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2026-09-28T22:06:42Z

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{{T}}

{{BR}}
= Einleitung =

'''ABI LF - Rotationsvolumen berechnen'''

Berechne Volumina von Körpern, die durch Rotation geeigneter Flächen um die x-Achse entstehen. Im Leistungsfach verknüpfst Du geometrische Vorstellung, Scheibenmodell und Integral und begründest Deine Wahl des Verfahrens.

[[Datei:Solid of revolution.gif|500px|rahmenlos|center]]

Eine ebene Fläche rotiert um eine Achse. Aus schmalen Flächenstreifen werden dünne Kreisscheiben.

'''Vom Profil zum Volumen:''' Flächenprofil → Kreisquerschnitt → Integral.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=-iXa5lKE7w0 |500|center}}

'''Abiturbezug Baden-Württemberg:''' Für den Abiturjahrgang 2027 gelten der Bildungsplan 2016 und der Facherlass 2027. Prüfe für Deinen Prüfungsjahrgang immer die aktuell gültigen Vorgaben und zugelassenen Hilfsmittel.

[https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Offizielle Informationen zum Abitur Baden-Württemberg]

[https://km.baden-wuerttemberg.de/fileadmin/redaktion/m-km/intern/PDF/Dateien/Gymnasium/Dokumente_Abitur/Abitur_2027/Facherlass_2027_Stand_09.09.2025.pdf Facherlass Abitur 2027]

'''Wichtig:''' GeoGebra, Lernapps und andere digitale Werkzeuge sind Übungswerkzeuge und nicht automatisch Prüfungshilfsmittel. KI-Ausgaben müssen mathematisch geprüft werden; sie ersetzen keinen Beweis.

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach diesem Kurs kannst Du:
# [[Rotationskörper|Rotationskörper]] geometrisch beschreiben.
# Aus einem Funktionswert einen Radius und eine Kreisfläche bestimmen.
# <math>V=\pi\int_a^b(f(x))^2\,dx</math> begründen und anwenden.
# Scheiben und Ringscheiben unterscheiden.
# Integrationsgrenzen aus Graphen, Nullstellen und Sachzusammenhängen bestimmen.
# Rechenwege prüfen und Ergebnisse plausibilisieren.

{{BR}}
== Vorwissen-Check ==

Du solltest [[Integralrechnung]], [[Stammfunktion]], [[Flächeninhalt]], [[Funktion]], [[Nullstelle]] und [[Kreis]] sicher beherrschen.

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Vorwissen-Check.'''<br>
|type="{}"}
Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius <math>r</math> lautet { <math>\pi r^2</math> }.
Eine Stammfunktion von <math>x^2</math> ist { <math>\frac{1}{3}x^3</math> }.
Ein Volumen wird in einer { Kubikeinheit } angegeben.
Beim Rotationskörper um die x-Achse entspricht der Abstand zur x-Achse dem { Radius }.
</quiz>

{{BR}}
= Vom Graphen zum Rotationskörper =

{{BR}}
== Geometrische Vorstellung ==

Die Fläche zwischen dem Graphen von <math>f</math>, der x-Achse sowie <math>x=a</math> und <math>x=b</math> rotiert um die x-Achse.

[[Datei:Generating fx disk method.svg|600px|rahmenlos|center]]

Der Radius eines Querschnitts ist
<math>r(x)=|f(x)|</math>.

Die Kreisfläche ist
<math>A(x)=\pi r(x)^2=\pi(f(x))^2</math>.

'''Denkfrage:''' Warum spielt das Vorzeichen von <math>f(x)</math> für das Volumen keine Rolle?

{{BR}}
== Rotierbares 3D-Modell ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/qTDdWbf3 </iframe>

# Drehe die 3D-Ansicht.
# Verändere die Funktion.
# Suche einen Querschnitt senkrecht zur x-Achse.
# Begründe, warum dieser Querschnitt kreisförmig ist.

{{BR}}
== Scheibenmodell und Integral ==

[[Datei:Disc integration.svg|550px|rahmenlos|center]]

Für eine Zerlegung in <math>n</math> Abschnitte gilt
<math>\Delta x=\frac{b-a}{n}</math>.

Eine dünne Scheibe besitzt näherungsweise
<math>\Delta V_k\approx\pi(f(x_k))^2\Delta x</math>.

Die Zylindersumme lautet
<math>V_n=\sum_{k=1}^{n}\pi(f(x_k))^2\Delta x</math>.

[[Datei:Approx solid of revolution x2 0 1 x-axis.svg|500px|rahmenlos|center]]

Im Grenzfall entsteht
<math>V=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\pi(f(x_k))^2\Delta x</math>.

Damit gilt
<math>V=\pi\int_a^b(f(x))^2\,dx</math>.

[[Datei:Rotationsvolym.png|600px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Dynamische Scheibenannäherung ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/D8HXatPn </iframe>

Beobachte, wie aus wenigen Zylindern bei wachsender Unterteilung ein glatter Rotationskörper wird.

'''Merkkette:''' Zylindersumme → Grenzwert → Integral.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=qmv_w0MoyaA |500|center}}

{{BR}}
== Merksatz ==

Ist <math>f</math> auf <math>[a;b]</math> stetig und rotiert die Fläche zwischen Graph und x-Achse um die x-Achse, dann gilt
<math>V=\pi\int_a^b(f(x))^2\,dx</math>.

Nicht korrekt ist
<math>V=\pi\left(\int_a^b f(x)\,dx\right)^2</math>.

{{BR}}
= Interaktive Beispiele =

{{BR}}
== Beispiel 1: Parabelprofil ==

Gegeben ist <math>f(x)=x^2</math> auf <math>[0;1]</math>.

[[Datei:Solid of revolution x2 0 1 x-axis.svg|450px|rahmenlos|center]]

'''1. Radius:''' <math>r(x)=x^2</math>

'''2. Kreisfläche:''' <math>A(x)=\pi x^4</math>

'''3. Integral:''' <math>V=\pi\int_0^1x^4\,dx</math>

'''4. Stammfunktion:''' <math>V=\pi\left[\frac{1}{5}x^5\right]_0^1</math>

'''5. Ergebnis:''' <math>V=\frac{\pi}{5}</math>

{{BR}}
== Beispiel 2: Kugel aus einem Halbkreis ==

<math>f(x)=\sqrt{4-x^2}</math> auf <math>[-2;2]</math>.

[[Datei:Solid of revolution-Ball.svg|450px|rahmenlos|center]]

<math>(f(x))^2=4-x^2</math>

<math>V=\pi\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx</math>

Wegen Symmetrie auch:
<math>V=2\pi\int_0^2(4-x^2)\,dx</math>

<math>V=\pi\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}=\frac{32\pi}{3}</math>

Kontrolle mit der Kugelformel:
<math>\frac{4}{3}\pi\cdot2^3=\frac{32\pi}{3}</math>

{{BR}}
== Beispiel 3: Ringscheibe ==

[[Datei:Washer method.png|600px|rahmenlos|center]]

Mit Außenradius <math>R(x)</math> und Innenradius <math>r(x)</math> gilt
<math>A(x)=\pi R(x)^2-\pi r(x)^2</math>.

Daraus folgt
<math>V=\pi\int_a^b(R(x)^2-r(x)^2)\,dx</math>.

Beispiel: <math>R(x)=2</math>, <math>r(x)=x</math>, <math>0\le x\le1</math>.

<math>V=\pi\int_0^1(4-x^2)\,dx=\frac{11\pi}{3}</math>.

'''Typischer Fehler:''' <math>(R-r)^2</math> ist nicht dasselbe wie <math>R^2-r^2</math>.

{{BR}}
== Beispiel 4: Gefäßprofil ==

<math>f(x)=1+\frac14x^2</math> auf <math>[0;2]</math>.

[[Datei:Vase-rotationsfl-cos.svg|450px|rahmenlos|center]]

<math>V=\pi\int_0^2\left(1+\frac14x^2\right)^2\,dx</math>

<math>\left(1+\frac14x^2\right)^2=1+\frac12x^2+\frac1{16}x^4</math>

<math>V=\pi\left[x+\frac16x^3+\frac1{80}x^5\right]_0^2=\frac{56\pi}{15}</math>

{{BR}}
== Interaktives Gefäßmodell ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/sy8nxgjg </iframe>

# Schätze das Volumen geometrisch.
# Formuliere ein Integral.
# Vergleiche Schätzung und Integralwert.
# Prüfe, ob die Profilfunktion den Innen- oder Außenradius beschreibt.

{{BR}}
== Weiteres dynamisches Rotationsmodell ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/HEsNtX8t </iframe>

Untersuche, wie aus Rechtecken in der Ebene Zylinderscheiben im Raum werden.

{{BR}}
= Verfahren selbst wählen =

{| class="wikitable"
! Situation
! Volumenterm
|-
| Graph und x-Achse
| <math>V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx</math>
|-
| Zwei positive Randkurven
| <math>V=\pi\int_a^b(R(x)^2-r(x)^2)\,dx</math>
|-
| Symmetrisches Profil
| Symmetrie prüfen und sinnvoll nutzen
|-
| Grenze durch Nullstelle
| Nullstelle bestimmen und als Grenze verwenden
|}

{{BR}}
== Entscheidungsweg für Abituraufgaben ==

# '''Skizze:''' Welche Fläche rotiert?
# '''Achse:''' Wo liegt die Rotationsachse?
# '''Radius:''' Welcher Abstand wird zum Radius?
# '''Querschnitt:''' Scheibe oder Ringscheibe?
# '''Grenzen:''' Intervall, Nullstellen oder Schnittpunkte?
# '''Integral:''' Erst Geometrie, dann Algebra.
# '''Kontrolle:''' Vorzeichen, Einheit und Größenordnung prüfen.

{{BR}}
= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung 1 ==

<math>f(x)=x</math> auf <math>[0;3]</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>(f(x))^2=x^2</math>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>V=\pi\int_0^3x^2\,dx=9\pi</math>
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 2 ==

<math>f(x)=\sqrt{x}</math> auf <math>[0;4]</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>(\sqrt{x})^2=x</math>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>V=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi</math>
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 3 ==

<math>f(x)=2-x</math> auf <math>[0;2]</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>(2-x)^2=4-4x+x^2</math>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>V=\pi\int_0^2(2-x)^2\,dx=\frac{8\pi}{3}</math>
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 4 ==

<math>R(x)=3</math>, <math>r(x)=x</math>, <math>0\le x\le2</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>A(x)=\pi(9-x^2)</math>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>V=\pi\int_0^2(9-x^2)\,dx=\frac{46\pi}{3}</math>
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 5 ==

<math>f(x)=4-x^2</math> im ersten Quadranten.

'''Aufgabe:''' Bestimme zuerst die rechte Integrationsgrenze.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Die positive Nullstelle ist <math>x=2</math>. Daher gilt <math>V=\pi\int_0^2(4-x^2)^2\,dx</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =

{{BR}}
== Fehler 1: Funktion nicht quadriert ==

Falsch: <math>V=\pi\int_a^b f(x)\,dx</math>

Richtig: <math>V=\pi\int_a^b(f(x))^2\,dx</math>

{{BR}}
== Fehler 2: Erst integrieren, dann quadrieren ==

Falsch: <math>V=\pi\left(\int_a^b f(x)\,dx\right)^2</math>

Richtig: <math>V=\pi\int_a^b(f(x))^2\,dx</math>

{{BR}}
== Fehler 3: Ringscheibe falsch ==

Falsch: <math>A(x)=\pi(R(x)-r(x))^2</math>

Richtig: <math>A(x)=\pi R(x)^2-\pi r(x)^2</math>

{{BR}}
== Fehler 4: Grenzen ungeprüft ==

Bestimme Grenzen aus Intervallen, Schnittpunkten oder Nullstellen und kontrolliere sie an der Skizze.

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

{| class="wikitable"
! Ich kann ...
! Check
|-
| Radius aus einer Skizze ablesen
| ☐
|-
| Scheibe und Ringscheibe unterscheiden
| ☐
|-
| Profilfunktion korrekt quadrieren
| ☐
|-
| Integrationsgrenzen bestimmen
| ☐
|-
| Ergebnis mit Einheit prüfen
| ☐
|}

{{BR}}
= Transfer =

{{BR}}
== Bekannte Körper als Spezialfälle ==

[[Datei:Solid of revolution-Cone.svg|450px|rahmenlos|center]]

Für <math>f(x)=\frac{R}{h}x</math> auf <math>[0;h]</math> gilt
<math>V=\pi\int_0^h\left(\frac{R}{h}x\right)^2\,dx=\frac13\pi R^2h</math>.

[[Datei:Solid of revolution-Cylinder.svg|450px|rahmenlos|center]]

Für <math>f(x)=R</math> auf <math>[0;h]</math> gilt
<math>V=\pi\int_0^hR^2\,dx=\pi R^2h</math>.

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

# Begründe die Volumenformel aus der Zylindersumme.
# Stelle für zwei Randkurven einen Ringscheibenterm auf.
# Bestimme geeignete Integrationsgrenzen.
# Begründe, warum negative Funktionswerte kein negatives Volumen erzeugen.
# Prüfe einen fremden Lösungsweg auf Modellierungs-, Algebra- und Integrationsfehler.
# Entscheide, ob Symmetrie eine Rechnung vereinfacht.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}
'''Welche Formel gilt bei Rotation der Fläche zwischen Graph und x-Achse um die x-Achse?'''
(pi mal Integral von a bis b über f von x zum Quadrat)
(!Integral von a bis b über f von x)
(!pi mal Integral von a bis b über f von x)
(!Quadrat des Integrals von a bis b über f von x)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Warum wird die Funktion quadriert?'''
(Weil die Querschnittsfläche eine Kreisfläche ist)
(!Weil jede Stammfunktion quadratisch ist)
(!Weil die Grenzen quadriert werden)
(!Weil das Integral sonst negativ wäre)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welches Volumen entsteht bei f von x gleich x auf null bis zwei?'''
(acht pi Drittel)
(!vier pi)
(!zwei pi)
(!acht pi)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welches Volumen entsteht bei f von x gleich Wurzel x auf null bis vier?'''
(acht pi)
(!vier pi)
(!sechzehn pi)
(!zwei pi)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Einheit hat ein Volumen bei Längenangaben in Zentimetern?'''
(Kubikzentimeter)
(!Quadratzentimeter)
(!Zentimeter)
(!Kubikmeter)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wie wird eine Ringscheibenfläche berechnet?'''
(Außenkreisfläche minus Innenkreisfläche)
(!Differenz der Radien zum Quadrat)
(!Summe der Radien)
(!Außenradius minus Innenradius)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welcher Radius gehört zu einem Funktionswert unterhalb der x-Achse?'''
(Der Betrag des Funktionswertes)
(!Der negative Funktionswert)
(!Immer null)
(!Die Stammfunktion)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was beschreibt die Zylindersumme?'''
(Eine Näherung des Rotationsvolumens durch dünne Scheiben)
(!Eine Näherung der Ableitung)
(!Eine Summe von Nullstellen)
(!Eine Oberflächenberechnung)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welches Volumen hat eine Kugel mit Radius zwei?'''
(zweiunddreißig pi Drittel)
(!sechzehn pi Drittel)
(!acht pi)
(!vier pi)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welcher Fehler führt zu einem falschen Rotationsvolumen?'''
(Die Profilfunktion wird nicht quadriert)
(!Die x Achse wird markiert)
(!Die Einheit wird angegeben)
(!Eine Stammfunktion wird verwendet)
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Scheibenmethode || Kreisquerschnitt
|-
| Rotationsachse || x-Achse
|-
| Außenradius || äußere Randkurve
|-
| Innenradius || innere Randkurve
|-
| Riemannsumme || Zylindersumme
|-
| Volumeneinheit || Kubikeinheit
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">
{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Profilfunktion quadrieren'''
| Kreisfläche vorbereiten
|-
| '''Integrationsgrenzen festlegen'''
| Körperabschnitt auswählen
|-
| '''Mit pi multiplizieren'''
| Kreisfaktor berücksichtigen
|-
| '''Bestimmt integrieren'''
| Scheiben aufsummieren
|-
| '''Einheit kubieren'''
| Volumen kennzeichnen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Scheibe || Welcher dünne Körper entsteht beim Rotieren eines Flächenstreifens?
|-
| Radius || Wie heißt der Abstand eines Profilpunkts von der Rotationsachse?
|-
| Integral || Welches Werkzeug summiert Querschnittsflächen kontinuierlich auf?
|-
| Rotation || Wie heißt die Drehbewegung einer Fläche um eine Achse?
|-
| Volumen || Welche dreidimensionale Größe wird berechnet?
|-
| Stammfunktion || Welche Funktion benötigt man zum Auswerten eines bestimmten Integrals?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+LF+Rotationsvolumen+berechnen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Beim Rotieren einer Fläche um die x-Achse wird der Abstand des Graphen von der Achse zum { Radius }.
Die Querschnittsfläche einer Scheibe wird mit { <math>\pi r^2</math> } berechnet.
Beim Rotationsvolumen muss die Profilfunktion vor dem Integrieren { quadriert } werden.
Die Grenzen des Integrals beschreiben den betrachteten { Körperabschnitt }.
Bei einer Ringscheibe wird die innere Kreisfläche von der { äußeren Kreisfläche } abgezogen.
Der Grenzwert der Zylindersummen wird durch ein bestimmtes { Integral } beschrieben.
Ein Volumenergebnis muss in einer { Kubikeinheit } angegeben werden.
</quiz>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Rotationskörper skizzieren]]: Zeichne eine positive Funktion und den entstehenden Rotationskörper.
# [[Scheibenmodell erklären]]: Stelle Flächenstreifen, Kreisscheibe und Körper in drei Skizzen dar.
# [[Fehler finden]]: Korrigiere einen Rechenweg, in dem das Quadrieren fehlt.
# [[Volumeneinheiten]]: Formuliere drei Sachbeispiele mit passenden Volumeneinheiten.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[GeoGebra Rotationskörper]]: Untersuche dynamisch den Einfluss einer veränderten Profilfunktion.
# [[Kegel durch Integration]]: Leite die Kegelformel mit einem Integral her.
# [[Kugel durch Integration]]: Leite die Kugelformel aus einem Halbkreisprofil her.
# [[Ringscheibenmodell]]: Entwirf einen Hohlkörper und stelle den Volumenterm auf.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Gefäß modellieren]]: Modelliere ohne personenbezogene Daten ein rotationssymmetrisches Gefäß durch eine Profilfunktion.
# [[Modellgüte prüfen]]: Untersuche den Einfluss kleiner Änderungen der Profilfunktion auf das Volumen.
# [[Beweisidee Scheibenmethode]]: Begründe die Rotationsvolumenformel über Riemannsummen.
# [[Abituraufgabe Rotationsvolumen]]: Entwickle eine mehrteilige Leistungsfach-Aufgabe mit Modellierung, Fehleranalyse und Transfer.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modellierungsaufgabe Rotationskörper]]: Erläutere, welche Informationen für das Fassungsvermögen eines rotationssymmetrischen Behälters benötigt werden.
# [[Vergleich zweier Verfahren]]: Berechne ein Kegelvolumen geometrisch und integral und begründe die Übereinstimmung.
# [[Fehleranalyse Rotationsvolumen]]: Prüfe <math>V=\pi(\int_a^b f(x)\,dx)^2</math> und erkläre den Fehler geometrisch.
# [[Ringscheibe begründen]]: Leite <math>A(x)=\pi(R(x)^2-r(x)^2)</math> aus Kreisflächen her.
# [[Plausibilitätsprüfung]]: Vergleiche ein Integralresultat mit dem Volumen eines umgebenden Zylinders.

{{BR}}
= Lernnachweis =

# Radius, Scheibe und Rotationsachse geometrisch deuten.
# Den Integranden aus einer Querschnittsfläche herleiten.
# Rotationsvolumen-Integrale selbstständig aufstellen.
# Grenzen aus Nullstellen, Schnittpunkten oder Sachkontexten bestimmen.
# Scheiben und Ringscheiben formal korrekt berechnen.
# Rechenwege begründen und auf Fehler prüfen.
# Ergebnisse mit Einheit und Sachbezug interpretieren.
# Geeignete Verfahren bei mehrschrittigen Leistungsfach-Aufgaben selbst wählen.

{{BR}}
= Reflexion =

# Wo hilft Dir die 3D-Vorstellung am meisten?
# Welche Information musst Du einer Skizze entnehmen, bevor Du integrierst?
# Welche Fehler erkennst Du jetzt sofort?
# Kannst Du die Volumenformel erklären, ohne sie nur auswendig aufzusagen?

{{BR}}
= Folgekurs =

# [[Flächen zwischen Graphen]]
# [[Integralrechnung im Sachzusammenhang]]
# [[Extremwertprobleme im Leistungsfach]]
# [[Abitur Analysis Leistungsfach]]
# [[Parameterfunktionen und Funktionsscharen]]

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper </iframe>

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{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Rotationsvolumen]]'''
# [[Integralrechnung]]
# [[Bestimmtes Integral]]
# [[Stammfunktion]]
# [[Rotationskörper]]
# [[Kreisfläche]]
# [[Riemannsumme]]
# [[Flächen zwischen Graphen]]
# [[Modellierung]]
# [[Analysis]]
# [[Mathematik Abitur]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Rotationskörper]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Leistungsfach]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Mathematik Abitur]]
[[Kategorie:Oberstufe]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI LF - Rotationsvolumen berechnen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt