Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-27T19:28:43Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

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= ABI - Nullstellen rechnerisch und graphisch bestimmen =

'''Mini-Beschreibung:''' Bestimme Nullstellen geeigneter [[Funktion|Funktionen]] durch Faktorisieren, Gleichungslösen und graphische Kontrolle. Vergleiche exakte und näherungsweise Ergebnisse und entscheide passend zum Funktionstyp über das Verfahren. Der Kurs richtet sich an die Kursstufe und verbindet Basisfach und Leistungsfach im Mathematik-Abitur Baden-Württemberg 2027.

[[Datei:Quadratic roots.svg|500px|rahmenlos|center]]

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= Einleitung =

Eine '''Nullstelle''' ist ein Wert <math>x_0</math> mit

<math>f(x_0)=0</math>.

Im Graphen liegt dort ein Punkt auf der <math>x</math>-Achse. Der zugehörige Punkt heißt Nullpunkt:

<math>N(x_0\mid 0)</math>.

'''Merke:''' Eine graphisch abgelesene Nullstelle ist meist nur näherungsweise bestimmt. Eine algebraisch hergeleitete Lösung kann dagegen exakt sein.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=6lQmoS2lSDk |500|center}}

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== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du:
# [[Nullstelle|Nullstellen]] als Lösungen von <math>f(x)=0</math> deuten.
# passende Verfahren für lineare, quadratische, ganzrationale, gebrochen-rationale, exponentielle, logarithmische und trigonometrische Funktionen auswählen.
# Terme faktorisieren und den [[Satz vom Nullprodukt]] anwenden.
# quadratische Gleichungen durch Faktorisieren oder Lösungsformel lösen.
# biquadratische Gleichungen durch [[Substitution]] bearbeiten.
# exakte Ergebnisse wie <math>\sqrt{2}</math> oder <math>\ln(3)</math> von Dezimalnäherungen unterscheiden.
# Nullstellen graphisch kontrollieren und Grenzen graphischer Verfahren erklären.
# Definitionsmengen und ausgeschlossene Werte beachten.
# Rechenwege begründen und Ergebnisse kritisch prüfen.
# Basisfach und Leistungsfach hinsichtlich Tiefe, Begründung und Prüfungsbezug unterscheiden.

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== Prüfungsbezug Baden-Württemberg 2027 ==

Für den Prüfungsjahrgang 2027 gelten der Bildungsplan 2016 in der aktuellen Fassung und der Facherlass 2027.

'''Leistungsfach:''' Im schriftlichen Abitur 2027 sind laut Facherlass unter anderem '''Näherungsverfahren''' kein Gegenstand der schriftlichen Prüfung. Das schließt das im Bildungsplan vorgesehene iterative Verfahren zur näherungsweisen Nullstellenbestimmung für diese schriftliche Prüfung aus. Das Vergleichen exakter und graphisch beziehungsweise rechnerisch angenäherter Nullstellen bleibt für Verständnis und Kontrolle sinnvoll.

'''Prüfungsorganisation im Leistungsfach:''' Die schriftliche Prüfung dauert 300 Minuten. Teil A wird ohne Formelsammlung und wissenschaftlichen Taschenrechner bearbeitet und spätestens nach 110 Minuten abgegeben. Erst danach stehen für Teil B die zugelassenen Hilfsmittel zur Verfügung.

'''Basisfach:''' Grundlage sind die im Bildungsplan ausgewiesenen Inhalte und Kompetenzen. Der Schwerpunkt liegt stärker auf verständigem Verfahren, anschaulicher Argumentation und sicherer Anwendung.

'''Leistungsfach:''' Zusätzlich wird ein höherer Grad an Präzisierung, Formalisierung, Begründung und Modellierung erwartet.

'''Wichtig:''' GeoGebra, LearningApps, Videos und andere Werkzeuge dieses aiMOOCs sind Übungsmedien. Sie sind '''nicht automatisch Prüfungshilfsmittel'''. Maßgeblich sind der jeweils gültige Facherlass, die Vorgaben des Kultusministeriums und die Hinweise Deiner Schule.

[https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Offizielle Informationen des Kultusministeriums Baden-Württemberg zum Abitur]

[https://www.bildungsplaene-bw.de/ Bildungspläne Baden-Württemberg]

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= Vorwissen-Check =

Löse zuerst ohne digitale Hilfsmittel.

'''A:''' Löse <math>3x-12=0</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Kontrolle:''' <math>x=4</math>.
</div>

'''B:''' Faktorisiere <math>x^2-9</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Kontrolle:''' <math>x^2-9=(x-3)(x+3)</math>.
</div>

'''C:''' Löse <math>(x-2)(x+5)=0</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Kontrolle:''' <math>x=2</math> oder <math>x=-5</math>.
</div>

'''D:''' Welche Bedingung muss für <math>\ln(x)</math> gelten?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Kontrolle:''' <math>x>0</math>.
</div>

'''Selbsteinschätzung:''' Wenn Dir A bis C sicher gelingen, kannst Du direkt in die Kursbeispiele einsteigen. Bei Unsicherheiten wiederhole [[Äquivalenzumformung]], [[Binomische Formel]] und [[Satz vom Nullprodukt]].

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= Grundidee: Nullstelle bedeutet Gleichung lösen =

Nullstellenbestimmung verbindet drei Darstellungen:

<math>f(x)=0</math>

'''Termdarstellung''' → Gleichung lösen

'''Graphdarstellung''' → Schnitt oder Berührung mit der <math>x</math>-Achse erkennen

'''Punktdarstellung''' → <math>N(x_0\mid 0)</math>

[[Datei:Polynomial of degree three.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Kontrollregel:''' Setze das gefundene <math>x_0</math> in den ursprünglichen Funktionsterm ein. Stimmt <math>f(x_0)=0</math>, ist die rechnerische Probe erfüllt.

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== Dynamischer Einstieg: Nullstellen und faktorisierte Form ==

Verändere im GeoGebra-Modell die Faktoren. Beobachte, wie sich die Nullstellen des Graphen verschieben.

<iframe src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dYQaf4RZ/width/800/height/520/border/888888/rc/false/ai/false" width="100%" height="520"></iframe>

'''Denkfrage:''' Was geschieht mit dem Graphen, wenn zwei gleiche Linearfaktoren auftreten?

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= Methode 1: Faktorisieren und Satz vom Nullprodukt =

Für Produkte gilt:

<math>a\cdot b=0 \Leftrightarrow a=0</math> oder <math>b=0</math>.

Beispiel:

<math>f(x)=2(x-3)(x+1)</math>

Nullstellenbedingung:

<math>2(x-3)(x+1)=0</math>

Daraus:

<math>x-3=0</math> oder <math>x+1=0</math>

also

<math>x_1=3,\qquad x_2=-1</math>.

'''Graphische Kontrolle:''' Der Graph muss die <math>x</math>-Achse bei <math>x=-1</math> und <math>x=3</math> treffen.

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== Ausklammern ==

Beispiel:

<math>f(x)=x^3-4x</math>

Zuerst ausklammern:

<math>f(x)=x(x^2-4)</math>

Dann Differenz zweier Quadrate:

<math>f(x)=x(x-2)(x+2)</math>

Nullstellen:

<math>x_1=-2,\qquad x_2=0,\qquad x_3=2</math>.

'''Leistungsfach-Impuls:''' Begründe, warum eine Faktorisierung die Nullstellen sichtbar macht und warum der Satz vom Nullprodukt nur bei einem Produkt angewendet werden darf.

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== Vielfachheit von Nullstellen ==

[[Datei:Polynomial roots multiplicity.svg|500px|rahmenlos|center]]

Bei

<math>f(x)=(x-a)^k\cdot g(x)</math>

ist <math>a</math> eine Nullstelle der Vielfachheit <math>k</math>, sofern <math>g(a)\neq 0</math>.

'''Anschaulich:'''
# Bei ungerader Vielfachheit wechselt der Graph typischerweise die Seite der <math>x</math>-Achse.
# Bei gerader Vielfachheit berührt der Graph die <math>x</math>-Achse und kehrt um.

<iframe src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ybarda2a/width/800/height/520/border/888888/rc/false/ai/false" width="100%" height="520"></iframe>

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= Methode 2: Quadratische Gleichungen =

Beispiel:

<math>f(x)=x^2-5x+6</math>

Faktorisieren:

<math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math>

also

<math>x_1=2,\qquad x_2=3</math>.

Wenn keine einfache Faktorisierung erkennbar ist, kann eine quadratische Lösungsformel verwendet werden.

Für

<math>ax^2+bx+c=0</math>

gilt:

<math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>.

[[Datei:Quadratic function graph key values.svg|500px|rahmenlos|center]]

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== Exakt oder näherungsweise? ==

Beispiel:

<math>x^2-2=0</math>

Exakt:

<math>x_1=-\sqrt{2},\qquad x_2=\sqrt{2}</math>

Näherungsweise:

<math>x_1\approx -1{,}414,\qquad x_2\approx 1{,}414</math>.

'''Prüfungsregel:''' Wenn eine exakte Darstellung möglich und verlangt ist, darf die Dezimalzahl sie nicht ersetzen. Eine Dezimalzahl eignet sich zusätzlich zur Einordnung oder Kontrolle.

{{BR}}
== Dynamische Parabelkontrolle ==

<iframe src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/srcnbvt6/width/800/height/520/border/888888/rc/false/ai/false" width="100%" height="520"></iframe>

[[Datei:Schnittpunkte von Parabeln mit den Koordinatenachsen - kolleg24 Mathematik.webm|500px|center]]

{{BR}}
= Methode 3: Substitution bei biquadratischen Gleichungen =

Beispiel:

<math>f(x)=x^4-5x^2+4</math>

Setze

<math>z=x^2</math>.

Dann:

<math>z^2-5z+4=0</math>

Faktorisieren:

<math>(z-1)(z-4)=0</math>

also

<math>z_1=1,\qquad z_2=4</math>.

Rücksubstitution:

<math>x^2=1</math> oder <math>x^2=4</math>

liefert

<math>x=-2,-1,1,2</math>.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=aZw6ddi6gvs |500|center}}

'''Fehlerwarnung:''' Nach der Substitution musst Du zur ursprünglichen Variablen zurückkehren.

{{BR}}
= Methode 4: Polynomdivision zur Faktorisierung =

Ist bei einem Polynom eine Nullstelle <math>x_0</math> bekannt, dann ist

<math>x-x_0</math>

ein Linearfaktor.

Beispiel:

<math>f(x)=x^3-6x^2+11x-6</math>

Da

<math>f(1)=0</math>,

ist <math>x-1</math> ein Faktor. Nach Division erhältst Du:

<math>f(x)=(x-1)(x^2-5x+6)</math>

und weiter:

<math>f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)</math>.

Damit:

<math>x_1=1,\qquad x_2=2,\qquad x_3=3</math>.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=UO47QHJhosk |500|center}}

'''Leistungsfach:''' Begründe den Zusammenhang zwischen Nullstelle und Linearfaktor. Nutze die Polynomdivision nicht nur mechanisch.

{{BR}}
= Methode 5: Exponentialfunktionen =

Beispiel:

<math>f(x)=3\mathrm{e}^{0{,}5x}-7</math>

Nullstellenbedingung:

<math>3\mathrm{e}^{0{,}5x}-7=0</math>

<math>\mathrm{e}^{0{,}5x}=\frac{7}{3}</math>

Logarithmieren:

<math>0{,}5x=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math>

also exakt:

<math>x=2\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math>

und näherungsweise:

<math>x\approx 1{,}695</math>.

[[Datei:Exponential function and logarithm.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=f4Op1ll_wjM |500|center}}

'''Wichtig:''' Die Exponentialfunktion <math>\mathrm{e}^x</math> selbst wird nie null. Nullstellen entstehen hier durch die Verschiebung beziehungsweise weitere Terme.

{{BR}}
= Methode 6: Logarithmusfunktionen =

Beispiel:

<math>f(x)=\ln(x+2)-1</math>

Definitionsbedingung:

<math>x+2>0</math>

also

<math>x>-2</math>.

Nullstellenbedingung:

<math>\ln(x+2)-1=0</math>

<math>\ln(x+2)=1</math>

<math>x+2=\mathrm{e}</math>

also exakt:

<math>x=\mathrm{e}-2</math>

und näherungsweise:

<math>x\approx 0{,}718</math>.

'''Kontrolle:''' Die Lösung erfüllt die Definitionsbedingung.

{{BR}}
= Methode 7: Trigonometrische Funktionen =

Beispiel im Intervall <math>[0,2\pi]</math>:

<math>f(x)=\sin(x)-\frac{1}{2}</math>

Nullstellenbedingung:

<math>\sin(x)=\frac{1}{2}</math>.

Daraus:

<math>x_1=\frac{\pi}{6},\qquad x_2=\frac{5\pi}{6}</math>.

[[Datei:Sine cosine plot.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Achtung:''' Bei trigonometrischen Gleichungen ist das vorgegebene Intervall entscheidend. Ohne Intervall gibt es periodisch unendlich viele Lösungen.

{{BR}}
= Methode 8: Gebrochen-rationale Funktionen =

Beispiel:

<math>f(x)=\frac{x-1}{x+2}</math>.

Eine Nullstelle liegt vor, wenn der Zähler null und der Nenner ungleich null ist.

<math>x-1=0</math>

liefert

<math>x=1</math>.

Die Stelle

<math>x=-2</math>

gehört nicht zur Definitionsmenge und ist keine Nullstelle.

'''Merke:''' Zähler null, Nenner nicht null.

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= Graphische Bestimmung und Kontrolle =

Graphisch bestimmst Du Nullstellen als <math>x</math>-Koordinaten von Schnitt- oder Berührpunkten mit der <math>x</math>-Achse.

'''Stärken:''' schnelle Übersicht, Plausibilitätsprüfung, näherungsweise Werte.

'''Grenzen:''' Zoom und Fensterwahl beeinflussen die Genauigkeit. Eine Berührung kann leicht übersehen werden. Ein Graph ersetzt keine exakte algebraische Begründung.

[[Datei:Quadratic roots.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Beispiel:'''

<math>f(x)=x^3+x-1</math>

hat eine reelle Nullstelle ungefähr bei

<math>x\approx 0{,}682</math>.

Eine graphische Darstellung kann diesen Wert eingrenzen. Im Leistungsfach 2027 ist ein formales Näherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung jedoch kein Gegenstand der schriftlichen Abiturprüfung.

{{BR}}
= Verfahrenswahl =

'''Lineare Funktion:''' Äquivalenzumformung.

'''Produktform:''' Satz vom Nullprodukt.

'''Quadratische Funktion:''' Faktorisieren oder Lösungsformel.

'''Biquadratische Struktur:''' Substitution.

'''Polynom höheren Grades mit bekannter Nullstelle:''' Linearfaktor und Polynomdivision.

'''Exponentialgleichung:''' isolieren und logarithmieren.

'''Logarithmusgleichung:''' Definitionsmenge prüfen und exponentieren.

'''Trigonometrische Gleichung:''' Grundlösungen und Intervall beziehungsweise Periodizität beachten.

'''Gebrochen-rationale Funktion:''' Zähler null setzen und Definitionsmenge prüfen.

{{BR}}
= Interaktive Beispiele mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Beispiel 1: Produktform ==

Bestimme die Nullstellen von

<math>f(x)=-3(x+4)(x-2)^2</math>.

'''Hilfe 1:''' Setze jeden variablen Faktor gleich null.

'''Hilfe 2:''' Die Potenz <math>2</math> verändert die Nullstelle nicht, aber ihre Vielfachheit.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback und Lösung:''' <math>x_1=-4</math> ist eine einfache Nullstelle. <math>x_2=2</math> ist eine doppelte Nullstelle. Der Graph kreuzt bei <math>-4</math> die Achse und berührt sie bei <math>2</math>.
</div>

{{BR}}
== Beispiel 2: Substitution ==

Bestimme die reellen Nullstellen von

<math>f(x)=x^4-13x^2+36</math>.

'''Hilfe:''' Setze <math>z=x^2</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback und Lösung:''' <math>z^2-13z+36=(z-4)(z-9)</math>. Also <math>z=4</math> oder <math>z=9</math>. Rücksubstitution liefert <math>x=-3,-2,2,3</math>.
</div>

{{BR}}
== Beispiel 3: Exakt und näherungsweise ==

Bestimme die Nullstelle von

<math>f(x)=2\mathrm{e}^{x}-5</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback und Lösung:''' <math>2\mathrm{e}^x=5</math>, also <math>x=\ln\left(\frac{5}{2}\right)</math>. Näherungsweise gilt <math>x\approx 0{,}916</math>. Der Logarithmusausdruck ist das exakte Ergebnis.
</div>

{{BR}}
== Beispiel 4: Definitionsmenge ==

Bestimme die Nullstelle von

<math>f(x)=\frac{x+3}{x-1}</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback und Lösung:''' <math>x=-3</math>. Der ausgeschlossene Wert <math>x=1</math> ist keine Nullstelle, sondern eine Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist.
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =

'''Fehler A:''' Aus <math>x(x-3)=5</math> wird direkt <math>x=0</math> oder <math>x=3</math> geschlossen.

'''Warum falsch?''' Der Satz vom Nullprodukt gilt nur, wenn das Produkt gleich null ist.

'''Fehler B:''' Aus <math>x^2=9</math> wird nur <math>x=3</math> notiert.

'''Korrekt:''' <math>x=\pm 3</math>.

'''Fehler C:''' Ein Taschenrechnerwert wie <math>1{,}414</math> wird als exakt bezeichnet.

'''Korrekt:''' <math>\sqrt{2}</math> ist exakt, <math>1{,}414</math> ist gerundet.

'''Fehler D:''' Bei <math>\ln(x-4)=0</math> wird die Definitionsbedingung ignoriert.

'''Korrekt:''' Zuerst <math>x>4</math> beachten.

'''Fehler E:''' Ein Graph zeigt scheinbar keine Nullstelle und dies wird ohne weitere Prüfung übernommen.

'''Korrekt:''' Fenster, Skalierung und mögliche Berührstellen prüfen.

'''Fehler F:''' Eine KI-Ausgabe wird ungeprüft übernommen.

'''Korrekt:''' Rechenweg, Definitionsmenge, Probe und gegebenenfalls Gegenbeispiel prüfen. '''KI-Ausgaben ersetzen keinen mathematischen Beweis.'''

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Ordne Dir pro Aussage 0, 1 oder 2 Punkte zu: 0 = unsicher, 1 = teilweise sicher, 2 = sicher.

# Ich kann aus <math>f(x)=0</math> eine geeignete Gleichung bilden.
# Ich erkenne eine Produktform und nutze den Satz vom Nullprodukt korrekt.
# Ich kann zwischen exaktem und gerundetem Ergebnis unterscheiden.
# Ich beachte Definitionsmengen.
# Ich kann graphisch prüfen, ohne den Graphen mit einem Beweis zu verwechseln.
# Ich kann bei einem Polynom eine sinnvolle Faktorisierungsstrategie wählen.
# Ich kann im Leistungsfach einen Lösungsweg begründen.

'''Orientierung:''' 11 bis 14 Punkte: sicher; 7 bis 10 Punkte: gezielt nacharbeiten; 0 bis 6 Punkte: Grundlagen wiederholen und Beispiele erneut bearbeiten.

{{BR}}
= Transfer =

Eine Flugbahn werde näherungsweise beschrieben durch

<math>h(t)=-5t^2+20t+1</math>.

Die Nullstelle mit <math>t>0</math> beschreibt modellhaft den Zeitpunkt des Auftreffens auf dem Boden.

'''Auftrag:''' Löse <math>h(t)=0</math>, interpretiere nur die sachlich sinnvolle Lösung und kontrolliere sie graphisch.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hinweis:''' Eine mathematisch zulässige Nullstelle kann im Sachkontext unbrauchbar sein, etwa wenn sie eine negative Zeit beschreibt.
</div>

{{BR}}
= Kompetenzcheck Basisfach und Leistungsfach =

'''Basisfach:''' Bestimme die Nullstellen von <math>f(x)=x^2-7x+12</math>, kontrolliere sie graphisch und erläutere den Zusammenhang zwischen Rechnung und Graph.

'''Leistungsfach:''' Untersuche <math>f_a(x)=(x-a)^2(x+2)</math> in Abhängigkeit von <math>a</math>. Beschreibe Nullstellen, Vielfachheiten und graphisches Verhalten und begründe Deine Aussagen formal.

'''Modellierung:''' Entscheide bei einer Sachaufgabe, welche Nullstellen mathematisch entstehen und welche davon im Modell sinnvoll sind.

{{BR}}
= Reflexion =

Beantworte schriftlich:

# Wann ist eine graphische Nullstelle ausreichend und wann brauchst Du einen exakten Wert?
# Welches Verfahren erkennst Du am schnellsten?
# Bei welchem Funktionstyp machst Du noch typische Fehler?
# Wie kannst Du ein digitales Ergebnis unabhängig prüfen?
# Welche zusätzliche Begründung würdest Du im Leistungsfach ergänzen?

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was gilt für jede Nullstelle x0 einer Funktion f?'''
(f von x0 ist gleich null)
(!x0 ist immer positiv)
(!Der Graph hat dort immer einen Hochpunkt)
(!Die Ableitung ist dort immer null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Nullstellen hat f von x gleich x minus 2 mal x plus 5?'''
(x gleich 2 und x gleich minus 5)
(!x gleich minus 2 und x gleich 5)
(!x gleich 2)
(!x gleich minus 5)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welches Verfahren ist für x hoch 4 minus 5x hoch 2 plus 4 gleich null besonders geeignet?'''
(Substitution)
(!Ableiten)
(!Integrieren)
(!Vektorrechnung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist die exakte positive Lösung von x hoch 2 gleich 2?'''
(Wurzel aus 2)
(!1 Komma 41)
(!2)
(!Wurzel aus 4)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann darf der Satz vom Nullprodukt direkt angewendet werden?'''
(Wenn ein Produkt gleich null ist)
(!Wenn eine Summe gleich fünf ist)
(!Wenn eine Ableitung gleich null ist)
(!Bei jeder quadratischen Gleichung ohne Umformung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was muss bei einer gebrochen rationalen Funktion zusätzlich geprüft werden?'''
(Ob der Nenner ungleich null ist)
(!Ob der Zähler immer positiv ist)
(!Ob die Ableitung konstant ist)
(!Ob der Graph symmetrisch ist)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zu einem graphisch abgelesenen Nullstellenwert ist korrekt?'''
(Er ist häufig nur näherungsweise bestimmt)
(!Er ist immer exakt)
(!Er ersetzt jede Rechnung)
(!Er ist unabhängig von der Skalierung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was kennzeichnet eine doppelte Nullstelle bei einem Polynom typischerweise?'''
(Der Graph berührt dort die x Achse)
(!Der Graph hat dort zwingend eine Polstelle)
(!Der Graph ist dort nicht definiert)
(!Der Graph hat dort zwingend den Wert eins)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Gleichung entsteht aus f von x gleich 3e hoch 0 Komma 5x minus 7 für eine Nullstelle?'''
(3e hoch 0 Komma 5x gleich 7)
(!3e hoch 0 Komma 5x gleich minus 7)
(!e hoch x gleich null)
(!0 Komma 5x gleich 7)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage gilt für das Leistungsfach Mathematik im schriftlichen Abitur Baden Württemberg 2027?'''
(Näherungsverfahren sind laut Facherlass kein Gegenstand der schriftlichen Prüfung)
(!GeoGebra ist als allgemeines Prüfungshilfsmittel zugelassen)
(!Der gesamte schriftliche Teil wird mit Taschenrechner bearbeitet)
(!Nullstellen dürfen nur graphisch bestimmt werden)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Nullstelle || Funktionswert null
|-
| Produktform || Satz vom Nullprodukt
|-
| Biquadratische Gleichung || Substitution
|-
| Dezimalwert || Näherung
|-
| Wurzelausdruck || exaktes Ergebnis
|-
| Nennernullstelle || ausgeschlossener Wert
|-
| doppelte Nullstelle || Berührung der x-Achse
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Faktorisieren'''
| Produktform herstellen
|-
| '''Substitution'''
| Potenzstruktur vereinfachen
|-
| '''Logarithmieren'''
| Exponentialgleichung lösen
|-
| '''Graphische Kontrolle'''
| Nullstellenlage prüfen
|-
| '''Definitionsmenge'''
| ausgeschlossene Werte beachten

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Nullstelle || Wie heißt ein x-Wert mit Funktionswert null?
|-
| Faktor || Wie heißt ein Teil eines Produkts?
|-
| Substitution || Wie heißt das Ersetzen eines Terms durch eine neue Variable?
|-
| Logarithmus || Welche Umkehrung hilft beim Lösen von Exponentialgleichungen?
|-
| Parabel || Wie heißt der typische Graph einer quadratischen Funktion?
|-
| Definitionsmenge || Wie heißt die Menge aller zulässigen Eingabewerte?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+-+Nullstellen+rechnerisch+und+graphisch+bestimmen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine Nullstelle <math>x_0</math> erfüllt die Gleichung { <math>f(x_0)=0</math> }. Liegt ein Funktionsterm als Produkt vor, hilft der { Satz vom Nullprodukt }. Bei einer biquadratischen Gleichung kann die Potenzstruktur durch eine { Substitution } vereinfacht werden. Ein Ergebnis wie <math>\sqrt{2}</math> ist { exakt }, während <math>1{,}414</math> eine { Näherung } ist. Bei gebrochen-rationalen Funktionen muss zusätzlich die { Definitionsmenge } geprüft werden. Eine graphische Lösung liefert häufig nur einen { Näherungswert }. Bei einer doppelten Nullstelle { berührt } der Graph typischerweise die x-Achse. Zum Lösen einer Exponentialgleichung kann der { Logarithmus } verwendet werden. Digitale Werkzeuge dienen im Kurs zur Kontrolle, sind aber nicht automatisch { Prüfungshilfsmittel }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung A: Faktorisieren ==

Bestimme die Nullstellen von

<math>f(x)=x^3+2x^2-8x</math>.

'''Hilfe:''' Klammere zunächst <math>x</math> aus.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>f(x)=x(x^2+2x-8)=x(x+4)(x-2)</math>. Nullstellen: <math>-4,0,2</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung B: Quadratisch ==

Bestimme die Nullstellen von

<math>f(x)=2x^2-3x-2</math>.

'''Hilfe:''' Nutze eine quadratische Lösungsformel oder faktorisiere.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)</math>. Also <math>x_1=-\frac12</math> und <math>x_2=2</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung C: Exponentialfunktion ==

Bestimme die Nullstelle von

<math>f(x)=4\mathrm{e}^{2x}-9</math>.

'''Hilfe:''' Isoliere zuerst den Exponentialterm.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>\mathrm{e}^{2x}=\frac94</math>, also <math>x=\frac12\ln\left(\frac94\right)=\ln\left(\frac32\right)</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung D: Logarithmus ==

Bestimme die Nullstelle von

<math>f(x)=\ln(2x-1)</math>.

'''Hilfe:''' Beachte zuerst <math>2x-1>0</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>\ln(2x-1)=0</math> führt zu <math>2x-1=1</math>. Damit <math>x=1</math>; die Definitionsbedingung ist erfüllt.
</div>

{{BR}}
== Übung E: Graph versus Rechnung ==

Zeichne

<math>f(x)=x^2-2</math>

mit einem dynamischen Graphen. Lies die Nullstellen ab und vergleiche sie mit dem exakten Ergebnis.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' Graphisch erhältst Du ungefähr <math>\pm1{,}414</math>. Rechnerisch exakt gilt <math>x=\pm\sqrt{2}</math>.
</div>

{{BR}}
= Medienlabor =

'''Freie Grafik: Polynom dritten Grades'''

[[Datei:Polynomial of degree three.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Freie Grafik: Vielfachheiten von Nullstellen'''

[[Datei:Polynomial roots multiplicity.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Freie Grafik: Quadratische Nullstellen'''

[[Datei:Quadratic roots.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Freie Grafik: Exponentialfunktion und Logarithmus'''

[[Datei:Exponential function and logarithm.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Freie Grafik: Sinus und Kosinus'''

[[Datei:Sine cosine plot.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Freies Erklärvideo auf Wikimedia Commons'''

[[Datei:Schnittpunkte von Parabeln mit den Koordinatenachsen - kolleg24 Mathematik.webm|500px|center]]

'''Dynamisches Modell: Nullstellen und Linearfaktoren'''

<iframe src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dYQaf4RZ/width/800/height/520/border/888888/rc/false/ai/false" width="100%" height="520"></iframe>

'''Dynamisches Modell: Vielfachheit und Vorzeichenwechsel'''

<iframe src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ybarda2a/width/800/height/520/border/888888/rc/false/ai/false" width="100%" height="520"></iframe>

'''Video: drei Lösungswege'''

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=6lQmoS2lSDk |500|center}}

'''Video: Substitution'''

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=aZw6ddi6gvs |500|center}}

'''Video: Polynomdivision'''

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=UO47QHJhosk |500|center}}

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Nullstelle erkennen]]: Fotografiere oder zeichne drei unterschiedliche Graphen mit null, einer und zwei reellen Nullstellen und markiere die entscheidenden Stellen.
# [[Faktorisieren]]: Erstelle eine eigene Funktion mit genau drei vorgegebenen ganzzahligen Nullstellen und überprüfe sie rechnerisch.
# [[Graphische Kontrolle]]: Wähle eine quadratische Funktion, berechne ihre Nullstellen und kontrolliere sie mit einem dynamischen Graphen.
# [[Fehlerkarte]]: Gestalte eine Lernkarte zu einem typischen Fehler bei der Nullstellenbestimmung.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Verfahrensvergleich]]: Löse dieselbe kubische Gleichung durch Faktorisieren und graphische Kontrolle und vergleiche die Aussagekraft beider Darstellungen.
# [[Exakt und näherungsweise]]: Sammle fünf Nullstellen, die sich exakt darstellen lassen, und ergänze jeweils eine sinnvolle Dezimalnäherung.
# [[Funktionstypen]]: Entwickle je eine Aufgabe zu einer Polynom-, Exponential- und Logarithmusfunktion und verfasse vollständige Lösungen.
# [[GeoGebra-Experiment]]: Untersuche mit einem Schieberegler, wie sich die Nullstellen von <math>f_a(x)=x^2-a</math> in Abhängigkeit von <math>a</math> verändern.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Parameteraufgabe]]: Untersuche <math>f_a(x)=x^2-2ax+a-1</math> hinsichtlich der Anzahl reeller Nullstellen in Abhängigkeit von <math>a</math>.
# [[Modellierung]]: Entwickle eine realistische Sachaufgabe, in der nur eine von mehreren mathematischen Nullstellen sachlich sinnvoll ist, und begründe die Auswahl.
# [[Beweisidee]]: Begründe formal, warum aus <math>f(x_0)=0</math> für ein Polynom folgt, dass <math>x-x_0</math> ein Faktor ist.
# [[Prüfungscheck 2027]]: Erstelle aus den offiziellen Vorgaben eine kurze Übersicht, welche Hilfsmittel im Mathematik-Abitur 2027 wann eingesetzt werden dürfen, und trenne Übungssoftware klar von Prüfungshilfsmitteln.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Strategiewahl]]: Für fünf verschieden strukturierte Funktionsterme sollst Du jeweils ein geeignetes Verfahren zur Nullstellenbestimmung auswählen und Deine Wahl begründen, ohne die Gleichung vollständig zu lösen.
# [[Darstellungswechsel]]: Zu einem gegebenen Graphen mit einer einfachen und einer doppelten Nullstelle entwickelst Du einen möglichen Funktionsterm und begründest die Vielfachheiten.
# [[Exaktheit]]: Vergleiche ein exaktes Ergebnis und eine Dezimalnäherung derselben Nullstelle. Erläutere, in welcher Situation welche Darstellung sinnvoller ist.
# [[Fehlerdiagnose]]: Analysiere einen fehlerhaften Lösungsweg, bei dem der Satz vom Nullprodukt falsch angewendet wird, und korrigiere ihn vollständig.
# [[Definitionsmenge]]: Untersuche eine gebrochen-rationale und eine logarithmische Funktion. Zeige, wie die Definitionsmenge das Ergebnis der Nullstellenbestimmung beeinflusst.
# [[Modelltransfer]]: Interpretiere Nullstellen einer Funktion in einem Sachkontext und begründe, welche mathematischen Lösungen im Modell verworfen werden müssen.
# [[Prüfungsargumentation]]: Erkläre, warum ein mit GeoGebra gefundener Dezimalwert eine algebraische Begründung nicht ersetzt und wie Du das Ergebnis unabhängig überprüfst.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können:
# Nullstellen sicher als Lösungen von <math>f(x)=0</math> zu bestimmen.
# Faktorisieren, Nullprodukt, quadratische Lösungsverfahren und Substitution passend einzusetzen.
# bei höheren Polynomen einen bekannten Linearfaktor für eine weitere Zerlegung zu nutzen.
# Exponential- und Logarithmusgleichungen korrekt umzuformen.
# Definitionsmengen und ausgeschlossene Werte zu berücksichtigen.
# exakte und näherungsweise Ergebnisse klar zu unterscheiden.
# graphische Kontrollen sinnvoll einzusetzen und ihre Grenzen zu benennen.
# Rechenwege nachvollziehbar zu begründen.
# im Basisfach verständig und anschaulich, im Leistungsfach vertieft und formal zu argumentieren.
# digitale und KI-gestützte Ergebnisse mathematisch zu prüfen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Nullstelle_(Mathematik) </iframe>

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Polynomial_roots_multiplicity.svg Wikimedia Commons: Polynomial roots multiplicity]

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Quadratic_roots.svg Wikimedia Commons: Quadratic roots]

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Schnittpunkte_von_Parabeln_mit_den_Koordinatenachsen_-_kolleg24_Mathematik.webm Wikimedia Commons: Erklärvideo zu Parabeln und Achsenschnittpunkten]

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Nullstellen]]'''
# [[Funktion]]
# [[Quadratische Gleichung]]
# [[Satz vom Nullprodukt]]
# [[Faktorisieren]]
# [[Polynomdivision]]
# [[Substitution]]
# [[Exponentialfunktion]]
# [[Logarithmus]]
# [[Trigonometrische Funktion]]
# [[Gebrochen-rationale Funktion]]
# [[Funktionsgraph]]
# [[Mathematik-Abitur]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Nullstellen]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Abitur Mathematik]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Kursstufe]]
[[Kategorie:Basisfach Mathematik]]
[[Kategorie:Leistungsfach Mathematik]]

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächstes bietet sich an:

# [[ABI - Ableitungen und Extrempunkte bestimmen]]: Nullstellen von Ableitungen zur Bestimmung stationärer Stellen nutzen.
# [[ABI - Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen]]: Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und Globalverhalten verbinden.
# [[ABI - Exponentialfunktionen im Abitur]]: Gleichungen, Ableitungen, Modelle und Wachstumsprozesse vertiefen.
# [[ABI - Integralrechnung und Flächen]]: Schnittpunkte und Nullstellen als Grenzen von Flächenberechnungen nutzen.

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI - Nullstellen rechnerisch und graphisch bestimmen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt