Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-28T15:59:11Z

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{{T}}
{{BR}}
= ABI LF - Den natürlichen Logarithmus verstehen =

'''Der natürliche Logarithmus''' <math>\ln(x)</math> ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion <math>e^x</math>. In diesem aiMOOC untersuchst Du Definitionsmenge, Wertemenge, Graph, Spiegelung an <math>y=x</math> und die Ableitung <math>(\ln x)'=\frac1x</math>. Ziel ist nicht bloß Rechnen, sondern begründetes Arbeiten auf Leistungsfach-Niveau.

[[Datei:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=1H1X12v7C8A |500|center}}

{{BR}}
== Lernziele ==
Nach dem Kurs kannst Du
# [[Umkehrfunktion|Umkehrfunktionen]] formal über vertauschte Definitions- und Wertemengen beschreiben.
# <math>\ln(x)</math> aus <math>e^x</math> als Spiegelung an <math>y=x</math> deuten.
# Definitionsmenge, Wertemenge, Nullstelle, Monotonie und Grenzverhalten von <math>\ln(x)</math> begründen.
# <math>(\ln x)'=\frac1x</math> aus der Umkehrregel herleiten und auf Verkettungen anwenden.
# mehrschrittige Abituraufgaben selbstständig modellieren, Verfahren auswählen und Ergebnisse prüfen.

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== Prüfungsbezug Baden-Württemberg ==
'''Stand: 28.09.2026.''' Für das allgemein bildende Gymnasium nennt der Facherlass zur Abiturprüfung 2027 im Leistungsfach Mathematik grundlegende Kenntnisse zu Umkehrfunktionen ausdrücklich als vorausgesetzt; dazu gehören Definitions- und Wertemenge, Graph und Funktionsterm. Die schriftliche Prüfung hat 300 Minuten Bearbeitungszeit einschließlich Auswahlzeit. Maßgeblich bleibt immer der Facherlass Deines konkreten Prüfungsjahrgangs.

'''Wichtig:''' GeoGebra, LearningApps, YouTube und andere Werkzeuge dieses Kurses sind '''Übungsmedien'''. Daraus folgt nicht, dass sie in einer Abiturprüfung als Hilfsmittel zugelassen sind. Für die Prüfung gelten ausschließlich die aktuellen amtlichen Vorgaben.

{{BR}}
= Kurzer Einstieg =
Die Exponentialfunktion beantwortet die Frage:

<math>x \longmapsto e^x</math>

Der natürliche Logarithmus stellt die Umkehrfrage:

<math>e^{\,?}=y</math>

und liefert

<math>\ln(y)=x \Longleftrightarrow e^x=y</math>.

[[Datei:Exponential function and logarithm.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Denkfrage:''' Warum darf bei <math>\ln(x)</math> kein <math>x\le 0</math> eingesetzt werden? Beantworte zuerst über die Wertemenge von <math>e^x</math>, nicht über eine auswendig gelernte Regel.

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== Vorwissen-Check ==
Löse ohne Taschenrechner.
# [[Exponentialfunktion]]: Bestimme <math>e^0</math> und <math>e^1</math>.
# [[Bijektivität]]: Erkläre, warum eine streng monoton steigende Funktion höchstens einen Urbildwert zu jedem Funktionswert besitzt.
# [[Umkehrfunktion]]: Was geschieht beim Übergang von <math>(a,b)</math> zu einem Punkt des Umkehrgraphen?
# [[Ableitung]]: Gib die Ableitung von <math>e^x</math> an.
# [[Kettenregel]]: Leite <math>e^{3x-2}</math> ab.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Kurzfeedback anzeigen'''
# <math>e^0=1</math>, <math>e^1=e</math>.
# Strenge Monotonie liefert Eindeutigkeit der Zuordnung.
# Die Koordinaten werden vertauscht: <math>(a,b)\mapsto(b,a)</math>.
# <math>(e^x)'=e^x</math>.
# <math>(e^{3x-2})'=3e^{3x-2}</math>.
</div>

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= Vom Exponentialgraphen zum Logarithmusgraphen =
Betrachte

<math>f:\mathbb R\to(0,\infty),\quad f(x)=e^x.</math>

<math>f</math> ist streng monoton steigend und nimmt jeden positiven Wert genau einmal an. Deshalb besitzt <math>f</math> die Umkehrfunktion

<math>f^{-1}:(0,\infty)\to\mathbb R,\quad f^{-1}(x)=\ln(x).</math>

Damit werden Definitions- und Wertemenge vertauscht:

<math>D_{e^x}=\mathbb R,\qquad W_{e^x}=(0,\infty)</math>

<math>D_{\ln}=(0,\infty),\qquad W_{\ln}=\mathbb R.</math>

[[Datei:Graph of ln x.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Spiegelung an <math>y=x</math> ==
Zu jedem Punkt

<math>P=(a,e^a)</math>

des Exponentialgraphen gehört auf dem Logarithmusgraphen

<math>P'=(e^a,a).</math>

Der Koordinatentausch ist geometrisch genau die Spiegelung an

<math>y=x.</math>

'''Spiegelanimation:''' Ziehe einen Punkt bzw. starte die Animation und beobachte, wie aus Exponential- und Logarithmusgraph Spiegelbilder werden.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/avnnn8q4 </iframe>

'''Zweite dynamische Sicht:''' Hier kannst Du eine Funktion an der ersten Winkelhalbierenden drehen und die Entstehung des Umkehrgraphen verfolgen.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/B4hxehCZ </iframe>

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== Merkpunkte am Graphen ==
<math>e^0=1 \Longleftrightarrow \ln(1)=0</math>

<math>e^1=e \Longleftrightarrow \ln(e)=1</math>

<math>\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty</math>

<math>\lim_{x\to\infty}\ln(x)=\infty</math>

Da <math>\frac1x>0</math> für <math>x>0</math>, ist <math>\ln(x)</math> streng monoton steigend.

[[Datei:Mplwp ln.svg|500px|rahmenlos|center]]

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= Die Ableitung verstehen =
Für Umkehrfunktionen gilt an passenden Stellen:

<math>(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}.</math>

Setze <math>f(x)=e^x</math>. Dann ist <math>f'(x)=e^x</math> und <math>f^{-1}(x)=\ln(x)</math>.

<div class="mw-collapsible">
'''Visueller Rechenweg'''
<math>(\ln x)'=\frac{1}{e^{\ln x}}</math>

<math>e^{\ln x}=x</math>

also

<math>(\ln x)'=\frac1x\qquad(x>0).</math>
</div>

Alternativ kannst Du implizit argumentieren:

<math>y=\ln(x)\Longleftrightarrow x=e^y.</math>

Ableiten nach <math>x</math> ergibt

<math>1=e^y\cdot y'</math>

und damit

<math>y'=\frac1{e^y}=\frac1x.</math>

[[Datei:F(x)=ln(x).png|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=SW5j-tnm2jc |500|center}}

{{BR}}
== Dynamisches Modell: Umkehrfunktion und Tangenten ==
Bewege den Punkt auf dem Ausgangsgraphen. Vergleiche die Tangentensteigungen von Funktion und Umkehrfunktion. Die Spiegelung erklärt, warum sich die Steigungen reziprok verhalten.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/A96QpKgB </iframe>

{{BR}}
= Interaktive Beispiele =

{{BR}}
== Beispiel 1: Gleichung umkehren ==
Löse

<math>\ln(x)=2.</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Schritt 1'''
Wende die Umkehrbeziehung an:
<math>x=e^2.</math>

'''Kontrolle'''
<math>\ln(e^2)=2.</math>
</div>

{{BR}}
== Beispiel 2: Spiegelpunkt ==
Auf <math>y=e^x</math> liegt

<math>P=(2,e^2).</math>

Der Spiegelpunkt an <math>y=x</math> ist

<math>P'=(e^2,2).</math>

Also liegt <math>P'</math> auf <math>y=\ln(x)</math>.

{{BR}}
== Beispiel 3: Definitionsmenge und Ableitung ==
Gegeben ist

<math>g(x)=\ln(3x-2).</math>

Zuerst muss das Argument positiv sein:

<math>3x-2>0\Longleftrightarrow x>\frac23.</math>

Dann folgt mit der Kettenregel:

<math>g'(x)=\frac{3}{3x-2}.</math>

'''Prüfreihenfolge:''' Definitionsmenge vor Ableitung.

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== Beispiel 4: Tangente ==
Für <math>f(x)=\ln(x)</math> am Punkt mit <math>x=e</math> gilt

<math>f(e)=1,\qquad f'(e)=\frac1e.</math>

Tangente:

<math>y-1=\frac1e(x-e)</math>

und damit

<math>y=\frac{x}{e}.</math>

{{BR}}
= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung A: Definitionsmenge ==
Bestimme die Definitionsmenge von

<math>f(x)=\ln(x-4).</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
Das Logarithmusargument muss positiv sein.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<math>x-4>0\Longleftrightarrow x>4</math>. Also <math>D_f=(4,\infty)</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung B: Umkehrfunktion ==
Bestimme die Umkehrfunktion von

<math>f(x)=e^{2x}.</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
Setze <math>y=e^{2x}</math>, logarithmiere und löse nach <math>x</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<math>\ln(y)=2x</math>, also <math>x=\frac12\ln(y)</math>. Daher <math>f^{-1}(x)=\frac12\ln(x)</math> für <math>x>0</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung C: Verkettung ==
Untersuche

<math>h(x)=\ln(x^2-1)</math>

auf Definitionsmenge und Ableitung.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
Löse zuerst <math>x^2-1>0</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<math>D_h=(-\infty,-1)\cup(1,\infty)</math> und <math>h'(x)=\frac{2x}{x^2-1}</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung D: Begründungsaufgabe ==
Zeige für <math>x>0</math>:

<math>\ln(x)\le x-1.</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
Untersuche <math>q(x)=x-1-\ln(x)</math> auf Extremstellen.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<math>q'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}</math>. Die Funktion fällt auf <math>(0,1)</math> und steigt auf <math>(1,\infty)</math>. Somit besitzt sie bei <math>x=1</math> ihr Minimum. Weil <math>q(1)=0</math>, gilt <math>q(x)\ge0</math>.
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =
Prüfe jeweils die Behauptung und korrigiere sie.

# '''Fehler:''' <math>\ln(-2)</math> sei eine reelle Zahl. '''Korrektur:''' <math>D_{\ln}=(0,\infty)</math>.
# '''Fehler:''' <math>\ln(a+b)=\ln(a)+\ln(b)</math>. '''Korrektur:''' Eine solche Summenregel gibt es nicht.
# '''Fehler:''' Die Umkehrfunktion sei <math>\frac1{f(x)}</math>. '''Korrektur:''' Umkehrfunktion und Kehrwertfunktion sind verschiedene Begriffe.
# '''Fehler:''' <math>(\ln(g(x)))'=\frac1{g(x)}</math>. '''Korrektur:''' Mit Kettenregel gilt <math>(\ln(g(x)))'=\frac{g'(x)}{g(x)}</math>, sofern <math>g(x)>0</math>.
# '''Fehler:''' <math>\ln(x^2)=2\ln(x)</math> für alle <math>x\ne0</math>. '''Korrektur:''' Allgemein gilt <math>\ln(x^2)=2\ln|x|</math> für <math>x\ne0</math>.

{{BR}}
= Transfer: Modellieren mit <math>\ln</math> =
Ein Modell habe die Form

<math>N(t)=N_0e^{-kt}</math>

mit <math>N_0>0</math> und <math>k>0</math>. Soll der Zeitpunkt bestimmt werden, zu dem ein Anteil <math>r</math> mit <math>0<r<1</math> übrig ist, setze

<math>N(t)=rN_0.</math>

Dann

<math>r=e^{-kt}</math>

und nach Logarithmieren

<math>\ln(r)=-kt.</math>

Somit

<math>t=-\frac{\ln(r)}{k}.</math>

'''Transferfrage:''' Begründe, warum <math>t>0</math> gilt, obwohl vor dem Bruch ein Minuszeichen steht.

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= Selbstkontrolle =
Markiere erst nach eigener Begründung:
# □ Ich kann aus <math>e^a=b</math> die äquivalente Logarithmusgleichung bilden.
# □ Ich kann Definitions- und Wertemenge von <math>e^x</math> und <math>\ln(x)</math> sicher vertauschen.
# □ Ich kann die Spiegelung an <math>y=x</math> mit Koordinatentausch erklären.
# □ Ich kann <math>(\ln x)'=\frac1x</math> herleiten.
# □ Ich prüfe bei <math>\ln(g(x))</math> zuerst <math>g(x)>0</math>.
# □ Ich kann einen Logarithmus in einem mehrschrittigen Modell gezielt zum Auflösen einer Exponentialgleichung verwenden.

{{BR}}
= Kompetenzcheck Leistungsfach =
# [[Begründen]]: Erkläre ohne Graphik, warum <math>\ln</math> auf <math>(0,\infty)</math> streng monoton steigt.
# [[Darstellen]]: Skizziere <math>e^x</math>, <math>\ln(x)</math> und <math>y=x</math> in ein gemeinsames Koordinatensystem und markiere zwei Spiegelpunktpaare.
# [[Analysieren]]: Bestimme für <math>f(x)=\ln(2x+5)</math> Definitionsmenge, Nullstelle und Ableitung.
# [[Beweisen]]: Leite die Ableitung von <math>\ln(x)</math> über die Ableitung der Umkehrfunktion her.
# [[Modellieren]]: Formuliere zu einem exponentiellen Abklingmodell eine Frage, deren Lösung einen Logarithmus erfordert, und löse sie symbolisch.
# [[Bewerten]]: Prüfe eine KI-Lösung zu einer Logarithmusaufgabe Zeile für Zeile auf Definitionsmenge, Äquivalenzumformungen und Ableitung. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.

{{BR}}
= Reflexion =
# [[Grundidee]]: Welche Aussage verbindet Exponentialfunktion und natürlichen Logarithmus am stärksten?
# [[Graphisches Denken]]: Was wird durch die Spiegelung an <math>y=x</math> sichtbar, das eine reine Termumformung leicht verdeckt?
# [[Strategiewahl]]: In welcher Aufgabensorte würdest Du eher über Umkehrfunktionen, in welcher eher über Logarithmusgesetze argumentieren?
# [[Prüfungspraxis]]: Welche Deiner Lösungszeilen wäre für eine Korrektur noch zu knapp begründet?

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Definitionsmenge hat die natürliche Logarithmusfunktion?'''
(Alle positiven reellen Zahlen)
(!Alle reellen Zahlen)
(!Alle nichtnegativen reellen Zahlen)
(!Alle reellen Zahlen außer null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Wertemenge hat die natürliche Logarithmusfunktion?'''
(Alle reellen Zahlen)
(!Alle positiven reellen Zahlen)
(!Alle nichtnegativen reellen Zahlen)
(!Nur Zahlen größer als eins)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von <math>e^x</math>?'''
(Der natürliche Logarithmus)
(!Die Kehrwertfunktion)
(!Die Quadratfunktion)
(!Die Betragsfunktion)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''An welcher Geraden spiegeln sich die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion?'''
(An der Geraden y gleich x)
(!An der x Achse)
(!An der y Achse)
(!An der Geraden y gleich minus x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Wert hat <math>\ln(1)</math>?'''
(Null)
(!Eins)
(!e)
(!Nicht definiert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Wert hat <math>\ln(e)</math>?'''
(Eins)
(!Null)
(!e)
(!Minus eins)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet die Ableitung von <math>\ln(x)</math>?'''
(Eins durch x)
(!ln von x)
(!e hoch x)
(!x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Bedingung muss bei <math>\ln(g(x))</math> gelten?'''
(Das Argument g von x muss positiv sein)
(!Das Argument g von x muss negativ sein)
(!Das Argument g von x muss eine ganze Zahl sein)
(!Das Argument g von x muss größer als eins sein)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht mit einem Punkt beim Übergang zum Umkehrgraphen?'''
(Seine Koordinaten werden vertauscht)
(!Beide Koordinaten werden negiert)
(!Nur die x Koordinate wird negiert)
(!Nur die y Koordinate wird verdoppelt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage folgt aus der Umkehrbeziehung?'''
(ln von e hoch x ist x)
(!ln von x ist e hoch x)
(!e hoch x ist eins durch x)
(!ln von x ist x für alle positiven x)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==
<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Natürlicher Logarithmus || Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion
|-
| Definitionsmenge || Positive reelle Zahlen
|-
| Wertemenge || Alle reellen Zahlen
|-
| Spiegelachse || Erste Winkelhalbierende
|-
| Ableitung || Kehrwert des Arguments x
|-
| Nullstelle || Argument eins
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==
<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Positive reelle Zahlen'''
| Definitionsmenge des Logarithmus
|-
| '''Alle reellen Zahlen'''
| Wertemenge des Logarithmus
|-
| '''Erste Winkelhalbierende'''
| Spiegelgerade der Umkehrgraphen
|-
| '''Koordinatentausch'''
| Punktabbildung zur Umkehrfunktion
|-
| '''Kehrwertfunktion'''
| Form der Ableitung
|-
| '''Exponentialfunktion'''
| Ausgangsfunktion der Umkehrung
|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==
<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Logarithmus || Wie heißt die Umkehrung einer Exponentialrechnung?
|-
| Exponentialfunktion || Welche Funktion wird durch den natürlichen Logarithmus umgekehrt?
|-
| Umkehrfunktion || Wie nennt man eine Funktion, die eine eindeutige Zuordnung rückgängig macht?
|-
| Definitionsmenge || Wie heißt die Menge der zulässigen Eingabewerte?
|-
| Ableitung || Welcher Begriff beschreibt die lokale Änderungsrate einer Funktion?
|-
| Spiegelung || Welche geometrische Operation verbindet Funktionsgraph und Umkehrgraph?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==
<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+LF+-+Den+nat%C3%BCrlichen+Logarithmus+verstehen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==
<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die natürliche Logarithmusfunktion ist die { Umkehrfunktion } der natürlichen Exponentialfunktion. Ihre Definitionsmenge besteht aus den { positiven } reellen Zahlen. Ihre Wertemenge ist die Menge aller { reellen } Zahlen. Der Graph entsteht durch Spiegelung des Exponentialgraphen an der Geraden { y=x }. Es gilt <math>\ln(1)</math> gleich { 0 }. Außerdem gilt <math>\ln(e)</math> gleich { 1 }. Die Ableitung von <math>\ln(x)</math> ist { 1/x }. Bei einer Verkettung <math>\ln(g(x))</math> muss das Argument { positiv } sein. Beim Bilden einer Umkehrfunktion werden Definitionsmenge und { Wertemenge } vertauscht.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Spiegelpunkte]]: Zeichne <math>e^x</math> und <math>\ln(x)</math>, markiere drei Punktpaare und verbinde jedes Paar mit seiner Spiegelung an <math>y=x</math>.
# [[Definitionsmenge]]: Erstelle fünf eigene Terme der Form <math>\ln(g(x))</math> und bestimme jeweils die zulässigen x-Werte.
# [[Erklärkarte]]: Gestalte eine kompakte Lernkarte mit <math>D_{\ln}</math>, <math>W_{\ln}</math>, <math>\ln(1)</math>, <math>\ln(e)</math> und <math>(\ln x)'</math>.
# [[Fehlersuche]]: Formuliere zwei typische falsche Aussagen zum Logarithmus und korrigiere sie mit Begründung.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[GeoGebra-Untersuchung]]: Nutze die Spiegelanimation, protokolliere vier Punktpaare und formuliere eine Regel für den Koordinatentausch.
# [[Tangentenvergleich]]: Vergleiche an zwei Spiegelpunkten die Tangentensteigungen von <math>e^x</math> und <math>\ln(x)</math> und erkläre den reziproken Zusammenhang.
# [[Ableitungskette]]: Erfinde drei Funktionen der Form <math>\ln(g(x))</math>, leite sie ab und prüfe jeweils die Definitionsmenge.
# [[Modellierungsaufgabe]]: Entwickle eine reale oder fiktive exponentielle Abkling-Situation und bestimme symbolisch den Zeitpunkt für einen vorgegebenen Restanteil.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Beweis der Ungleichung]]: Beweise <math>\ln(x)\le x-1</math> für <math>x>0</math> mit einer geeigneten Hilfsfunktion und deute die Gleichheit.
# [[Umkehrregel]]: Leite allgemein die Formel für die Ableitung einer Umkehrfunktion her und wende sie anschließend auf <math>e^x</math> an.
# [[Parameteranalyse]]: Untersuche <math>f_a(x)=\ln(x-a)</math> in Abhängigkeit von <math>a</math> hinsichtlich Definitionsmenge, Nullstelle, Graphverschiebung und Ableitung.
# [[KI-Prüfung]]: Lass eine KI eine mehrschrittige Logarithmusaufgabe lösen, dokumentiere die Ausgabe ohne personenbezogene Daten und überprüfe jede mathematische Aussage selbstständig. Kennzeichne mindestens eine Stelle, an der eine Begründung erforderlich ist.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =
# [[Zusammenhang Umkehrfunktion und Graph]]: Erkläre, warum aus der Wertemenge <math>(0,\infty)</math> von <math>e^x</math> die Definitionsmenge von <math>\ln(x)</math> folgt.
# [[Ableitung begründen]]: Leite <math>(\ln x)'=\frac1x</math> her, ohne die Regel als gegeben zu verwenden.
# [[Strategieentscheidung]]: Löse <math>e^{2x-1}=7</math> und begründe, an welcher Stelle der natürliche Logarithmus das passende Verfahren ist.
# [[Fehlerdiagnose]]: Beurteile die Lösung <math>\ln(x^2)=2\ln(x)</math> für <math>x<0</math> und korrigiere sie.
# [[Transfer]]: Zeige, wie sich aus <math>N(t)=N_0e^{-kt}</math> eine Formel für den Zeitpunkt ableiten lässt, zu dem ein beliebiger positiver Restanteil erreicht wird.
# [[Beweiskontrolle]]: Prüfe, ob eine vorgelegte Argumentation zur Monotonie von <math>\ln(x)</math> Definitionsmenge, Vorzeichen der Ableitung und Schlussfolgerung vollständig verbindet.

{{BR}}
= Lernnachweis =
Für einen Lernnachweis solltest Du nachweisen können:
# die Umkehrbeziehung <math>e^x\leftrightarrow\ln(x)</math> formal und graphisch zu erklären.
# Definitionsmenge und Wertemenge sicher zu bestimmen und zu begründen.
# Spiegelpunkte an <math>y=x</math> korrekt zu konstruieren.
# <math>(\ln x)'=\frac1x</math> herzuleiten und die Kettenregel bei <math>\ln(g(x))</math> anzuwenden.
# logarithmische Gleichungen in mehrschrittigen Modellierungsaufgaben sinnvoll einzusetzen.
# fehlerhafte Rechenwege und KI-Ausgaben mathematisch zu prüfen.
# Lösungen so zu dokumentieren, dass Annahmen, Umformungen und Begründungen nachvollziehbar sind.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =
[[Datei:Logarithm plots.png|500px|rahmenlos|center]]

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrlicher_Logarithmus </iframe>

{{BR}}
== Weitere freie und interaktive Medien ==
'''Wikimedia Commons:''' Die eingebundenen Dateien verweisen auf ihre jeweilige Commons-Dateiseite mit Lizenz- und Urheberinformationen.

'''GeoGebra:''' Die eingebetteten Modelle dienen zum Erkunden von Spiegelung, Umkehrfunktion und Tangenten.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=hQ9bTFmUGYA |500|center}}

{{BR}}
= Folgekurs =
Als nächster Schritt bietet sich an:

# [[ABI LF - Logarithmusfunktionen anwenden]]: Gleichungen, Logarithmusgesetze, Kurvendiskussion und Modellierung.
# [[ABI LF - Exponentialgleichungen lösen]]: Exponentialmodelle systematisch mit <math>\ln</math> umformen.
# [[ABI LF - Umkehrfunktionen und ihre Ableitungen]]: allgemeine Theorie und Beweise auf Leistungsfach-Niveau.

{{BR}}
= Quellen und Prüfungsbezug =
# [https://km.baden-wuerttemberg.de/fileadmin/redaktion/m-km/intern/PDF/Dateien/Gymnasium/Dokumente_Abitur/Abitur_2027/Abitur_2027_Facherlass_Stand_7725.pdf Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg: Facherlass Abitur 2027, Mathematik]
# [https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg: Termine und Informationen zum Abitur]
# [https://www.geogebra.org/m/avnnn8q4 GeoGebra: Inverse of the Exponential Function]
# [https://www.geogebra.org/m/A96QpKgB GeoGebra: Umkehrfunktionen und deren Ableitungen]

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =
{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Natürlicher Logarithmus]]'''
# [[Exponentialfunktion]]
# [[Umkehrfunktion]]
# [[Logarithmusfunktion]]
# [[Definitionsmenge]]
# [[Wertemenge]]
# [[Ableitung]]
# [[Kettenregel]]
# [[Kurvendiskussion]]
# [[Exponentialgleichung]]
# [[Modellierung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Gymnasium]]
[[Kategorie:Leistungsfach]]
[[Kategorie:Oberstufe]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI LF - Den natürlichen Logarithmus verstehen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt