Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-28T21:49:59Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

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{{T}}

{{BR}}
= ABI - Stammfunktionen bestimmen =

'''Mini-Beschreibung:''' Bestimme Stammfunktionen mithilfe von Potenz-, Faktor- und Summenregeln sowie bekannten Grundfunktionen. Nutze Ableitungsproben und gekoppelte Graphen und unterscheide klar zwischen einer Stammfunktion und einem bestimmten Integralwert.

'''Zielgruppe:''' Kursstufe, Mathematik-Abitur Baden-Württemberg; gemeinsamer Kurs für Basisfach und Leistungsfach.

'''Prüfungsbezug:''' Stand September 2026 orientiert sich dieser Kurs am Prüfungsjahrgang 2027. Maßgeblich bleibt immer der Facherlass Deines eigenen Prüfungsjahrgangs. Für 2027 verweist der Facherlass Mathematik Baden-Württemberg auf den Bildungsplan 2016. Im Leistungsfach umfasst die schriftliche Prüfung 300 Minuten einschließlich Auswahlzeit; Teil A wird zunächst ohne Formelsammlung und WTR bearbeitet. Im Basisfach ist Analysis eines der verbindlichen Sachgebiete der mündlichen Prüfung. GeoGebra, Videos, LearningApps und KI sind hier '''Lernwerkzeuge''' und nicht automatisch zugelassene Prüfungshilfsmittel.

[https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Kultusministerium Baden-Württemberg: Termine und Informationen zum Abitur]

'''KI-Regel:''' Prüfe KI-Ausgaben mathematisch durch Ableiten, Einsetzen, Gegenbeispiele oder einen eigenen Beweis. Eine KI-Antwort ersetzt keinen mathematischen Nachweis.

{{BR}}
= Einleitung =

Beim Bestimmen einer [[Stammfunktion|Stammfunktion]] kehrst Du das Ableiten um:

<math>F'(x)=f(x)</math>

Ist diese Gleichung auf einem Intervall erfüllt, dann ist <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>.

[[Datei:Derivative.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Denkidee:''' Beim Ableiten verschwindet jede additive Konstante. Deshalb besitzt eine Funktion nicht nur eine, sondern auf einem Intervall eine ganze Familie von Stammfunktionen:

<math>F_C(x)=F(x)+C</math>

mit <math>C\in\mathbb{R}</math>.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=CSWLRbEPfus |500|center}}

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du

# [[Stammfunktion|Stammfunktionen]] als Umkehrung des Ableitens verstehen und mit <math>F'=f</math> prüfen.
# die [[Potenzregel]], [[Faktorregel]] und [[Summenregel]] beim Integrieren sicher anwenden.
# Stammfunktionen zu bekannten Grundfunktionen wie <math>e^x</math>, <math>\sin x</math>, <math>\cos x</math> und <math>\frac1x</math> angeben.
# aus einem Graphen von <math>f</math> qualitative Aussagen über Stammfunktionen <math>F</math> ableiten.
# eine Stammfunktion von einem [[Bestimmtes Integral|bestimmten Integralwert]] unterscheiden.
# im Basisfach Rechenwege verständlich erklären und anschaulich begründen.
# im Leistungsfach Regeln formaler begründen, Sonderfälle beachten und mehrschrittige Transferaufgaben bearbeiten.

{{BR}}
= Vorwissen-Check =

Beantworte zuerst ohne Hilfsmittel:

# Welche Ableitung hat <math>x^4</math>?
# Welche Ableitung hat <math>3x^2-5x+7</math>?
# Warum gilt <math>(F(x)+7)'=F'(x)</math>?
# Welche Bedeutung hat das Vorzeichen von <math>f(x)</math>, wenn <math>F'(x)=f(x)</math> gilt?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung zum Aufklappen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>(x^4)'=4x^3</math>

<math>(3x^2-5x+7)'=6x-5</math>

Konstanten haben die Ableitung <math>0</math>.

Aus <math>F'=f</math> folgt: <math>f>0</math> bedeutet, dass <math>F</math> steigt; <math>f<0</math> bedeutet, dass <math>F</math> fällt.
</div>
</div>

{{BR}}
= Stammfunktion verstehen =

'''Definition:'''

<math>F</math> heißt Stammfunktion von <math>f</math> auf einem Intervall, wenn

<math>F'(x)=f(x)</math>

für alle <math>x</math> dieses Intervalls gilt.

Beispiel:

<math>f(x)=3x^2</math>

Eine Stammfunktion ist

<math>F(x)=x^3</math>

denn

<math>F'(x)=3x^2=f(x)</math>.

Aber auch

<math>F(x)=x^3+5</math>

und

<math>F(x)=x^3-17</math>

sind Stammfunktionen. Allgemein:

<math>F_C(x)=x^3+C</math>.

{{BR}}
== Ableitungsprobe ==

Eine Stammfunktion ist nicht nur eine Vermutung. Du kannst sie sofort prüfen:

<math>F(x)=2x^3-2x^2+3x+C</math>

<math>F'(x)=6x^2-4x+3</math>

Damit ist <math>F</math> eine Stammfunktion von

<math>f(x)=6x^2-4x+3</math>.

'''Prüfungsroutine:''' Stammfunktion bilden → ableiten → mit <math>f</math> vergleichen.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=OwGqx0RuXBg |500|center}}

{{BR}}
= Die drei Kernregeln =

{{BR}}
== Potenzregel ==

Für <math>n\neq -1</math> gilt:

<math>\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C</math>

'''Schrittidee:'''

<math>x^n\;\longrightarrow\;x^{n+1}\;\longrightarrow\;\frac{1}{n+1}x^{n+1}</math>

Beispiel:

<math>\int x^5\,dx=\frac16x^6+C</math>

Probe:

<math>\left(\frac16x^6+C\right)'=x^5</math>

'''Sonderfall:''' Für <math>n=-1</math> ist die Potenzregel nicht anwendbar, weil <math>n+1=0</math> wäre.

Stattdessen gilt auf Intervallen, die <math>0</math> nicht enthalten:

<math>\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C</math>

{{BR}}
== Faktorregel ==

Ein konstanter Faktor bleibt erhalten:

<math>\int a\cdot f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx</math>

Beispiel:

<math>\int 7x^3\,dx=7\cdot\frac14x^4+C=\frac74x^4+C</math>

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== Summenregel ==

Summanden dürfen einzeln integriert werden:

<math>\int \left(f(x)+g(x)\right)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx</math>

Beispiel:

<math>\int \left(6x^2-4x+3\right)\,dx</math>

<math>=6\cdot\frac13x^3-4\cdot\frac12x^2+3x+C</math>

<math>=2x^3-2x^2+3x+C</math>

{{BR}}
== Visueller Rechenweg ==

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Schritt 1: Summanden trennen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>\int(4x^3+6x-5)\,dx=\int4x^3\,dx+\int6x\,dx-\int5\,dx</math>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Schritt 2: Faktoren stehen lassen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>=4\int x^3\,dx+6\int x\,dx-5\int1\,dx</math>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Schritt 3: Potenzregel anwenden'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>=4\cdot\frac14x^4+6\cdot\frac12x^2-5x+C</math>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Schritt 4: Vereinfachen und prüfen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>F(x)=x^4+3x^2-5x+C</math>

<math>F'(x)=4x^3+6x-5</math>

Die Probe stimmt.
</div>
</div>

{{BR}}
= Bekannte Grundfunktionen =

Für die Kursstufe solltest Du zentrale Stammfunktionen erkennen:

<math>\int 1\,dx=x+C</math>

<math>\int e^x\,dx=e^x+C</math>

<math>\int \cos x\,dx=\sin x+C</math>

<math>\int \sin x\,dx=-\cos x+C</math>

<math>\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C</math>

Für <math>a\neq0</math>:

<math>\int e^{ax}\,dx=\frac1a e^{ax}+C</math>

Die Ableitungsprobe erklärt den Faktor <math>\frac1a</math>:

<math>\left(\frac1ae^{ax}\right)'=\frac1a\cdot a e^{ax}=e^{ax}</math>

'''Basisfach:''' Erkenne die Grundidee und begründe mit der Ableitungsprobe.

'''Leistungsfach:''' Formuliere Definitionsbereiche und Voraussetzungen sauber und erkenne lineare Verkettungen.

{{BR}}
= Gekoppelte Graphen: f und F =

Wenn

<math>F'=f</math>

gilt, dann steuert der Graph von <math>f</math> die Steigung des Graphen von <math>F</math>.

# <math>f(x)>0</math>: <math>F</math> steigt.
# <math>f(x)<0</math>: <math>F</math> fällt.
# <math>f(x)=0</math>: <math>F</math> hat eine waagerechte Tangente.
# Wechselt <math>f</math> von positiv nach negativ, hat <math>F</math> dort typischerweise ein lokales Maximum.
# Wechselt <math>f</math> von negativ nach positiv, hat <math>F</math> dort typischerweise ein lokales Minimum.

[[Datei:Square signal and its antiderivatives.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=Y1dljd1uBmM |500|center}}

{{BR}}
== Interaktives Graphenlabor ==

Öffne den dynamischen Graphenrechner und gib nacheinander ein:

<math>f(x)=3x^2-4x+1</math>

<math>F(x)=x^3-2x^2+x</math>

Prüfe anschließend mit dem Ableitungswerkzeug, ob <math>F'=f</math> gilt. Verschiebe den Graphen von <math>F</math> vertikal, indem Du

<math>F_c(x)=x^3-2x^2+x+c</math>

verwendest. Beobachte: Der Parameter <math>c</math> verändert den Graphen von <math>F</math>, aber nicht seine Ableitung.

<iframe> https://www.geogebra.org/graphing </iframe>

'''Denkfrage:''' Warum bilden alle Graphen von <math>F_c</math> dieselbe Steigungsstruktur ab?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Weil sich die Funktionen nur um eine Konstante unterscheiden. Beim Ableiten verschwindet <math>c</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Graphen-Challenge ==

Sieh Dir zuerst nur den Graphen von <math>f</math> an und beantworte:

# Wo muss eine Stammfunktion steigen?
# Wo muss sie fallen?
# Wo kann sie Extrempunkte besitzen?
# Welche Informationen über die absolute Höhe des Graphen von <math>F</math> fehlen?

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=j1nxf1h9-MU |500|center}}

'''Kernaussage:''' Aus <math>f</math> bestimmst Du die Steigungen von <math>F</math>, aber ohne Anfangswert nicht die vertikale Lage von <math>F</math>.

{{BR}}
= Stammfunktion oder bestimmter Integralwert? =

Diese beiden Begriffe dürfen nicht verwechselt werden.

'''Stammfunktion:'''

<math>F'(x)=f(x)</math>

Eine Stammfunktion ist eine '''Funktion'''.

'''Unbestimmtes Integral:'''

<math>\int f(x)\,dx=F(x)+C</math>

Es beschreibt die Familie aller Stammfunktionen.

'''Bestimmtes Integral:'''

<math>\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)</math>

Das Ergebnis ist eine '''Zahl'''.

Beispiel:

<math>f(x)=3x^2</math>

Stammfunktionen:

<math>F(x)=x^3+C</math>

Bestimmter Integralwert:

<math>\int_0^2 3x^2\,dx=[x^3]_0^2=8</math>

Die Konstante <math>C</math> spielt beim bestimmten Integralwert keine Rolle:

<math>(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)</math>

[[Datei:Riemann Integral mit Obersumme und Untersumme.svg|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Riemann sum convergence.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Dynamisches Integralmodell ==

Nutze GeoGebra, um eine Funktion, eine Stammfunktion und ein bestimmtes Integral gleichzeitig zu untersuchen. Beispiel:

<math>f(x)=x^2-1</math>

<math>F(x)=\frac13x^3-x</math>

Vergleiche die Zahl

<math>\int_{-1}^{2}(x^2-1)\,dx</math>

mit der Funktion <math>F</math>. Verschiebe danach <math>F</math> um eine Konstante und prüfe, ob sich der Integralwert ändert.

<iframe> https://www.geogebra.org/graphing </iframe>

{{BR}}
= Interaktive Beispiele =

{{BR}}
== Beispiel A: Polynom ==

Bestimme alle Stammfunktionen von

<math>f(x)=12x^3-6x+4</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 1'''
<div class="mw-collapsible-content">
Integriere jeden Summanden einzeln.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 2'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>\int x^3\,dx=\frac14x^4</math> und <math>\int x\,dx=\frac12x^2</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung mit Probe'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>F(x)=3x^4-3x^2+4x+C</math>

Probe:

<math>F'(x)=12x^3-6x+4=f(x)</math>
</div>
</div>

{{BR}}
== Beispiel B: Grundfunktionen kombinieren ==

Bestimme eine Stammfunktion von

<math>f(x)=2e^x-3\sin x</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Eine Stammfunktion von <math>e^x</math> ist <math>e^x</math>. Eine Stammfunktion von <math>\sin x</math> ist <math>-\cos x</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>F(x)=2e^x+3\cos x+C</math>

Denn:

<math>F'(x)=2e^x-3\sin x</math>
</div>
</div>

{{BR}}
== Beispiel C: Anfangswert bestimmt C ==

Gesucht ist die Stammfunktion zu

<math>f(x)=2x</math>

mit

<math>F(1)=5</math>.

Zuerst:

<math>F(x)=x^2+C</math>

Dann:

<math>5=F(1)=1+C</math>

also

<math>C=4</math>.

Damit:

<math>F(x)=x^2+4</math>

{{BR}}
= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung 1: Basis ==

Bestimme alle Stammfunktionen von

<math>f(x)=5x^4</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Erhöhe den Exponenten um <math>1</math> und teile durch den neuen Exponenten.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>F(x)=x^5+C</math>. Die Probe liefert <math>F'(x)=5x^4</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 2: Gemischt ==

Bestimme alle Stammfunktionen von

<math>f(x)=3x^2-8x+6</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>F(x)=x^3-4x^2+6x+C</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 3: Sonderfall erkennen ==

Warum darfst Du bei

<math>f(x)=\frac1x</math>

nicht einfach die Potenzregel verwenden?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Hier ist <math>n=-1</math>. Dann wäre <math>n+1=0</math>, sodass die Potenzregel durch <math>0</math> teilen würde. Eine Stammfunktion ist <math>\ln|x|</math>, jeweils auf einem Intervall ohne <math>0</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 4: Leistungsfach-Vertiefung ==

Bestimme eine Stammfunktion von

<math>f(x)=4e^{2x}-3\cos(3x)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Bei einer linearen inneren Funktion musst Du den Faktor der inneren Ableitung beim Integrieren ausgleichen.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>F(x)=2e^{2x}-\sin(3x)+C</math>.

Probe:

<math>F'(x)=4e^{2x}-3\cos(3x)</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =

'''Fehler 1: Exponent erhöhen, aber nicht teilen'''

Falsch:

<math>\int x^4\,dx=x^5+C</math>

Probe:

<math>(x^5)'=5x^4\neq x^4</math>

Richtig:

<math>\int x^4\,dx=\frac15x^5+C</math>

'''Fehler 2: Integrationskonstante vergessen'''

Bei der Menge aller Stammfunktionen gehört

<math>+C</math>

dazu.

'''Fehler 3: Potenzregel bei <math>\frac1x</math>'''

<math>\frac1x=x^{-1}</math> ist genau der ausgeschlossene Fall <math>n=-1</math>.

'''Fehler 4: Stammfunktion mit bestimmtem Integral verwechseln'''

<math>F(x)</math> ist eine Funktion.

<math>\int_a^b f(x)\,dx</math> ist ein Zahlenwert.

'''Fehler 5: Graph falsch gekoppelt'''

Aus <math>f(x)>0</math> folgt nicht, dass <math>F(x)>0</math>. Es folgt nur, dass <math>F</math> dort steigt.

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Markiere für Dich: '''sicher''', '''teilweise''', '''noch üben'''.

# Ich kann zu einem Polynom eine Stammfunktion bestimmen.
# Ich kann Faktor-, Summen- und Potenzregel unterscheiden.
# Ich erkenne den Sonderfall <math>\frac1x</math>.
# Ich kann eine Stammfunktion durch Ableiten prüfen.
# Ich kann erklären, warum <math>+C</math> nötig ist.
# Ich kann aus dem Vorzeichen von <math>f</math> auf das Steigungsverhalten von <math>F</math> schließen.
# Ich kann zwischen <math>F(x)</math> und <math>\int_a^b f(x)\,dx</math> unterscheiden.

{{BR}}
= Transfer =

Eine Geschwindigkeit sei

<math>v(t)=3t^2-6t</math>.

Eine Ortsfunktion <math>s</math> erfüllt

<math>s'(t)=v(t)</math>.

Damit:

<math>s(t)=t^3-3t^2+C</math>.

Ist zusätzlich

<math>s(0)=4</math>,

dann gilt

<math>C=4</math>

und somit

<math>s(t)=t^3-3t^2+4</math>.

Der bestimmte Integralwert

<math>\int_a^b v(t)\,dt=s(b)-s(a)</math>

beschreibt dagegen die Ortsänderung zwischen zwei Zeitpunkten.

'''Transferfrage:''' Warum liefert die Kenntnis der Geschwindigkeit allein noch nicht die absolute Position?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Weil beim Integrieren eine Konstante <math>C</math> frei bleibt. Erst ein Anfangswert wie <math>s(0)=4</math> legt die konkrete Ortsfunktion fest.
</div>
</div>

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

'''Basisfach'''

# Erkläre in eigenen Worten, warum das Integrieren als Umkehrung des Ableitens verstanden werden kann.
# Bestimme zu <math>f(x)=6x^2+2</math> alle Stammfunktionen und führe eine Ableitungsprobe durch.
# Beschreibe anhand eines Graphen von <math>f</math>, wo eine Stammfunktion steigt oder fällt.
# Erkläre den Unterschied zwischen einer Stammfunktion und einem bestimmten Integralwert.

'''Leistungsfach'''

# Begründe die Potenzregel durch Ableiten des Ergebnisses.
# Erkläre formal, warum zwei Stammfunktionen derselben Funktion auf einem Intervall nur um eine Konstante voneinander abweichen.
# Löse Aufgaben mit linearen Verkettungen und überprüfe das Ergebnis durch die Kettenregel.
# Verknüpfe algebraische Stammfunktionen mit qualitativen Aussagen über gekoppelte Graphen und Modellkontexte.

{{BR}}
= Reflexion =

# Welche Regel erkennst Du inzwischen sofort?
# Bei welchem Funktionstyp brauchst Du noch eine Probe?
# Welche Information liefert der Graph von <math>f</math> über <math>F</math>, welche nicht?
# Wann ist <math>+C</math> unverzichtbar?
# Welche Deiner Lösungen würdest Du im Abitur noch klarer begründen?

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächstes passen besonders:

# [[ABI - Bestimmte Integrale berechnen|Bestimmte Integrale berechnen]]
# [[ABI - Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]
# [[ABI - Flächen mit Integralen bestimmen|Flächen mit Integralen bestimmen]]
# [[ABI - Integralfunktionen verstehen|Integralfunktionen verstehen]]
# [[ABI - Analysis mündlich erklären|Analysis mündlich erklären]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wann ist F eine Stammfunktion von f?'''
(Wenn die Ableitung von F gleich f ist)
(!Wenn F und f denselben Funktionswert haben)
(!Wenn F immer positiv ist)
(!Wenn f eine Nullstelle hat)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Stammfunktion gehört zu x hoch drei?'''
(Ein Viertel x hoch vier plus C)
(!Drei x hoch zwei plus C)
(!Ein Drittel x hoch drei plus C)
(!Vier x hoch vier plus C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht beim Anwenden der Potenzregel zum Integrieren?'''
(Der Exponent wird um eins erhöht und durch den neuen Exponenten geteilt)
(!Der Exponent wird um eins erniedrigt)
(!Der Exponent wird nur als Faktor nach vorne gezogen)
(!Der Exponent bleibt immer unverändert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage beschreibt die Faktorregel?'''
(Ein konstanter Faktor kann beim Integrieren erhalten bleiben)
(!Jeder Faktor wird zu null)
(!Nur der Exponent wird als Faktor verwendet)
(!Konstante Faktoren müssen quadriert werden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage beschreibt die Summenregel?'''
(Summanden können einzeln integriert werden)
(!Nur der erste Summand wird integriert)
(!Alle Summanden werden miteinander multipliziert)
(!Eine Summe darf nicht integriert werden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum gibt es zu einer Funktion eine Familie von Stammfunktionen?'''
(Additive Konstanten verschwinden beim Ableiten)
(!Jede Funktion hat mehrere Ableitungen)
(!Integrale besitzen keine Variablen)
(!Exponenten können beliebig gewählt werden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche bekannte Stammfunktion gehört zur Exponentialfunktion e hoch x?'''
(e hoch x plus C)
(!x mal e hoch x plus C)
(!Logarithmus von x plus C)
(!Minus e hoch x plus C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche bekannte Stammfunktion gehört zu Sinus x?'''
(Minus Cosinus x plus C)
(!Cosinus x plus C)
(!Sinus x plus C)
(!Minus Sinus x plus C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist ein bestimmter Integralwert?'''
(Eine Zahl)
(!Immer eine Funktionsfamilie)
(!Immer eine Ableitung)
(!Immer eine Nullstelle)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was folgt aus f positiv und F Strich gleich f?'''
(F steigt)
(!F fällt)
(!F ist zwingend positiv)
(!F ist konstant)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Stammfunktion || Ableitung ergibt Ausgangsfunktion
|-
| Potenzregel || Exponent erhöhen und durch neuen Exponenten teilen
|-
| Faktorregel || Konstanter Faktor bleibt erhalten
|-
| Summenregel || Summanden einzeln integrieren
|-
| Integrationskonstante || Vertikale Verschiebung der Stammfunktion
|-
| Ableitungsprobe || Ergebnis durch Differenzieren prüfen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Potenzregel'''
| Exponent erhöhen und anschließend teilen
|-
| '''Faktorregel'''
| Konstante Vielfache übernehmen
|-
| '''Summenregel'''
| Summanden getrennt behandeln
|-
| '''Ableitungsprobe'''
| Gefundene Funktion rückwärts prüfen
|-
| '''Integralwert'''
| Ergebnis zwischen zwei Grenzen

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Stammfunktion || Welche Funktion ergibt beim Ableiten die Ausgangsfunktion?
|-
| Potenzregel || Welche Regel erhöht beim Integrieren den Exponenten?
|-
| Faktorregel || Welche Regel behandelt konstante Vielfache?
|-
| Summenregel || Welche Regel erlaubt das getrennte Integrieren von Summanden?
|-
| Hauptsatz || Welcher Satz verbindet Stammfunktion und bestimmten Integralwert?
|-
| Ableitungsprobe || Wie heißt die Kontrolle einer gefundenen Stammfunktion durch Differenzieren?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+-+Stammfunktionen+bestimmen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine Funktion <math>F</math> heißt { Stammfunktion } von <math>f</math>, wenn ihre Ableitung <math>f</math> ergibt.
Beim Integrieren einer Potenz wird der Exponent zunächst um { eins } erhöht.
Danach wird durch den { neuen Exponenten } geteilt.
Ein konstanter Vorfaktor wird mit der { Faktorregel } behandelt.
Summanden dürfen wegen der { Summenregel } einzeln integriert werden.
Die additive Konstante wird meist mit { C } bezeichnet.
Zur Kontrolle einer gefundenen Stammfunktion dient die { Ableitungsprobe }.
Für <math>1/x</math> lautet eine Stammfunktion { ln Betrag von x }.
Ein bestimmtes Integral zwischen zwei Grenzen ergibt einen { Zahlenwert }.
Ist <math>F'=f</math> und <math>f</math> positiv, dann ist <math>F</math> dort { steigend }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Stammfunktionskarten erstellen|Stammfunktionskarten erstellen]]: Gestalte sechs Karten mit Funktion auf der Vorderseite und Stammfunktion samt Ableitungsprobe auf der Rückseite.
# [[Fehler finden|Fehler finden]]: Erfinde drei typische falsche Stammfunktionen und erkläre jeweils mit einer Ableitungsprobe, warum sie falsch sind.
# [[Graphen markieren|Graphen markieren]]: Zeichne einen einfachen Graphen von <math>f</math> und markiere Bereiche, in denen eine Stammfunktion steigen oder fallen muss.
# [[Grundfunktionen erklären|Grundfunktionen erklären]]: Erstelle ein einseitiges Lernplakat zu <math>e^x</math>, <math>\sin x</math>, <math>\cos x</math> und <math>1/x</math>.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Rechenweg aufnehmen|Rechenweg aufnehmen]]: Produziere ein kurzes Erklärvideo zu einer Polynomfunktion und zeige jeden Integrationsschritt.
# [[GeoGebra Stammfunktionen|GeoGebra Stammfunktionen]]: Erstelle in GeoGebra <math>f</math> und mehrere Funktionen <math>F_C</math> und dokumentiere die Wirkung von <math>C</math>.
# [[Graphenpaare untersuchen|Graphenpaare untersuchen]]: Erstelle drei Paare aus <math>f</math> und möglicher Stammfunktion <math>F</math> und begründe die Zuordnung ohne zuerst zu rechnen.
# [[Integral und Stammfunktion vergleichen|Integral und Stammfunktion vergleichen]]: Formuliere ein Beispiel, in dem dieselbe Funktion sowohl als Stammfunktion als auch in einem bestimmten Integral vorkommt, und erkläre den Unterschied der Ergebnisse.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Potenzregel begründen|Potenzregel begründen]]: Begründe die Integrationsregel für <math>x^n</math> durch vollständiges Rückwärtsableiten und diskutiere den Sonderfall <math>n=-1</math>.
# [[Anfangswertproblem modellieren|Anfangswertproblem modellieren]]: Entwickle eine Bewegungssituation mit gegebener Geschwindigkeitsfunktion und Anfangsort und bestimme die Ortsfunktion.
# [[Stammfunktionsfamilie analysieren|Stammfunktionsfamilie analysieren]]: Untersuche formal, warum zwei Stammfunktionen derselben Funktion auf einem Intervall nur um eine Konstante voneinander abweichen.
# [[Abituraufgabe entwerfen|Abituraufgabe entwerfen]]: Entwickle eine mehrteilige Aufgabe mit algebraischer Stammfunktion, Grapheninterpretation, Ableitungsprobe und bestimmtem Integralwert. Gib einen Erwartungshorizont an.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Regeln begründen|Regeln begründen]]: Erkläre, warum Summen- und Faktorregel beim Integrieren aus entsprechenden Ableitungsregeln plausibel werden.
# [[Graphen transferieren|Graphen transferieren]]: Beschreibe für einen unbekannten Graphen von <math>f</math>, wie Du ohne Rechnung einen möglichen Verlauf einer Stammfunktion konstruieren würdest.
# [[Anfangswert interpretieren|Anfangswert interpretieren]]: Erkläre, welche zusätzliche Information ein Anfangswert liefert und warum er die Konstante <math>C</math> eindeutig festlegt.
# [[Sonderfall analysieren|Sonderfall analysieren]]: Erkläre, warum die Potenzregel bei <math>x^{-1}</math> versagt und weshalb <math>\ln|x|</math> die passende Struktur besitzt.
# [[Integralbegriff unterscheiden|Integralbegriff unterscheiden]]: Vergleiche unbestimmtes Integral, Stammfunktionsfamilie und bestimmten Integralwert anhand eines selbst gewählten Beispiels.
# [[Modellierung prüfen|Modellierung prüfen]]: Prüfe in einem Bewegungsmodell, ob eine vorgeschlagene Ortsfunktion tatsächlich zur gegebenen Geschwindigkeit passt, und deute die Integrationskonstante sachlich.

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= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können:

# Du bestimmst Stammfunktionen von Polynomen sicher.
# Du nutzt Potenz-, Faktor- und Summenregel korrekt.
# Du kennst zentrale Grundstammfunktionen.
# Du erkennst und erklärst den Sonderfall <math>1/x</math>.
# Du führst Ableitungsproben fehlerfrei durch.
# Du erklärst die Bedeutung der Integrationskonstante <math>C</math>.
# Du verknüpfst die Vorzeichen von <math>f</math> mit dem Steigungsverhalten von <math>F</math>.
# Du unterscheidest eine Stammfunktion von einem bestimmten Integralwert.
# Du begründest Rechenwege nachvollziehbar und prüfst Ergebnisse auf Plausibilität.
# Du kannst im Leistungsfach Voraussetzungen und Sonderfälle formaler darstellen und Modellierungsaufgaben mehrschrittig bearbeiten.

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<br>

{{BR}}
= Medien und Quellen =

'''Freie Wikimedia-Commons-Medien:'''

# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Derivative.svg Derivative.svg]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Square_signal_and_its_antiderivatives.svg Square signal and its antiderivatives.svg]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Riemann_Integral_mit_Obersumme_und_Untersumme.svg Riemann Integral mit Obersumme und Untersumme.svg]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.svg Riemann sum convergence.svg]

Die jeweiligen Urheber- und Lizenzangaben findest Du auf den verlinkten Commons-Dateiseiten.

'''Prüfungsrahmen:'''

# [https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Kultusministerium Baden-Württemberg – Termine und Informationen zum Abitur]
# [[Bildungsplan 2016 Baden-Württemberg|Bildungsplan 2016 Baden-Württemberg]]

'''Hinweis zum Datenschutz:''' Gib in interaktive Werkzeuge oder KI-Systeme keine personenbezogenen Daten ein. Für mathematische Übungen genügen Funktionsterme, Rechenwege und fachliche Fragen.

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion </iframe>

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{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Stammfunktion]]'''
# [[Ableitung]]
# [[Integralrechnung]]
# [[Potenzregel]]
# [[Faktorregel]]
# [[Summenregel]]
# [[Bestimmtes Integral]]
# [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]
# [[Kurvendiskussion]]
# [[Exponentialfunktion]]
# [[Trigonometrische Funktionen]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Kursstufe]]
[[Kategorie:Basisfach]]
[[Kategorie:Leistungsfach]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI - Stammfunktionen bestimmen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt