# [[Mathematisches Argumentieren]]: Rechenwege, Voraussetzungen und Ergebnisse formal nachvollziehbar begründen.

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== Vorwissen-Check ==

'''Check 1: Brüche'''

<math>\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Kontrolle:''' Kürzen vor dem Multiplizieren spart Rechenarbeit.
</div>

'''Check 2: Gegenwahrscheinlichkeit'''

Ist <math>P(A)=\frac{5}{8}</math>, dann gilt

<math>P(\overline A)=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Kontrolle:''' Ereignis und Gegenereignis ergeben zusammen Wahrscheinlichkeit <math>1</math>.
</div>

'''Check 3: Binomialkoeffizient'''

<math>\binom{4}{2}=6</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Kontrolle:''' Es gibt sechs Anordnungen mit genau zwei Treffern in vier Versuchen.
</div>

'''Check 4: Wahrscheinlichkeiten'''

<math>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Kontrolle:''' Eine vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung muss insgesamt <math>1</math> ergeben.
</div>

{{BR}}
= Kernwissen kompakt =

{{BR}}
== Baumdiagramm und Pfadregeln ==

'''Produktregel entlang eines Pfades:'''

<math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)</math>

'''Summenregel für disjunkte Pfade:'''

<math>P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B)</math>

[[Datei:Probability tree.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=KKKcCyflfkE |500|center}}

{{BR}}
== Interaktives Beispiel 1: Vom Baum zur bedingten Wahrscheinlichkeit ==

Gegeben seien

<math>P(A)=\frac{2}{3}</math>,

<math>P(B\mid A)=\frac{3}{4}</math>,

<math>P(B\mid\overline A)=\frac{1}{4}</math>.

'''Schritt 1: gemeinsamer Pfad'''

<math>P(A\cap B)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}</math>

'''Schritt 2: zweiter Pfad'''

<math>P(\overline A\cap B)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}</math>

'''Schritt 3: beide Wege zu <math>B</math>'''

<math>P(B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{12}=\frac{7}{12}</math>

'''Schritt 4: Bedingung umkehren'''

<math>P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{12}}=\frac{6}{7}</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Denkhilfe:''' Im Nenner steht immer die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, auf das bedingt wird.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>P(B\mid A)=\frac34</math> und <math>P(A\mid B)=\frac67</math> sind im Allgemeinen verschieden.
</div>

{{BR}}
== Bedingte Wahrscheinlichkeit ==

Für <math>P(B)>0</math> gilt

<math>P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>.

'''Prüfungsfrage:''' Welches Ereignis steht nach dem senkrechten Strich?

Bei <math>P(A\mid B)</math> wird auf <math>B</math> bedingt. Deshalb steht <math>P(B)</math> im Nenner.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=LonDC-l4IVs |500|center}}

{{BR}}
== Erwartungswert ==

Für eine diskrete Zufallsgröße <math>X</math> mit Werten <math>x_1,\ldots,x_m</math> gilt

<math>E(X)=\sum_{i=1}^{m}x_i\cdot P(X=x_i)</math>.

'''Beispiel:''' Ein Spiel zahlt <math>0</math> €, <math>3</math> € oder <math>6</math> € aus.

<math>P(X=0)=\frac12</math>

<math>P(X=3)=\frac13</math>

<math>P(X=6)=\frac16</math>

Dann

<math>E(X)=0\cdot\frac12+3\cdot\frac13+6\cdot\frac16=2</math>.

Ein Einsatz von <math>2\,\text{€}</math> macht den erwarteten Nettogewinn gleich <math>0</math>.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=h6oLhYTGCs0 |500|center}}

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Prüfe selbst:''' Die Wahrscheinlichkeiten ergeben <math>\frac12+\frac13+\frac16=1</math>.
</div>

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== Binomialverteilung ==

Eine binomialverteilte Trefferzahl setzt eine [[Bernoulli-Kette]] voraus:

# genau zwei Ausgänge pro Versuch,
# gleiche Trefferwahrscheinlichkeit <math>p</math>,
# unabhängige Versuche,
# feste Anzahl <math>n</math>.

Für <math>X\sim B(n,p)</math> gilt

<math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}</math>.

[[Datei:Arbre binaire loi binomiale.svg|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Binomial distribution.svg|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Binomial distribution for n = 4.gif|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Interaktives Beispiel 2: Exakte Binomialwahrscheinlichkeit ==

Sei

<math>X\sim B\left(4,\frac12\right)</math>.

'''Genau zwei Treffer:'''

<math>P(X=2)=\binom42\left(\frac12\right)^2\left(\frac12\right)^2</math>

<math>=6\cdot\frac1{16}</math>

<math>=\frac38</math>.

'''Mindestens ein Treffer:'''

Direktes Addieren wäre unnötig lang. Nutze das Gegenereignis:

<math>P(X>=1)=1-P(X=0)</math>

<math>=1-\left(\frac12\right)^4</math>

<math>=\frac{15}{16}</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Strategie:''' Wörter wie „mindestens ein“ oder „kein“ sind ein Signal, zuerst das Gegenereignis zu prüfen.
</div>

{{BR}}
== Dynamisches Modell: Binomialverteilung ==

Verändere <math>n</math> und <math>p</math>. Beobachte, wie sich Lage und Form der Verteilung verändern.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/turqFzJ9 </iframe>

'''Arbeitsauftrag:'''

# Stelle <math>n=4</math> und <math>p=\frac12</math> ein.
# Vergleiche die Säule bei <math>k=2</math> mit <math>\frac38</math>.
# Ändere <math>p</math> und beschreibe, wie sich der Schwerpunkt verschiebt.
# Rechne mindestens einen Wert zuerst von Hand und nutze das Applet nur zur Kontrolle.

[[Datei:Binomial distribution examples.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Dynamischer Baum ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/TFwq3vS9 </iframe>

'''Beobachtung:''' Gleiche Trefferzahlen entstehen über mehrere Pfade. Der Binomialkoeffizient zählt, wie viele solcher Trefferanordnungen es gibt.

{{BR}}
= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung A: Baumdiagramm ==

Gegeben:

<math>P(R)=\frac35</math>

<math>P(S\mid R)=\frac23</math>

<math>P(S\mid\overline R)=\frac14</math>

Berechne <math>P(S)</math> und <math>P(R\mid S)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 1:''' Berechne zuerst beide Pfade, die bei <math>S</math> enden.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 2:'''

<math>P(S)=P(R\cap S)+P(\overline R\cap S)</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung und Feedback:'''

<math>P(R\cap S)=\frac35\cdot\frac23=\frac25</math>

<math>P(\overline R\cap S)=\frac25\cdot\frac14=\frac1{10}</math>

<math>P(S)=\frac25+\frac1{10}=\frac12</math>

<math>P(R\mid S)=\frac{\frac25}{\frac12}=\frac45</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung B: Erwartungswert ==

Eine Auszahlung <math>X</math> nimmt die Werte <math>0</math> €, <math>2</math> € und <math>5</math> € an mit

<math>P(X=0)=\frac12</math>,

<math>P(X=2)=\frac14</math>,

<math>P(X=5)=\frac14</math>.

Bestimme den fairen Einsatz.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' Der faire Einsatz entspricht der erwarteten Auszahlung.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung und Feedback:'''

<math>E(X)=0\cdot\frac12+2\cdot\frac14+5\cdot\frac14</math>

<math>=\frac12+\frac54</math>

<math>=\frac74</math>.

Fairer Einsatz:

<math>\frac74\,\text{€}=1{,}75\,\text{€}</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung C: Genau ein Treffer ==

Sei

<math>X\sim B\left(3,\frac13\right)</math>.

Berechne <math>P(X=1)</math> exakt.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' Es gibt <math>\binom31=3</math> mögliche Positionen für den Treffer.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung und Feedback:'''

<math>P(X=1)=\binom31\frac13\left(\frac23\right)^2</math>

<math>=3\cdot\frac13\cdot\frac49</math>

<math>=\frac49</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung D: Mindestens zwei Treffer ==

Weiter gilt

<math>X\sim B\left(3,\frac13\right)</math>.

Bestimme <math>P(X>=2)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:'''

<math>P(X>=2)=P(X=2)+P(X=3)</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung und Feedback:'''

<math>P(X=2)=\binom32\left(\frac13\right)^2\frac23=\frac29</math>

<math>P(X=3)=\frac1{27}</math>

<math>P(X>=2)=\frac29+\frac1{27}=\frac7{27}</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung E: Verfahren selbst wählen ==

Eine Münze mit <math>P(K)=\frac12</math> wird fünfmal unabhängig geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für höchstens einmal Kopf.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' „Höchstens einmal“ bedeutet <math>X<=1</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung und Feedback:'''

<math>P(X<=1)=P(X=0)+P(X=1)</math>

<math>=\frac1{32}+\frac5{32}</math>

<math>=\frac{6}{32}</math>

<math>=\frac3{16}</math>.
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =

{{BR}}
== Fehler 1: Auf einem Pfad addieren ==

'''Falsch:'''

<math>\frac23+\frac34</math>

'''Richtig:'''

<math>P(A\cap B)=\frac23\cdot\frac34=\frac12</math>.

'''Diagnose:''' Entlang eines Pfades wird multipliziert.

{{BR}}
== Fehler 2: Bedingung im Nenner vertauschen ==

'''Falsch:'''

<math>P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}</math>

'''Richtig:'''

<math>P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>.

'''Diagnose:''' Das Ereignis hinter dem Strich bestimmt den Nenner.

{{BR}}
== Fehler 3: Binomialkoeffizient vergessen ==

'''Falsch:'''

<math>P(X=2)=p^2(1-p)^{n-2}</math>

'''Richtig:'''

<math>P(X=2)=\binom n2p^2(1-p)^{n-2}</math>.

'''Diagnose:''' Die Treffer können an verschiedenen Positionen auftreten.

{{BR}}
== Fehler 4: Dezimalzahlen zu früh verwenden ==

Prüfungsgeeigneter ist oft

<math>\frac38</math>

statt

<math>0{,}375</math>,

wenn der Bruch exakt und leicht weiterzuverarbeiten ist.

{{BR}}
== Fehler 5: Binomialmodell trotz wechselnder Trefferwahrscheinlichkeit ==

Ohne Zurücklegen kann sich <math>p</math> von Zug zu Zug ändern. Dann ist eine Binomialverteilung nicht automatisch zulässig.

'''Prüffrage:''' Bleiben Unabhängigkeit und Trefferwahrscheinlichkeit tatsächlich erhalten?

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Rechne zuerst ohne Aufklappen.

'''1.'''

<math>P(A)=\frac12,\quad P(B\mid A)=\frac23</math>

Bestimme <math>P(A\cap B)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Antwort:''' <math>\frac13</math>
</div>

'''2.'''

<math>P(B)=\frac35,\quad P(A\cap B)=\frac15</math>

Bestimme <math>P(A\mid B)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Antwort:''' <math>\frac13</math>
</div>

'''3.'''

<math>X</math> nimmt <math>0,2,4</math> mit Wahrscheinlichkeiten <math>\frac14,\frac12,\frac14</math> an.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Antwort:''' <math>E(X)=2</math>
</div>

'''4.'''

<math>X\sim B\left(5,\frac12\right)</math>. Bestimme <math>P(X=0)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Antwort:''' <math>\frac1{32}</math>
</div>

'''5.'''

Bestimme für dieselbe Zufallsgröße <math>P(X<=1)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Antwort:''' <math>\frac3{16}</math>
</div>

'''6.'''

Begründe

<math>\binom nk=\binom n{n-k}</math>

inhaltlich.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Antwort:''' Die Auswahl von <math>k</math> Trefferpositionen legt zugleich die <math>n-k</math> Nichttrefferpositionen fest.
</div>

{{BR}}
= Transfer =

{{BR}}
== Transfer 1: Symmetrie bei <math>p=\frac12</math> ==

Zeige für

<math>X\sim B\left(n,\frac12\right)</math>

die Beziehung

<math>P(X=k)=P(X=n-k)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Begründung:'''

<math>P(X=k)=\binom nk\left(\frac12\right)^n</math>

und

<math>P(X=n-k)=\binom n{n-k}\left(\frac12\right)^n</math>.

Wegen

<math>\binom nk=\binom n{n-k}</math>

sind beide Wahrscheinlichkeiten gleich.
</div>

{{BR}}
== Transfer 2: Sind bedingte Wahrscheinlichkeiten symmetrisch? ==

Prüfe die Behauptung

<math>P(A\mid B)=P(B\mid A)</math>.

Nutze das Beispiel aus dem ersten Rechenweg.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Ergebnis:'''

<math>P(A\mid B)=\frac67</math>

aber

<math>P(B\mid A)=\frac34</math>.

Die Behauptung ist im Allgemeinen falsch.
</div>

{{BR}}
== Transfer 3: Modellkritik ==

In einer Urne liegen drei rote und zwei blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.

'''Frage:''' Darf die Zahl roter Kugeln als <math>B\left(2,\frac35\right)</math> modelliert werden?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Antwort:''' Nein. Ohne Zurücklegen ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit nach dem ersten Zug. Die Bernoulli-Bedingungen sind nicht erfüllt.
</div>

{{BR}}
== Video-Transfer ==

Das folgende Video sammelt typische Abitur-Aufgabentypen zur Stochastik. Prüfe bei jedem gezeigten Verfahren selbst, ob es zu den baden-württembergischen Vorgaben Deines Prüfungsjahrgangs passt.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=4wZqYbXOi30 |500|center}}

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

Markiere für Dich nur Aussagen, die Du ohne Hilfsmittel sicher erfüllen kannst.

# Ich kann entlang eines Baum-Pfades korrekt multiplizieren.
# Ich kann disjunkte Pfadwahrscheinlichkeiten korrekt addieren.
# Ich kann bei <math>P(A\mid B)</math> den richtigen Nenner wählen.
# Ich kann Erwartungswerte mit Brüchen exakt bestimmen.
# Ich erkenne eine Bernoulli-Kette an ihren Voraussetzungen.
# Ich kann einfache Binomialwahrscheinlichkeiten ohne WTR berechnen.
# Ich kann Gegenwahrscheinlichkeiten strategisch nutzen.
# Ich kann erklären, warum ein Verfahren mathematisch zulässig ist.
# Ich kann einen fehlerhaften Rechenweg finden und korrigieren.
# Ich kann ein Ergebnis auf Plausibilität prüfen.

{{BR}}
= Reflexion =

# Welche Rechnung wird für Dich schneller, wenn Du Brüche statt Dezimalzahlen verwendest?
# Bei welcher Aufgabenform brauchst Du noch zu lange für die Verfahrenswahl?
# Welche typische Fehlerquelle tritt bei Dir am häufigsten auf?
# Kannst Du eine Lösung so formulieren, dass eine andere Person jeden Schritt prüfen kann?
# Welche digitale Kontrolle verwendest Du erst nach Deiner eigenen Rechnung?

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächste Schritte eignen sich:

# [[ABI LF - Das kann ich im Mathematik-Abitur – Teil A]]: gemischtes hilfsmittelfreies Training.
# [[ABI LF - Schriftliche Mathematik-Abiturprüfung 2027 verstehen]]: Prüfungsstruktur und Zeitmanagement.
# [[ABI LF - Stochastik mit WTR vertiefen]]: komplexere Binomial- und Testaufgaben mit zugelassenen Hilfsmitteln.
# [[Hypothesentest]]: Entscheidungen unter Unsicherheit formal untersuchen.
# [[Normalverteilung]]: stetige Wahrscheinlichkeitsmodelle und Approximationen.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Rechnung beschreibt einen Pfad mit P A gleich zwei Drittel und P B unter A gleich drei Viertel?'''
(Zwei Drittel mal drei Viertel)
(!Zwei Drittel plus drei Viertel)
(!Drei Viertel minus zwei Drittel)
(!Zwei Drittel geteilt durch drei Viertel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Größe steht im Nenner von P A unter B?'''
(P B)
(!P A)
(!P A geschnitten B)
(!P nicht B)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Wert ist der Erwartungswert der Auszahlungen null mit Wahrscheinlichkeit ein Halb und vier mit Wahrscheinlichkeit ein Halb?'''
(Zwei)
(!Null)
(!Ein Halb)
(!Vier)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Eigenschaft gehört zu einer Bernoulli Kette?'''
(Konstante Trefferwahrscheinlichkeit)
(!Beliebig viele Ausgänge pro Versuch)
(!Abhängige Versuche sind vorgeschrieben)
(!Die Trefferwahrscheinlichkeit muss ein Halb sein)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie groß ist bei vier fairen Münzwürfen die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Treffer?'''
(Drei Achtel)
(!Ein Viertel)
(!Ein Halb)
(!Fünf Achtel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Strategie ist für mindestens einen Treffer oft besonders kurz?'''
(Gegenereignis verwenden)
(!Alle möglichen Dezimalwerte schätzen)
(!Den Erwartungswert berechnen)
(!Die Trefferwahrscheinlichkeit verdoppeln)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet der Binomialkoeffizient in einer Trefferwahrscheinlichkeit?'''
(Anzahl möglicher Trefferanordnungen)
(!Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Treffers)
(!Anzahl der Gegenereignisse)
(!Erwartungswert der Verteilung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist ein Binomialmodell nicht automatisch zulässig?'''
(Bei Ziehen ohne Zurücklegen mit wechselnder Trefferwahrscheinlichkeit)
(!Bei unabhängigen Münzwürfen)
(!Bei gleicher Trefferwahrscheinlichkeit)
(!Bei einer festen Versuchszahl)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie groß ist bei fünf fairen Münzwürfen die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer?'''
(Ein Zweiunddreißigstel)
(!Ein Sechzehntel)
(!Fünf Zweiunddreißigstel)
(!Ein Fünftel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist bei einer prüfungstauglichen Begründung wichtig?'''
(Voraussetzungen und Rechenweg nachvollziehbar angeben)
(!Nur das Endergebnis notieren)
(!Immer Dezimalzahlen verwenden)
(!Digitale Kontrolle als Beweis verwenden)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Bedingte Wahrscheinlichkeit || Schnittwahrscheinlichkeit geteilt durch Bedingungswahrscheinlichkeit
|-
| Produktregel || Multiplizieren entlang eines Pfades
|-
| Summenregel || Addieren disjunkter Pfadwahrscheinlichkeiten
|-
| Erwartungswert || Gewichteter Mittelwert
|-
| Binomialkoeffizient || Anzahl der Trefferanordnungen
|-
| Gegenereignis || Eins minus Ereigniswahrscheinlichkeit
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Produktregel'''
| entlang eines Pfades
|-
| '''Summenregel'''
| mehrere disjunkte Pfade
|-
| '''Bedingte Wahrscheinlichkeit'''
| Zusatzinformation ist bekannt
|-
| '''Erwartungswert'''
| langfristiger gewichteter Mittelwert
|-
| '''Gegenereignis'''
| mindestens ein Treffer

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Baumdiagramm || Welche Darstellung zeigt mehrstufige Zufallsversuche als verzweigte Pfade?
|-
| Bernoulli || Wie heißt ein Versuch mit genau zwei relevanten Ausgängen?
|-
| Erwartungswert || Wie heißt der gewichtete Mittelwert einer Zufallsgröße?
|-
| Gegenereignis || Welches Ereignis tritt genau dann ein, wenn das ursprüngliche Ereignis nicht eintritt?
|-
| Pfadregel || Welche Regel verbindet Wahrscheinlichkeiten entlang eines Baumzweiges?
|-
| Binomial || Welches Verteilungsmodell beschreibt Trefferzahlen in einer Bernoulli Kette?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+LF+Stochastik+hilfsmittelfrei+trainieren </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Entlang eines Pfades werden Wahrscheinlichkeiten { multipliziert }. Bei mehreren disjunkten Pfaden werden die Pfadwahrscheinlichkeiten { addiert }. Bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit steht die Wahrscheinlichkeit der { Bedingung } im Nenner. Der Erwartungswert ist ein { gewichteter } Mittelwert. Eine Bernoulli-Kette besitzt eine konstante { Trefferwahrscheinlichkeit }. Bei mindestens einem Treffer ist häufig das { Gegenereignis } besonders effizient. Ein exakter { Bruch } kann im hilfsmittelfreien Teil günstiger sein als eine gerundete Dezimalzahl.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Baumdiagramm erstellen]]: Zeichne ein zweistufiges Baumdiagramm mit selbst gewählten Bruchwahrscheinlichkeiten und berechne zwei Pfade exakt.
# [[Bedingte Wahrscheinlichkeit erklären]]: Formuliere in drei Sätzen, warum bei <math>P(A\mid B)</math> die Größe <math>P(B)</math> im Nenner steht.
# [[Erwartungswert gestalten]]: Erfinde ein kleines Glücksspiel mit drei Auszahlungen und einem ganzzahligen Erwartungswert.
# [[Fehler finden]]: Erstelle einen bewusst falschen Rechenweg zur Produktregel und markiere anschließend den Fehler.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Binomialaufgabe entwickeln]]: Erfinde eine Bernoulli-Kette mit <math>n<=5</math> und einer Trefferwahrscheinlichkeit, die sich als einfacher Bruch schreiben lässt.
# [[Gegenereignis vergleichen]]: Löse eine Aufgabe einmal direkt und einmal mit Gegenereignis. Vergleiche die Rechenlänge.
# [[Videokritik]]: Wähle einen Rechenschritt aus einem eingebetteten Video und prüfe ihn unabhängig mit eigener Rechnung.
# [[Modellentscheidung]]: Formuliere zwei Situationen, von denen nur eine binomial modelliert werden darf. Begründe die Unterscheidung.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Beweis Binomialsymmetrie]]: Begründe formal <math>P(X=k)=P(X=n-k)</math> für <math>X\sim B(n,\frac12)</math>.
# [[Mehrschrittige Stochastik]]: Verbinde in einer selbst entworfenen Aufgabe Baumdiagramm und bedingte Wahrscheinlichkeit und gib eine vollständige Musterlösung an.
# [[Prüfungsaufgabe analysieren]]: Nimm eine veröffentlichte Abitur- oder Beispielaufgabe und trenne Modellierung, Rechnung, Begründung und Kontrolle.
# [[KI mathematisch prüfen]]: Lass Dir einen Lösungsweg zu einer selbst erstellten Stochastikaufgabe generieren und kontrolliere jeden mathematischen Schritt schriftlich. Verwende keine personenbezogenen Daten.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Verfahrenswahl begründen]]: Zu drei kurzen Situationen entscheidest Du zwischen Baumdiagramm, bedingter Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Binomialmodell und begründest jede Wahl.
# [[Fehleranalyse Stochastik]]: Analysiere einen Lösungsweg, in dem Pfadregel und bedingte Wahrscheinlichkeit verwechselt wurden, und korrigiere ihn vollständig.
# [[Transfer ohne WTR]]: Entwickle für <math>X\sim B(4,\frac12)</math> eine Sachfrage, deren Lösung <math>\frac{15}{16}</math> ist, und begründe die Modellierung.
# [[Modellkritik]]: Untersuche ein Ziehen ohne Zurücklegen und entscheide formal, warum ein Binomialmodell gilt oder nicht gilt.
# [[Beweisidee prüfen]]: Prüfe eine Begründung zur Symmetrie einer Binomialverteilung und kennzeichne, welche Aussage auf <math>p=\frac12</math> angewiesen ist.
# [[Erwartungswert deuten]]: Entwirf zwei Spiele mit gleichem Erwartungswert, aber unterschiedlichen Auszahlungsstrukturen, und erläutere, warum der Erwartungswert allein nicht alle Eigenschaften beschreibt.

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{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

# Baumdiagramme korrekt beschriften und auswerten kannst.
# die Produkt- und Summenregel sicher unterscheidest.
# bedingte Wahrscheinlichkeiten formal korrekt berechnest und deutest.
# Erwartungswerte diskreter Zufallsgrößen exakt bestimmst.
# Bernoulli-Ketten an ihren Voraussetzungen erkennst.
# einfache Binomialwahrscheinlichkeiten ohne WTR berechnest.
# Gegenereignisse gezielt zur Verkürzung von Rechnungen nutzt.
# exakte Brüche sinnvoll gegenüber gerundeten Dezimalzahlen bevorzugst.
# mehrschrittige Lösungswege nachvollziehbar begründest.
# Fehler in Rechnungen oder KI-Ausgaben selbstständig erkennst und korrigierst.
# prüfst, ob ein mathematisches Modell zur Sachsituation passt.
# zwischen Lernwerkzeug und tatsächlich zugelassenem Prüfungshilfsmittel unterscheiden kannst.

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{{BR}}
= OERs zum Thema =

[[Datei:Binomial distribution pmf.svg|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Galton-Brett.svg|450px|rahmenlos|center]]

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Stochastik </iframe>

{{BR}}
== Freie und weiterführende Medien ==

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Probability_tree_diagram.svg Wikimedia Commons: Probability tree diagram]

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Probability_tree.svg Wikimedia Commons: Probability tree]

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binomial_distribution.svg Wikimedia Commons: Binomial distribution]

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binomial_distribution_for_n_%3D_4.gif Wikimedia Commons: animierte Binomialverteilung]

[https://www.geogebra.org/m/turqFzJ9 GeoGebra: dynamisches Säulendiagramm zur Binomialverteilung]

[https://www.geogebra.org/m/TFwq3vS9 GeoGebra: dynamischer Binomialbaum]

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Stochastik]]'''
# [[Baumdiagramm]]
# [[Bedingte Wahrscheinlichkeit]]
# [[Erwartungswert]]
# [[Bernoulli-Kette]]
# [[Binomialverteilung]]
# [[Gegenereignis]]
# [[Mathematisches Modellieren]]
# [[Mathematisches Argumentieren]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Binomialverteilung]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Mathematik Abitur]]
[[Kategorie:Leistungsfach]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Oberstufe]]
[[Kategorie:Prüfungsvorbereitung]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI LF - Stochastik hilfsmittelfrei trainieren - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt