Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-28T21:47:36Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

Neue Seite

{{T}}
{{BR}}
= ABI LF - Graphen hilfsmittelfrei analysieren =

'''Mini-Beschreibung:''' Nutze gegebene Graphen von Funktionen, Ableitungen, Änderungsraten oder Verteilungen, um mathematische Aussagen ohne umfangreiche Rechnung abzuleiten. Trainiert werden im Leistungsfach vor allem qualitative Argumentation, exaktes Ablesen und kurze, prüfungstaugliche Begründungen.

'''Zielgruppe:''' Mathematik-Leistungsfach, Vorbereitung auf das schriftliche Abitur in Baden-Württemberg.

'''Stand: Prüfungsjahrgang 2027.''' Grundlage sind der Bildungsplan 2016, der Facherlass Mathematik 2027 und die veröffentlichte Aufgabenstruktur des Leistungsfachs. Teil A umfasst 30 Bewertungseinheiten. Vier elementare Pflichtaufgaben werden durch zwei gewählte Aufgaben aus sechs komplexeren Aufgaben ergänzt. Teil A wird ohne WTR und ohne IQB-Formelsammlung bearbeitet und spätestens nach 110 Minuten abgegeben. Erst danach stehen diese Hilfsmittel für Teil B zur Verfügung.

[https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Offizielle Abiturinformationen Baden-Württemberg]

'''Wichtig:''' GeoGebra, Lernvideos und andere digitale Werkzeuge dienen hier zum Lernen. Sie sind nicht automatisch als Hilfsmittel in der Prüfung zugelassen.

{{BR}}
= Einleitung =

Im hilfsmittelfreien Teil gewinnt oft nicht die längste Rechnung, sondern der sauberste Blick auf den Graphen.

[[Datei:Tangent line to a curve.svg|500px|rahmenlos|center]]

Aus einem Graphen kannst Du beispielsweise direkt folgern:

# Steigt <math>f</math>, dann gilt im betrachteten Bereich <math>f'(x)>0</math>.
# Fällt <math>f</math>, dann gilt <math>f'(x)<0</math>.
# Hat <math>f</math> an einer differenzierbaren Stelle ein lokales Extremum, dann gilt dort <math>f'(x)=0</math>.
# Wechselt die Steigung von zunehmend zu abnehmend oder umgekehrt, deutet das auf einen Wendepunkt von <math>f</math> und häufig auf ein Extremum von <math>f'</math> hin.
# Der orientierte Flächeninhalt unter einer Änderungsrate beschreibt die Bestandsänderung.

[[Ableitung|Ableitung]], [[Monotonie|Monotonie]], [[Extrempunkt|Extrempunkt]], [[Wendepunkt|Wendepunkt]] und [[Integral|Integral]] werden damit zu '''Grapheninformationen'''.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=hQfUEl3k-jU |500|center}}

{{BR}}
= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du

# aus einem Funktionsgraphen Aussagen über <math>f'</math> und <math>f''</math> ableiten,
# aus einem Ableitungsgraphen Monotonie, Extremstellen und Krümmungswechsel von <math>f</math> begründen,
# Änderungsraten als lokale Änderung und Integrale als Bestandsänderung deuten,
# Dichte- und Verteilungsgraphen qualitativ unterscheiden,
# exakte Aussagen mit kurzen mathematischen Begründungsketten formulieren,
# unzulässige Schlüsse aus Graphen erkennen und korrigieren.

{{BR}}
= Vorwissen-Check =

Entscheide zunächst ohne Rechnung.

<quiz display=simple>
{'''Welche Aussage ergänzt den Satz korrekt?'''<br>
|type="{}"}
Wenn der Graph von <math>f</math> in einem Intervall streng steigt, ist die Ableitung dort überwiegend { positiv }. An einem glatten lokalen Hochpunkt gilt { f'(x)=0 }. Ist <math>f'</math> positiv und fällt, dann steigt <math>f</math>, aber seine Steigung wird { kleiner }. Ein bestimmtes Integral einer Änderungsrate beschreibt eine { Bestandsänderung }.
</quiz>

'''Selbstdiagnose:''' Wenn Du bei mehr als einer Lücke unsicher warst, bearbeite zuerst die Abschnitte „Graph lesen“ und „Ableitungsgraph lesen“.

{{BR}}
= Graph lesen: vom Bild zur Aussage =

'''Prüfungsstrategie in drei Schritten'''

# '''Beobachtung:''' Was ist im Graphen sichtbar?
# '''Übersetzung:''' Welche mathematische Eigenschaft entspricht der Beobachtung?
# '''Begründung:''' Welche Beziehung macht die Aussage logisch?

Beispiel:

'''Beobachtung:''' Der Graph von <math>f</math> fällt für <math>x<2</math> und steigt für <math>x>2</math>.

'''Übersetzung:''' Links von <math>2</math> ist <math>f'</math> negativ, rechts positiv.

'''Folgerung:''' Bei <math>x=2</math> liegt bei Differenzierbarkeit ein lokales Minimum von <math>f</math> vor.

[[Datei:Minima and maxima4.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Merksatz:''' Ein Vorzeichenwechsel von <math>f'</math> von Minus nach Plus kennzeichnet ein lokales Minimum von <math>f</math>.

{{BR}}
== Dynamisches Modell: Funktion und Ableitung koppeln ==

Bewege im Applet den Punkt auf dem Funktionsgraphen. Vergleiche Tangentensteigung und Höhe des Punktes auf dem Ableitungsgraphen.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/P73Bcdtp </iframe>

'''Denkauftrag:''' Suche jeweils eine Stelle mit

# <math>f'(x)>0</math>,
# <math>f'(x)=0</math>,
# <math>f'(x)<0</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback anzeigen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Die Höhe des Ableitungsgraphen entspricht der Tangentensteigung von <math>f</math>. Oberhalb der x-Achse ist die Steigung positiv, auf der x-Achse null und unterhalb negativ.
</div>
</div>

{{BR}}
== Animation: Sekante wird Tangente ==

[[Datei:Tangent animation.gif|500px|rahmenlos|center]]

Die Animation zeigt visuell den Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung. Für das Graphenlesen entscheidend ist danach die geometrische Bedeutung:

<math>f'(x_0)</math> ist die Steigung der Tangente an den Graphen von <math>f</math> bei <math>x_0</math>.

{{BR}}
= Ableitungsgraph lesen =

Ist der Graph von <math>f'</math> gegeben, arbeitest Du rückwärts.

# <math>f'(x)>0</math> bedeutet: <math>f</math> steigt.
# <math>f'(x)<0</math> bedeutet: <math>f</math> fällt.
# Nullstellen von <math>f'</math> mit Vorzeichenwechsel liefern Extremstellen von <math>f</math>.
# Steigt <math>f'</math>, dann ist <math>f''</math> positiv und der Graph von <math>f</math> linksgekrümmt.
# Fällt <math>f'</math>, dann ist <math>f''</math> negativ und der Graph von <math>f</math> rechtsgekrümmt.

[[Datei:Stationary vs inflection pts.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Achtung:''' Eine Nullstelle von <math>f'</math> allein beweist noch kein Extremum von <math>f</math>. Der Vorzeichenwechsel muss geprüft oder eine andere hinreichende Bedingung begründet werden.

{{BR}}
== Interaktive Übung: zeichne zuerst im Kopf ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/qjavykma </iframe>

'''Auftrag:''' Skizziere den Ableitungsgraphen zunächst auf Papier. Nutze das Applet erst anschließend zur Kontrolle.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 1'''
<div class="mw-collapsible-content">
Markiere zuerst Stellen mit waagrechter Tangente. Dort besitzt <math>f'</math> Nullstellen.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 2'''
<div class="mw-collapsible-content">
Frage danach nicht nach der Höhe von <math>f</math>, sondern nach der Steilheit. Eine hohe Funktionsstelle kann trotzdem negative Ableitung besitzen.
</div>
</div>

{{BR}}
= Änderungsrate und Bestand =

Ist <math>r(t)</math> eine Änderungsrate eines Bestands <math>B(t)</math>, dann gilt qualitativ:

<math>r(t)=B'(t)</math>

und für einen Zeitraum von <math>a</math> bis <math>b</math>:

<math>B(b)-B(a)=\int_a^b r(t)\,dt</math>

[[Datei:Integral as region under curve.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Graphisch lesen:'''

# Fläche oberhalb der Zeitachse: Bestand nimmt zu.
# Fläche unterhalb der Zeitachse: Bestand nimmt ab.
# Das Vorzeichen von <math>r</math> entscheidet über Zu- oder Abnahme.
# Die größte Änderungsrate ist nicht automatisch der größte Bestand.

{{BR}}
== Mini-Beispiel mit Begründung ==

Gegeben sei der Graph einer Änderungsrate <math>r</math>. Für <math>0<t<3</math> liegt er oberhalb der Achse, für <math>3<t<5</math> darunter.

'''Aussage:''' Der zugehörige Bestand steigt zunächst und fällt anschließend.

'''Begründung:''' Weil <math>r(t)=B'(t)</math> gilt, bestimmt das Vorzeichen von <math>r</math> die Monotonie von <math>B</math>.

'''Nicht zulässig wäre:''' „Bei <math>t=3</math> ist der Bestand null.“ Aus <math>r(3)=0</math> folgt nur, dass die momentane Änderungsrate dort null ist.

{{BR}}
= Verteilungen graphisch deuten =

Bei einer [[Normalverteilung|Normalverteilung]] ist die Dichte keine Wahrscheinlichkeit an einer einzelnen Stelle. Wahrscheinlichkeiten entstehen als Flächen unter dem Dichtegraphen.

[[Datei:Standard Normal Distribution-en.svg|500px|rahmenlos|center]]

<math>P(a\le X\le b)</math> entspricht der Fläche unter der Dichte zwischen <math>a</math> und <math>b</math>.

Die Verteilungsfunktion <math>F(x)</math> dagegen gibt direkt die kumulierte Wahrscheinlichkeit an:

<math>F(x)=P(X\le x)</math>

[[Datei:Normal-distribution-cumulative-density-function.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Dynamische Normalverteilung ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/NnUbTwgf </iframe>

'''Auftrag:''' Verändere Erwartungswert und Standardabweichung.

# Was verändert eine Verschiebung des Erwartungswerts?
# Was verändert eine größere Standardabweichung?
# Was bleibt bei jeder Dichtefunktion insgesamt gleich?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Der Erwartungswert verschiebt das Zentrum. Eine größere Standardabweichung macht die Glocke breiter und flacher. Die gesamte Fläche unter der Dichte bleibt <math>1</math>.
</div>
</div>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=5ngiwDnCOWA |500|center}}

{{BR}}
= Interaktive Beispiele =

{{BR}}
== Beispiel A: Hochpunkt aus dem Ableitungsgraphen ==

Der Graph von <math>f'</math> schneidet bei <math>x=4</math> die x-Achse von oben nach unten.

'''Gesucht:''' Aussage über <math>f</math>.

'''Kurzlösung:'''

<math>f'(x)>0</math> links von <math>4</math> und <math>f'(x)<0</math> rechts von <math>4</math>.

Also steigt <math>f</math> vor <math>4</math> und fällt danach.

'''Folgerung:''' <math>f</math> hat bei <math>x=4</math> ein lokales Maximum.

{{BR}}
== Beispiel B: Wendestelle erkennen ==

Der Graph von <math>f'</math> besitzt bei <math>x=-1</math> ein lokales Minimum.

'''Qualitative Schlusskette:'''

<math>f'</math> fällt vor <math>-1</math> und steigt danach.

Damit wechselt <math>f''</math> bei hinreichender Glattheit von negativ nach positiv.

'''Folgerung:''' Der Graph von <math>f</math> besitzt bei <math>x=-1</math> eine Wendestelle.

{{BR}}
== Beispiel C: Änderungsrate ==

Eine Rate <math>r(t)</math> ist zunächst positiv, später negativ.

'''Richtige Aussage:''' Der Bestand steigt zunächst und fällt später.

'''Zusatz:''' Ob der Endbestand größer oder kleiner als der Anfangsbestand ist, entscheidet die Summe der orientierten Flächen.

{{BR}}
== Beispiel D: Verteilungsfunktion ==

Aus einem Graphen von <math>F</math> wird abgelesen:

<math>F(2)=0{,}7</math> und <math>F(1)=0{,}4</math>.

Dann gilt ohne weitere Rechnung:

<math>P(1<X\le 2)=F(2)-F(1)=0{,}3</math>.

{{BR}}
= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung 1: Vorzeichen statt Term ==

Ein Funktionsgraph steigt für <math>x<-2</math>, fällt für <math>-2<x<1</math> und steigt für <math>x>1</math>.

'''Auftrag:''' Skizziere nur das Vorzeichenbild von <math>f'</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Du brauchst keine exakten y-Werte. Markiere nur positiv, negativ und mögliche Nullstellen.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>f'>0</math> für <math>x<-2</math>, <math>f'<0</math> für <math>-2<x<1</math> und <math>f'>0</math> für <math>x>1</math>. Bei glatten Extremstellen liegen bei <math>x=-2</math> und <math>x=1</math> Nullstellen von <math>f'</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 2: Steilheit vergleichen ==

An den Stellen <math>x=0</math> und <math>x=3</math> steigt ein Funktionsgraph. Bei <math>x=0</math> ist er deutlich steiler.

'''Auftrag:''' Vergleiche <math>f'(0)</math> und <math>f'(3)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Beide Werte sind positiv. Wegen der größeren Steigung bei <math>x=0</math> gilt <math>f'(0)>f'(3)</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 3: Fläche einer Rate ==

Eine Änderungsrate besitzt von <math>0</math> bis <math>2</math> eine positive Fläche von <math>5</math> Einheiten und von <math>2</math> bis <math>4</math> eine negative Fläche mit Betrag <math>3</math>.

'''Auftrag:''' Bestimme die gesamte Bestandsänderung.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Die orientierte Gesamtfläche beträgt <math>5-3=2</math>. Der Bestand ist am Ende um <math>2</math> Einheiten größer.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 4: Verteilungsgraph ==

Für eine Verteilungsfunktion gilt aus dem Graphen <math>F(10)=0{,}8</math>.

'''Auftrag:''' Interpretiere den Wert.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>P(X\le 10)=0{,}8</math>. Es handelt sich um eine kumulierte Wahrscheinlichkeit, nicht um die Höhe einer Dichte.
</div>
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =

{{BR}}
== Fehler 1: Höhe mit Steigung verwechseln ==

'''Falsch:''' „Der Graph liegt hoch, also ist die Ableitung groß.“

'''Korrektur:''' Die Ableitung hängt von der '''Steigung''', nicht von der Funktionshöhe ab.

{{BR}}
== Fehler 2: Jede Nullstelle von <math>f'</math> ist ein Extremum ==

'''Falsch:''' Aus <math>f'(x_0)=0</math> folgt automatisch ein Extremum.

'''Korrektur:''' Es braucht zusätzlich eine passende lokale Struktur, etwa einen Vorzeichenwechsel von <math>f'</math>.

{{BR}}
== Fehler 3: Änderungsrate mit Bestand verwechseln ==

'''Falsch:''' „Wenn die Rate null ist, ist auch der Bestand null.“

'''Korrektur:''' <math>B'(t)=0</math> bedeutet nur: Der Bestand ändert sich in diesem Moment nicht.

{{BR}}
== Fehler 4: Dichtehöhe als Wahrscheinlichkeit lesen ==

'''Falsch:''' „Die Dichtehöhe bei <math>x=2</math> ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(X=2)</math>.“

'''Korrektur:''' Bei stetigen Verteilungen werden Wahrscheinlichkeiten durch Flächen beschrieben.

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Beantworte jede Frage in höchstens zwei Sätzen.

# Wie erkennst Du am Graphen von <math>f'</math> ein lokales Maximum von <math>f</math>?
# Woran erkennst Du eine mögliche Wendestelle von <math>f</math>, wenn nur <math>f'</math> gegeben ist?
# Warum entscheidet bei einer Änderungsrate nicht nur das Vorzeichen, sondern auch die Fläche über die gesamte Bestandsänderung?
# Worin unterscheiden sich Dichtefunktion und Verteilungsfunktion?

'''Ziel:''' Deine Antworten sollen jeweils eine Beobachtung und eine mathematische Begründung enthalten.

{{BR}}
= Transfer =

Betrachte einen realen Prozess mit Bestand <math>B(t)</math>, zum Beispiel Wasserstand, Bevölkerungszahl oder Energieinhalt.

Die Änderungsrate sei <math>r(t)=B'(t)</math>.

'''Transferfrage:''' Kann der Bestand weiter steigen, obwohl die Änderungsrate bereits fällt?

'''Antwort:''' Ja. Solange <math>r(t)>0</math> gilt, steigt der Bestand. Eine fallende positive Rate bedeutet nur, dass der Bestand langsamer wächst.

Das ist ein typischer Leistungsfach-Unterschied: '''„Rate fällt“''' und '''„Bestand fällt“''' sind nicht dasselbe.

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

Bewerte Dich nach jeder Aufgabe mit Grün, Gelb oder Rot.

# '''Graph → Vorzeichen:''' Ich kann aus Steigen und Fallen das Vorzeichen von <math>f'</math> bestimmen.
# '''Ableitung → Funktion:''' Ich kann Extremstellen von <math>f</math> über Vorzeichenwechsel von <math>f'</math> begründen.
# '''Krümmung:''' Ich kann die Änderung von <math>f'</math> mit dem Krümmungsverhalten von <math>f</math> verbinden.
# '''Rate → Bestand:''' Ich kann lokale Änderung und Gesamtänderung unterscheiden.
# '''Verteilungen:''' Ich kann Dichte und Verteilungsfunktion graphisch auseinanderhalten.
# '''Argumentation:''' Ich formuliere Schlussketten fachsprachlich und ohne unnötige Rechnung.

{{BR}}
= Reflexion =

# Welche Information liest Du aus einem Graphen schneller ab als aus einem Funktionsterm?
# An welcher Stelle brauchst Du eine zusätzliche Bedingung, bevor eine Aussage wirklich bewiesen ist?
# Welche Deiner Begründungen war nur plausibel und welche mathematisch hinreichend?
# Welche digitale Kontrolle hat Dir geholfen, und könntest Du dieselbe Aussage auch ohne Werkzeug begründen?

'''KI-Hinweis:''' KI-Ausgaben können zum Gegenprüfen von Ideen dienen. Prüfe mathematische Aussagen selbst. Eine KI-Antwort ersetzt keinen Beweis und keine nachvollziehbare Begründung.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Der Graph von f steigt in einem Intervall. Welche Aussage passt?'''
(f' ist dort positiv)
(!f' ist dort negativ)
(!f ist dort gleich null)
(!f'' ist dort immer gleich null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Der Graph von f' wechselt bei x gleich a von positiv nach negativ. Was folgt bei Differenzierbarkeit?'''
(f hat bei a ein lokales Maximum)
(!f hat bei a ein lokales Minimum)
(!f hat bei a eine Nullstelle)
(!f ist bei a nicht definiert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Größe beschreibt die Höhe des Ableitungsgraphen an einer Stelle?'''
(Die Tangentensteigung des Funktionsgraphen)
(!Den Funktionswert selbst)
(!Den Flächeninhalt bis zu dieser Stelle)
(!Die Länge der Tangente)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was kann ein lokales Extremum von f' über f anzeigen?'''
(Eine mögliche Wendestelle von f)
(!Zwingend eine Nullstelle von f)
(!Zwingend ein Maximum von f)
(!Eine senkrechte Asymptote von f)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Eine Änderungsrate ist positiv. Was folgt für den zugehörigen Bestand?'''
(Der Bestand steigt)
(!Der Bestand ist positiv)
(!Der Bestand ist null)
(!Der Bestand fällt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beschreibt das bestimmte Integral einer Änderungsrate über ein Zeitintervall?'''
(Die Bestandsänderung)
(!Den größten Bestand)
(!Die momentane Steigung am Anfang)
(!Die Standardabweichung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was entspricht bei einer stetigen Dichtefunktion einer Intervallwahrscheinlichkeit?'''
(Eine Fläche unter dem Dichtegraphen)
(!Ein einzelner y Wert)
(!Eine Tangentensteigung)
(!Eine Nullstelle der Dichte)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet F x bei einer Verteilungsfunktion?'''
(Die Wahrscheinlichkeit für X kleiner gleich x)
(!Die Dichte genau bei x)
(!Die Ableitung von X)
(!Den Erwartungswert von X)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Beobachtung reicht allein noch nicht für ein Extremum von f?'''
(Eine Nullstelle von f')
(!Ein Vorzeichenwechsel von f' von Plus nach Minus)
(!Ein Vorzeichenwechsel von f' von Minus nach Plus)
(!Steigen vor und Fallen nach derselben Stelle)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist bei einer graphischen Begründung im Leistungsfach besonders wichtig?'''
(Beobachtung und mathematische Schlussfolgerung zu verknüpfen)
(!Nur das Ergebnis ohne Begründung zu nennen)
(!Jeden Graphen vollständig auszurechnen)
(!Immer einen Taschenrechner zu verwenden)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Steigender Funktionsgraph || Positive Ableitung
|-
| Fallender Funktionsgraph || Negative Ableitung
|-
| Extremstelle der Funktion || Nullstelle der Ableitung mit passender Umgebung
|-
| Extremstelle der Ableitung || Mögliche Wendestelle der Funktion
|-
| Änderungsrate || Ableitung eines Bestands
|-
| Orientierte Fläche || Bestandsänderung
|-
| Dichtefunktion || Wahrscheinlichkeit als Fläche
|-
| Verteilungsfunktion || Kumulierte Wahrscheinlichkeit
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''positive Ableitung'''
| steigender Funktionsgraph
|-
| '''negative Ableitung'''
| fallender Funktionsgraph
|-
| '''Vorzeichenwechsel'''
| Extremstellenprüfung
|-
| '''orientierte Fläche'''
| Bestandsänderung
|-
| '''kumulierte Wahrscheinlichkeit'''
| Verteilungsfunktion

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Monotonie || Wie heißt die Eigenschaft des Steigens oder Fallens einer Funktion?
|-
| Tangente || Welche Gerade liefert geometrisch die lokale Steigung eines Funktionsgraphen?
|-
| Extremum || Wie heißt ein lokales Maximum oder Minimum zusammenfassend?
|-
| Wendepunkt || Wie heißt ein Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert?
|-
| Ableitung || Welche Funktion beschreibt die lokale Änderungsrate?
|-
| Integral || Welcher Begriff verbindet eine Änderungsrate mit der gesamten Bestandsänderung?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+LF+-+Graphen+hilfsmittelfrei+analysieren </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Steigt der Graph einer differenzierbaren Funktion, ist ihre Ableitung dort { positiv }. Fällt der Graph, ist die Ableitung { negativ }. Bei einem glatten lokalen Extremum besitzt die Ableitung häufig eine { Nullstelle }. Ein Vorzeichenwechsel von positiv nach negativ kennzeichnet ein lokales { Maximum }. Das bestimmte Integral einer Änderungsrate beschreibt eine { Bestandsänderung }. Bei einer stetigen Verteilung werden Wahrscheinlichkeiten als { Flächen } unter der Dichte gelesen. Eine Verteilungsfunktion beschreibt eine { kumulierte } Wahrscheinlichkeit.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Graphenprotokoll]]: Suche einen Funktionsgraphen und notiere drei sichere Aussagen über Monotonie oder Extremstellen.
# [[Ableitungsskizze]]: Zeichne zu einem einfachen Funktionsgraphen eine qualitative Skizze von <math>f'</math>.
# [[Fehlerkarte]]: Gestalte eine Lernkarte zu einem typischen Fehler beim Lesen von Ableitungsgraphen.
# [[Sprachtraining Mathematik]]: Formuliere drei Begründungen nach dem Muster Beobachtung – Übersetzung – Folgerung.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Änderungsrate im Alltag]]: Finde einen realen Prozess mit einer Rate und erkläre, was positive und negative Flächen bedeuten.
# [[Graphenvergleich]]: Erstelle zwei verschiedene Funktionsgraphen mit gleicher Nullstelle von <math>f'</math>, aber unterschiedlichem Verhalten von <math>f</math>.
# [[Dichte und Verteilung]]: Erkläre mit zwei eigenen Skizzen den Unterschied zwischen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion.
# [[GeoGebra Untersuchung]]: Erzeuge in GeoGebra eine Funktion mit zwei Extremstellen und einer Wendestelle und dokumentiere die Beziehungen zu <math>f'</math> und <math>f''</math>.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Begründung prüfen]]: Entwickle fünf Aussagen zu einem Ableitungsgraphen, darunter zwei bewusst falsche, und begründe die Bewertung.
# [[Mehrschrittiger Transfer]]: Entwirf eine Aufgabe, in der aus dem Graphen einer Änderungsrate Aussagen über Bestandsmaximum und Gesamtänderung abgeleitet werden müssen.
# [[Gegenbeispiel]]: Finde ein Beispiel dafür, dass <math>f'(x_0)=0</math> nicht automatisch ein Extremum von <math>f</math> bedeutet.
# [[Abituraufgabe entwickeln]]: Entwirf eine hilfsmittelfreie Leistungsfach-Aufgabe mit Graph, Operator „begründen“ und nachvollziehbarem Erwartungshorizont.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Graphenargumentation]]: Ein Graph von <math>f'</math> besitzt zwei Nullstellen. Erkläre, welche Zusatzinformationen Du brauchst, um die Art möglicher Extremstellen von <math>f</math> zu bestimmen.
# [[Rate und Bestand]]: Eine Änderungsrate bleibt positiv, fällt aber stark. Erkläre, wie sich der Bestand verhält und warum.
# [[Wendestellen prüfen]]: Begründe, unter welchen Bedingungen ein Extremum von <math>f'</math> auf eine Wendestelle von <math>f</math> schließen lässt.
# [[Verteilungsinterpretation]]: Vergleiche, welche Information Du aus der Höhe eines Dichtegraphen und aus der Höhe eines Verteilungsgraphen erhältst.
# [[Fehlerdiagnose]]: Bewerte die Aussage „Am Hochpunkt der Änderungsrate ist auch der Bestand maximal“ und korrigiere sie.
# [[Transfer ohne Rechnung]]: Beschreibe ein Verfahren, mit dem Du aus einem unbekannten Funktionsgraphen qualitativ einen möglichen Ableitungsgraphen konstruierst.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

# Graphenmerkmale exakt abliest,
# Vorzeichen von <math>f'</math> und <math>f''</math> korrekt deutest,
# Extrem- und Wendestellen mit hinreichenden Argumenten begründest,
# Änderungsrate und Bestand sicher unterscheidest,
# orientierte Flächen als Bestandsänderungen interpretierst,
# Dichte- und Verteilungsfunktion auseinanderhältst,
# mehrschrittige mathematische Schlussketten verständlich dokumentierst,
# plausible Aussagen von bewiesenen Aussagen unterscheidest,
# ein selbst gewähltes Verfahren begründen kannst.

<br>
<br>

{{BR}}
= Prüfungsbezug Baden-Württemberg =

Für das Leistungsfach Mathematik 2027 gelten die im Bildungsplan 2016 ausgewiesenen Kompetenzen mit den Ergänzungen des Facherlasses. Für diesen aiMOOC besonders relevant sind [[Ableitung]], [[Änderungsrate]], [[Ableitungsfunktion]], Untersuchung von Funktionen und Graphen, [[Integral]], [[Integralfunktion]] sowie die [[Normalverteilung]].

Die offizielle Aufgabenstruktur verlangt im Teil A sowohl elementare als auch komplexere Aufgaben. Gerade bei Graphenaufgaben zählen deshalb präzises Ablesen, logisches Schließen und knappe fachsprachliche Begründungen.

[https://km.baden-wuerttemberg.de/fileadmin/redaktion/m-km/intern/PDF/Dateien/Gymnasium/Dokumente_Abitur/Abitur_2027/Facherlass_2027_Stand_09.09.2025.pdf Facherlass Abitur 2027]

[https://km.baden-wuerttemberg.de/fileadmin/redaktion/m-km/intern/PDF/Dateien/Gymnasium/Dokumente_Abitur/Abitur_2024/2024-LF_neu_2025-02-04.pdf Leistungsfach Mathematik ab 2024 – Informationen und Beispielaufgabe]

'''Prüfungshinweis:''' Prüfe für Deinen konkreten Jahrgang immer den aktuellen Facherlass und die zugelassenen Hilfsmittel. Lernwerkzeuge dieses Kurses sind nicht automatisch Prüfungshilfsmittel.

{{BR}}
= Medienlabor =

{{BR}}
== Animierte Ableitung ==

[[Datei:Differentiation of sine.gif|500px|rahmenlos|center]]

'''Beobachtungsauftrag:''' Stoppe gedanklich an drei Stellen. Vergleiche jeweils Tangentensteigung und Wert der Ableitung.

{{BR}}
== Ableitung als Grenzübergang ==

[[Datei:Derivative-SVG.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Denkfrage:''' Welche Größe verändert sich, wenn sich der zweite Punkt dem ersten nähert, und welche Größe wird zum Grenzwert?

{{BR}}
== Animierte Binomialverteilung ==

[[Datei:Binomial distribution for n = 4.gif|500px|rahmenlos|center]]

'''Beobachtungsauftrag:''' Achte darauf, wie sich die Wahrscheinlichkeitsmassen mit dem Parameter verändern. Formuliere nur qualitative Aussagen, die tatsächlich aus dem Bild folgen.

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion </iframe>

<iframe> https://www.geogebra.org/m/TYtN357C </iframe>

Weitere freie Lernbereiche: [[Differentialrechnung]], [[Integralrechnung]], [[Kurvendiskussion]], [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]], [[Normalverteilung]].

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Graphen hilfsmittelfrei analysieren]]'''
# [[Ableitung]]
# [[Ableitungsfunktion]]
# [[Monotonie]]
# [[Extrempunkt]]
# [[Wendepunkt]]
# [[Änderungsrate]]
# [[Integral]]
# [[Normalverteilung]]
# [[Verteilungsfunktion]]
|}

{{BR}}
= Folgekurs =

Wenn Du diesen Kurs sicher beherrschst, arbeite weiter mit:

# [[ABI LF - Ableitungsgraphen sicher zuordnen]]
# [[ABI LF - Änderungsraten und Bestände verknüpfen]]
# [[ABI LF - Analysis hilfsmittelfrei argumentieren]]
# [[ABI LF - Stochastik graphisch deuten]]
# [[ABI LF - Eine vollständige Mathematik-Abiturprüfung simulieren]]

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Leistungsfach]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Klasse 11-12]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI LF - Graphen hilfsmittelfrei analysieren - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt