Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-28T21:47:30Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

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= ABI LF - Integrale hilfsmittelfrei bearbeiten =

'''Mini-Beschreibung:''' Bestimme einfache [[Stammfunktion|Stammfunktionen]] und [[Bestimmtes Integral|bestimmte Integrale]] ohne Formelsammlung und WTR und interpretiere orientierte Flächen. Trainiere insbesondere Potenz-, Faktor- und Summenregel sowie bekannte Stammfunktionen.

'''Zielgruppe:''' Leistungsfach Mathematik, Vorbereitung auf das schriftliche Mathematik-Abitur in Baden-Württemberg.

'''Stand Prüfungsjahrgang 2027:''' Dieser Kurs trainiert gezielt den Teil A ohne Formelsammlung und WTR. Im Facherlass 2027 sind für das Leistungsfach 300 Minuten Gesamtbearbeitungszeit vorgesehen. Teil A umfasst zehn Aufgaben, von denen vier Pflichtaufgaben und zwei von sechs Wahlaufgaben bearbeitet werden; spätestens nach 110 Minuten wird Teil A abgegeben. Für andere Prüfungsjahrgänge gilt immer der jeweilige aktuelle Facherlass. [https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Kultusministerium Baden-Württemberg: Termine und Informationen zum Abitur] und [https://rpt.baden-wuerttemberg.de/fileadmin/RP-Internet/Tuebingen/Abteilung_7/Fachberater/_DocumentLibraries/PublishingImages/13_2027_Facherlass_Stand_09.09.2025__1_.pdf Facherlass Abitur 2027].

'''Wichtig:''' GeoGebra, Lernvideos, LearningApps und KI sind hier '''Übungswerkzeuge'''. Sie sind nicht automatisch Prüfungshilfsmittel. KI-Ausgaben müssen mathematisch geprüft werden; sie ersetzen keinen Beweis und keine Begründung. Gib in digitalen Werkzeugen keine personenbezogenen Daten ein.

[[Datei:Integral Sign.svg|180px|rahmenlos|center]]

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= Einleitung =

Im hilfsmittelfreien Abiturteil zählt nicht das Nachschlagen, sondern das sichere Erkennen von Strukturen. Du solltest aus einem Funktionsterm zügig eine Stammfunktion bilden, ein bestimmtes Integral exakt berechnen und das Vorzeichen des Integralwerts geometrisch deuten können.

Der Kernweg lautet:

<math>f(x)\ \longrightarrow\ F(x)\ \longrightarrow\ F(b)-F(a)\ \longrightarrow\ \text{Deutung}</math>

[[Datei:Integral and derivative.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=OwGqx0RuXBg |500|center}}

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= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du

# [[Stammfunktion]]en durch Rückwärtsdenken zur Ableitung bestimmen.
# Potenz-, Faktor- und Summenregel sicher kombinieren.
# bekannte Stammfunktionen zu <math>e^x</math>, <math>\sin(x)</math>, <math>\cos(x)</math> und <math>\frac{1}{x}</math> nutzen.
# bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz exakt berechnen.
# orientierte Flächen oberhalb und unterhalb der <math>x</math>-Achse unterscheiden.
# Integralwert und geometrischen Flächeninhalt klar trennen.
# mehrschrittige Abituraufgaben ohne Formelsammlung und WTR strukturiert lösen.
# fehlerhafte Rechenwege und Begründungen mathematisch prüfen.

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= Vorwissen-Check =

Bearbeite die fünf Mini-Aufgaben zuerst ohne Hilfe.

'''A:''' Leite <math>F(x)=2x^3-5x</math> ab.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung:''' <math>F'(x)=6x^2-5</math>.
</div>

'''B:''' Welche Zahl muss bei <math>x^4</math> vor dem Term stehen, damit die Ableitung <math>x^3</math> ergibt?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung:''' <math>\frac14</math>, denn <math>\left(\frac14x^4\right)'=x^3</math>.
</div>

'''C:''' Berechne <math>2^3-(-1)^3</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung:''' <math>8-(-1)=9</math>.
</div>

'''D:''' Löse <math>x^2-1=0</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung:''' <math>x=-1</math> oder <math>x=1</math>.
</div>

'''E:''' Was bedeutet ein negativer Funktionswert im Flächenbild?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung:''' Der Graph liegt an dieser Stelle unterhalb der <math>x</math>-Achse.
</div>

Wenn A bis E sicher funktionieren, bist Du bereit für das eigentliche Abiturtraining.

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= Stammfunktionen sicher bilden =

Eine Funktion <math>F</math> heißt Stammfunktion von <math>f</math>, wenn

<math>F'(x)=f(x)</math>.

Zu jeder Stammfunktion gehört eine ganze Familie:

<math>F(x)+C</math> mit <math>C\in\mathbb{R}</math>.

Die Konstante verschwindet beim Ableiten.

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== Potenzregel ==

Für <math>n\neq -1</math> gilt:

<math>\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C</math>.

'''Denkregel:''' Exponent um <math>1</math> erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen.

'''Beispiel:'''

<math>\int x^5\,dx=\frac{x^6}{6}+C</math>.

'''Kontrolle durch Ableiten:'''

<math>\left(\frac{x^6}{6}\right)'=x^5</math>.

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== Faktorregel ==

Konstante Faktoren bleiben erhalten:

<math>\int c\cdot f(x)\,dx=c\int f(x)\,dx</math>.

'''Beispiel:'''

<math>\int 6x^2\,dx=6\cdot\frac{x^3}{3}=2x^3+C</math>.

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== Summenregel ==

Gliedweise integrieren:

<math>\int \left(f(x)+g(x)\right)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx</math>.

'''Beispiel:'''

<math>\int \left(3x^2-4x+1\right)\,dx</math>

<math>=x^3-2x^2+x+C</math>.

{{BR}}
== Bekannte Stammfunktionen ==

<math>\int e^x\,dx=e^x+C</math>

<math>\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C</math>

<math>\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C</math>

<math>\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C</math> für <math>x\neq 0</math>.

'''Achtung:''' Die Potenzregel darf bei <math>n=-1</math> nicht eingesetzt werden.

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/NePKQBfU/width/800/height/500/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

{{BR}}
= Bestimmte Integrale berechnen =

Ist <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>, dann gilt der Hauptsatz:

<math>\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)</math>.

'''Merksatz:''' obere Grenze einsetzen minus untere Grenze einsetzen.

[[Datei:Fundamental theorem of calculus GIF.gif|500px|rahmenlos|center]]

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== Interaktives Beispiel 1: direkt rechnen ==

Berechne ohne Hilfsmittel:

<math>\int_0^2\left(3x^2-4x+1\right)\,dx</math>.

'''Stopp:''' Bestimme zuerst selbst eine Stammfunktion.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Schritt 1: Stammfunktion'''

<math>F(x)=x^3-2x^2+x</math>.

'''Schritt 2: Grenzen einsetzen'''

<math>F(2)=8-8+2=2</math>

<math>F(0)=0</math>

'''Schritt 3: Differenz'''

<math>\int_0^2\left(3x^2-4x+1\right)\,dx=2-0=2</math>.

'''Kontrolle:''' Ableiten von <math>F</math> ergibt wieder <math>3x^2-4x+1</math>.
</div>

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== Visuelle Schrittfolge ==

[[Datei:Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.svg|600px|rahmenlos|center]]

'''Prüfungsroutine:'''

# Term gliedern.
# Stammfunktion bilden.
# Stammfunktion durch Ableiten kurz prüfen.
# obere Grenze einsetzen.
# untere Grenze einsetzen.
# subtrahieren und Ergebnis deuten.

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= Orientierte Fläche verstehen =

Das bestimmte Integral liefert eine '''orientierte''' Flächenbilanz.

[[Datei:Integral example.svg|500px|rahmenlos|center]]

Bereiche oberhalb der <math>x</math>-Achse zählen positiv, Bereiche unterhalb negativ.

<math>\int_a^b f(x)\,dx=A_{+}-A_{-}</math>

Dabei stehen <math>A_{+}</math> und <math>A_{-}</math> hier für die positiven geometrischen Teilflächen.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=Nl8tyWGz9QY |500|center}}

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/H89SHQ2e/width/800/height/500/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

{{BR}}
== Integralwert oder Flächeninhalt? ==

Für den '''Integralwert''' darf sich Positives und Negatives aufheben.

Für den '''geometrischen Flächeninhalt''' musst Du an Nullstellen aufteilen und Beträge der Teilintegrale addieren:

<math>A=\sum_i\left|\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)\,dx\right|</math>.

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== Interaktives Beispiel 2: Vorzeichenwechsel ==

Gegeben ist

<math>f(x)=x^2-1</math>

auf <math>[-2;2]</math>.

Die Nullstellen sind

<math>x=-1</math> und <math>x=1</math>.

Eine Stammfunktion ist

<math>F(x)=\frac{x^3}{3}-x</math>.

'''Integralwert:'''

<math>\int_{-2}^{2}(x^2-1)\,dx=\frac{4}{3}</math>.

'''Geometrischer Flächeninhalt:'''

<math>A=\left|\int_{-2}^{-1}(x^2-1)\,dx\right|+\left|\int_{-1}^{1}(x^2-1)\,dx\right|+\left|\int_{1}^{2}(x^2-1)\,dx\right|</math>

<math>=\frac43+\frac43+\frac43=4</math>.

'''Ergebnis:''' Integralwert und Flächeninhalt sind hier verschieden.

[[Datei:Área para integral definida v003.svg|600px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Was die Bilder wirklich zeigen =

[[Datei:Riemann Sum.gif|700px|rahmenlos|center]]

Die Animation zeigt die Idee, Flächen durch viele schmale Rechtecke zu erfassen. Für den schriftlichen Prüfungsjahrgang 2027 gehören '''Näherungsverfahren''' laut Facherlass nicht zu den geprüften Themen. Nutze die Animation deshalb nur zum Verständnis der Integralidee.

[[Datei:Riemann sum convergence.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung A: Potenz- und Faktorregel ==

Bestimme eine Stammfunktion zu

<math>f(x)=8x^3-6x^2+4</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' Integriere jeden Summanden einzeln.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback und Lösung:'''

<math>F(x)=2x^4-2x^3+4x+C</math>.

Kontrolle:

<math>F'(x)=8x^3-6x^2+4</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung B: bekannte Stammfunktionen ==

Bestimme eine Stammfunktion zu

<math>g(x)=3e^x-2\cos(x)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' <math>e^x</math> bleibt beim Ableiten erhalten; <math>\sin(x)</math> wird zu <math>\cos(x)</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback und Lösung:'''

<math>G(x)=3e^x-2\sin(x)+C</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung C: bestimmtes Integral ==

Berechne

<math>\int_1^3(2x-1)\,dx</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' Eine Stammfunktion ist <math>F(x)=x^2-x</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback und Lösung:'''

<math>F(3)=6</math>, <math>F(1)=0</math>.

Also

<math>\int_1^3(2x-1)\,dx=6</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung D: orientierte Fläche ==

Eine Funktion hat auf <math>[0;4]</math> oberhalb der Achse eine Fläche von <math>7</math> Flächeneinheiten und unterhalb der Achse eine Fläche von <math>3</math> Flächeneinheiten. Bestimme den Integralwert.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' Unterhalb der Achse wird negativ gezählt.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback und Lösung:'''

<math>7-3=4</math>.

Der Integralwert ist <math>4</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung E: Leistungsfach, mehrschrittig ==

Gegeben ist

<math>f(x)=x^3-4x</math>.

# Bestimme eine Stammfunktion.
# Zeige rechnerisch, dass <math>\int_{-2}^{2}f(x)\,dx=0</math> gilt.
# Begründe, warum daraus nicht folgt, dass zwischen Graph und <math>x</math>-Achse keine Fläche liegt.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' Prüfe zuerst die Symmetrie von <math>f</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback und Lösung:'''

<math>F(x)=\frac14x^4-2x^2+C</math>.

Da <math>f</math> ungerade ist und das Intervall symmetrisch um <math>0</math> liegt, heben sich die orientierten Teilflächen auf.

Der Integralwert <math>0</math> bedeutet nur eine ausgeglichene Flächenbilanz. Die geometrischen Teilflächen können trotzdem positiv sein.
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =

{{BR}}
== Fehler 1: Potenzregel falsch herum ==

'''Falsch:'''

<math>\int x^3\,dx=3x^2+C</math>.

Hier wurde abgeleitet statt integriert.

'''Richtig:'''

<math>\int x^3\,dx=\frac14x^4+C</math>.

{{BR}}
== Fehler 2: unteren Grenzwert vergessen ==

'''Falsch:'''

<math>\int_a^b f(x)\,dx=F(b)</math>.

'''Richtig:'''

<math>\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)</math>.

{{BR}}
== Fehler 3: Integralwert mit Fläche verwechseln ==

Aus

<math>\int_a^b f(x)\,dx=0</math>

folgt '''nicht''', dass keine Fläche zwischen Graph und Achse liegt.

Gegenbeispiel:

<math>f(x)=x</math> auf <math>[-1;1]</math>.

Die beiden Dreiecksflächen sind gleich groß, haben aber entgegengesetzte Orientierung.

{{BR}}
== Fehler 4: Betrag zu früh verwenden ==

'''Ungeeignet:'''

<math>\left|\int_a^b f(x)\,dx\right|</math>

ist im Allgemeinen '''nicht''' der gesamte Flächeninhalt, wenn <math>f</math> im Intervall das Vorzeichen wechselt.

Du musst an den Nullstellen aufteilen.

{{BR}}
== Fehler 5: Konstante beim bestimmten Integral ==

Bei einer Stammfunktion

<math>F(x)+C</math>

kürzt sich <math>C</math> heraus:

<math>[F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a)</math>.

Deshalb muss beim bestimmten Integral kein konkreter Wert für <math>C</math> gewählt werden.

{{BR}}
= Selbstkontrolle: 8-Minuten-Check =

Bearbeite ohne Hilfsmittel.

# Bestimme eine Stammfunktion zu <math>4x^3</math>.
# Bestimme eine Stammfunktion zu <math>2\sin(x)</math>.
# Berechne <math>\int_0^2 x\,dx</math>.
# Erkläre in einem Satz die Bedeutung eines negativen Integralwerts.
# Widerlege die Aussage: „Ist ein Integral null, dann ist die Funktion im ganzen Intervall null.“

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösungen:'''

# <math>x^4+C</math>.
# <math>-2\cos(x)+C</math>.
# <math>2</math>.
# Die orientierte Flächenbilanz ist negativ; unterhalb der Achse überwiegt.
# Zum Beispiel <math>f(x)=x</math> auf <math>[-1;1]</math>: Das Integral ist null, aber <math>f</math> ist nicht überall null.
</div>

{{BR}}
= Transfer: Integral als Veränderung =

Ist <math>v(t)</math> eine Geschwindigkeit, dann beschreibt

<math>\int_a^b v(t)\,dt</math>

die orientierte Ortsänderung.

Betrachte

<math>v(t)=3t-3</math>

für <math>0\leq t\leq 2</math>.

Es gilt

<math>\int_0^2(3t-3)\,dt=0</math>.

Das Objekt endet also wieder am Ausgangsort. Die zurückgelegte Strecke ist trotzdem nicht null.

Da <math>v(t)</math> bei <math>t=1</math> das Vorzeichen wechselt, gilt:

<math>s=\left|\int_0^1(3t-3)\,dt\right|+\left|\int_1^2(3t-3)\,dt\right|=3</math>.

'''Transferfrage:''' Welche Größe entspricht bei einer Geschwindigkeitsfunktion dem Integralwert, welche dem gesamten Flächeninhalt?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Antwort:''' Integralwert = Ortsänderung; gesamter Flächeninhalt unter dem Betrag = zurückgelegte Strecke.
</div>

{{BR}}
= Leistungsfach: Begründungen prüfen =

Prüfe die Aussage:

'''„Wenn <math>F'(x)=f(x)</math>, dann ist <math>F(x)+7</math> keine Stammfunktion von <math>f</math>, weil der Funktionsterm verändert wurde.“'''

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Bewertung:''' Die Aussage ist falsch.

<math>(F(x)+7)'=F'(x)+0=f(x)</math>.

Also ist auch <math>F(x)+7</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>.
</div>

Prüfe außerdem:

'''„Für <math>f(x)\geq 0</math> auf <math>[a;b]</math> ist der Integralwert gleich dem geometrischen Flächeninhalt.“'''

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Bewertung:''' Die Aussage ist richtig, sofern <math>a<b</math>. Es gibt dann keine negativen Teilflächen, die abgezogen werden.
</div>

{{BR}}
= Dynamisches Modell =

Verändere im GeoGebra-Modell Funktion, Grenzen und Rechteckzahl. Nutze das Modell zur Kontrolle Deiner geometrischen Vorstellung, nicht als Ersatz für den hilfsmittelfreien Rechenweg.

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pegsqgxg/width/800/height/500/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

[[Datei:Integral Riemann sum.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f von x gleich x hoch 3?'''
(x^4/4 + C)
(!3x^2 + C)
(!x^4 + C)
(!x^2/2 + C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht beim Integrieren einer Potenz x hoch n mit dem Exponenten?'''
(Er wird um 1 erhöht)
(!Er wird um 1 verringert)
(!Er wird verdoppelt)
(!Er bleibt unverändert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Stammfunktion gehört zu e hoch x?'''
(e^x + C)
(!x e^x + C)
(!ln x + C)
(!e hoch minus x + C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Stammfunktion gehört zu cos x?'''
(sin x + C)
(!minus sin x + C)
(!cos x + C)
(!minus cos x + C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie berechnet man ein bestimmtes Integral mit einer Stammfunktion F?'''
(F von b minus F von a)
(!F von a minus F von b)
(!F von a plus F von b)
(!F von b geteilt durch F von a)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie zählt eine Fläche unterhalb der x Achse beim orientierten Integral?'''
(Negativ)
(!Positiv)
(!Immer null)
(!Doppelt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was muss für einen geometrischen Flächeninhalt bei einem Vorzeichenwechsel getan werden?'''
(An Nullstellen aufteilen)
(!Nur obere Grenze einsetzen)
(!Alle Vorzeichen ignorieren)
(!Nur die größte Teilfläche verwenden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum verschwindet die Integrationskonstante beim bestimmten Integral?'''
(Sie kürzt sich bei der Differenz heraus)
(!Sie ist immer gleich null)
(!Sie wird vor dem Einsetzen gelöscht)
(!Sie gehört nur zur Ableitung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zu einem Integralwert von null ist richtig?'''
(Positive und negative Beiträge können sich aufheben)
(!Die Funktion ist überall null)
(!Es existiert keine Fläche)
(!Die Grenzen müssen gleich sein)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Sonderfall wird nicht mit der normalen Potenzregel integriert?'''
(x hoch minus 1)
(!x hoch 2)
(!x hoch 3)
(!x hoch 5)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Potenzregel || Exponent erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen
|-
| Faktorregel || Konstante Faktoren bleiben beim Integrieren erhalten
|-
| Summenregel || Summanden einzeln integrieren
|-
| Stammfunktion || Ableitung ergibt die Ausgangsfunktion
|-
| Hauptsatz || Bestimmtes Integral als Differenz von Stammfunktionswerten
|-
| Orientierte Fläche || Bereiche unter der Achse zählen negativ
|-
| Nullstelle || Stelle zum Aufteilen bei einem Vorzeichenwechsel
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Potenzregel'''
| Stammfunktion von Potenzen
|-
| '''Faktorregel'''
| Konstante vor dem Funktionsterm
|-
| '''Hauptsatz'''
| Auswertung mit oberer und unterer Grenze
|-
| '''Nullstelle'''
| Trennstelle für geometrische Teilflächen
|-
| '''Integralwert'''
| Orientierte Flächenbilanz

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Stammfunktion || Welche Funktion wird beim bestimmten Integral ausgewertet?
|-
| Potenzregel || Welche Regel erhöht beim Integrieren den Exponenten?
|-
| Faktorregel || Welche Regel behandelt konstante Vorfaktoren?
|-
| Summenregel || Welche Regel erlaubt gliedweises Integrieren?
|-
| Vorzeichen || Was entscheidet über positive oder negative Orientierung einer Teilfläche?
|-
| Integralwert || Wie heißt die orientierte Flächenbilanz?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+LF+-+Integrale+hilfsmittelfrei+bearbeiten </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine Funktion, deren Ableitung die Ausgangsfunktion ergibt, heißt { Stammfunktion }. Bei der { Potenzregel } wird der Exponent zunächst um eins erhöht. Ein bestimmtes Integral wird mithilfe des { Hauptsatz } durch Einsetzen der Grenzen berechnet. Wechselt eine Funktion ihr Vorzeichen, wird der geometrische Flächeninhalt an den { Nullstellen } aufgeteilt. Bereiche unterhalb der x-Achse gehen beim orientierten Integral mit negativem { Vorzeichen } ein.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Stammfunktionen-Kartei]]: Erstelle zehn Karteikarten mit Funktion auf der Vorderseite und passender Stammfunktion auf der Rückseite. Prüfe jede Lösung durch Ableiten.
# [[Fehlerdetektiv Integralrechnung]]: Erfinde drei typische falsche Stammfunktionen und erkläre jeweils präzise den Fehler.
# [[Integral-Skizze]]: Zeichne einen Graphen mit positiver und negativer Teilfläche und markiere, welche Bereiche im Integral addiert bzw. subtrahiert werden.
# [[Hilfsmittelfreier Kurztest]]: Entwirf fünf Aufgaben, die ohne Formelsammlung und WTR in zehn Minuten lösbar sind.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Rechenweg erklären]]: Nimm eine mehrgliedrige Polynomfunktion auf und kommentiere jeden Schritt vom Funktionsterm bis zum bestimmten Integral.
# [[Integralwert und Fläche vergleichen]]: Erstelle ein eigenes Beispiel, bei dem Integralwert und geometrischer Flächeninhalt verschieden sind, und begründe den Unterschied.
# [[GeoGebra-Kontrolle]]: Löse ein bestimmtes Integral zuerst vollständig von Hand und prüfe erst danach den Graphen und Integralwert in GeoGebra. Dokumentiere mögliche Abweichungen.
# [[Geschwindigkeit und Weg]]: Entwickle ein Bewegungsbeispiel mit Richtungswechsel und unterscheide Ortsänderung und zurückgelegte Strecke.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Symmetriebegründung]]: Formuliere und begründe eine Regel für Integrale ungerader Funktionen über symmetrische Intervalle. Prüfe sie an zwei Beispielen.
# [[Gegenbeispiel konstruieren]]: Widerlege die Behauptung, aus einem Integralwert von null folge eine überall verschwindende Funktion. Gib mindestens zwei strukturell verschiedene Gegenbeispiele an.
# [[Abituraufgabe entwickeln]]: Entwirf eine mehrschrittige hilfsmittelfreie Leistungsfach-Aufgabe zu Stammfunktion, Integralwert und Flächendeutung samt Erwartungshorizont.
# [[KI-Rechenweg prüfen]]: Lass eine KI einen Integral-Rechenweg erzeugen, anonymisiere alle Eingaben, prüfe jeden mathematischen Schritt und korrigiere Fehler mit eigener Begründung. Die KI-Antwort gilt nicht als Beweis.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Verfahrenswahl Integralrechnung]]: Begründe, warum bei <math>f(x)=x^2-1</math> zur Bestimmung des geometrischen Flächeninhalts auf <math>[-2;2]</math> eine Aufteilung des Intervalls nötig ist, für den Integralwert aber nicht.
# [[Begründung prüfen]]: Eine Schülerin sagt: „Das Integral ist null, also gibt es keine Fläche.“ Analysiere die Aussage und formuliere eine mathematisch korrekte Version.
# [[Transfer Bewegung]]: Eine Geschwindigkeitsfunktion wechselt einmal das Vorzeichen. Erläutere, wie Du aus dem Graphen sowohl Ortsänderung als auch zurückgelegte Strecke bestimmst.
# [[Strategie ohne Hilfsmittel]]: Beschreibe eine robuste Reihenfolge zum Lösen eines bestimmten Integrals, die typische Vorzeichen- und Einsetzfehler minimiert.
# [[Parameteridee]]: Für <math>f_k(x)=kx^2-1</math> sollst Du ohne vollständige Fallunterscheidung erläutern, welche Rolle der Parameter <math>k</math> für Nullstellen und orientierte Fläche spielt.
# [[Beweis durch Ableiten]]: Begründe allgemein, warum zwei Stammfunktionen derselben Funktion sich nur um eine Konstante unterscheiden.

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

Prüfe Dich selbst. Du bist bereit für den nächsten Kurs, wenn Du jeden Punkt ohne digitale Hilfe sicher zeigen kannst.

# Ich kann zu einem Polynom eine Stammfunktion fehlerfrei bilden und durch Ableiten kontrollieren.
# Ich kann Faktor-, Summen- und Potenzregel kombiniert anwenden.
# Ich kenne die Standardstammfunktionen zu <math>e^x</math>, <math>\sin(x)</math>, <math>\cos(x)</math> und <math>\frac1x</math>.
# Ich kann <math>F(b)-F(a)</math> sicher und mit korrekter Klammerung auswerten.
# Ich kann Integralwert und geometrischen Flächeninhalt unterscheiden.
# Ich kann bei Vorzeichenwechseln geeignete Nullstellen als Intervallgrenzen verwenden.
# Ich kann einen fehlerhaften Lösungsweg mathematisch begründet zurückweisen.
# Ich kann ein Ergebnis im Sachzusammenhang deuten.

{{BR}}
= Reflexion =

Beantworte kurz:

# Welche Integrationsregel erkennst Du inzwischen sofort?
# Bei welchem Schritt passieren Dir noch Vorzeichenfehler?
# Kontrollierst Du Stammfunktionen konsequent durch Ableiten?
# Kannst Du erklären, warum ein Integralwert null sein kann, obwohl Flächen vorhanden sind?
# Welche Aufgabe würdest Du im Teil A zuerst wählen und nach welchem mathematischen Kriterium?

{{BR}}
= Folgekurs =

Empfohlene nächste Schritte:

# [[ABI LF - Flächen zwischen Graphen hilfsmittelfrei bearbeiten]]
# [[ABI LF - Integralfunktionen und Hauptsatz begründen]]
# [[ABI LF - Analysis Teil A unter Zeitdruck trainieren]]
# [[ABI LF - Eine vollständige Mathematik-Abiturprüfung simulieren]]

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

# fehlerfreie Bildung elementarer Stammfunktionen;
# sichere Anwendung von Potenz-, Faktor- und Summenregel;
# korrekte Auswertung bestimmter Integrale mit <math>F(b)-F(a)</math>;
# nachvollziehbare Rechenwege ohne unnötige Sprünge;
# sichere Unterscheidung zwischen Integralwert und geometrischem Flächeninhalt;
# begründetes Aufteilen an Nullstellen;
# mathematisch korrekte Interpretation orientierter Flächen;
# Prüfung eigener und fremder Lösungswege durch Ableiten, Einsetzen und Plausibilitätskontrolle;
# selbstständige Verfahrenswahl auf Leistungsfachniveau.

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<br>

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= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung </iframe>

'''Freie Medien im Kurs:''' Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien sind über ihre jeweilige Dateibeschreibungsseite mit Lizenz- und Urheberangaben dokumentiert. Die YouTube-Videos werden eingebettet und nicht erneut hochgeladen.

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Integralrechnung]]'''
# [[Stammfunktion]]
# [[Bestimmtes Integral]]
# [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]
# [[Orientierte Fläche]]
# [[Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse]]
# [[Potenzregel]]
# [[Faktorregel]]
# [[Summenregel]]
# [[Analysis]]
# [[Mathematik-Abitur]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Leistungsfach]]
[[Kategorie:Mathematik Abitur]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

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