Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-27T20:14:52Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

Neue Seite

{{T}}

{{BR}}
= ABI LF - Hypothesentests als Entscheidungsverfahren verstehen =

'''Mini-Beschreibung:''' Du verstehst Hypothesentests als regelgeleitete Entscheidungen unter Zufallseinfluss – nicht als endgültigen Wahrheitsbeweis. Im Zentrum stehen [[Binomialverteilung|Binomialverteilungen]], Entscheidungsregeln, Fehlerwahrscheinlichkeiten und Simulationen auf Leistungsfachniveau.

[[Datei:Rejection region.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Einleitung =

Ein Hypothesentest beantwortet nicht die Frage „Was ist sicher wahr?“, sondern: '''Welche Entscheidung ist unter einer festgelegten Regel mit kontrolliertem Fehlerrisiko zu treffen?'''

Beobachtet wird eine Zufallsvariable <math>X</math>. Unter der Nullhypothese wird ihre Verteilung festgelegt. Ein vorher bestimmter [[Ablehnungsbereich]] entscheidet anschließend darüber, ob <math>H_0</math> verworfen wird.

'''Merksatz:''' Ein nicht verworfenes <math>H_0</math> ist nicht bewiesen. Ein verworfenes <math>H_0</math> ist ebenfalls kein absoluter Wahrheitsbeweis für <math>H_1</math>.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=nKWBoIzATu8 |500|center}}

{{BR}}
= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du

# [[Hypothesentest]]: einen Test als Folge aus Modell, Hypothesen, Testgröße, Signifikanzniveau, Entscheidungsregel und Entscheidung darstellen.
# [[Binomialverteilung]]: ein geeignetes Binomialmodell erkennen und Wahrscheinlichkeiten exakt formulieren.
# [[Ablehnungsbereich]]: kritische Grenzen für ein- und zweiseitige Tests bestimmen und begründen.
# [[Fehler 1. Art]]: die Wahrscheinlichkeit einer fälschlichen Ablehnung von <math>H_0</math> berechnen und interpretieren.
# [[Fehler 2. Art]]: die Abhängigkeit des Fehlers von einer konkreten Alternative erklären.
# [[Simulation]]: zufällige Schwankungen von Testentscheidungen untersuchen und Simulationsergebnisse von exakten Wahrscheinlichkeiten unterscheiden.
# [[Mathematische Argumentation]]: Rechenwege, Modellannahmen und KI-Ausgaben kritisch prüfen.

{{BR}}
= Abiturbezug Baden-Württemberg =

Dieser Kurs ist auf das '''Mathematik-Abitur 2027 im Leistungsfach''' in Baden-Württemberg ausgerichtet. Maßgeblich bleiben der jeweils gültige Bildungsplan, der aktuelle Facherlass und die offiziellen Prüfungsinformationen.

# [https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Abiturinformationen des Kultusministeriums Baden-Württemberg]: Prüfe hier Prüfungsjahrgang, Facherlass und zugelassene Hilfsmittel.
# [https://rpk.baden-wuerttemberg.de/abt7/referat-75-allgemein-bildende-gymnasien/seiten/mathematik/ Mathematik am Regierungspräsidium Karlsruhe]: Hier findest Du aktuelle Hinweise zu Formelsammlung und wissenschaftlichem Taschenrechner.
# [[Prüfungsvorbereitung]]: GeoGebra, Simulationen, LernApps und KI sind wertvolle Übungswerkzeuge, aber nicht automatisch zugelassene Prüfungshilfsmittel.
# [[Begründung]]: Im Leistungsfach reicht ein Ergebnis ohne nachvollziehbaren mathematischen Weg meist nicht aus. Modellwahl, Testseite und Entscheidungsregel müssen begründet werden.

'''Wichtig:''' KI kann Rechenwege vorschlagen, aber Du musst Verteilung, Randwahrscheinlichkeit, Ungleichungsrichtung und Schlussfolgerung selbst mathematisch prüfen. KI ersetzt keinen Beweis.

{{BR}}
= Vorwissen-Check =

Bearbeite zunächst ohne Hilfsmittel.

# [[Bernoulli-Kette]]: Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit <math>X \sim B(n,p)</math> modelliert werden kann?
# [[Erwartungswert]]: Bestimme für <math>X \sim B(80,0{,}3)</math> den Erwartungswert.
# [[Randwahrscheinlichkeit]]: Formuliere „mindestens 28 Treffer“ als Wahrscheinlichkeit.
# [[Gegenereignis]]: Schreibe <math>P(X\geq 28)</math> mithilfe einer kumulierten Wahrscheinlichkeit.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Kontrolle'''
# Unabhängige gleichartige Versuche mit genau zwei relevanten Ausgängen und konstanter Trefferwahrscheinlichkeit.
# <math>E(X)=np=80\cdot 0{,}3=24</math>.
# <math>P(X\geq 28)</math>.
# <math>P(X\geq 28)=1-P(X\leq 27)</math>.
</div>

{{BR}}
= Kernidee: Entscheiden unter Zufallseinfluss =

Ein Test besteht aus einer '''vor dem Beobachten festgelegten Regel'''.

# [[Nullhypothese]]: Ausgangsannahme <math>H_0</math>.
# [[Alternativhypothese]]: inhaltliche Gegenrichtung <math>H_1</math>.
# [[Teststatistik]]: beobachtbare Zufallsvariable <math>X</math>.
# [[Signifikanzniveau]]: maximal akzeptiertes Risiko <math>\alpha</math> für einen Fehler 1. Art.
# [[Ablehnungsbereich]]: Werte von <math>X</math>, bei denen <math>H_0</math> verworfen wird.
# [[Entscheidungsregel]]: „Liegt der beobachtete Wert im Ablehnungsbereich, verwerfe <math>H_0</math>.“

[[Datei:Teste-de-hipóteses.gif|500px|rahmenlos|center]]

Die Animation verdeutlicht, dass sich die Bereiche für Fehler 1. und 2. Art aus überlappenden Verteilungen ergeben können. Eine strengere Regel gegen Fehlalarme kann gleichzeitig andere Fehler wahrscheinlicher machen.

{{BR}}
== Einseitig oder zweiseitig? ==

'''Rechtsseitig''' bei einer vermuteten Erhöhung:

<math>H_0:p\leq p_0</math>

<math>H_1:p>p_0</math>

'''Linksseitig''' bei einer vermuteten Verringerung:

<math>H_0:p\geq p_0</math>

<math>H_1:p<p_0</math>

'''Zweiseitig''' bei jeder relevanten Abweichung:

<math>H_0:p=p_0</math>

<math>H_1:p\neq p_0</math>

'''Denkfrage:''' Die Testseite folgt aus dem Sachkontext – nicht aus dem beobachteten Ergebnis.

{{BR}}
= Binomialverteilung als Testmodell =

Für eine Binomialverteilung gilt

<math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}</math>

mit

<math>X\sim B(n,p)</math>.

Die kumulierte Wahrscheinlichkeit lautet

<math>P(X\leq k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}</math>.

Für einen rechten Rand ist oft praktisch:

<math>P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)</math>.

[[Datei:Binomial distribution examples.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Interaktives Modell:''' Verändere <math>n</math>, <math>p</math> und die Intervallgrenzen. Beobachte, wie sich Form und Randwahrscheinlichkeiten verändern.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/xjmyjj8d </iframe>

[[Datei:Galton-Brett.svg|380px|rahmenlos|center]]

Das Galtonbrett visualisiert wiederholte Zufallsentscheidungen. Beim Binomialmodell interessiert uns die Anzahl der Treffer nach einer festen Zahl von Versuchen.

{{BR}}
= Beispiel: Entscheidungsregel Schritt für Schritt =

Ein Produktionsprozess soll höchstens <math>20\%</math> Ausschuss erzeugen. Eine Stichprobe enthält <math>n=100</math> Teile. Es soll auf eine '''Erhöhung''' der Ausschussquote getestet werden. Das Signifikanzniveau sei <math>\alpha=0{,}05</math>.

{{BR}}
== Schritt 1: Hypothesen ==

<math>H_0:p\leq 0{,}20</math>

<math>H_1:p>0{,}20</math>

Da nur große Ausschusszahlen gegen <math>H_0</math> sprechen, wird rechtsseitig getestet.

{{BR}}
== Schritt 2: Testgröße ==

'''Testgröße:''' <math>X</math> ist die Anzahl der Ausschussteile unter 100 geprüften Teilen.

Am Rand der Nullhypothese gilt

<math>X\sim B(100,0{,}20)</math>.

{{BR}}
== Schritt 3: Kritische Grenze ==

Gesucht ist die kleinste ganze Zahl <math>c</math> mit

<math>P_{0{,}20}(X\geq c)\leq 0{,}05</math>.

Für <math>c=27</math> gilt näherungsweise

<math>P(X\geq 27)\approx 0{,}05583</math>,

also noch zu groß.

Für <math>c=28</math> gilt

<math>P(X\geq 28)\approx 0{,}03415</math>.

Damit lautet der Ablehnungsbereich

<math>A=\{28,29,\ldots,100\}</math>.

{{BR}}
== Schritt 4: Entscheidungsregel ==

'''Beobachtung <math>x\geq 28</math>:''' <math>H_0</math> wird verworfen.

'''Beobachtung <math>x\leq 27</math>:''' <math>H_0</math> wird nicht verworfen.

Das tatsächlich erreichte Fehlerniveau ist wegen der diskreten Verteilung hier

<math>\alpha_{\mathrm{exakt}}\approx 0{,}03415</math>

und damit kleiner als <math>0{,}05</math>.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=TgOFnclrZ6c |500|center}}

{{BR}}
= Fehler 1. und 2. Art =

'''Fehler 1. Art:''' <math>H_0</math> ist richtig, wird aber verworfen.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art erfüllt <math>P(\mathrm{Fehler\ 1.\ Art})\leq \alpha</math>.

'''Fehler 2. Art:''' <math>H_0</math> wird nicht verworfen, obwohl eine konkrete Alternative gilt.

Nehmen wir im Beispiel tatsächlich <math>p=0{,}30</math> an. Dann gilt für die oben festgelegte Regel:

<math>\beta(0{,}30)=P_{0{,}30}(X\leq 27)\approx 0{,}29637</math>.

Die Teststärke bei dieser Alternative beträgt

<math>1-\beta(0{,}30)\approx 0{,}70363</math>.

'''Leistungsfach-Punkt:''' <math>\beta</math> ist normalerweise keine einzelne feste Zahl, sondern hängt von der tatsächlich betrachteten Alternative <math>p</math> ab.

{{BR}}
= Simulation: Was bedeutet das Fehlerrisiko praktisch? =

Stell Dir <math>10\,000</math> Wiederholungen des gesamten Tests unter <math>p=0{,}20</math> vor. Die Regel verwirft bei <math>X\geq 28</math>.

Der theoretische Anteil der Verwerfungen ist ungefähr

<math>0{,}03415</math>.

Bei <math>10\,000</math> Tests erwartet man daher ungefähr

<math>10\,000\cdot 0{,}03415\approx 342</math>

Verwerfungen, obwohl der Randfall von <math>H_0</math> gilt.

'''Aber:''' Eine Simulation liefert nicht genau 342. Sie schwankt zufällig um den theoretisch erwarteten Wert.

{{BR}}
== Interaktiver Hypothesentest ==

Verändere im GeoGebra-Modell Stichprobenumfang, Nullhypothese, Testseite und Signifikanzniveau. Prüfe dabei jeweils zuerst Deine eigene Prognose.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/VcNGNBWW </iframe>

Arbeitsauftrag:

# Stelle <math>n=100</math>, <math>p_0=0{,}20</math> und einen rechtsseitigen Test ein.
# Suche die kritische Grenze.
# Erhöhe <math>n</math> und beobachte, wie sich die Entscheidungsschwelle relativ zu <math>n</math> verändert.
# Vergleiche ein Signifikanzniveau von <math>5\%</math> mit <math>1\%</math>.
# Erkläre, warum eine kleinere Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art nicht automatisch „bessere“ Entscheidungen in jeder Hinsicht bedeutet.

{{BR}}
= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung 1: Rechtsseitiger Test ==

Gegeben sei

<math>X\sim B(50,0{,}40)</math>

und <math>\alpha=0{,}05</math>. Bestimme die kleinste kritische Grenze <math>c</math> für einen rechtsseitigen Test.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' Prüfe nacheinander Randwahrscheinlichkeiten der Form <math>P(X\geq c)</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>P(X\geq 26)\approx 0{,}05734</math> ist zu groß, aber <math>P(X\geq 27)\approx 0{,}03141</math> ist zulässig. Daher ist <math>c=27</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung 2: Linksseitiger Test ==

Gegeben sei

<math>X\sim B(60,0{,}70)</math>

und <math>\alpha=0{,}05</math>. Bestimme den größten Wert <math>c</math>, für den linksseitig verworfen werden darf.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' Gesucht ist <math>P(X\leq c)\leq 0{,}05</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>P(X\leq 35)\approx 0{,}03624</math>, während <math>P(X\leq 36)\approx 0{,}06324</math>. Damit ist <math>c=35</math>.
</div>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=Vf8gS_25ZFQ |500|center}}

{{BR}}
== Übung 3: Zweiseitiger Test ==

Für <math>X\sim B(40,0{,}50)</math> soll zweiseitig mit insgesamt höchstens <math>5\%</math> getestet werden. Verteile das Niveau symmetrisch auf beide Ränder.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' Prüfe links <math>P(X\leq c_1)\leq 0{,}025</math> und rechts <math>P(X\geq c_2)\leq 0{,}025</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' Geeignet sind <math>c_1=13</math> und <math>c_2=27</math>. Das exakte Gesamtniveau beträgt ungefähr <math>0{,}03848</math>.
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =

Typische Fehlwege im Abitur:

# [[Testrichtung]]: Die Richtung wird aus dem beobachteten Stichprobenergebnis statt aus der Fragestellung gewählt.
# [[Nullhypothese]]: „Nicht verworfen“ wird fälschlich mit „bewiesen“ gleichgesetzt.
# [[Signifikanzniveau]]: Bei diskreten Verteilungen wird <math>P=\alpha</math> erzwungen, obwohl nur <math>P\leq\alpha</math> verlangt ist.
# [[Randwahrscheinlichkeit]]: Bei <math>P(X\geq c)</math> wird versehentlich <math>1-P(X\leq c)</math> statt <math>1-P(X\leq c-1)</math> verwendet.
# [[Fehler 2. Art]]: <math>\beta</math> wird angegeben, ohne eine konkrete Alternative festzulegen.
# [[Modellkritik]]: Unabhängigkeit, konstantes <math>p</math> oder Zufälligkeit der Stichprobe werden ungeprüft vorausgesetzt.
# [[KI-Prüfung]]: Ein KI-Ergebnis wird übernommen, ohne Testseite, Verteilung und Rundung zu kontrollieren.

'''Diagnosefrage:''' Eine KI behauptet: „Da <math>H_0</math> nicht verworfen wird, ist <math>H_0</math> mit 95 Prozent Wahrscheinlichkeit wahr.“ Erkläre präzise, warum diese Aussage aus einem klassischen Signifikanztest nicht folgt.

{{BR}}
= Mehrfaches Testen als Transfer =

Wenn viele Tests gleichzeitig durchgeführt werden, können auch unter gültigen Nullhypothesen zufällig auffällige Ergebnisse auftreten.

[[Datei:Multiple binomial testing.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Transferfrage:''' Warum ist „mindestens ein signifikantes Ergebnis“ bei 30 Tests etwas anderes als ein einzelner Test mit Signifikanzniveau <math>5\%</math>?

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Entscheide für jede Aussage: '''stimmt''' oder '''stimmt nicht'''. Begründe kurz.

# Ein Signifikanzniveau von <math>5\%</math> bedeutet, dass <math>H_0</math> mit Wahrscheinlichkeit <math>95\%</math> wahr ist.
# Die Testseite muss vor der Auswertung des Stichprobenergebnisses aus dem Kontext festgelegt werden.
# Bei einer diskreten Testgröße kann das tatsächliche Fehlerniveau kleiner als das vorgegebene <math>\alpha</math> sein.
# Ein größerer Stichprobenumfang kann die Trennschärfe eines Tests erhöhen.
# Ein Fehler 2. Art lässt sich nur relativ zu einer konkreten Alternative quantifizieren.
# Simulationen ersetzen die exakte Wahrscheinlichkeitsrechnung grundsätzlich.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung:''' falsch, richtig, richtig, richtig, richtig, falsch.
</div>

{{BR}}
= Transfer =

Eine Behörde prüft, ob der Anteil defekter Sensoren über einer zugesicherten Grenze liegt. Entwickle selbstständig ein Testverfahren.

# Definiere den Parameter <math>p</math>.
# Formuliere <math>H_0</math> und <math>H_1</math>.
# Lege <math>n</math> und <math>\alpha</math> begründet fest.
# Bestimme eine Entscheidungsregel.
# Untersuche mindestens zwei konkrete Alternativen und vergleiche die Fehlerwahrscheinlichkeiten 2. Art.
# Diskutiere, welche praktische Bedeutung Fehlalarm und Übersehen eines Problems jeweils haben.

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

Du bist prüfungsbereit, wenn Du ohne Vorlage

# den Sachkontext in ein Binomialmodell übersetzen kannst,
# die passende Testseite begründest,
# einen Ablehnungsbereich über Randwahrscheinlichkeiten bestimmst,
# eine beobachtete Stichprobe korrekt nach der vorher festgelegten Regel entscheidest,
# Fehler 1. und 2. Art sprachlich und mathematisch unterscheidest,
# Simulation und exakte Wahrscheinlichkeit auseinanderhältst,
# Ergebnisse in den Sachkontext zurückübersetzt,
# Rechner- oder KI-Ergebnisse durch mathematische Plausibilitätskontrollen absicherst.

{{BR}}
= Reflexion =

# [[Entscheidung unter Unsicherheit]]: Welche Information liefert ein Hypothesentest tatsächlich?
# [[Fehlerrisiko]]: Welche Folgen hätte in Deinem Beispiel ein Fehler 1. Art und welche ein Fehler 2. Art?
# [[Modellgrenzen]]: Welche Annahme des Binomialmodells ist in realen Anwendungen besonders kritisch?
# [[Beweis und Statistik]]: Worin unterscheidet sich ein statistisch gestütztes Urteil von einem mathematischen Beweis?

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächstes passen besonders:

# [[ABI LF - Fehler 1. und 2. Art analysieren]]
# [[ABI LF - Signifikanzniveau und Teststärke untersuchen]]
# [[ABI LF - Binomialverteilungen im Abitur modellieren]]
# [[ABI LF - Stochastische Modelle kritisch beurteilen]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was beschreibt ein Hypothesentest am treffendsten?'''
(Eine regelgeleitete Entscheidung unter Zufallseinfluss)
(!Einen endgültigen Wahrheitsbeweis)
(!Eine sichere Bestimmung des unbekannten Parameters)
(!Eine reine Datensammlung ohne Entscheidungsregel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann wird bei einem rechtsseitigen Test gegen die Nullhypothese entschieden?'''
(Bei hinreichend großen Werten der Teststatistik)
(!Bei allen Werten nahe am Erwartungswert)
(!Nur bei kleinen Werten der Teststatistik)
(!Immer wenn die Stichprobe groß ist)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was kontrolliert das Signifikanzniveau?'''
(Das maximale Risiko eines Fehlers erster Art)
(!Die Sicherheit der Nullhypothese)
(!Die Größe der Stichprobe)
(!Die Anzahl möglicher Hypothesen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet es, wenn die Nullhypothese nicht verworfen wird?'''
(Die Daten reichen für eine Verwerfung nach der Regel nicht aus)
(!Die Nullhypothese ist bewiesen)
(!Die Alternativhypothese ist widerlegt)
(!Der Test war fehlerfrei)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum kann das tatsächliche Signifikanzniveau kleiner als das vorgegebene Niveau sein?'''
(Weil die Binomialverteilung diskret ist)
(!Weil jede Stichprobe fehlerfrei ist)
(!Weil der Erwartungswert immer ganzzahlig ist)
(!Weil Simulationen exakt sind)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wovon hängt der Fehler zweiter Art wesentlich ab?'''
(Von der konkret betrachteten Alternative)
(!Nur vom Namen der Nullhypothese)
(!Nur von der Anzahl der Antwortmöglichkeiten)
(!Nur vom verwendeten Taschenrechner)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zur Testseite ist richtig?'''
(Sie wird aus dem Sachkontext vor der Auswertung festgelegt)
(!Sie wird nach dem beobachteten Ergebnis gewählt)
(!Sie ist immer zweiseitig)
(!Sie hängt nur vom Stichprobenumfang ab)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Wahrscheinlichkeit gehört zu einem rechten Ablehnungsbereich ab c?'''
(Die Wahrscheinlichkeit für mindestens c Treffer)
(!Die Wahrscheinlichkeit für höchstens c Treffer)
(!Nur die Wahrscheinlichkeit für genau c Treffer)
(!Die Wahrscheinlichkeit für weniger als c Treffer)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Rolle hat eine Simulation im Hypothesentest?'''
(Sie veranschaulicht die zufällige Streuung wiederholter Entscheidungen)
(!Sie beweist die Nullhypothese)
(!Sie ersetzt jede exakte Rechnung)
(!Sie macht das Signifikanzniveau bedeutungslos)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist bei KI-Unterstützung mathematisch notwendig?'''
(Die Ausgabe durch eigene Rechnungen und Begründungen prüfen)
(!Jede Ausgabe ungeprüft übernehmen)
(!Nur die sprachliche Form kontrollieren)
(!Auf Wahrscheinlichkeitsrechnungen verzichten)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Nullhypothese || zu prüfende Ausgangsannahme
|-
| Alternativhypothese || inhaltliche Gegenrichtung
|-
| Signifikanzniveau || Obergrenze für Fehler erster Art
|-
| Ablehnungsbereich || Ergebnisse gegen die Ausgangsannahme
|-
| Teststatistik || ausgewertete Zufallsvariable
|-
| Teststärke || Wahrscheinlichkeit einer richtigen Verwerfung
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Phase
|-
| '''Hypothesen'''
| Ausgangsannahme und Gegenrichtung
|-
| '''Teststatistik'''
| Zufallsvariable festlegen
|-
| '''Signifikanzniveau'''
| Fehlerrisiko begrenzen
|-
| '''Ablehnungsbereich'''
| kritische Werte bestimmen
|-
| '''Entscheidung'''
| Beobachtung mit Regel vergleichen

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Nullhypothese || Wie heißt die zu prüfende Ausgangsannahme?
|-
| Stichprobe || Wie heißt die untersuchte Auswahl aus einer Grundgesamtheit?
|-
| Teststatistik || Wie heißt die Zufallsvariable, auf der die Entscheidung beruht?
|-
| Signifikanz || Welcher Begriff bezeichnet die statistische Auffälligkeit einer Entscheidung?
|-
| Binomialtest || Welcher Test nutzt eine binomialverteilte Teststatistik?
|-
| Simulation || Wie heißt das wiederholte zufällige Nachbilden eines Experiments?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+LF+-+Hypothesentests+als+Entscheidungsverfahren+verstehen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein Hypothesentest ist eine regelgeleitete { Entscheidung } unter Zufallseinfluss. Die Ausgangsannahme heißt { Nullhypothese }. Das maximal vorgegebene Risiko für eine fälschliche Verwerfung heißt { Signifikanzniveau }. Bei einem rechtsseitigen Test sprechen besonders { große } Werte der Teststatistik gegen die Nullhypothese. Der Bereich kritischer Ergebnisse heißt { Ablehnungsbereich }. Bei einer diskreten Binomialverteilung kann das tatsächlich erreichte Fehlerniveau { kleiner } als das vorgegebene Niveau sein. Ein Nichtverwerfen der Nullhypothese ist kein { Beweis } für ihre Wahrheit. Eine Simulation zeigt die zufällige { Streuung } wiederholter Testentscheidungen.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Entscheidungsregel formulieren]]: Schreibe für ein selbst gewähltes Alltagsbeispiel eine sprachliche Regel für Verwerfen und Nichtverwerfen.
# [[Hypothesen erkennen]]: Erfinde drei Situationen und formuliere jeweils passende einseitige Hypothesen.
# [[Verteilung visualisieren]]: Nutze das GeoGebra-Modell und dokumentiere mit Screenshots, wie sich die Binomialverteilung bei verändertem <math>p</math> verschiebt.
# [[Fehlinterpretationen sammeln]]: Formuliere drei typische falsche Aussagen über Signifikanz und verbessere sie.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Kritische Grenze bestimmen]]: Wähle ein eigenes <math>n</math>, <math>p_0</math> und <math>\alpha</math> und bestimme einen einseitigen Ablehnungsbereich.
# [[Simulation durchführen]]: Simuliere wiederholte Tests und vergleiche den beobachteten Anteil falscher Verwerfungen mit dem theoretischen Wert.
# [[Erklärvideo erstellen]]: Produziere ein kurzes Video, das den Unterschied zwischen „nicht verworfen“ und „bewiesen“ erklärt, ohne personenbezogene Daten zu verwenden.
# [[Fehlerwahrscheinlichkeiten vergleichen]]: Berechne für eine feste Entscheidungsregel <math>\beta</math> für mindestens drei alternative Werte von <math>p</math>.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Testdesign entwickeln]]: Entwickle für eine Qualitätskontrolle ein vollständiges Testverfahren und begründe Stichprobenumfang, Signifikanzniveau und Testseite.
# [[Teststärke untersuchen]]: Analysiere rechnerisch und grafisch, wie sich eine Vergrößerung von <math>n</math> auf <math>\beta</math> und die Teststärke auswirkt.
# [[Mehrfachtests analysieren]]: Untersuche mithilfe einer Simulation, wie häufig bei vielen gleichzeitig durchgeführten Tests mindestens ein Fehlalarm entsteht.
# [[KI-Lösung auditieren]]: Lass eine KI einen Hypothesentest lösen, prüfe jeden mathematischen Schritt unabhängig und dokumentiere mindestens zwei mögliche Fehlerquellen.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modellwahl begründen]]: Entscheide für einen neuen Sachkontext, ob ein Binomialmodell angemessen ist, und begründe jede Modellannahme.
# [[Testverfahren konstruieren]]: Entwickle aus einer verbalen Fragestellung selbstständig Hypothesen, Testgröße und Ablehnungsbereich.
# [[Entscheidungsregel bewerten]]: Vergleiche zwei unterschiedliche Signifikanzniveaus und diskutiere die Auswirkungen auf beide Fehlerarten.
# [[Simulation interpretieren]]: Eine Simulation liefert bei 5000 Tests 181 Verwerfungen unter dem Randfall von <math>H_0</math>. Beurteile, ob dies zu einem theoretischen Fehlerniveau von etwa <math>3{,}4\%</math> plausibel passt.
# [[Fehleranalyse durchführen]]: Prüfe eine vorgegebene Musterlösung auf falsche Testseite, falsche Randwahrscheinlichkeit und unzulässige Schlussfolgerung.
# [[Transfer leisten]]: Erkläre, warum ein statistischer Test in Medizin, Technik oder Qualitätskontrolle eine Entscheidung unterstützen kann, aber keinen mathematischen Wahrheitsbeweis liefert.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen überzeugenden Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

# Hypothesen sachgerecht formulierst,
# die Testseite aus dem Kontext begründest,
# ein Binomialmodell formal korrekt verwendest,
# kritische Grenzen über passende Wahrscheinlichkeitsungleichungen bestimmst,
# Entscheidungsregeln verständlich formulierst,
# Fehler 1. und 2. Art unterscheidest,
# Simulationen mit exakten Wahrscheinlichkeiten vergleichst,
# mathematische Rechnungen transparent dokumentierst,
# Ergebnisse in den Sachkontext zurückübersetzt,
# Rechner- und KI-Ausgaben eigenständig überprüfst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Binomialtest </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung </iframe>

# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binomial_distribution_examples.svg Wikimedia Commons: Binomial distribution examples]: Public-Domain-Grafik.
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rejection_region.svg Wikimedia Commons: Rejection region]: CC-BY-SA-Grafik zu Ablehnungsbereichen.
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Teste-de-hip%C3%B3teses.gif Wikimedia Commons: animierte Hypothesentest-Grafik]: CC-BY-SA-Animation zu Fehlern erster und zweiter Art.
# [https://www.geogebra.org/m/VcNGNBWW GeoGebra: Hypothesentest]: Interaktives Modell für Binomialtests.

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Hypothesentest]]'''
# [[Binomialverteilung]]
# [[Nullhypothese]]
# [[Alternativhypothese]]
# [[Signifikanzniveau]]
# [[Ablehnungsbereich]]
# [[Fehler 1. Art]]
# [[Fehler 2. Art]]
# [[Teststärke]]
# [[Simulation]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Hypothesentest]]
[[Kategorie:Binomialverteilung]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Abitur Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Leistungsfach]]
[[Kategorie:Gymnasiale Oberstufe]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI LF - Hypothesentests als Entscheidungsverfahren verstehen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt