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2026-09-28T21:46:10Z

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{{T}}

{{BR}}
= Einleitung =
'''ABI - Vektoren addieren und skalieren'''

Vektorrechnung verbindet '''Algebra''' und '''Geometrie''': Du rechnest komponentenweise und deutest dasselbe Ergebnis als Pfeil, Verschiebung, Parallelogrammdiagonale oder Vektorkette. In diesem kompakten Kurs arbeitest Du besonders mit <math>\vec a+\vec b</math>, <math>\lambda\vec a</math> und Linearkombinationen <math>\alpha\vec a+\beta\vec b</math> in Ebene und Raum.

[[Datei:Vector add scale.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Zielgruppe:''' Kursstufe, Mathematik-Abitur Baden-Württemberg. Der gemeinsame Kern ist für Basisfach und Leistungsfach geeignet. Im '''Basisfach''' liegt der Schwerpunkt auf sicheren Verfahren, Darstellungswechseln und anschaulicher Argumentation. Im '''Leistungsfach''' kommen vertiefte Formalisierung, Begründungen, Parameterfragen und räumliche Modellierung hinzu.

'''Prüfungshinweis:''' Prüfe für Deinen konkreten Prüfungsjahrgang immer den aktuellen Facherlass und die offiziellen Abiturhinweise Baden-Württembergs. Digitale Applets, GeoGebra und KI sind Lernwerkzeuge; daraus folgt nicht, dass sie in der Abiturprüfung als Hilfsmittel zugelassen sind. Für den Prüfungsjahrgang 2027 steht ein offizieller Leitfaden des Kultusministeriums bereit.

'''KI-Hinweis:''' Prüfe KI-Ausgaben mathematisch: Komponentenrechnung, Vorzeichen, Faktor, Richtung und geometrische Plausibilität müssen zusammenpassen. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen Beweis und keine eigene Begründung.

{{BR}}
== Lernziele ==
Nach diesem aiMOOC kannst Du:
# [[Vektoraddition|Vektoren addieren]]: Komponenten sicher addieren und das Ergebnis mit Ketten- und Parallelogrammmodell erklären.
# [[Skalare Multiplikation|Vektoren skalieren]]: die Wirkung eines Skalars auf Länge und Richtung beschreiben.
# [[Linearkombination|Linearkombinationen]]: Terme der Form <math>\alpha\vec a+\beta\vec b</math> berechnen und räumlich deuten.
# [[Darstellungswechsel|Darstellungen wechseln]]: algebraische Rechnung, Pfeilbild und räumliche Bedeutung miteinander verbinden.
# [[Mathematische Argumentation|Begründen]]: Rechenwege nachvollziehbar machen und Fehler systematisch prüfen.

{{BR}}
== Vorwissen-Check ==
Du solltest Koordinaten lesen, negative Zahlen sicher rechnen und Vektoren als geordnete Tupel kennen.

<quiz display=simple>
{'''Kurzcheck: Ergänze die fehlenden Werte.'''<br>
|type="{}"}
Für <math>\vec a=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}</math> und <math>\vec b=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}</math> ist die erste Komponente von <math>\vec a+\vec b</math> { 5 }.<br>
Der Faktor <math>-1</math> erzeugt zu <math>\vec a</math> den { Gegenvektor }.<br>
Der Vektor mit lauter Nullkomponenten heißt { Nullvektor }.
</quiz>

Wenn Dir hier etwas fehlt, wiederhole zuerst [[Vektor|Vektor]], [[Koordinatensystem|Koordinatensystem]] und [[Negative Zahlen|Rechnen mit negativen Zahlen]].

{{BR}}
= Vektoren addieren =

{{BR}}
== Algebraisches Modell ==
Vektoren gleicher Dimension werden '''komponentenweise''' addiert:

<math>
\begin{pmatrix}
a_1\\a_2\\a_3
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
b_1\\b_2\\b_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3
\end{pmatrix}.
</math>

'''Beispiel'''

<math>
\vec a=
\begin{pmatrix}
2\\-1\\3
\end{pmatrix},
\qquad
\vec b=
\begin{pmatrix}
-1\\4\\1
\end{pmatrix}
</math>

Schritt 1 → erste Komponenten: <math>2+(-1)=1</math><br>
Schritt 2 → zweite Komponenten: <math>-1+4=3</math><br>
Schritt 3 → dritte Komponenten: <math>3+1=4</math><br>
Ergebnis → <math>\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}</math>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=Y28Zv_D4PdU |500|center}}

{{BR}}
== Kettenmodell: Spitze an Schaft ==
Geometrisch darf ein freier Vektor parallel verschoben werden, ohne seine Länge und Richtung zu ändern. Lege deshalb die Spitze von <math>\vec a</math> an den Schaft von <math>\vec b</math>. Der Pfeil vom Startpunkt bis zum Endpunkt ist <math>\vec a+\vec b</math>.

<math>\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}</math>

[[Datei:Vector triangle.svg|420px|rahmenlos|center]]

Für mehrere Vektoren entsteht eine '''Vektorkette''':

<math>\vec a+\vec b+\vec c</math>

[[Datei:Three vector addition.svg|460px|rahmenlos|center]]

'''Denkfrage:''' Warum ist eine geschlossene Vektorkette ein Hinweis auf den Nullvektor? Beschreibe die Antwort zuerst am Pfeilbild und dann algebraisch.

{{BR}}
== Parallelogrammmodell ==
Starte <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> am selben Punkt. Ergänze beide Pfeile zu einem Parallelogramm. Die Diagonale vom gemeinsamen Startpunkt ist der Summenvektor.

[[Datei:Vectors addition parallelogram el.svg|500px|rahmenlos|center]]

Das Modell macht das Kommutativgesetz sichtbar:

<math>\vec a+\vec b=\vec b+\vec a</math>

'''Interaktives Modell:''' Verschiebe die Pfeile und beobachte, wie sich die Diagonale verändert.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/ONSNthFi </iframe>

{{BR}}
== Interaktives Beispiel Addition ==
Gegeben sind <math>\vec u=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}</math> und <math>\vec v=\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}</math>.

'''Vorhersage:''' Zeichne zuerst nur grob, wohin <math>\vec u+\vec v</math> zeigen müsste.

'''Rechenweg:'''

<math>
\vec u+\vec v
=
\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}3-2\\1+4\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}.
</math>

'''Feedback:''' Zeigt Deine Skizze nach rechts und deutlich nach oben, passt sie qualitativ zum Ergebnis <math>\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}</math>. Zeigt sie nach links, prüfe besonders das Vorzeichen in der ersten Komponente.

{{BR}}
= Vektoren skalieren =

{{BR}}
== Rechenregel ==
Ein Skalar ist hier eine reelle Zahl <math>\lambda</math>. Beim Skalieren wird jede Komponente mit <math>\lambda</math> multipliziert:

<math>
\lambda
\begin{pmatrix}
a_1\\a_2\\a_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\lambda a_1\\\lambda a_2\\\lambda a_3
\end{pmatrix}.
</math>

[[Datei:Scalar multiplication of vectors.svg|430px|rahmenlos|center]]

Für die Länge gilt:

<math>|\lambda\vec a|=|\lambda|\cdot|\vec a|</math>

Für die Richtung gilt:
# <math>\lambda>0</math>: gleiche Richtung.
# <math>\lambda<0</math>: entgegengesetzte Richtung.
# <math>\lambda=0</math>: Ergebnis ist der Nullvektor.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=l2ETAUcJjWA |500|center}}

{{BR}}
== Dynamische Streckung und Richtungswechsel ==
Bewege den Schieberegler für den Skalar. Beobachte besonders die Übergänge bei <math>\lambda=1</math>, <math>0<\lambda<1</math>, <math>\lambda=0</math> und <math>\lambda<0</math>.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/HYZXHadK </iframe>

'''Mini-Aufgabe:''' Wähle einen Vektor <math>\vec a</math> und beschreibe ohne Rechnung, wie <math>2\vec a</math>, <math>\frac12\vec a</math>, <math>-\vec a</math> und <math>0\vec a</math> aussehen. Prüfe danach im Applet.

{{BR}}
== Schritt-für-Schritt-Beispiel ==
Mit <math>\vec a=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}</math> gilt:

<math>
-2\vec a
=
-2\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}-4\\2\\-6\end{pmatrix}.
</math>

Visuelle Kontrolle → Der Ergebnisvektor ist doppelt so lang wie <math>\vec a</math> und zeigt in die Gegenrichtung.

{{BR}}
= Linearkombinationen räumlich verstehen =

{{BR}}
== Vom Rechenterm zur Geometrie ==
Eine Linearkombination zweier Vektoren hat die Form

<math>\vec x=\alpha\vec a+\beta\vec b</math>

mit Skalaren <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math>.

'''Geometrische Lesart:'''
# Skaliere <math>\vec a</math> mit <math>\alpha</math>.
# Skaliere <math>\vec b</math> mit <math>\beta</math>.
# Addiere die beiden neuen Pfeile mit Ketten- oder Parallelogrammmodell.

Sind <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> nicht parallel, erzeugen ihre Linearkombinationen in <math>\mathbb R^3</math> eine Ebene durch den Ursprung. Sind sie parallel, bleiben alle Linearkombinationen auf einer Geraden durch den Ursprung.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=olCq_BEN8ZY |500|center}}

<iframe> https://www.geogebra.org/m/ZKEN2eDj </iframe>

{{BR}}
== Durchgerechnetes Beispiel ==
Gegeben:

<math>
\vec a=
\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix},
\qquad
\vec b=
\begin{pmatrix}-1\\4\\1\end{pmatrix}.
</math>

Gesucht ist <math>2\vec a-\frac12\vec b</math>.

Schritt 1 → <math>2\vec a=\begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix}</math><br>
Schritt 2 → <math>-\frac12\vec b=\begin{pmatrix}\frac12\\-2\\-\frac12\end{pmatrix}</math><br>
Schritt 3 → addieren:

<math>
2\vec a-\frac12\vec b
=
\begin{pmatrix}
\frac92\\-4\\\frac{11}{2}
\end{pmatrix}.
</math>

'''Plausibilitätscheck:''' Das Minus vor <math>\frac12\vec b</math> kehrt die Richtung von <math>\vec b</math> um. Wer nur „durch zwei teilt“, aber den Richtungswechsel vergisst, erhält geometrisch ein falsches Bild.

{{BR}}
== Basisfach und Leistungsfach ==
'''Basisfach:''' Erkläre zu jeder Rechnung die zugehörige Pfeiloperation. Nutze Ketten- und Parallelogrammmodell, kontrolliere Vorzeichen und interpretiere Linearkombinationen anschaulich.

'''Leistungsfach:''' Begründe zusätzlich strukturell. Untersuche zum Beispiel, welche Punktmenge durch <math>\alpha\vec a+\beta\vec b</math> entsteht, wie sich Parameterbedingungen auswirken und wann verschiedene Linearkombinationen dieselbe Richtung oder denselben Punkt erzeugen. Verknüpfe das mit [[Lineare Unabhängigkeit|linearer Unabhängigkeit]], [[Ebene|Ebenen]] und [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystemen]].

{{BR}}
= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung A: Addition ==
Berechne

<math>
\begin{pmatrix}4\\-3\\2\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}-5\\1\\6\end{pmatrix}.
</math>

'''Hilfe 1:''' Rechne jede Zeile getrennt.<br>
'''Hilfe 2:''' Achte bei <math>4+(-5)</math> auf das Vorzeichen.<br>
'''Feedback:''' Du solltest <math>\begin{pmatrix}-1\\-2\\8\end{pmatrix}</math> erhalten. Zeichne anschließend eine Pfeilkette als geometrische Kontrolle.

{{BR}}
== Übung B: Skalieren ==
Berechne

<math>
-\frac32
\begin{pmatrix}
2\\-4\\6
\end{pmatrix}.
</math>

'''Hilfe:''' Multipliziere zuerst mit <math>3</math>, teile dann durch <math>2</math> und beachte das Minus.<br>
'''Feedback:''' Ergebnis: <math>\begin{pmatrix}-3\\6\\-9\end{pmatrix}</math>. Der Pfeil ist um den Faktor <math>\frac32</math> verlängert und umgekehrt orientiert.

{{BR}}
== Übung C: Linearkombination ==
Mit <math>\vec p=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}</math> und <math>\vec q=\begin{pmatrix}0\\-1\\3\end{pmatrix}</math> berechne <math>3\vec p+2\vec q</math>.

'''Hilfe:''' Skaliere zuerst beide Vektoren getrennt.<br>
'''Feedback:''' <math>3\vec p=\begin{pmatrix}3\\6\\0\end{pmatrix}</math>, <math>2\vec q=\begin{pmatrix}0\\-2\\6\end{pmatrix}</math>, also <math>3\vec p+2\vec q=\begin{pmatrix}3\\4\\6\end{pmatrix}</math>.

{{BR}}
== Übung D: Räumliche Deutung ==
Zwei nicht parallele Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> starten im Ursprung. Beschreibe die Menge aller Vektoren <math>s\vec a+t\vec b</math>.

'''Hilfe:''' Variiere zuerst nur <math>s</math>, dann nur <math>t</math>.<br>
'''Feedback:''' Jeder einzelne Parameter erzeugt eine Richtung. Zusammen entstehen bei nicht parallelen Vektoren alle Punkte einer Ebene durch den Ursprung.

{{BR}}
= Fehleranalyse =

{{BR}}
== Typische Fehlerbilder ==
# [[Vorzeichenfehler|Vorzeichenfehler]]: Bei <math>-2\vec a</math> wird die Länge verdoppelt, aber der Richtungswechsel übersehen.
# [[Komponentenfehler|Komponentenfehler]]: Komponenten werden „über Kreuz“ statt positionsgleich addiert.
# [[Pfeiladdition|Falsche Pfeiladdition]]: Im Kettenmodell werden beide Pfeile am selben Startpunkt gezeichnet, ohne anschließend die Parallelogrammdiagonale zu verwenden.
# [[Skalar|Falsches Skalieren]]: Der Faktor wird nur auf eine Komponente angewandt.
# [[Linearkombination|Ungeprüfte Linearkombination]]: Ein algebraisches Ergebnis wird akzeptiert, obwohl das Pfeilbild in eine unplausible Richtung zeigt.

'''Fehlerdetektiv:'''

Eine Lösung behauptet:

<math>
-2\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}-2\\-6\end{pmatrix}.
</math>

Finde den Fehler und korrigiere ihn. Richtig ist <math>\begin{pmatrix}-2\\6\end{pmatrix}</math>, weil auch die zweite Komponente mit <math>-2</math> multipliziert wird.

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

{{BR}}
== Drei-Sekunden-Checks ==
Vor dem Weiterrechnen prüfst Du:
# Addition → gleiche Komponentenpositionen zusammen?
# Skalierung → Faktor auf jede Komponente angewandt?
# Negativer Skalar → Richtungswechsel berücksichtigt?
# Linearkombination → erst skalieren, dann addieren?
# Geometrie → Pfeilbild qualitativ passend zum Rechenergebnis?

{{BR}}
== Interaktiver Selbsttest ==
<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
| '''Komponentenweise'''
| So werden Vektoren addiert.
|-
| '''Parallelogramm'''
| Gemeinsamer Startpunkt beider Summanden.
|-
| '''Gegenrichtung'''
| Wirkung eines negativen Skalars.
|-
| '''Nullvektor'''
| Ergebnis von <math>0\vec a</math>.
|-
| '''Ebene'''
| Menge von <math>s\vec a+t\vec b</math> bei zwei nicht parallelen Vektoren im Raum.
|}
{{E}}
</div>

{{BR}}
= Transfer =

{{BR}}
== Bewegungen und Kräfte ==
Eine Drohne führt nacheinander zwei Verschiebungen aus:

<math>
\vec d_1=
\begin{pmatrix}
4\\1\\2
\end{pmatrix},
\qquad
\vec d_2=
\begin{pmatrix}
-1\\3\\-2
\end{pmatrix}.
</math>

Gesamtverschiebung:

<math>
\vec d_1+\vec d_2
=
\begin{pmatrix}
3\\4\\0
\end{pmatrix}.
</math>

Interpretation: Die Höhenänderungen <math>2</math> und <math>-2</math> heben sich auf. Die Drohne endet auf derselben Höhe, obwohl beide Teilbewegungen räumlich waren.

'''Transferfrage:''' Wie müsste ein dritter Vektor <math>\vec d_3</math> aussehen, damit die gesamte Vektorkette geschlossen ist?

Lösungsidee: <math>\vec d_3=-(\vec d_1+\vec d_2)=\begin{pmatrix}-3\\-4\\0\end{pmatrix}</math>.

{{BR}}
== Physikalische Resultierende ==
Bei Kräften mit gemeinsamem Angriffspunkt kann die Vektoraddition die resultierende Kraft beschreiben. Das Parallelogrammmodell verbindet dabei direkt geometrische Konstruktion und algebraische Addition.

[[Datei:Vector addition.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Kompetenzcheck =
Bewerte Dich nach jeder Aussage mit „sicher“, „teilweise“ oder „noch üben“:
# Ich kann <math>\vec a+\vec b</math> algebraisch und geometrisch bestimmen.
# Ich kann Kettenmodell und Parallelogrammmodell voneinander unterscheiden.
# Ich kann die Wirkung von <math>\lambda</math> auf Länge und Richtung eines Vektors erklären.
# Ich kann <math>\alpha\vec a+\beta\vec b</math> berechnen und räumlich interpretieren.
# Ich kann einen fehlerhaften Rechenweg mit einer geometrischen Plausibilitätskontrolle prüfen.
# '''Leistungsfach:''' Ich kann begründen, wann zwei Richtungsvektoren eine Ebene aufspannen.

{{BR}}
= Reflexion =
# Welche Darstellung hilft Dir bei Vorzeichenfehlern mehr: Komponentenrechnung oder Pfeilbild? Begründe.
# Wann ist das Parallelogrammmodell übersichtlicher als die Vektorkette?
# Welche Information liefert der Betrag <math>|\lambda|</math>, welche das Vorzeichen von <math>\lambda</math>?
# Wie würdest Du einer anderen Person erklären, warum zwei nicht parallele Richtungen eine Ebene erzeugen?

{{BR}}
= Folgekurs =
Als nächster Schritt bietet sich [[ABI - Geraden mit Vektoren beschreiben]] an. Dort wird aus der Idee „Startpunkt plus skalierte Richtung“ die Parameterform

<math>\vec x=\vec p+t\vec v</math>.

Danach folgen [[Lineare Unabhängigkeit]], [[Ebenen im Raum]], [[Skalarprodukt]] und [[Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen]].

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}
'''Wie werden zwei Vektoren in Koordinatendarstellung addiert?'''
(Komponentenweise)
(!Durch Multiplikation der Beträge)
(!Durch Vertauschen der Achsen)
(!Durch Quadrieren der Komponenten)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was zeigt die Diagonale im Vektorparallelogramm vom gemeinsamen Startpunkt aus?'''
(Den Summenvektor)
(!Den Nullvektor)
(!Nur den ersten Summanden)
(!Den Gegenvektor)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was bewirkt ein positiver Skalar größer als eins geometrisch?'''
(Eine Verlängerung bei gleicher Richtung)
(!Einen Richtungswechsel ohne Längenänderung)
(!Immer den Nullvektor)
(!Eine Drehung um neunzig Grad)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was bewirkt ein negativer Skalar bei einem von null verschiedenen Vektor?'''
(Einen Richtungswechsel)
(!Immer eine Verdopplung)
(!Nur eine Änderung der ersten Komponente)
(!Keine geometrische Änderung)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was ist das Ergebnis von null mal einem Vektor?'''
(Der Nullvektor)
(!Der Einheitsvektor)
(!Der Gegenvektor)
(!Der ursprüngliche Vektor)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Reihenfolge ist für eine Linearkombination sinnvoll?'''
(Zuerst skalieren und dann addieren)
(!Zuerst Beträge addieren und dann drehen)
(!Nur die erste Komponente skalieren)
(!Immer zuerst subtrahieren)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche geometrische Idee beschreibt die Spitze-Schaft-Regel?'''
(Eine Vektorkette)
(!Eine Kreisbewegung)
(!Eine Spiegelung an der Achse)
(!Eine Projektion)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was entsteht aus allen Linearkombinationen zweier nicht paralleler Vektoren im Raum?'''
(Eine Ebene durch den Ursprung)
(!Immer nur ein Punkt)
(!Eine Kugel)
(!Immer eine Gerade)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Gleichung beschreibt das Kommutativgesetz der Vektoraddition?'''
(a plus b ist gleich b plus a)
(!a plus b ist gleich a mal b)
(!a minus b ist gleich b minus a)
(!a plus null ist gleich null)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wozu dient eine geometrische Plausibilitätskontrolle?'''
(Zum Prüfen von Richtung und Größenordnung eines Ergebnisses)
(!Zum Ersetzen jeder Rechnung)
(!Zum Weglassen von Vorzeichen)
(!Zum automatischen Beweis jeder Aussage)
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==
<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Vektoraddition || Komponentenweise Summe
|-
| Skalierung || Längenänderung
|-
| Negativfaktor || Richtungsumkehr
|-
| Parallelogrammregel || Gemeinsamer Startpunkt
|-
| Kettenregel || Spitze an Schaft
|-
| Linearkombination || Skalieren und Addieren
|-
| Nullvektor || Keine Verschiebung
|}
{{E}}
</div>
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==
<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Komponentenaddition'''
| Algebraische Vektoraddition
|-
| '''Parallelogrammdiagonale'''
| Geometrische Summe
|-
| '''Richtungsumkehr'''
| Negativer Skalar
|-
| '''Vektorkette'''
| Mehrere Verschiebungen
|-
| '''Linearkombination'''
| Skalieren und anschließendes Addieren
|}
{{E}}

<br>
</div>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==
<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Parallelogramm || Welche Figur visualisiert die Addition zweier Vektoren mit gemeinsamem Startpunkt?
|-
| Summenvektor || Wie heißt das Ergebnis einer Vektoraddition?
|-
| Skalar || Wie heißt die Zahl, mit der ein Vektor multipliziert wird?
|-
| Nullvektor || Welcher Vektor entsteht bei Multiplikation mit null?
|-
| Gegenvektor || Wie heißt der Vektor mit gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung?
|-
| Linearkombination || Wie heißt eine Summe skalierter Vektoren?
|}
{{E}}
</div>
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==
<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+Vektoren+addieren+und+skalieren </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==
<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Vektoren werden { komponentenweise } addiert.
Beim Kettenmodell liegt die Spitze eines Pfeils am { Schaft } des nächsten.
Beim Parallelogrammmodell beginnen beide Vektoren am { gleichen } Punkt.
Die Diagonale des Parallelogramms beschreibt den { Summenvektor }.
Bei der skalaren Multiplikation wird jede Komponente mit demselben { Skalar } multipliziert.
Ein negativer Skalar kehrt die { Richtung } eines von null verschiedenen Vektors um.
Der Betrag des Skalars bestimmt den Faktor der { Länge }.
Die Multiplikation mit null erzeugt den { Nullvektor }.
Ein Ausdruck aus skalierten und addierten Vektoren heißt { Linearkombination }.
Zwei nicht parallele Richtungsvektoren spannen im Raum eine { Ebene } durch den Ursprung auf.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Pfeilkette|Pfeilkette zeichnen]]: Zeichne zwei selbst gewählte Vektoren auf Karopapier, addiere sie mit der Spitze-Schaft-Regel und kontrolliere komponentenweise.
# [[Parallelogrammregel|Parallelogramm bauen]]: Zeichne dieselben Vektoren mit gemeinsamem Startpunkt und konstruiere den Summenvektor als Diagonale.
# [[Skalare Multiplikation|Skalierungsserie]]: Zeichne zu einem Vektor die Vielfachen <math>2\vec a</math>, <math>\frac12\vec a</math>, <math>-\vec a</math> und <math>0\vec a</math>.
# [[Fehleranalyse|Fehlerkarte]]: Erfinde einen typischen Vorzeichenfehler beim Skalieren und schreibe eine kurze Korrekturregel dazu.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[GeoGebra|Dynamisches Modell]]: Erstelle ein GeoGebra-Modell mit zwei verschiebbaren Vektoren und sichtbarem Summenvektor.
# [[Linearkombination|Parameter erkunden]]: Untersuche grafisch <math>s\vec a+t\vec b</math> für mehrere Werte von <math>s</math> und <math>t</math> und beschreibe das Muster.
# [[Bewegungsmodell|Weg einer Drohne]]: Modelliere eine dreiteilige Bewegung durch drei Vektoren und bestimme die Gesamtverschiebung.
# [[Erklärvideo|Erklärvideo planen]]: Produziere ein kurzes Video ohne personenbezogene Daten, das algebraische Addition und Parallelogrammregel miteinander verknüpft.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Lineare Unabhängigkeit|Ebene oder Gerade]]: Formuliere und begründe ein Kriterium, wann alle Linearkombinationen zweier Vektoren eine Gerade und wann sie eine Ebene bilden.
# [[Parameter|Parameteraufgabe]]: Bestimme Bedingungen an <math>s</math> und <math>t</math>, sodass <math>s\vec a+t\vec b</math> eine vorgegebene Zielkoordinate erreicht.
# [[Beweis|Vektorbeweis]]: Begründe mit Vektoren, warum die Diagonale des Parallelogramms unabhängig davon ist, in welcher Reihenfolge die beiden Verschiebungen ausgeführt werden.
# [[Modellierung|Räumliches Szenario]]: Entwickle eine realistische Bewegungs- oder Kraftaufgabe im Raum, löse sie algebraisch, visualisiere sie und diskutiere die Grenzen des Modells.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =
# [[Darstellungswechsel|Algebra zu Geometrie]]: Gegeben ist eine korrekte Komponentenrechnung für <math>\vec a+\vec b</math>. Erstelle dazu zwei unterschiedliche geometrische Darstellungen und erkläre, warum beide dasselbe Ergebnis zeigen.
# [[Fehlerdiagnose|Fehlerdiagnose]]: Eine Person behauptet, ein negativer Skalar verkürze einen Vektor immer. Widerlege die Aussage mit zwei Gegenbeispielen und einer allgemeinen Regel.
# [[Modellvergleich|Kette oder Parallelogramm]]: Entscheide für eine dreiteilige Bewegung und für zwei gleichzeitig wirkende Kräfte, welches Modell jeweils anschaulicher ist, und begründe.
# [[Linearkombination|Räumliche Interpretation]]: Erkläre ohne konkrete Zahlen, weshalb <math>s\vec a+t\vec b</math> bei nicht parallelen Vektoren eine Ebene beschreibt.
# [[Transfer|Rückweg]]: Entwickle zu einer gegebenen Vektorkette einen Rückweg, der zum Startpunkt führt, und begründe die Konstruktion algebraisch.
# [[Mathematische Prüfung|KI-Check]]: Prüfe eine von einer KI vorgeschlagene Vektorlösung anhand von mindestens zwei unabhängigen Kriterien und formuliere, was noch bewiesen werden müsste.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =
Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:
# Vektoren sicher komponentenweise addierst und mit Skalaren multiplizierst.
# Rechenschritte mit korrekter mathematischer Notation dokumentierst.
# Ketten- und Parallelogrammmodell passend verwendest.
# Linearkombinationen algebraisch berechnest und geometrisch deutest.
# Fehler über Vorzeichen, Richtung und Größenordnung selbstständig findest.
# zwischen Basisfach-Anforderungen und vertiefter Begründung im Leistungsfach unterscheiden kannst.
# digitale Werkzeuge als Kontrolle nutzt, aber eigene Argumentation und Beweise nicht durch Werkzeuge ersetzt.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =
<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Vektor </iframe>

<iframe> https://www.geogebra.org/m/vvNWfTpv </iframe>

{{BR}}
== Freie und weiterführende Medien ==
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vector_add_scale.svg Wikimedia Commons: Vector add scale]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vectors_addition_parallelogram_el.svg Wikimedia Commons: Parallelogrammregel]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Scalar_multiplication_of_vectors.svg Wikimedia Commons: skalare Multiplikation]
# [https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe2/linalg Analytische Geometrie am Landesbildungsserver Baden-Württemberg]
# [https://www.bildungsplaene-bw.de/BP2016BW_ALLG_GYM_M.V2_IK_11-12-LF_03 Bildungsplan Baden-Württemberg: Raum und Form]
# [https://km.baden-wuerttemberg.de/fileadmin/redaktion/m-km/intern/PDF/Publikationen/Gymnasium/2025_Leitfaden_fuer_die_gymnasiale_Oberstufe_Abitur_2027.pdf Leitfaden für die gymnasiale Oberstufe – Abitur 2027]

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =
{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Vektorrechnung]]'''
# [[Vektoraddition]]
# [[Skalare Multiplikation]]
# [[Linearkombination]]
# [[Lineare Unabhängigkeit]]
# [[Geraden im Raum]]
# [[Ebenen im Raum]]
# [[Skalarprodukt]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analytische Geometrie]]
[[Kategorie:Vektorrechnung]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Abitur Baden-Württemberg]]
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[[Kategorie:Basisfach Mathematik]]
[[Kategorie:Leistungsfach Mathematik]]

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[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
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ABI - Vektoren addieren und skalieren - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt