Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-27T20:10:10Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

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{{T}}

{{BR}}
= Einleitung =

'''ABI LF - Signifikanzniveau interpretieren'''

Das Signifikanzniveau <math>\alpha</math> begrenzt bei einer '''vorab festgelegten Testregel''' die Wahrscheinlichkeit eines [[Fehler 1. Art|Fehlers 1. Art]]. Es ist keine alltagssprachliche „Sicherheit“, mit der eine Hypothese wahr ist.

Der Kern dieses aiMOOCs ist deshalb nicht nur Rechnen, sondern '''Interpretieren, Modellieren und Begründen''': Du untersuchst, wie oft ein Test bei vielen Wiederholungen eine wahre Nullhypothese fälschlich verwirft und warum diese langfristige Fehlerquote etwas anderes ist als „95 % sicher“.

[[Datei:One tailed critical value with significance level alpha.jpg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=fB256B1vMb0 |500|center}}

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du

# [[Signifikanzniveau]]: <math>\alpha</math> als obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art interpretieren.
# [[Testregel]]: Annahme- bzw. Nichtablehnungsbereich und Ablehnungsbereich aus einer vorgegebenen Regel lesen und prüfen.
# [[Binomialtest]]: ein Signifikanzniveau bei einer diskreten Binomialverteilung exakt berechnen.
# [[Simulation]]: viele Wiederholungen eines Tests deuten und beobachtete Fehlerquoten mit dem theoretischen Niveau vergleichen.
# [[Fehler 1. Art]]: von [[Fehler 2. Art]] und vom [[P-Wert]] unterscheiden.
# [[Mathematische Argumentation]]: begründen, warum bei einer zusammengesetzten Nullhypothese häufig der Randwert entscheidend ist.
# [[Abitur Mathematik Baden-Württemberg]]: Lösungswege fachsprachlich, nachvollziehbar und prüfungsgerecht dokumentieren.

{{BR}}
== Abitur-Kontext Baden-Württemberg ==

'''Stand: 27. September 2026, Prüfungsjahrgang 2027.'''

Für das Leistungsfach Mathematik gehören in der Stochastik das Testen von Hypothesen mithilfe der Binomialverteilung, ein- und zweiseitige Tests sowie Fehler 1. und 2. Art zum prüfungsrelevanten Kompetenzbereich. Die offiziellen Unterlagen zur schriftlichen Abiturprüfung erwarten nachvollziehbar dokumentierte Lösungswege und korrekte Fachsprache.

Die schriftliche Prüfung im Leistungsfach umfasst nach dem Facherlass 2027 insgesamt '''300 Minuten'''. Für den Teil mit Hilfsmitteln sind nur die offiziell zugelassenen Hilfsmittel maßgeblich. Ein GeoGebra-Applet, eine Simulation, eine KI oder ein Online-Rechner in diesem aiMOOC ist ein '''Übungswerkzeug''' und dadurch nicht automatisch ein zugelassenes Prüfungshilfsmittel.

Offizielle Orientierung:
# [https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Ministerium für Kultus Baden-Württemberg: Termine und Informationen zum Abitur 2027]
# [https://km.baden-wuerttemberg.de/fileadmin/redaktion/m-km/intern/PDF/Dateien/Gymnasium/Dokumente_Abitur/Abitur_2024/2024-LF_neu_2025-02-04.pdf Leistungsfach Mathematik – Informationen und Beispielaufgabe ab 2024, aktualisierter Stand]

Für einen anderen Prüfungsjahrgang musst Du immer den dann gültigen Facherlass prüfen.

{{BR}}
== Vorwissen-Check ==

'''1. Binomialmodell'''

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße gilt

<math>X\sim B(n;p)</math>

mit

<math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Check:''' Welche Bedingungen brauchst Du für ein Binomialmodell?<br>
<div class="mw-collapsible-content">
Feste Versuchszahl, genau zwei relevante Ausgänge pro Versuch, konstante Trefferwahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit im Modell.
</div>
</div>

'''2. Kumulierte Wahrscheinlichkeit'''

Bei einem rechtsseitigen Test ist häufig

<math>P(X\ge c)=\sum_{k=c}^{n}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}</math>

zu berechnen.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Check:''' Warum ist <math>P(X\ge c)</math> nicht dasselbe wie <math>P(X=c)</math>?<br>
<div class="mw-collapsible-content">
Weil für den Ablehnungsbereich alle Ergebnisse von <math>c</math> bis <math>n</math> berücksichtigt werden.
</div>
</div>

'''3. Hypothesen'''

Für einen rechtsseitigen Test eines Anteils kann gelten:

<math>H_0:p\le p_0</math>

<math>H_1:p>p_0</math>

Das Gleichheitszeichen gehört zur Nullhypothese.

{{BR}}
= Signifikanzniveau fachlich korrekt interpretieren =

{{BR}}
== Die festgelegte Testregel ==

Ein Test besteht nicht nur aus einer Hypothese. Vor der Auswertung werden festgelegt:

# Nullhypothese <math>H_0</math>.
# Gegenhypothese <math>H_1</math>.
# Testgröße <math>X</math>.
# Ablehnungsbereich <math>A</math>.
# Signifikanzniveau <math>\alpha</math>.

Formal gilt für einen Niveau-<math>\alpha</math>-Test:

<math>\sup_{p\in H_0}P_p(X\in A)\le \alpha.</math>

Das bedeutet: '''Wenn die Nullhypothese gilt, soll die Wahrscheinlichkeit, dass die Testregel trotzdem in den Ablehnungsbereich führt, höchstens <math>\alpha</math> betragen.'''

Für eine einfache Nullhypothese <math>H_0:p=p_0</math> lautet die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art:

<math>\alpha^\ast=P_{p_0}(X\in A).</math>

Bei diskreten Verteilungen ist häufig

<math>\alpha^\ast<\alpha,</math>

weil die möglichen Wahrscheinlichkeiten nur in Sprüngen verändert werden können.

{{BR}}
== Was 5 % Signifikanzniveau bedeutet ==

Für <math>\alpha=0{,}05</math> gilt fachlich:

'''Bei sehr vielen Wiederholungen desselben Tests unter Bedingungen, unter denen <math>H_0</math> gilt, wird die wahre Nullhypothese durch die festgelegte Testregel langfristig in höchstens etwa 5 % der Fälle fälschlich verworfen.'''

Nicht korrekt sind Aussagen wie:

# „Die Nullhypothese ist zu 95 % sicher.“
# „Das Ergebnis ist mit 95 % Wahrscheinlichkeit richtig.“
# „Mit 5 % Wahrscheinlichkeit ist das Ergebnis Zufall.“
# „Nach einem signifikanten Ergebnis ist <math>H_0</math> mit 5 % Wahrscheinlichkeit wahr.“

Das Signifikanzniveau ist eine Eigenschaft der '''Testregel unter <math>H_0</math>''', keine nachträgliche Wahrscheinlichkeit dafür, ob eine konkrete Hypothese wahr ist.

[[Datei:P-value in statistical significance testing.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Alpha ist nicht der P-Wert ==

Vor der Beobachtung wird <math>\alpha</math> festgelegt.

Nach der Beobachtung wird gegebenenfalls ein [[P-Wert]] berechnet.

Für einen rechtsseitigen Test mit beobachtetem Wert <math>x_{\mathrm{obs}}</math> kann gelten:

<math>p_{\mathrm{Wert}}=P_{H_0}(X\ge x_{\mathrm{obs}}).</math>

Die Entscheidungsregel lautet dann bei passender Testdefinition:

<math>p_{\mathrm{Wert}}\le \alpha \Rightarrow H_0\text{ verwerfen}.</math>

Aber:

<math>p_{\mathrm{Wert}}\neq P(H_0\text{ ist wahr}).</math>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=0Dlv4QP4cTs |500|center}}

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= Interaktives Kernbeispiel =

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== Rechtsseitiger Binomialtest ==

Ein technisches System erzeugt in unabhängigen Durchläufen entweder ein Signal oder kein Signal. Es soll geprüft werden, ob die Signalwahrscheinlichkeit größer als <math>0{,}5</math> ist.

Es werden <math>n=100</math> Durchläufe betrachtet.

<math>H_0:p\le 0{,}5</math>

<math>H_1:p>0{,}5</math>

Vorgegeben ist

<math>\alpha=0{,}05.</math>

Gesucht ist der kleinste kritische Wert <math>c</math> mit

<math>P_{0{,}5}(X\ge c)\le 0{,}05.</math>

Für <math>X\sim B(100;0{,}5)</math> ergibt sich:

<math>P(X\ge 58)\approx 0{,}06661>0{,}05</math>

<math>P(X\ge 59)\approx 0{,}04431\le 0{,}05.</math>

Damit lautet die Testregel:

<math>A=\{59,60,\ldots,100\}</math>

und

<math>H_0\text{ wird verworfen, falls }X\ge 59.</math>

Das tatsächlich ausgeschöpfte Niveau ist

<math>\alpha^\ast=P_{0{,}5}(X\ge59)\approx0{,}04431.</math>

Also:

<math>\alpha^\ast\approx4{,}431\%<5\%.</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe zum Rechenweg'''<br>
<div class="mw-collapsible-content">
Teste ganzzahlige Grenzen in der Nähe des Erwartungswerts <math>E(X)=np=50</math>. Gesucht ist der erste Wert <math>c</math>, dessen obere kumulierte Wahrscheinlichkeit höchstens <math>0{,}05</math> beträgt.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''<br>
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn Du nur „5 %“ als Fehlerwahrscheinlichkeit angibst, ist die Antwort ungenau. Wegen der Diskretheit beträgt die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit hier nur etwa <math>4{,}431\%</math>. Das vorgegebene Niveau <math>5\%</math> wird nicht überschritten.
</div>
</div>

[[Datei:Binomial distribution PDF.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Dynamisches Modell: Testgrenze verändern ==

Verändere <math>n</math>, <math>p_0</math>, Testart und Signifikanzniveau. Beobachte, wie der Ablehnungsbereich springt.

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/VcNGNBWW/width/800/height/600/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

'''Arbeitsauftrag:''' Stelle <math>n=100</math>, <math>p_0=0{,}5</math> und einen rechtsseitigen Test ein. Variiere <math>\alpha</math> knapp unter und knapp über einer Sprungstelle. Erkläre, warum sich der kritische Wert nicht kontinuierlich verändert.

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== Warum bei H0 der Randwert entscheidend ist ==

Bei

<math>H_0:p\le p_0</math>

und einem rechtsseitigen Ablehnungsbereich

<math>A=\{c,c+1,\ldots,n\}</math>

steigt

<math>P_p(X\ge c)</math>

mit wachsendem <math>p</math>.

Deshalb gilt

<math>\sup_{p\le p_0}P_p(X\ge c)=P_{p_0}(X\ge c).</math>

'''Begründungsidee für das Leistungsfach:'''

Verwende für jeden Bernoulli-Versuch dieselbe Zufallszahl <math>U_i</math> aus <math>[0,1]</math> und definiere

<math>I_i(p)=\begin{cases}1,&U_i\le p\\0,&U_i>p.\end{cases}</math>

Für <math>p_1\le p_2</math> gilt dann in jedem Durchlauf

<math>I_i(p_1)\le I_i(p_2).</math>

Damit folgt für die Summen

<math>X_{p_1}\le X_{p_2}</math>

und somit

<math>P(X_{p_1}\ge c)\le P(X_{p_2}\ge c).</math>

So wird begründet, warum der Randwert <math>p_0</math> den größten Fehler 1. Art innerhalb der Nullhypothese liefert.

{{BR}}
= Simulation vieler Tests =

{{BR}}
== Langfristige Fehlerquote sichtbar machen ==

Wir verwenden wieder die Testregel

<math>X\ge59\Rightarrow H_0\text{ verwerfen}</math>

bei

<math>n=100,\quad p=0{,}5.</math>

Theoretisch gilt:

<math>\alpha^\ast\approx0{,}044313.</math>

Bei <math>m</math> unabhängigen Wiederholungen des '''gesamten Tests''' ist die erwartete Zahl falscher Verwerfungen

<math>E(F)=m\cdot\alpha^\ast.</math>

Für <math>m=10000</math> ergibt sich:

<math>E(F)\approx10000\cdot0{,}044313\approx443{,}13.</math>

Eine reproduzierbare Pseudozufallssimulation mit festem Startwert liefert beispielhaft:

{| class="wikitable"
! Anzahl wiederholter Tests
! Falsche Verwerfungen
! Beobachtete Fehlerquote
|-
| 100
| 5
| <math>5{,}0\%</math>
|-
| 1000
| 54
| <math>5{,}4\%</math>
|-
| 10000
| 442
| <math>4{,}42\%</math>
|}

Die beobachtete Quote muss bei kleinen Wiederholungszahlen nicht genau <math>\alpha^\ast</math> sein. Bei vielen Wiederholungen stabilisiert sie sich typischerweise in der Nähe des theoretischen Werts.

'''Wichtig:''' Das ist eine Aussage über eine Serie gleichartiger Tests unter <math>H_0</math>, nicht über die Wahrheit einer einzelnen Hypothese nach einer einzelnen Stichprobe.

{{BR}}
== Interaktive Simulation ==

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/uVHR7WbQ/width/800/height/600/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

'''Auftrag:''' Simuliere wiederholt Stichproben unter der Nullhypothese. Zähle, wie oft die Testgröße in den Ablehnungsbereich fällt. Vergleiche Deine relative Häufigkeit mit <math>\alpha^\ast</math>.

{{BR}}
== Fehler 2. Art zum Vergleich ==

Nehmen wir an, tatsächlich gilt

<math>p=0{,}6.</math>

Die Testregel bleibt unverändert:

<math>H_0\text{ verwerfen bei }X\ge59.</math>

Dann ist ein Fehler 2. Art die Nichtablehnung von <math>H_0</math>, obwohl hier <math>H_1</math> gilt:

<math>\beta=P_{0{,}6}(X\le58)\approx0{,}37747.</math>

Die Teststärke ist

<math>1-\beta\approx0{,}62253.</math>

Bei 10000 simulierten Tests unter <math>p=0{,}6</math> ergab eine Beispielsimulation 3818 Nichtablehnungen, also etwa <math>38{,}18\%</math>. Das liegt in der Nähe des theoretischen Werts von rund <math>37{,}75\%</math>.

Damit wird sichtbar: Ein kleines <math>\alpha</math> bedeutet '''nicht''', dass auch der Fehler 2. Art klein ist.

{{BR}}
== Dynamische Fehlerflächen und Teststärke ==

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/RjY8Yeuw/width/800/height/600/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/aRmuYxRY/width/800/height/600/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

'''Beobachte in der Animation:''' Wenn Du die Trennlinie oder <math>\alpha</math> veränderst, ändern sich Fehler 1. Art, Fehler 2. Art und Teststärke gemeinsam. Eine strengere Ablehnungsregel schützt stärker vor Fehler 1. Art, kann aber die Teststärke verringern.

[[Datei:ROC curves.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=Pj09cQdw5jk |500|center}}

{{BR}}
= Fehleranalyse =

{{BR}}
== Typische Fehlinterpretationen ==

{| class="wikitable"
! Aussage
! Fachliche Bewertung
|-
| „<math>\alpha=5\%</math> heißt: <math>H_0</math> ist zu 95 % wahr.“
| Falsch. <math>\alpha</math> ist keine Wahrscheinlichkeit für die Wahrheit von <math>H_0</math>.
|-
| „Bei einem signifikanten Ergebnis beträgt die Irrtumswahrscheinlichkeit genau 5 %.“
| Falsch. Das tatsächliche Niveau kann kleiner sein, und <math>\alpha</math> ist nicht die nachträgliche Fehlerwahrscheinlichkeit der konkreten Entscheidung.
|-
| „Nicht signifikant heißt: <math>H_0</math> ist bewiesen.“
| Falsch. Man verwirft <math>H_0</math> lediglich nicht.
|-
| „Je kleiner <math>\alpha</math>, desto besser der Test in jeder Hinsicht.“
| Falsch. Ein kleineres <math>\alpha</math> kann den Fehler 2. Art vergrößern.
|-
| „Der P-Wert und <math>\alpha</math> sind dasselbe.“
| Falsch. <math>\alpha</math> wird vorab festgelegt, der P-Wert hängt von den beobachteten Daten ab.
|}

{{BR}}
== Sprachlich sauber im Abitur ==

Bevorzuge Formulierungen wie:

'''„Unter der Nullhypothese beträgt die Wahrscheinlichkeit, mit dieser Testregel in den Ablehnungsbereich zu gelangen, höchstens 5 %.“'''

oder im konkreten Beispiel:

'''„Gilt <math>p\le0{,}5</math>, so wird die Nullhypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens etwa <math>4{,}431\%</math> fälschlich verworfen.“'''

Vermeide:

'''„Die Hypothese ist zu 95 % sicher.“'''

{{BR}}
= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung 1: Testregel lesen ==

Gegeben ist

<math>H_0:p\le0{,}3</math>

gegen

<math>H_1:p>0{,}3</math>

und die Testregel

<math>X\ge18\Rightarrow H_0\text{ verwerfen}.</math>

Formuliere den Fehler 1. Art vollständig im Kontext.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''<br>
<div class="mw-collapsible-content">
Beschreibe zuerst, wann <math>H_0</math> gilt. Beschreibe dann die falsche Entscheidung.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''<br>
<div class="mw-collapsible-content">
Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn tatsächlich <math>p\le0{,}3</math> gilt, der beobachtete Wert aber mindestens 18 beträgt und <math>H_0</math> deshalb fälschlich verworfen wird.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 2: Diskretheit erklären ==

Ein Test soll Niveau <math>\alpha=0{,}05</math> besitzen. Für zwei benachbarte Grenzen gilt

<math>P(X\ge c-1)=0{,}061</math>

und

<math>P(X\ge c)=0{,}043.</math>

Welche Grenze ist zulässig?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''<br>
<div class="mw-collapsible-content">
Das vorgegebene Niveau darf nicht überschritten werden.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''<br>
<div class="mw-collapsible-content">
Zulässig ist <math>c</math>, denn <math>0{,}043\le0{,}05</math>. Die Grenze <math>c-1</math> wäre zu liberal, weil <math>0{,}061>0{,}05</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 3: Simulation deuten ==

Bei 5000 Wiederholungen eines Tests unter <math>H_0</math> treten 236 falsche Verwerfungen auf.

Berechne die simulierte Fehlerquote.

<math>\hat\alpha=\frac{236}{5000}=0{,}0472=4{,}72\%.</math>

Bewerte die Aussage: „Damit ist bewiesen, dass das Signifikanzniveau exakt <math>4{,}72\%</math> beträgt.“

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''<br>
<div class="mw-collapsible-content">
Die Aussage ist falsch. <math>4{,}72\%</math> ist eine beobachtete relative Häufigkeit aus einer endlichen Simulation. Das theoretische Niveau wird aus der Testregel und dem Modell berechnet.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 4: Verfahren selbst wählen ==

Du kennst <math>n</math>, <math>p_0</math>, eine einseitige Alternativhypothese und <math>\alpha</math>, aber noch keinen Ablehnungsbereich.

Entwickle selbst ein geeignetes Verfahren zur Bestimmung des kritischen Werts. Dokumentiere:

# mathematischen Ansatz,
# gesuchte Ungleichung,
# Prüfung des benachbarten kritischen Werts,
# Interpretation des tatsächlich erreichten Niveaus.

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Beantworte für Dich mit „ja“ oder „noch üben“:

# Kann ich <math>\alpha</math> ohne das Wort „Sicherheit“ korrekt erklären?
# Kann ich zwischen vorgegebenem Niveau <math>\alpha</math> und tatsächlichem Niveau <math>\alpha^\ast</math> unterscheiden?
# Kann ich einen Ablehnungsbereich mathematisch als Menge angeben?
# Kann ich erklären, warum eine Nichtablehnung von <math>H_0</math> kein Beweis für <math>H_0</math> ist?
# Kann ich simulierte Fehlerquoten als relative Häufigkeiten deuten?
# Kann ich <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und Teststärke auseinanderhalten?

{{BR}}
= Transfer =

{{BR}}
== Von der Testregel zur Entscheidung ==

Ein Forschungsprojekt verwendet eine Testregel mit <math>\alpha=0{,}01</math>. Ein zweites Projekt verwendet <math>\alpha=0{,}05</math>.

Ohne weitere Informationen kannst Du nicht pauschal sagen, welcher Test „besser“ ist. Zu prüfen sind unter anderem:

# Konsequenzen eines Fehlers 1. Art,
# Konsequenzen eines Fehlers 2. Art,
# Stichprobenumfang,
# Effektgröße,
# Teststärke,
# Modellannahmen.

'''Transferfrage:''' Erkläre, warum die Wahl des Signifikanzniveaus eine fachliche Entscheidung vor der Datenauswertung ist und nicht nachträglich an ein gewünschtes Ergebnis angepasst werden sollte.

{{BR}}
== KI als Lernwerkzeug, nicht als Beweis ==

KI kann Rechenwege vorschlagen, Simulationen erläutern oder Gegenbeispiele erzeugen. Prüfe jedoch immer:

# Ist die Zufallsvariable korrekt modelliert?
# Ist die Testseite richtig gewählt?
# Steht das Gleichheitszeichen in der Nullhypothese?
# Wurde die richtige kumulierte Wahrscheinlichkeit berechnet?
# Ist das tatsächliche Niveau wirklich kleiner oder gleich dem vorgegebenen Niveau?
# Wird ein P-Wert fälschlich als Wahrscheinlichkeit für <math>H_0</math> interpretiert?

'''KI-Ausgaben ersetzen keinen mathematischen Beweis und keine nachvollziehbare Begründung.'''

Verwende für eigene Simulationen nur synthetische oder anonymisierte Daten; personenbezogene Daten sind für diese Lernaufgaben nicht nötig.

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

Du beherrschst das Thema auf Leistungsfachniveau, wenn Du eine mehrschrittige Aufgabe selbstständig bearbeiten kannst:

Gegeben sind <math>n</math>, eine Nullhypothese, eine Gegenhypothese und ein Signifikanzniveau. Du

# modellierst die Testgröße,
# wählst die richtige Testseite,
# bestimmst einen kritischen Wert,
# prüfst die benachbarte Grenze,
# berechnest <math>\alpha^\ast</math>,
# interpretierst den Fehler 1. Art im Kontext,
# vergleichst Theorie und Simulation,
# diskutierst bei Bedarf <math>\beta</math> und Teststärke,
# formulierst die Testentscheidung ohne unzulässige „Sicherheits“-Aussage.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was beschreibt das Signifikanzniveau fachlich korrekt?'''
(Eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art bei der festgelegten Testregel)
(!Die Wahrscheinlichkeit dass die Nullhypothese wahr ist)
(!Die Wahrscheinlichkeit dass jedes Testergebnis korrekt ist)
(!Die Wahrscheinlichkeit dass die Daten zufällig entstanden sind)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist ein Fehler 1. Art?'''
(Eine wahre Nullhypothese wird verworfen)
(!Eine falsche Nullhypothese wird nicht verworfen)
(!Eine wahre Nullhypothese wird nicht verworfen)
(!Die Stichprobe ist größer als geplant)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zu einem Niveau von fünf Prozent ist korrekt?'''
(Die Wahrscheinlichkeit einer falschen Verwerfung unter der Nullhypothese ist durch fünf Prozent begrenzt)
(!Die Nullhypothese ist zu fünfundneunzig Prozent wahr)
(!Das konkrete Ergebnis ist zu fünfundneunzig Prozent richtig)
(!Der P Wert beträgt immer fünf Prozent)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum kann das tatsächlich erreichte Niveau kleiner als das vorgegebene Niveau sein?'''
(Weil die Binomialverteilung diskret ist)
(!Weil jede Stichprobe normalverteilt ist)
(!Weil der Erwartungswert unbekannt ist)
(!Weil der P Wert immer null ist)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gilt bei einem rechtsseitigen Test typischerweise für den Ablehnungsbereich?'''
(Große Werte der Testgröße führen zur Ablehnung)
(!Kleine Werte der Testgröße führen immer zur Ablehnung)
(!Nur der Erwartungswert führt zur Ablehnung)
(!Alle Werte führen zur Ablehnung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist bei einer Nichtablehnung der Nullhypothese korrekt?'''
(Die Daten liefern nach der Testregel keinen ausreichenden Grund zur Verwerfung)
(!Die Nullhypothese ist bewiesen)
(!Die Nullhypothese ist mit Sicherheit wahr)
(!Der Fehler 2. Art ist unmöglich)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie unterscheiden sich Alpha und P Wert?'''
(Alpha wird vorab festgelegt und der P Wert hängt von den beobachteten Daten ab)
(!Alpha und P Wert sind immer identisch)
(!Der P Wert wird vor der Stichprobe festgelegt)
(!Alpha ist die Wahrscheinlichkeit dass die Hypothese wahr ist)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was zeigt eine Simulation vieler Tests unter der Nullhypothese?'''
(Die relative Häufigkeit falscher Verwerfungen schwankt bei vielen Wiederholungen um die theoretische Fehlerwahrscheinlichkeit)
(!Jeder einzelne Test hat exakt dieselbe beobachtete Fehlerquote)
(!Die Nullhypothese wird in jedem zwanzigsten Test sicher verworfen)
(!Die Simulation beweist die Wahrheit der Nullhypothese)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage verbindet Alpha und Beta korrekt?'''
(Ein kleineres Alpha kann bei unverändertem Stichprobenumfang zu einem größeren Beta führen)
(!Alpha und Beta sind immer gleich)
(!Beta ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art)
(!Alpha plus Beta ist immer eins)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formulierung ist im Abitur fachlich angemessen?'''
(Die Nullhypothese wird auf Grundlage der festgelegten Testregel verworfen)
(!Die Nullhypothese ist zu fünfundneunzig Prozent falsch)
(!Die Gegenhypothese ist sicher bewiesen)
(!Das Ergebnis ist mit fünf Prozent zufällig)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Signifikanzniveau || obere Schranke für Fehler 1. Art
|-
| Ablehnungsbereich || Ergebnisse gegen die Nullhypothese
|-
| Fehler 1. Art || wahre Nullhypothese verworfen
|-
| Fehler 2. Art || falsche Nullhypothese nicht verworfen
|-
| P-Wert || datenabhängige Extremwahrscheinlichkeit
|-
| Teststärke || Wahrscheinlichkeit eine falsche Nullhypothese zu verwerfen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''vorab festgelegt'''
| Signifikanzniveau
|-
| '''datenabhängig'''
| P-Wert
|-
| '''wahre Nullhypothese verworfen'''
| Fehler 1. Art
|-
| '''falsche Nullhypothese nicht verworfen'''
| Fehler 2. Art
|-
| '''kritische Ergebnisse'''
| Ablehnungsbereich

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Alpha || Symbol für das Signifikanzniveau
|-
| Fehler || Oberbegriff für falsche Testentscheidungen
|-
| Testregel || Vorab festgelegte Zuordnung von Ergebnissen zu Entscheidungen
|-
| Binomialtest || Test für eine binomialverteilte Testgröße
|-
| Ablehnung || Entscheidung gegen die Nullhypothese
|-
| Simulation || Wiederholung eines Zufallsmodells am Computer
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+LF+-+Signifikanzniveau+interpretieren </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Das Signifikanzniveau begrenzt die Wahrscheinlichkeit eines { Fehlers 1. Art }. Bei einer diskreten Verteilung kann das tatsächlich erreichte Niveau { kleiner } als das vorgegebene Niveau sein. Eine Nullhypothese, die nicht verworfen wird, ist dadurch nicht { bewiesen }. Der P-Wert wird im Unterschied zum Signifikanzniveau aus den { beobachteten Daten } bestimmt. Bei vielen Wiederholungen eines Tests unter der Nullhypothese nähert sich die relative Häufigkeit falscher Verwerfungen der theoretischen { Fehlerwahrscheinlichkeit } an.
</quiz>

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= Offene Aufgaben =

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=== Leicht ===

# [[Begriffsplakat Signifikanzniveau]]: Gestalte eine visuelle Gegenüberstellung „Was <math>\alpha</math> bedeutet“ und „Was <math>\alpha</math> nicht bedeutet“.
# [[Simulation mit Münzwürfen]]: Simuliere 100 gleichartige Stichproben und dokumentiere, wie häufig die Testregel die Nullhypothese verwirft.
# [[Fehlersuche Hypothesentest]]: Erfinde drei typische Fehlinterpretationen des Signifikanzniveaus und korrigiere sie fachsprachlich.
# [[Testregel visualisieren]]: Zeichne für eine Binomialverteilung einen Annahme- und einen Ablehnungsbereich und beschrifte die Fehlerwahrscheinlichkeit.

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=== Standard ===

# [[Kritischen Wert bestimmen]]: Entwickle für ein selbst gewähltes <math>n</math>, <math>p_0</math> und <math>\alpha</math> einen rechtsseitigen Test und prüfe den benachbarten Grenzwert.
# [[Simulation und Theorie vergleichen]]: Führe mindestens 1000 simulierte Tests unter <math>H_0</math> durch und vergleiche die beobachtete Fehlerquote mit <math>\alpha^\ast</math>.
# [[Alpha und Beta untersuchen]]: Verändere bei gleichem Stichprobenumfang die kritische Grenze und dokumentiere die Auswirkungen auf Fehler 1. und 2. Art.
# [[Erklärvideo erstellen]]: Produziere ein kurzes Video, das ohne personenbezogene Daten erklärt, warum „95 % sicher“ keine korrekte Deutung von <math>\alpha=5\%</math> ist.

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=== Schwer ===

# [[Randwertprinzip begründen]]: Formuliere einen nachvollziehbaren Beweis, warum bei einem rechtsseitigen Binomialtest mit <math>H_0:p\le p_0</math> der Randwert <math>p_0</math> für den maximalen Fehler 1. Art entscheidend ist.
# [[Testdesign vergleichen]]: Vergleiche zwei Tests mit unterschiedlichem Signifikanzniveau hinsichtlich <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und Teststärke für mindestens zwei konkrete Alternativen.
# [[Abituraufgabe entwickeln]]: Entwirf eine mehrschrittige Leistungsfachaufgabe zu Signifikanzniveau, Simulation und Fehleranalyse mit Erwartungshorizont.
# [[KI Prüfung]]: Lass eine KI einen Hypothesentest lösen, prüfe jede mathematische Aussage nach und dokumentiere mindestens zwei Stellen, an denen eine bloße KI-Antwort keine Begründung ersetzt.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

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= Lernkontrolle =

# [[Modellkritik]]: Ein Test hat Niveau <math>5\%</math>. Begründe, warum daraus keine Aussage „95 % Wahrscheinlichkeit für die richtige Entscheidung“ folgt.
# [[Diskrete Testgrenze]]: Für zwei mögliche kritische Werte liegen die Fehlerwahrscheinlichkeiten bei <math>5{,}8\%</math> und <math>4{,}6\%</math>. Entscheide begründet, welcher Wert zu einem Niveau von <math>5\%</math> passt.
# [[Simulationstransfer]]: Eine Simulation liefert nach 200 Wiederholungen eine Fehlerquote von <math>7\%</math>, nach 20000 Wiederholungen <math>4{,}9\%</math>. Erkläre den Unterschied, ohne das Modell vorschnell zu verwerfen.
# [[Fehlerabwägung]]: Erkläre an einem selbst gewählten Sachkontext, warum die Wahl eines kleineren <math>\alpha</math> Folgen für <math>\beta</math> haben kann.
# [[Begründung prüfen]]: Beurteile die Aussage „Da <math>p_{\mathrm{Wert}}=0{,}03</math> ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit für <math>H_0</math> drei Prozent“ und formuliere eine korrekte Alternative.
# [[Testverfahren entwickeln]]: Entwirf aus einer verbalen Fragestellung selbst Hypothesen, Testseite, Testgröße und Entscheidungsregel und begründe jede Wahl.

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= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

# Du definierst und interpretierst <math>\alpha</math> fachlich korrekt.
# Du bestimmst einen Ablehnungsbereich aus einer vorgegebenen Fehlergrenze.
# Du prüfst, ob das tatsächliche Niveau die Vorgabe einhält.
# Du unterscheidest Fehler 1. Art, Fehler 2. Art und Teststärke.
# Du deutest simulierte Fehlerquoten als relative Häufigkeiten.
# Du unterscheidest Signifikanzniveau und P-Wert.
# Du dokumentierst Rechenwege nachvollziehbar und verwendest korrekte Fachsprache.
# Du kannst eine Fehlinterpretation begründet widerlegen.
# Du kannst die Wahl eines Testverfahrens selbstständig begründen.
# Du prüfst digitale oder KI-gestützte Ergebnisse mathematisch nach.

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= Reflexion =

Beantworte schriftlich:

# Welche falsche Vorstellung über „95 % Sicherheit“ hattest Du vor diesem Kurs möglicherweise?
# Warum ist das Signifikanzniveau eine Eigenschaft der Testregel und nicht der Wahrheit einer Hypothese?
# Welche Rolle spielt die Simulation für Dein Verständnis, obwohl der theoretische Wert exakt berechnet werden kann?
# An welcher Stelle eines Hypothesentests ist eine Begründung wichtiger als eine reine Rechnerausgabe?

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächster Schritt bietet sich an:

# [[ABI LF - Fehler 1. und 2. Art vergleichen]]
# [[ABI LF - P-Wert interpretieren]]
# [[ABI LF - Teststärke und Stichprobenumfang]]
# [[ABI LF - Zweiseitigen Binomialtest durchführen]]
# [[ABI LF - Konfidenzintervalle und Hypothesentests verknüpfen]]

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Statistische_Signifikanz </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Statistischer_Test </iframe>

{{BR}}
== Weitere freie und interaktive Medien ==

# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:One_tailed_critical_value_with_significance_level_alpha.jpg Wikimedia Commons: einseitiger kritischer Bereich und Signifikanzniveau]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binomial_distribution_PDF.svg Wikimedia Commons: Binomialverteilungen]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:P-value_in_statistical_significance_testing.svg Wikimedia Commons: P-Wert im Signifikanztest]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:ROC_curves.svg Wikimedia Commons: Fehlklassifikationen und Trennschwelle]
# [https://www.geogebra.org/m/VcNGNBWW GeoGebra: Hypothesentest]
# [https://www.geogebra.org/m/RjY8Yeuw GeoGebra: Type I errors in Hypothesis Testing]
# [https://www.geogebra.org/m/aRmuYxRY GeoGebra: Power of a hypothesis test]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=nKWBoIzATu8 |500|center}}

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Hypothesentest]]'''
# [[Binomialverteilung]]
# [[Signifikanzniveau]]
# [[Fehler 1. Art]]
# [[Fehler 2. Art]]
# [[P-Wert]]
# [[Teststärke]]
# [[Simulation]]
# [[Stochastik]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Hypothesentest]]
[[Kategorie:Signifikanzniveau]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Leistungsfach]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Mathematik Abitur Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI LF - Signifikanzniveau interpretieren - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt