Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-27T20:13:16Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

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{{T}}

{{BR}}
= Einleitung =

'''ABI LF - Nullhypothese und Gegenhypothese formulieren'''

'''Mini-Beschreibung:''' Übersetze eine reale Fragestellung in mathematisch präzise Null- und Gegenhypothesen und erkenne einseitige beziehungsweise zweiseitige Testfragestellungen.

'''Zielgruppe:''' Leistungsfach Mathematik · gymnasiale Oberstufe · Mathematik-Abitur Baden-Württemberg

'''Prüfungsjahrgang:''' Abitur 2027. Der Facherlass 2027 für das Leistungsfach Mathematik legt die Inhalte und Kompetenzen des Bildungsplans 2016 zugrunde. Dort gehört ausdrücklich dazu, Hypothesen bei binomialverteilten Zufallsgrößen zu testen und eine Nullhypothese so zu formulieren, dass sie zur Zielsetzung des Tests passt. Prüfe bei späterer Verwendung zusätzlich den dann gültigen Facherlass.

[https://bildungsplaene-bw.de/%2CLde/BP2016BW_ALLG_GYM_M_IK_11-12-LF_05 Bildungsplan Baden-Württemberg: Daten und Zufall im Leistungsfach]

[https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Kultusministerium Baden-Württemberg: aktuelle Abiturinformationen und Facherlasse]

[[Datei:Binomial distribution PDF.svg|500px|rahmenlos|center]]

Bei einem Binomialtest beschreibst Du die unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit mit <math>p</math>. Aus dem Sachtext musst Du entscheiden, welche Aussage geprüft werden soll.

<math>X\sim B(n,p)</math>

Dabei ist <math>X</math> die Anzahl der Treffer in <math>n</math> unabhängigen Bernoulli-Versuchen.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=jYgV5vlx_9A |500|center}}

{{BR}}
= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du

# [[Nullhypothese]] und [[Gegenhypothese]] aus realen Fragestellungen ableiten.
# einen unbekannten Anteil durch einen Parameter <math>p</math> modellieren.
# zwischen rechtsseitigen, linksseitigen und zweiseitigen Tests unterscheiden.
# zusammengesetzte Nullhypothesen wie <math>p\leq p_0</math> oder <math>p\geq p_0</math> formal korrekt formulieren.
# begründen, warum beim einseitigen Binomialtest für die Berechnung des Fehlers 1. Art der Randwert <math>p=p_0</math> entscheidend ist.
# sprachliche Formulierungen wie „höher“, „gesunken“, „abweichend“, „mindestens“ oder „höchstens“ mathematisch präzise übersetzen.
# typische Fehlformulierungen in Hypothesen erkennen und korrigieren.

{{BR}}
= Vorwissen-Check =

Bevor Du startest, solltest Du sicher mit folgenden Bausteinen umgehen können:

<math>P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}</math>

<math>E(X)=np</math>

<math>\sigma=\sqrt{np(1-p)}</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Kurzcheck 1:''' Was bedeutet <math>p</math> in einer Binomialverteilung?
<div class="mw-collapsible-content">
'''Feedback:''' <math>p</math> ist die Trefferwahrscheinlichkeit eines einzelnen Bernoulli-Versuchs. Im Hypothesentest ist sie meist der unbekannte Anteil in der Grundgesamtheit.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Kurzcheck 2:''' Wann ist ein Binomialmodell plausibel?
<div class="mw-collapsible-content">
'''Feedback:''' Es gibt pro Versuch zwei relevante Ergebnisse, die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt gleich und die Versuche werden im Modell als unabhängig betrachtet.
</div>
</div>

[[Datei:Binomial distribution for n = 4.gif|500px|rahmenlos|center]]

'''Beobachte:''' Wenn sich <math>p</math> verändert, verschiebt sich die Binomialverteilung. Genau diese Abhängigkeit nutzt ein Hypothesentest.

{{BR}}
= Kernidee: Erst die Fragestellung, dann die Hypothesen =

<div style="max-width:760px;margin:auto;text-align:center;border:1px solid #aaa;padding:12px;">
'''Reale Fragestellung'''<br>
↓<br>
'''Welcher unbekannte Anteil ist gemeint?'''<br>
↓<br>
<math>p</math> = Trefferwahrscheinlichkeit in der Grundgesamtheit<br>
↓<br>
'''Welche Abweichung wäre für die Fragestellung relevant?'''<br>
↓<br>
'''größer · kleiner · beide Richtungen'''<br>
↓<br>
'''Formuliere zuerst <math>H_1</math>, dann das Gegenstück <math>H_0</math>.'''
</div>

{{BR}}
== Die drei Standardfälle ==

{| class="wikitable" style="width:100%;max-width:800px;margin:auto;"
! Fragestellung
! Gegenhypothese
! Nullhypothese
! Testart
|-
| Anteil ist '''größer''' als bisher
| <math>H_1:p>p_0</math>
| <math>H_0:p\leq p_0</math>
| rechtsseitig
|-
| Anteil ist '''kleiner''' als bisher
| <math>H_1:p<p_0</math>
| <math>H_0:p\geq p_0</math>
| linksseitig
|-
| Anteil ist '''anders''' als bisher
| <math>H_1:p\neq p_0</math>
| <math>H_0:p=p_0</math>
| zweiseitig
|}

'''Merksatz:''' Die Gleichheit gehört in die Nullhypothese. Bei einem einseitigen Test enthält die formal vollständige Nullhypothese außerdem die Richtung, die nicht durch den Test gestützt werden soll.

{{BR}}
== Entscheidungsdiagramm: Welche Testseite? ==

<div style="max-width:760px;margin:auto;text-align:center;border:1px solid #aaa;padding:12px;">
'''Welche Aussage soll durch die Daten gestützt werden?'''<br>
↓<br>
'''„größer“, „mehr“, „gestiegen“, „über“'''<br>
→ <math>H_1:p>p_0</math> → '''rechtsseitig'''<br><br>
'''„kleiner“, „weniger“, „gesunken“, „unter“'''<br>
→ <math>H_1:p<p_0</math> → '''linksseitig'''<br><br>
'''„verändert“, „abweichend“, „nicht mehr gleich“'''<br>
→ <math>H_1:p\neq p_0</math> → '''zweiseitig'''
</div>

[[Datei:Rejection region.svg|500px|rahmenlos|center]]

Die Abbildung zeigt schematisch, dass der Ablehnungsbereich je nach Fragestellung links, rechts oder auf beide Randbereiche verteilt liegt.

{{BR}}
= Interaktives Modell =

Mit dem folgenden GeoGebra-Modell kannst Du <math>n</math>, <math>p_0</math>, Signifikanzniveau und Testseite verändern. Beobachte, wie sich Annahme- und Ablehnungsbereich ändern.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/VcNGNBWW </iframe>

'''Arbeitsauftrag:'''
# Stelle <math>n=100</math> und <math>p_0=0{,}4</math> ein.
# Vergleiche einen linksseitigen mit einem rechtsseitigen Test.
# Erkläre, warum sich der Ablehnungsbereich auf die jeweils passende Seite verschiebt.

{{BR}}
= Interaktives Beispiel 1: Qualitätskontrolle =

Ein Betrieb gibt an, dass höchstens <math>4\,\%</math> seiner Bauteile fehlerhaft sind. Die Qualitätskontrolle vermutet, dass sich die Produktion verschlechtert hat.

'''Schritt 1: Parameter definieren'''

<math>p</math> = Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Bauteil fehlerhaft ist.

'''Schritt 2: Aussage identifizieren'''

„Verschlechtert“ bedeutet hier: Der Fehleranteil ist '''größer''' als <math>0{,}04</math>.

'''Schritt 3: Gegenhypothese'''

<math>H_1:p>0{,}04</math>

'''Schritt 4: Nullhypothese'''

<math>H_0:p\leq 0{,}04</math>

'''Ergebnis:''' rechtsseitiger Test.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Warum reicht nicht einfach <math>H_0:p=0{,}04</math>?'''
<div class="mw-collapsible-content">
Die sachliche Aussage „höchstens vier Prozent“ beschreibt alle Parameterwerte <math>p\leq0{,}04</math>. Für die Berechnung des maximalen Fehlers 1. Art ist dennoch der Randwert <math>p=0{,}04</math> entscheidend.
</div>
</div>

{{BR}}
== Leistungsfach-Begründung: Warum rechnet man am Rand? ==

Bei einem rechtsseitigen Test wird für große Werte von <math>X</math> verworfen, zum Beispiel bei

<math>A=\{c,c+1,\ldots,n\}</math>.

Für festes <math>c</math> wächst

<math>P_p(X\geq c)</math>

mit wachsendem <math>p</math>. Unter

<math>H_0:p\leq p_0</math>

ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit daher am größten für

<math>p=p_0</math>.

Damit gilt

<math>\sup_{p\leq p_0}P_p(X\in A)=P_{p_0}(X\in A).</math>

Analog liegt beim linksseitigen Test mit <math>H_0:p\geq p_0</math> der ungünstigste Rand ebenfalls bei <math>p=p_0</math>.

'''Prüfe die Begründung:''' Die Aussage beruht auf der stochastischen Monotonie der Binomialverteilung in <math>p</math>. Ein bloßer Hinweis „man setzt immer <math>p=p_0</math>“ wäre im Leistungsfach keine ausreichende Begründung.

{{BR}}
= Interaktives Beispiel 2: Verbesserung nach einer Änderung =

Vor einer technischen Änderung lag die Erfolgsquote bei <math>70\,\%</math>. Nun soll geprüft werden, ob sie '''gestiegen''' ist.

<math>p_0=0{,}70</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Deine Hypothesen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>H_1:p>0{,}70</math><br>
<math>H_0:p\leq0{,}70</math><br>
Der Test ist rechtsseitig.
</div>
</div>

'''Denkfrage:''' Würde die Formulierung „Hat sich die Erfolgsquote verändert?“ zur gleichen Testart führen?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nein. „Verändert“ nennt keine Richtung. Dann ist <math>H_1:p\neq0{,}70</math> und der Test zweiseitig.
</div>
</div>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=5GnPnCleJUg |500|center}}

{{BR}}
= Interaktives Beispiel 3: Rückgang nach einer Maßnahme =

Die bisherige Ausfallwahrscheinlichkeit eines Systems beträgt <math>0{,}12</math>. Nach einer Änderung soll geprüft werden, ob sie '''unter''' <math>0{,}12</math> gesunken ist.

<math>H_1:p<0{,}12</math>

<math>H_0:p\geq0{,}12</math>

'''Testart:''' linksseitig.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Fehlerfalle'''
<div class="mw-collapsible-content">
Die Gegenhypothese beschreibt nicht automatisch etwas „Schlechtes“ oder „Gutes“. Entscheidend ist nur die Richtung der zu prüfenden Aussage. Hier ist eine kleinere Ausfallwahrscheinlichkeit erwünscht, deshalb liegt der Ablehnungsbereich links.
</div>
</div>

{{BR}}
= Sprachübersetzer für Hypothesen =

{| class="wikitable" style="width:100%;max-width:800px;margin:auto;"
! Sachtext
! Mathematische Bedeutung
|-
| „mehr als“
| <math>p>p_0</math>
|-
| „weniger als“
| <math>p<p_0</math>
|-
| „höchstens“
| <math>p\leq p_0</math>
|-
| „mindestens“
| <math>p\geq p_0</math>
|-
| „unverändert“
| <math>p=p_0</math>
|-
| „abweichend“
| <math>p\neq p_0</math>
|}

'''Achtung:''' „Mindestens“ und „höchstens“ beschreiben häufig die Nullhypothese im Sachtext. Entscheidend bleibt die Testzielsetzung: Welche gegengerichtete Behauptung soll mit ungewöhnlichen Stichprobenergebnissen gestützt werden?

{{BR}}
= Visuelle Fehlerarten =

[[Datei:Teste-de-hipóteses.gif|500px|rahmenlos|center]]

Die Animation stellt den Zusammenhang zwischen Nullhypothese, Gegenhypothese und Fehlern 1. und 2. Art dar.

<math>\alpha=P(\mathrm{H}_0\ \mathrm{wird\ abgelehnt}\mid H_0\ \mathrm{gilt})</math>

Ein Hypothesentest „beweist“ <math>H_1</math> nicht. Er liefert eine regelgebundene Entscheidung unter kontrolliertem Fehlerrisiko.

{{BR}}
= Schritt-für-Schritt-Schema für Abituraufgaben =

<div style="max-width:760px;margin:auto;border:1px solid #aaa;padding:12px;">
'''1. Merkmal festlegen'''<br>
↓<br>
'''2. Parameter definieren:''' <math>p</math> festlegen<br>
↓<br>
'''3. Prüfbehauptung sprachlich markieren'''<br>
↓<br>
'''4. Richtung bestimmen:''' <math>></math>, <math><</math> oder <math>\neq</math><br>
↓<br>
'''5. Gegenhypothese <math>H_1</math> formulieren'''<br>
↓<br>
'''6. Nullhypothese <math>H_0</math> als Gegenbereich formulieren'''<br>
↓<br>
'''7. Testart nennen und erst danach rechnen'''
</div>

{{BR}}
= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung 1: Reklamationsquote ==

Eine Reklamationsquote lag bisher bei <math>6\,\%</math>. Es soll geprüft werden, ob sie '''gestiegen''' ist.

'''Aufgabe:''' Formuliere <math>H_0</math> und <math>H_1</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
„Gestiegen“ legt die Richtung der Gegenhypothese fest.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>H_1:p>0{,}06</math><br>
<math>H_0:p\leq0{,}06</math><br>
rechtsseitiger Test.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 2: Trefferquote ==

Eine Maschine erreicht normalerweise eine Trefferquote von <math>0{,}85</math>. Nach einer Wartung soll geprüft werden, ob die Trefferquote '''von diesem Wert abweicht'''.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Es wird keine Richtung genannt.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>H_0:p=0{,}85</math><br>
<math>H_1:p\neq0{,}85</math><br>
zweiseitiger Test.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 3: Fehlerquote senken ==

Vor einer Prozessänderung betrug die Fehlerquote <math>9\,\%</math>. Die Änderung gilt als erfolgreich, wenn die Fehlerquote niedriger ist.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Die zu stützende Aussage lautet „niedriger als neun Prozent“.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>H_1:p<0{,}09</math><br>
<math>H_0:p\geq0{,}09</math><br>
linksseitiger Test.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 4: Formale Präzision ==

Jemand schreibt für die Aussage „Der Anteil liegt höchstens bei <math>30\,\%</math>“:

<math>H_0:p=0{,}30</math>.

'''Aufgabe:''' Beurteile diese Formulierung im Leistungsfach.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Als reine Rechenhypothese am Rand kann <math>p=0{,}30</math> auftreten. Die vollständige Sachhypothese „höchstens 30 Prozent“ lautet jedoch <math>H_0:p\leq0{,}30</math>. Bei einem rechtsseitigen Test wird für den maximalen Fehler 1. Art am Rand <math>p=0{,}30</math> gerechnet.
</div>
</div>

{{BR}}
= Dynamische Vertiefung =

<iframe> https://www.geogebra.org/m/apuJWGcA </iframe>

'''Experimentiere:'''
# Halte <math>n</math> fest und variiere <math>p_0</math>.
# Wechsle zwischen links-, rechts- und zweiseitigem Test.
# Beschreibe, welche Änderung rein aus der Wahl der Gegenhypothese entsteht.
# Trenne dabei deutlich zwischen '''Modellparameter''', '''Testseite''' und '''beobachtetem Stichprobenergebnis'''.

{{BR}}
= Fehleranalyse =

'''Fehler 1:''' <math>H_0</math> wird nach Wunsch formuliert.

Falsch gedacht: „Ich möchte zeigen, dass die Quote gestiegen ist, also schreibe ich <math>H_0:p>p_0</math>.“

Korrektur:

<math>H_1:p>p_0</math>

<math>H_0:p\leq p_0</math>

'''Fehler 2:''' Das Gleichheitszeichen steht in <math>H_1</math>.

Eine Form wie

<math>H_1:p\geq p_0</math>

ist für die übliche Aufteilung im Binomialtest ungeeignet, weil der Randwert <math>p=p_0</math> zur Nullhypothese gehören soll.

'''Fehler 3:''' „Keine signifikante Abweichung“ wird als Beweis für <math>H_0</math> verstanden.

Nichtablehnung bedeutet nicht, dass <math>H_0</math> bewiesen wurde.

'''Fehler 4:''' Ein zweiseitiger Test wird verwendet, obwohl nur eine Richtung relevant ist.

Die Testart muss aus der Fragestellung folgen, nicht aus einer Gewohnheit.

'''Fehler 5:''' <math>p</math> wird nicht definiert.

Im Leistungsfach sollte klar sein, was als Treffer zählt und auf welche Grundgesamtheit sich <math>p</math> bezieht.

{{BR}}
= P-Wert als ergänzende Visualisierung =

[[Datei:P-Wert.gif|500px|rahmenlos|center]]

Der p-Wert kann die Stärke der Unvereinbarkeit eines beobachteten Ergebnisses mit der Nullhypothese beschreiben. Für diesen aiMOOC ist wichtiger, dass Du zuerst die Hypothesen und die Testseite korrekt aus dem Sachkontext ableitest.

{{BR}}
= Prüfungswerkzeuge und KI =

'''Für das Abitur 2027 in Baden-Württemberg gilt der amtliche Facherlass.''' Interaktive GeoGebra-Modelle, Lernapps und andere Online-Werkzeuge in diesem aiMOOC sind Übungswerkzeuge und nicht automatisch erlaubte Prüfungshilfsmittel.

'''KI-Hinweis:''' Eine KI kann Hypothesen vorschlagen, aber Du musst jede Ausgabe mathematisch prüfen. Insbesondere sind Richtung, Parameterdefinition, Gleichheitsfall und Modellannahmen zu kontrollieren. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis und keine fachliche Begründung.

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Prüfe jede eigene Lösung mit dieser Reihenfolge:

# Habe ich <math>p</math> eindeutig definiert?
# Habe ich die zu prüfende Aussage sprachlich identifiziert?
# Passt <math>H_1</math> zur Richtung der Fragestellung?
# Enthält <math>H_0</math> den Gleichheitsfall?
# Decken <math>H_0</math> und <math>H_1</math> gemeinsam den relevanten Parameterraum ab?
# Sind <math>H_0</math> und <math>H_1</math> disjunkt?
# Passt die genannte Testseite zu <math>H_1</math>?
# Kann ich begründen, warum beim einseitigen Test am Randwert <math>p_0</math> gerechnet wird?

{{BR}}
= Transfer =

'''Transferfall:''' Ein Hersteller verspricht, dass mindestens <math>95\,\%</math> seiner Bauteile eine Qualitätsprüfung bestehen. Eine unabhängige Kontrolle soll feststellen, ob dieses Versprechen unterschritten wird.

<math>p</math> = Wahrscheinlichkeit für „Bauteil besteht“.

Die zu untersuchende Abweichung ist „unter 95 Prozent“.

<math>H_1:p<0{,}95</math>

<math>H_0:p\geq0{,}95</math>

'''Transferfrage:''' Was ändert sich, wenn nicht gezielt eine Unterschreitung, sondern jede Abweichung von <math>95\,\%</math> untersucht werden soll?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Dann lautet das Hypothesenpaar <math>H_0:p=0{,}95</math> gegen <math>H_1:p\neq0{,}95</math>. Der Test wird zweiseitig.
</div>
</div>

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

Ordne Dich nach einer Übungsrunde selbst ein:

# '''Sicher:''' Ich kann aus einem Sachtext den Parameter <math>p</math> definieren.
# '''Sicher:''' Ich kann aus „größer“, „kleiner“ oder „abweichend“ die Testseite bestimmen.
# '''Sicher:''' Ich formuliere <math>H_0</math> und <math>H_1</math> disjunkt und vollständig.
# '''Sicher:''' Ich kann zwischen der vollständigen Nullhypothese und der Randrechnung mit <math>p=p_0</math> unterscheiden.
# '''Sicher:''' Ich kann eine fehlerhafte Hypothesenformulierung fachlich begründet korrigieren.

Wenn Du bei Punkt 4 oder 5 noch unsicher bist, wiederhole besonders die Abschnitte zur Randwertbegründung und Fehleranalyse.

{{BR}}
= Reflexion =

# [[Modellierung]]: Welche Information im Sachtext entscheidet tatsächlich über die Richtung des Tests?
# [[Begründung]]: Warum ist „<math>H_0</math> wurde nicht abgelehnt“ nicht gleichbedeutend mit „<math>H_0</math> ist bewiesen“?
# [[Prüfungsstrategie]]: An welcher Stelle Deiner Lösung willst Du künftig zuerst kontrollieren, ob ein Richtungsfehler vorliegt?

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächster Schritt passt:

'''[[ABI LF - Ablehnungsbereich und Entscheidungsregel beim Binomialtest bestimmen]]'''

Dort wird aus dem Hypothesenpaar eine konkrete Entscheidungsregel mit Signifikanzniveau, kritischem Wert und Ablehnungsbereich entwickelt.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=dey8XW7RdDo |500|center}}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Gegenhypothese passt zur Frage, ob ein Anteil größer als <math>p_0</math> geworden ist?'''
(H1: p > p0)
(!H1: p < p0)
(!H1: p = p0)
(!H1: p ≠ p0)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Nullhypothese ist formal passend zu <math>H_1:p>p_0</math>?'''
(H0: p ≤ p0)
(!H0: p > p0)
(!H0: p ≠ p0)
(!H0: p < p0)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Testart passt zu <math>H_1:p<p_0</math>?'''
(linksseitig)
(!rechtsseitig)
(!zweiseitig)
(!ungerichtet)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Testart passt zur Frage, ob sich ein Anteil in irgendeine Richtung verändert hat?'''
(zweiseitig)
(!rechtsseitig)
(!linksseitig)
(!einseitig nach oben)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wo gehört der Gleichheitsfall beim üblichen Hypothesentest hin?'''
(in die Nullhypothese)
(!in die Gegenhypothese)
(!in beide Hypothesen)
(!in keine Hypothese)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beschreibt <math>p</math> bei einem Binomialtest typischerweise?'''
(die unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit)
(!die beobachtete Trefferzahl)
(!den Stichprobenumfang)
(!das Signifikanzniveau)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Gegenhypothese passt zur Aussage, eine Fehlerquote sei gesunken?'''
(H1: p < p0)
(!H1: p > p0)
(!H1: p = p0)
(!H1: p ≤ p0)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum wird bei einem rechtsseitigen Test mit <math>H_0:p\leq p_0</math> der Fehler 1. Art am Rand <math>p=p_0</math> berechnet?'''
(Weil dort die Ablehnungswahrscheinlichkeit innerhalb der Nullhypothese maximal ist)
(!Weil dort die Trefferzahl immer gleich dem Erwartungswert ist)
(!Weil dort die Standardabweichung immer null ist)
(!Weil ein rechtsseitiger Test keine Nullhypothese benötigt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet es, wenn <math>H_0</math> nicht abgelehnt wird?'''
(Die Daten reichen nicht für eine Ablehnung nach der Testregel)
(!Die Nullhypothese ist bewiesen)
(!Die Gegenhypothese ist falsch)
(!Der Stichprobenumfang war sicher zu groß)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formulierung weist typischerweise auf einen zweiseitigen Test hin?'''
(der Anteil weicht vom bisherigen Wert ab)
(!der Anteil ist gestiegen)
(!der Anteil ist gesunken)
(!der Anteil liegt über dem bisherigen Wert)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Nullhypothese || enthält den Gleichheitsfall
|-
| Gegenhypothese || beschreibt die zu stützende Abweichung
|-
| rechtsseitig || größere Parameterwerte sind relevant
|-
| linksseitig || kleinere Parameterwerte sind relevant
|-
| zweiseitig || beide Abweichungsrichtungen sind relevant
|-
| Randwertprinzip || maximale Ablehnungswahrscheinlichkeit am Grenzparameter
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''rechtsseitiger Test'''
| größer als der Vergleichswert
|-
| '''linksseitiger Test'''
| kleiner als der Vergleichswert
|-
| '''zweiseitiger Test'''
| Abweichung in beide Richtungen
|-
| '''Nullhypothese'''
| enthält den Gleichheitsfall
|-
| '''Gegenhypothese'''
| formuliert die gezielt zu untersuchende Abweichung
|}

{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Parameter || Wie heißt die mathematische Größe, die beim Binomialtest oft mit p bezeichnet wird?
|-
| Binomial || Welcher Verteilungstyp liegt bei einer Trefferzahl aus unabhängigen Bernoulli-Versuchen vor?
|-
| rechtsseitig || Wie heißt ein Test, dessen Gegenhypothese größere Werte behauptet?
|-
| linksseitig || Wie heißt ein Test, dessen Gegenhypothese kleinere Werte behauptet?
|-
| Ablehnung || Welche Entscheidung kann für die Nullhypothese bei einem hinreichend extremen Ergebnis erfolgen?
|-
| Signifikanz || Welcher Begriff steckt im Ausdruck Signifikanzniveau?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+LF+Nullhypothese+und+Gegenhypothese+formulieren </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei einem Binomialtest beschreibt { p } die unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit.
Die Aussage „größer als“ führt in der Gegenhypothese zu einem { rechtsseitigen } Test.
Die Aussage „kleiner als“ führt in der Gegenhypothese zu einem { linksseitigen } Test.
Ohne vorgegebene Richtung wird häufig ein { zweiseitiger } Test verwendet.
Der Gleichheitsfall gehört zur { Nullhypothese }.
Bei einem rechtsseitigen Test mit zusammengesetzter Nullhypothese liegt das größte Fehlerrisiko am { Randwert }.
Eine Nichtablehnung der Nullhypothese ist kein mathematischer { Beweis } für ihre Wahrheit.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Hypothesen-Sprache]]: Sammle zehn Formulierungen aus Alltag oder Technik wie „gestiegen“, „unter“, „mindestens“ und übersetze sie in Ungleichungen für <math>p</math>.
# [[Testseiten-Karten]]: Gestalte drei Lernkarten für rechtsseitige, linksseitige und zweiseitige Tests mit jeweils einem eigenen Beispiel.
# [[Fehlerdetektiv]]: Erfinde drei falsche Hypothesenpaare und schreibe jeweils eine kurze Korrektur.
# [[Mini-Erklärbild]]: Zeichne ein Entscheidungsdiagramm, das von einer Sachfrage zur passenden Testseite führt.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Qualitätskontrolle]]: Entwickle eine realistische Prüfaufgabe zu einer Fehlerquote und formuliere Parameter, <math>H_0</math>, <math>H_1</math> und Testart.
# [[Kontextwechsel]]: Formuliere denselben Ausgangswert <math>p_0</math> einmal als rechtsseitige, einmal als linksseitige und einmal als zweiseitige Fragestellung.
# [[Videoanalyse]]: Sieh Dir eines der eingebetteten Erklärvideos an und prüfe, ob Gleichheitsfall, Testseite und Parameterdefinition formal sauber behandelt werden.
# [[GeoGebra-Untersuchung]]: Variiere in einem eingebetteten Modell die Testseite und dokumentiere mit drei Screenshots, wie sich der Ablehnungsbereich verändert. Verwende keine personenbezogenen Daten.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Randwert-Begründung]]: Begründe für einen rechtsseitigen Binomialtest, warum <math>P_p(X\geq c)</math> mit <math>p</math> wächst und deshalb der Randwert <math>p_0</math> den Fehler 1. Art bestimmt.
# [[Modellkritik]]: Entwickle ein Beispiel, in dem ein Binomialmodell nicht angemessen ist, und erkläre genau, welche Modellannahme verletzt wird.
# [[Abiturtransfer]]: Schreibe eine mehrschrittige Leistungsfach-Aufgabe, in der zunächst die Hypothesen aus einem Sachtext gewonnen und anschließend eine Entscheidungsregel entworfen werden muss.
# [[KI-Prüfung]]: Lass eine KI drei Hypothesenpaare zu selbst formulierten Sachfragen erzeugen. Prüfe jede Ausgabe formal und begründe alle Korrekturen eigenständig.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modellierungsentscheidung]]: Ein Unternehmen sagt „mindestens 92 Prozent der Produkte erfüllen die Norm“. Eine Kontrolle soll gezielt prüfen, ob dieser Wert unterschritten wird. Formuliere Parameter, Hypothesen und Testseite und begründe jede Entscheidung aus dem Sachtext.
# [[Vergleich von Testfragen]]: Erkläre, warum „Ist die Erfolgsquote gestiegen?“ und „Hat sich die Erfolgsquote verändert?“ bei gleichem <math>p_0</math> zu unterschiedlichen Gegenhypothesen führen.
# [[Fehleranalyse Hypothesenpaar]]: Analysiere <math>H_0:p=0{,}4</math> gegen <math>H_1:p\geq0{,}4</math>. Benenne mindestens zwei formale Probleme und korrigiere das Paar.
# [[Randwertprinzip]]: Erkläre ohne bloßes Auswendiglernen, warum bei <math>H_0:p\leq p_0</math> und rechtsseitigem Ablehnungsbereich der Wert <math>p_0</math> für die Kontrolle von <math>\alpha</math> maßgeblich ist.
# [[Transfer auf neue Situation]]: Entwickle aus einer neutralen realen Fragestellung selbst eine einseitige Testfrage und ändere sie anschließend so, dass ein zweiseitiger Test sachlich sinnvoll wird.
# [[Begründungsprüfung]]: Bewerte die Aussage „Wenn <math>H_0</math> nicht abgelehnt wird, ist sie bewiesen.“ Erkläre den Denkfehler mit Bezug auf die Logik statistischer Tests.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können, dass Du

# einen unbekannten Anteil als Parameter <math>p</math> definierst,
# aus einem Sachkontext die Zielrichtung des Tests bestimmst,
# <math>H_0</math> und <math>H_1</math> formal korrekt, disjunkt und passend zum Parameterraum formulierst,
# rechtsseitige, linksseitige und zweiseitige Tests unterscheidest,
# den Gleichheitsfall korrekt der Nullhypothese zuordnest,
# zwischen vollständiger zusammengesetzter Nullhypothese und der Randwertrechnung mit <math>p=p_0</math> unterscheidest,
# das Randwertprinzip bei einseitigen Binomialtests begründest,
# fehlerhafte Hypothesenformulierungen analysierst und korrigierst,
# Modellannahmen eines Binomialtests prüfst,
# Entscheidungen fachsprachlich erklärst, ohne eine Nichtablehnung als Beweis der Nullhypothese darzustellen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Binomialtest </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hypothese_(Statistik) </iframe>

[[Datei:Binomial distribution examples.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Weitere freie und interaktive Materialien:'''

# [https://www.geogebra.org/m/VcNGNBWW GeoGebra: Hypothesentest]
# [https://www.geogebra.org/m/apuJWGcA GeoGebra: Hypothesentest mit Binomialverteilung]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rejection_region.svg Wikimedia Commons: Ablehnungsbereiche]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Teste-de-hip%C3%B3teses.gif Wikimedia Commons: Animation zu Fehlern beim Hypothesentest]

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Hypothesentest]]'''
# [[Binomialverteilung]]
# [[Bernoulli-Experiment]]
# [[Nullhypothese]]
# [[Gegenhypothese]]
# [[Signifikanzniveau]]
# [[Fehler 1. Art]]
# [[Fehler 2. Art]]
# [[Ablehnungsbereich]]
# [[Entscheidungsregel]]
# [[Stochastik]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Hypothesentest]]
[[Kategorie:Binomialverteilung]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Leistungsfach]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Oberstufe]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI LF - Nullhypothese und Gegenhypothese formulieren - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt