Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-28T16:02:17Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

Neue Seite

{{T}}

{{BR}}
= ABI LF - Eulerzahl e mathematisch einordnen =

'''Mini-Beschreibung:''' Du ordnest die [[Eulersche Zahl]] <math>e</math> als besondere Basis für kontinuierliche Wachstumsmodelle und die Differentialrechnung ein. Du sicherst den Näherungswert <math>e\approx 2{,}71828</math>, verbindest Grenzwertideen mit Tangenten und leitest die Modellform <math>y(t)=y_0e^{kt}</math> nachvollziehbar her.

[[Datei:Exp e.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernziele ==
# [[Eulerzahl|Eulerzahl]]: <math>e</math> mathematisch charakterisieren und sinnvoll näherungsweise angeben.
# [[Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: begründen, warum <math>f(x)=e^x</math> die Eigenschaft <math>f'(x)=f(x)</math> besitzt.
# [[Differentialrechnung|Differentialrechnung]]: Tangentensteigung und Differentialquotient mit der Basis <math>e</math> verbinden.
# [[Exponentielles Wachstum|Wachstum]]: aus <math>y'=ky</math> die Modellform <math>y(t)=y_0e^{kt}</math> verstehen und anwenden.
# [[Grenzwert|Grenzwert]]: <math>e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n</math> als Grenzwert immer feinerer Verzinsung deuten.
# [[Modellierung|Modellierung]]: Parameter bestimmen, interpretieren und Modellgrenzen prüfen.

{{BR}}
== Prüfungsbezug Baden-Württemberg ==
Für das Leistungsfach Mathematik sieht der Bildungsplan vor, die besondere Bedeutung der Basis <math>e</math> bei Exponentialfunktionen zu erläutern und die Eulerzahl näherungsweise zu bestimmen.

[https://www.bildungsplaene-bw.de/BP2016BW_ALLG_GYM_M_IK_11-12-LF_04 Bildungsplan Mathematik, Klassen 11/12 Leistungsfach]

'''Prüfungsjahrgang 2027:''' Grundlage der schriftlichen Abiturprüfung sind die im gültigen Facherlass ausgewiesenen Kompetenzen. Näherungsverfahren sind dort als eigenständiges Thema nicht Prüfungsgegenstand; die Grenzwertdarstellung von <math>e</math> wird hier zum Verständnis genutzt.

[https://km.baden-wuerttemberg.de/fileadmin/redaktion/m-km/intern/PDF/Dateien/Gymnasium/Dokumente_Abitur/Abitur_2027/Facherlass_2027_Stand_09.09.2025.pdf Facherlass Abiturprüfung 2027, Mathematik]

'''Hilfsmittelhinweis:''' GeoGebra, Videos und digitale Graphen sind Lernwerkzeuge und nicht automatisch Prüfungshilfsmittel. Prüfe für Deinen tatsächlichen Prüfungsjahrgang die jeweils gültigen Vorgaben.

{{BR}}
= Kurzer Einstieg =
Betrachte

<math>f_a(x)=a^x</math> mit <math>a>0</math> und <math>a\neq 1</math>.

Für die Ableitung gilt

<math>f_a'(x)=\ln(a)\cdot a^x.</math>

Am Punkt <math>(0|1)</math> ist daher

<math>f_a'(0)=\ln(a).</math>

Gesucht ist die Basis mit Tangentensteigung <math>1</math>:

<math>\ln(a)=1</math>

<math>a=e.</math>

Damit gilt

<math>\frac{d}{dx}e^x=e^x.</math>

[[Datei:Exp tangent.svg|500px|rahmenlos|center]]

<iframe> https://www.geogebra.org/m/bjGknYYa </iframe>

'''Denkfrage:''' Für welche Basis ist die Tangentensteigung bei <math>x=0</math> genau <math>1</math>?

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=xRftyh3kC_Q |500|center}}

{{BR}}
= Vorwissen-Check =
<quiz display=simple>
{'''Vervollständige die Aussagen.'''<br>
|type="{}"}
Für <math>f(x)=a^x</math> gilt <math>f(0)=</math> { 1 }.<br>
Die Steigung einer Tangente beschreibt eine { momentane Änderungsrate }.<br>
Die Umkehrfunktion von <math>e^x</math> heißt { natürlicher Logarithmus }.<br>
Bei exponentiellem Wachstum ist die relative Änderungsrate { konstant }.
</quiz>

{{BR}}
= Die Eulerzahl mathematisch einordnen =

{{BR}}
== Näherungswert ==
Ein geeigneter Näherungswert ist

<math>e\approx 2{,}71828.</math>

'''Wichtig:''' <math>e</math> ist die exakte Konstante; <math>2{,}71828</math> ist ein Näherungswert.

{{BR}}
== Grenzwertidee: immer feinere Verzinsung ==
Bei Anfangswert <math>K_0=1</math> und nominellem Jahreszuwachs von 100 Prozent ergibt sich bei <math>n</math> gleichmäßigen Verzinsungen

<math>K_n=(1+\frac{1}{n})^n.</math>

Beispiele:

<math>K_1=2</math>

<math>K_2=(1+\frac{1}{2})^2=2{,}25</math>

<math>K_{10}\approx 2{,}5937</math>

<math>K_{100}\approx 2{,}7048</math>

<math>K_{1000}\approx 2{,}7169.</math>

Damit

<math>e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n.</math>

[[Datei:Compounding e.svg|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Compound interest.gif|500px|rahmenlos|center]]

<iframe> https://www.geogebra.org/m/SPB3YJ4J </iframe>

'''Grenzidee:''' Mit immer feinerer Aufteilung stabilisieren sich die Werte in Richtung <math>e</math>.

{{BR}}
== Von diskreter zu kontinuierlicher Verzinsung ==
Bei Rate <math>r</math>, Zeit <math>t</math> und <math>n</math> Verzinsungen pro Zeiteinheit gilt

<math>K_n(t)=K_0(1+\frac{r}{n})^{nt}.</math>

Setze <math>m=\frac{n}{r}</math>. Dann gilt <math>\frac{r}{n}=\frac{1}{m}</math> und <math>nt=mrt</math>. Daher

<math>K_n(t)=K_0((1+\frac{1}{m})^m)^{rt}.</math>

Für <math>n\to\infty</math> gilt auch <math>m\to\infty</math>. Somit

<math>K(t)=K_0e^{rt}.</math>

Genau hier entsteht die Basis <math>e</math> aus der Grenzidee immer feinerer Verzinsung.

{{BR}}
== Warum gerade die Basis e? ==
Für eine allgemeine Basis gilt

<math>a^x=e^{x\ln(a)}.</math>

Ableiten mit der Kettenregel:

<math>\frac{d}{dx}a^x=\ln(a)e^{x\ln(a)}=\ln(a)a^x.</math>

Nur für <math>\ln(a)=1</math>, also <math>a=e</math>, verschwindet der zusätzliche Faktor:

<math>(e^x)'=e^x.</math>

Allgemeiner:

<math>(e^{kx})'=ke^{kx}.</math>

<iframe> https://www.geogebra.org/m/akwqfskd </iframe>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=eDqOniEWe1A |500|center}}

{{BR}}
== Tangente und lokale Näherung ==
Für <math>f(x)=e^x</math> gilt

<math>f(0)=1</math>

und

<math>f'(0)=1.</math>

Die Tangente bei <math>x=0</math> lautet deshalb

<math>T(x)=1+x.</math>

Für kleine <math>h</math> folgt die lokale Näherung

<math>e^h\approx 1+h.</math>

Der zugehörige Differentialquotient ist

<math>\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1.</math>

[[Datei:Exponentialfunktion.svg|500px|rahmenlos|center]]

<iframe> https://www.geogebra.org/m/JDMP7KuP </iframe>

'''Beobachtungsauftrag:''' Vergleiche im dynamischen Graphen Funktionswert und Tangentensteigung.

{{BR}}
== Kontinuierliches Wachstum als Differentialgleichung ==
Eine konstante relative Änderungsrate bedeutet

<math>\frac{y'(t)}{y(t)}=k.</math>

Äquivalent:

<math>y'(t)=ky(t).</math>

Eine Lösung mit Anfangswert <math>y_0</math> ist

<math>y(t)=y_0e^{kt}.</math>

Prüfung:

<math>y'(t)=ky_0e^{kt}=ky(t).</math>

Für <math>k>0</math> liegt Wachstum vor, für <math>k<0</math> Zerfall.

[[Datei:Exp Wachstum.png|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Exponentielles Wachstum kurzerklärt von Tagesschau.webm|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Relative Änderungsrate als Modellkern ==
Aus

<math>y(t)=y_0e^{kt}</math>

folgt

<math>y'(t)=ky_0e^{kt}</math>

und deshalb

<math>\frac{y'(t)}{y(t)}=k.</math>

'''Merksatz:''' Bei einem idealen kontinuierlichen Exponentialmodell ist die relative momentane Änderungsrate konstant.

Beispiel:

<math>y(t)=80e^{0{,}04t}</math>

<math>y'(t)=3{,}2e^{0{,}04t}</math>

<math>\frac{y'(t)}{y(t)}=0{,}04.</math>

Die relative Änderungsrate beträgt 4 Prozent pro Zeiteinheit.

{{BR}}
== Funktion, Ableitung und Integral ==
Für <math>f(x)=e^x</math> gilt

<math>f'(x)=e^x</math>

und eine Stammfunktion ist

<math>F(x)=e^x+C.</math>

[[Datei:Demonstration of integral and derivative of the exponential function.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Interaktive Beispiele =

{{BR}}
== Beispiel: Basis aus der Tangentensteigung bestimmen ==
Gegeben ist <math>f(x)=a^x</math>. Die Tangente bei <math>x=0</math> soll Steigung <math>1</math> haben.

<math>f'(x)=\ln(a)a^x</math>

<math>f'(0)=\ln(a)</math>

<math>\ln(a)=1</math>

<math>a=e.</math>

<quiz display=simple>
{'''Sichere das Ergebnis.'''<br>
|type="{}"}
Die gesuchte Basis ist { e }.
</quiz>

{{BR}}
== Beispiel: Wachstumskonstante bestimmen ==
Ein Bestand wächst in fünf Zeiteinheiten von <math>120</math> auf <math>180</math>:

<math>180=120e^{5k}</math>

<math>1{,}5=e^{5k}</math>

<math>\ln(1{,}5)=5k</math>

<math>k=\frac{\ln(1{,}5)}{5}\approx 0{,}0811.</math>

{{BR}}
== Beispiel: Momentane Änderungsrate ==
Gegeben:

<math>N(t)=500e^{-0{,}12t}.</math>

Dann

<math>N'(t)=-60e^{-0{,}12t}.</math>

Bei <math>t=3</math> gilt

<math>N'(3)=-60e^{-0{,}36}\approx -41{,}86.</math>

Die modellierte Größe sinkt zu diesem Zeitpunkt momentan um etwa 41,9 Einheiten pro Zeiteinheit.

{{BR}}
== Dynamischer Basisvergleich ==
<iframe> https://www.geogebra.org/m/vkzh9ftv </iframe>

# Stelle verschiedene Basen <math>a</math> ein.
# Vergleiche <math>a^x</math> mit seiner Ableitung.
# Finde die Basis, bei der beide Graphen übereinstimmen.
# Begründe das Ergebnis mit <math>f_a'(x)=\ln(a)a^x</math>.

{{BR}}
= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung A: Ableiten ==
Bestimme die Ableitungen.
# <math>f(x)=e^{3x}</math>
# <math>g(x)=4e^{-0{,}5x}</math>
# <math>h(x)=e^{x^2}</math>

'''Hilfe:''' Nutze die Kettenregel.

'''Feedback:'''

<math>f'(x)=3e^{3x}</math>

<math>g'(x)=-2e^{-0{,}5x}</math>

<math>h'(x)=2xe^{x^2}</math>

{{BR}}
== Übung B: Modellparameter ==
Gegeben ist

<math>B(t)=250e^{0{,}06t}.</math>

Bestimme Anfangsbestand, relative Änderungsrate und momentane Änderungsrate bei <math>t=4</math>.

'''Hilfe:'''

<math>B'(t)=0{,}06B(t).</math>

'''Feedback:'''

<math>B'(4)=15e^{0{,}24}\approx 19{,}07.</math>

{{BR}}
== Übung C: Verdopplungszeit ==
Aus

<math>2N_0=N_0e^{kT_2}</math>

folgt

<math>2=e^{kT_2}</math>

und damit

<math>T_2=\frac{\ln 2}{k}.</math>

'''Feedbackfrage:''' Warum hängt <math>T_2</math> nicht vom Anfangswert ab?

{{BR}}
== Übung D: Basiswechsel ==
Schreibe <math>5^x</math> zur Basis <math>e</math>.

'''Lösung:'''

<math>5^x=e^{x\ln 5}.</math>

Daraus folgt

<math>(5^x)'=\ln(5)\cdot 5^x.</math>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=IU7s7GoujS4 |500|center}}

{{BR}}
= Fehleranalyse =

{{BR}}
== Typische Fehler ==
'''Fehler 1:''' <math>(e^{3x})'=e^{3x}</math> ist falsch. Richtig ist <math>(e^{3x})'=3e^{3x}</math>.

'''Fehler 2:''' <math>e^{a+b}=e^a+e^b</math> ist falsch. Richtig ist <math>e^{a+b}=e^ae^b</math>.

'''Fehler 3:''' <math>e^x\approx 1+x</math> ist nur eine lokale Näherung bei <math>x=0</math>, keine Identität.

'''Fehler 4:''' Eine kontinuierliche Rate <math>k=0{,}05</math> bedeutet nach einer Zeiteinheit den Faktor <math>e^{0{,}05}\approx 1{,}05127</math>, also etwa 5,13 Prozent diskreten Zuwachs.

'''Fehler 5:''' Ein Rechnerwert ersetzt keine mathematische Begründung.

{{BR}}
== Fehlerdiagnose-Aufgabe ==
Eine Schülerin behauptet für <math>f(x)=2^x</math>:

<math>f'(x)=2^x.</math>

Korrigiere.

'''Rückmeldung:'''

<math>(2^x)'=\ln(2)\cdot 2^x.</math>

Nur bei der Basis <math>e</math> gilt <math>f'=f</math>.

{{BR}}
= Selbstkontrolle =
<quiz display=simple>
{'''Vervollständige ohne Taschenrechner.'''<br>
|type="{}"}
Die natürliche Exponentialfunktion erfüllt <math>f'=</math> { f }.<br>
Die Tangente an <math>e^x</math> bei <math>x=0</math> lautet <math>y=</math> { 1+x }.<br>
Die allgemeine Lösung von <math>y'=ky</math> lautet <math>y=</math> { y_0e^{kt} }.<br>
Für <math>a^x</math> lautet der zusätzliche Ableitungsfaktor { ln(a) }.<br>
Ein geeigneter Näherungswert ist { 2,71828 }.
</quiz>

{{BR}}
= Transfer =

{{BR}}
== Diskrete und kontinuierliche Modellform ==
Ein Bestand wächst diskret pro Zeiteinheit mit Faktor <math>1{,}06</math>:

<math>A(t)=A_0\cdot 1{,}06^t.</math>

Für die Form <math>A(t)=A_0e^{kt}</math> gilt

<math>1{,}06=e^k</math>

und somit

<math>k=\ln(1{,}06)\approx 0{,}05827.</math>

{{BR}}
== Halbwertszeit ==
Bei <math>N(t)=N_0e^{kt}</math> mit <math>k<0</math> gilt

<math>\frac{1}{2}N_0=N_0e^{kT_{1/2}}</math>

und daher

<math>T_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{k}=\frac{-\ln 2}{k}.</math>

{{BR}}
== Modellkritik ==
# Ist die relative Änderungsrate im betrachteten Zeitraum plausibel annähernd konstant?
# Passt der Definitionsbereich zum Sachkontext?
# Sind Einheiten von <math>k</math>, <math>t</math> und <math>y</math> konsistent?
# Ist eine Extrapolation über den Beobachtungszeitraum hinaus begründet?

{{BR}}
= Kompetenzcheck =
# Ich kann <math>e</math> durch Grenz- und Ableitungseigenschaften charakterisieren.
# Ich kann <math>(e^x)'=e^x</math> begründen und anwenden.
# Ich kann aus <math>y'=ky</math> die Form <math>y(t)=y_0e^{kt}</math> verwenden.
# Ich kann <math>a^x=e^{x\ln(a)}</math> zum Basiswechsel nutzen.
# Ich kann <math>(a^x)'=\ln(a)a^x</math> herleiten.
# Ich kann <math>e^h\approx 1+h</math> als lokale Linearisierung einordnen.
# Ich kann zwischen diskretem Wachstumsfaktor und kontinuierlicher Rate wechseln.
# Ich prüfe digitale oder KI-erzeugte Ergebnisse mathematisch; sie ersetzen keinen Beweis.

{{BR}}
= Reflexion =
# [[Eulerzahl|Darstellungen vergleichen]]: Welche Darstellung erklärt die Rolle von <math>e</math> für Dich am besten: Grenzwert, Tangente oder Ableitung? Begründe.
# [[Differentialrechnung|Struktur erkennen]]: Wo wird sichtbar, dass Wachstum und Ableitung dieselbe Struktur besitzen?
# [[Modellkritik|Grenzen prüfen]]: Nenne eine Situation, in der exponentielles Wachstum nur zeitweise plausibel ist.
# [[Digitale Mathematikwerkzeuge|Werkzeuge prüfen]]: Welche Beobachtung aus GeoGebra musstest Du anschließend rechnerisch begründen?

{{BR}}
= Folgekurs =
# [[ABI LF - Natürlicher Logarithmus und Umkehrfunktionen]]
# [[ABI LF - Exponentialfunktionen modellieren]]
# [[ABI LF - Differentialgleichungen bei Wachstum und Zerfall]]
# [[ABI LF - Kurvendiskussion mit e-Funktionen]]
# [[ABI LF - Integralrechnung mit e-Funktionen]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==
{{MC}}
'''Welcher Näherungswert passt zur Eulerzahl?'''
(2,71828)
(!3,14159)
(!1,41421)
(!1,61803)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Ableitung besitzt die Funktion f mit f(x)=e^x?'''
(e^x)
(!x mal e hoch x)
(!ln x)
(!1 durch e hoch x)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Tangentensteigung hat e^x bei x=0?'''
(1)
(!0)
(!e)
(!2)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Grenzfolge führt zur Eulerzahl?'''
(1 plus 1 durch n hoch n)
(!1 minus 1 durch n hoch n)
(!n plus 1 durch n)
(!1 durch n hoch n)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Modellgleichung beschreibt konstante relative Änderungsrate?'''
(y Strich gleich k mal y)
(!y Strich gleich k plus y)
(!y Strich gleich k durch y)
(!y Strich gleich y plus t)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Funktion löst y Strich gleich k mal y?'''
(y null mal e hoch k t)
(!y null plus k t)
(!k mal t hoch zwei)
(!e hoch y null t)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welcher Faktor tritt beim Ableiten von a hoch x zusätzlich auf?'''
(ln a)
(!a)
(!1 durch a)
(!x)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche lineare Näherung gilt für kleine h?'''
(e hoch h ungefähr 1 plus h)
(!e hoch h ungefähr h)
(!e hoch h ungefähr 1 minus h)
(!e hoch h ungefähr h hoch zwei)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was ist bei einem kontinuierlichen Exponentialmodell konstant?'''
(relative momentane Änderungsrate)
(!absolute momentane Änderungsrate)
(!Bestand)
(!Tangentenwinkel)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Aussage beschreibt die Sonderstellung der Basis e?'''
(Funktion und Ableitung von e hoch x stimmen überein)
(!e hoch x ist linear)
(!e ist rational)
(!e hoch x hat bei Null den Wert Null)
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==
<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Eulerzahl || Basis der natürlichen Exponentialfunktion
|-
| Differentialgleichung || y Strich gleich k mal y
|-
| Relative Änderungsrate || Quotient aus Ableitung und Bestand
|-
| Stetige Verzinsung || Grenzmodell immer feinerer Verzinsung
|-
| Linearisierung || e hoch h ungefähr 1 plus h
|-
| Natürlicher Logarithmus || Umkehrfunktion der e-Funktion
|-
| Grenzfolge || Annäherung durch 1 plus 1 durch n hoch n
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==
<div class="lueckentext-quiz">
{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Tangentensteigung eins'''
| Basis e
|-
| '''Konstante relative Änderungsrate'''
| Exponentielles Modell
|-
| '''ln von a'''
| Ableitungsfaktor
|-
| '''e hoch k t'''
| Kontinuierliches Wachstum
|-
| '''1 plus x'''
| Tangente bei Null
|-
| '''Grenzwert'''
| Immer feinere Verzinsung
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==
<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Eulerzahl || Welche Konstante ist die besondere Basis der natürlichen Exponentialfunktion?
|-
| Tangente || Welche Gerade beschreibt die lokale lineare Annäherung eines Funktionsgraphen?
|-
| Grenzwert || Welcher Begriff bezeichnet den Zielwert einer konvergenten Folge?
|-
| Logarithmus || Welche Umkehroperation zur Exponentialfunktion wird beim Bestimmen von k benötigt?
|-
| Wachstum || Welcher Prozess liegt bei positiver Wachstumskonstante vor?
|-
| Ableitung || Welche Funktion beschreibt die momentane Änderungsrate?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==
<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+LF+Eulerzahl+e+mathematisch+einordnen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==
<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die Eulerzahl besitzt näherungsweise den Wert { 2,71828 }.
Die natürliche Exponentialfunktion ist gleich ihrer eigenen { Ableitung }.
Bei <math>x=0</math> hat der Graph die Tangentensteigung { 1 }.
Die Grenzfolge <math>(1+\frac{1}{n})^n</math> nähert sich der Zahl { e }.
Im Modell <math>y'=ky</math> ist die relative Änderungsrate { konstant }.
Für <math>a^x</math> entsteht beim Ableiten zusätzlich der Faktor { ln a }.
Die Tangente an <math>e^x</math> bei Null lautet <math>y=</math> { 1 plus x }.
</quiz>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Eulerzahl|Näherungswert visualisieren]]: Ordne <math>2{,}7</math>, <math>2{,}71</math>, <math>2{,}718</math> und <math>2{,}71828</math> auf einer Zahlengeraden ein.
# [[Tangente|Tangente zeichnen]]: Zeichne <math>y=e^x</math> und <math>y=1+x</math> gemeinsam und markiere den Berührpunkt.
# [[Exponentialfunktion|Basisvergleich]]: Vergleiche <math>2^x</math>, <math>e^x</math> und <math>3^x</math> grafisch.
# [[Grenzwert|Grenzfolge testen]]: Berechne <math>(1+\frac{1}{n})^n</math> für mindestens sechs wachsende Werte von <math>n</math>.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Differentialrechnung|Ableitung begründen]]: Leite aus <math>a^x=e^{x\ln a}</math> die Formel <math>(a^x)'=\ln(a)a^x</math> her.
# [[Wachstumsmodell|Daten modellieren]]: Erstelle plausible Daten, bestimme <math>y_0</math> und <math>k</math> und prüfe die Modellgüte.
# [[Verdopplungszeit|Verdopplungszeit]]: Leite <math>T_2=\frac{\ln 2}{k}</math> her.
# [[Fehleranalyse|Fehlerposter]]: Gestalte ein Lernposter zu vier typischen Fehlern mit e-Funktionen.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Differentialgleichung|Modellbeweis]]: Zeige durch Ableiten, dass <math>y(t)=Ce^{kt}</math> die Gleichung <math>y'=ky</math> erfüllt.
# [[Linearisierung|Lokale Approximation]]: Untersuche numerisch den Fehler von <math>e^x\approx 1+x</math> nahe Null.
# [[Modellkritik|Modellvergleich]]: Vergleiche <math>A_0q^t</math> und <math>A_0e^{kt}</math> und leite <math>k=\ln q</math> her.
# [[Mathematische Argumentation|Erklärvideo]]: Erstelle ein kurzes Video zur Sonderstellung der Basis <math>e</math>.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =
# [[Sonderstellung von e|Sonderstellung begründen]]: Zeige aus <math>f_a(x)=a^x</math>, warum genau eine Basis die Eigenschaft <math>f_a'=f_a</math> besitzt.
# [[Modelltransfer|Modelltransfer]]: Überführe <math>y_0\cdot 1{,}08^t</math> in die Form <math>y_0e^{kt}</math> und interpretiere <math>k</math>.
# [[Tangentenargument|Tangentenargument]]: Begründe, warum <math>1+x</math> die Tangente an <math>e^x</math> bei Null ist.
# [[Parameterbestimmung|Parameter bestimmen]]: Entwickle aus zwei Messpunkten ein Verfahren zur Bestimmung von <math>y_0</math> und <math>k</math>.
# [[Fehlerbewertung|Fehler bewerten]]: Prüfe die Aussage, eine kontinuierliche Rate von 5 Prozent bedeute nach einer Zeiteinheit exakt den Faktor <math>1{,}05</math>.
# [[Grenzwert und Modell|Grenzidee übertragen]]: Erkläre den Übergang von immer häufigerer Verzinsung zu <math>K(t)=K_0e^{rt}</math>.
# [[Werkzeugkritik|Digitale Ergebnisse prüfen]]: Lass ein digitales Werkzeug die Ableitung von <math>e^{x^2-3x}</math> bestimmen und prüfe sie vollständig von Hand.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =
# Näherungswert und exakten Wert von <math>e</math> unterscheiden.
# Die Grenzwertdarstellung von <math>e</math> inhaltlich deuten.
# <math>(e^x)'=e^x</math> und <math>(e^{kx})'=ke^{kx}</math> korrekt anwenden.
# <math>(a^x)'=\ln(a)a^x</math> herleiten.
# Modelle <math>y(t)=y_0e^{kt}</math> aufstellen und Parameter interpretieren.
# Absolute und relative Änderungsrate unterscheiden.
# Verdopplungs- und Halbwertszeit herleiten.
# Tangente, Grenzwert und Wachstum verknüpfen.
# Digitale und KI-erzeugte Ergebnisse mathematisch prüfen; sie ersetzen keinen Beweis.
# Die gültigen Hilfsmittelregeln des Prüfungsjahrgangs beachten.

<br>
<br>

{{BR}}
= Mediengestützte Vertiefung =
{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=agzWUsZgveI |500|center}}

'''Arbeitsauftrag:''' Stoppe vor jedem Ableitungsschritt und führe ihn selbst aus. Vergleiche erst danach.

'''Medienhinweis:''' Wikimedia-Commons-Dateien werden gemäß den Lizenzangaben auf den jeweiligen Dateiseiten genutzt. Bei eigenen Lernprodukten keine personenbezogenen Daten veröffentlichen.

{{BR}}
= OERs zum Thema =
<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl </iframe>

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =
{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Eulerzahl]]'''
# [[Exponentialfunktion]]
# [[Natürliche Exponentialfunktion]]
# [[Differentialrechnung]]
# [[Ableitung]]
# [[Tangente]]
# [[Grenzwert]]
# [[Exponentielles Wachstum]]
# [[Kontinuierliches Wachstum]]
# [[Differentialgleichung]]
# [[Natürlicher Logarithmus]]
# [[Modellierung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Exponentialfunktion]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Leistungsfach]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]

= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI LF - Eulerzahl e mathematisch einordnen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt