Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-27T19:30:35Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

Neue Seite

{{T}}
{{BR}}
= ABI - Graphen transformationssicher lesen und verändern =

'''Mini-Beschreibung:''' Untersuche Verschiebung, Streckung, Stauchung, Spiegelung und Verkettungen von Funktionsgraphen. Im Mittelpunkt steht <math>g(x)=a\cdot f(b(x-c))+d</math>. Du verknüpfst Termänderung und geometrische Wirkung und liest Graphen in beide Richtungen sicher.

'''Zielgruppe:''' Kursstufe, Mathematik-Abitur Baden-Württemberg; gemeinsamer Kurs für Basisfach und Leistungsfach mit gekennzeichneten Vertiefungen.

[[Datei:FourGeometryTransformations.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Kurzer Einstieg =

Ein Graph wird nicht nur „breiter“ oder „verschoben“. Jede Veränderung lässt sich mathematisch beschreiben.

Liegt <math>P=(u|v)</math> auf dem Graphen von <math>f</math>, also <math>v=f(u)</math>, dann gehört bei

<math>g(x)=a\cdot f(b(x-c))+d</math>

zum neuen Graphen der Punkt mit den Koordinaten

<math>x'=c+\frac{u}{b}</math>

und

<math>y'=d+a\cdot v</math>.

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/HGMS5HT3/width/900/height/600/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

'''Arbeitsauftrag:''' Verändere jeweils nur einen Schieberegler. Formuliere zuerst eine Vermutung, prüfe sie am Graphen und begründe sie anschließend rechnerisch.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=9IcxUkzYi0c |500|center}}

{{BR}}
= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du:
# [[Funktionsgraph|Funktionsgraphen]] aus Termänderungen vorhersagen und Transformationen aus Graphen rekonstruieren.
# die Parameter <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math> in <math>a\cdot f(b(x-c))+d</math> geometrisch deuten.
# horizontale und vertikale Veränderungen unterscheiden.
# Punkte, Nullstellen, Extrempunkte, Definitionsmengen und Wertemengen übertragen.
# typische Vorzeichen- und Klammerfehler erkennen und korrigieren.
# im Basisfach anschaulich und verständig argumentieren und im Leistungsfach zusätzlich formal begründen.

{{BR}}
= Vorwissen-Check =

# [[Funktionswert]]: Was bedeutet <math>f(2)=5</math> geometrisch?
# [[Koordinatensystem]]: Wo liegt der Punkt <math>(-3|4)</math>?
# [[Betrag]]: Vergleiche den Betrag von <math>-2</math> mit dem Betrag von <math>0{,}5</math>.
# [[Funktion]]: Was geschieht bei <math>f(x)+3</math> mit allen Funktionswerten?
# [[Substitution]]: Welcher Wert erfüllt <math>x-4=0</math>?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Selbstkontrolle'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>f(2)=5</math> bedeutet: <math>(2|5)</math> liegt auf dem Graphen. Der Punkt <math>(-3|4)</math> liegt links der y-Achse und oberhalb der x-Achse. Der Betrag von <math>-2</math> ist größer. Bei <math>f(x)+3</math> werden alle y-Werte um <math>3</math> erhöht. Aus <math>x-4=0</math> folgt <math>x=4</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
= Die zentrale Transformationsform =

Wir betrachten

<math>g(x)=a\cdot f(b(x-c))+d</math>.

Dabei wird <math>b=0</math> ausgeschlossen, wenn eine echte horizontale Transformation beschrieben werden soll.

# [[Verschiebung|Horizontalverschiebung]]: <math>c</math> verschiebt den Graphen in x-Richtung. Ein positives <math>c</math> bedeutet eine Verschiebung nach rechts.
# [[Verschiebung|Vertikalverschiebung]]: <math>d</math> verschiebt den Graphen in y-Richtung. Ein positives <math>d</math> bedeutet eine Verschiebung nach oben.
# [[Streckung]] in y-Richtung: Der Betrag von <math>a</math> bestimmt den vertikalen Skalierungsfaktor.
# [[Spiegelung]] an der x-Achse: Sie tritt zusätzlich auf, wenn <math>a</math> negativ ist.
# [[Streckung]] in x-Richtung: Der horizontale Skalierungsfaktor ist <math>\frac{1}{|b|}</math>.
# [[Spiegelung]] an der y-Achse: Sie tritt zusätzlich auf, wenn <math>b</math> negativ ist.

'''Merksatz:''' Außen wirkt direkt auf y. Innen wirkt auf x, beim Streckfaktor jedoch mit Kehrwert.

[[Datei:Translated graph of a function.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Warum wirkt der Innenfaktor mit Kehrwert? ==

Nimm einen Ausgangspunkt <math>P=(u|f(u))</math>. Im neuen Term soll innen wieder <math>u</math> stehen:

<math>b(x-c)=u</math>

<math>x-c=\frac{u}{b}</math>

<math>x=c+\frac{u}{b}</math>

Der neue y-Wert ist

<math>y=a\cdot f(u)+d</math>.

Damit gilt für die Koordinaten:

<math>x'=c+\frac{u}{b}</math>

<math>y'=d+a\cdot v</math>.

'''Leistungsfach-Vertiefung:''' Diese beiden Gleichungen begründen formal die Kehrwert-Regel und ermöglichen die Transformation ganzer Punktmengen.

{{BR}}
== Verschiebungen sicher lesen ==

Für

<math>g(x)=f(x-c)+d</math>

werden die Punktkoordinaten zu

<math>x'=u+c</math>

und

<math>y'=v+d</math>.

'''Beispiel:''' Bei

<math>g(x)=f(x-3)-2</math>

wird ein Punkt <math>(1|5)</math> zu <math>(4|3)</math>.

[[Datei:Phase shift.svg|500px|rahmenlos|center]]

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/C9vNb6fz/width/900/height/620/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

{{BR}}
== Streckung, Stauchung und Spiegelung ==

Für

<math>g(x)=a\cdot f(bx)</math>

werden die Koordinaten zu

<math>x'=\frac{u}{b}</math>

und

<math>y'=a\cdot v</math>.

'''Beispiel 1:''' <math>g(x)=3f(x)</math> multipliziert alle y-Werte mit <math>3</math>.

'''Beispiel 2:''' <math>h(x)=f(2x)</math> halbiert alle x-Koordinaten. Der Graph wird horizontal gestaucht.

'''Beispiel 3:''' <math>k(x)=-f(-x)</math> spiegelt an der y-Achse und an der x-Achse.

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/F3ujEFEA/width/900/height/620/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

{{BR}}
= Transformationen als Kette lesen =

Betrachte

<math>g(x)=-2\cdot f(\frac{1}{2}(x-3))+1</math>.

Dann gilt:

<math>a=-2</math>

<math>b=\frac{1}{2}</math>

<math>c=3</math>

<math>d=1</math>

Die geometrische Wirkung:
# In x-Richtung Streckung mit Faktor <math>2</math>.
# Verschiebung um <math>3</math> nach rechts.
# Spiegelung an der x-Achse und Streckung in y-Richtung mit Faktor <math>2</math>.
# Verschiebung um <math>1</math> nach oben.

Für einen Ausgangspunkt <math>(u|v)</math> gilt direkt:

<math>x'=3+2u</math>

<math>y'=1-2v</math>.

{{BR}}
== Visueller Schritt-für-Schritt-Rechenweg ==

Wir wählen <math>f(x)=x^2</math> und <math>P=(1|1)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Schritt 1: x-Koordinate'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>x'=3+2\cdot1=5</math>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Schritt 2: y-Koordinate'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>y'=1-2\cdot1=-1</math>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Schritt 3: Kontrolle'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>g(x)=-\frac{1}{2}(x-3)^2+1</math>

<math>g(5)=-\frac{1}{2}\cdot4+1=-1</math>

Damit liegt <math>(5|-1)</math> auf dem neuen Graphen.
</div>
</div>

{{BR}}
= Achtung bei Klammern =

Die Terme <math>f(b(x-c))</math> und <math>f(bx-c)</math> haben im Allgemeinen nicht dieselbe Horizontalverschiebung.

Denn

<math>bx-c=b(x-\frac{c}{b})</math>.

'''Beispiel:'''

<math>f(2x-6)=f(2(x-3))</math>.

Die Verschiebung beträgt also <math>3</math> nach rechts, nicht <math>6</math>.

{{BR}}
= Interaktives Hauptlabor =

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ZWfds6hY/width/900/height/620/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

# Setze zunächst <math>a=1</math>, <math>b=1</math>, <math>c=0</math> und <math>d=0</math>.
# Verändere nur <math>a</math> und notiere die Wirkung.
# Stelle <math>a=1</math> zurück und verändere nur <math>b</math>.
# Untersuche anschließend <math>c</math> und <math>d</math>.
# Teste negative Werte für <math>a</math> und <math>b</math>.
# Formuliere am Ende selbst die beiden Koordinatengleichungen für <math>x'</math> und <math>y'</math>.

{{BR}}
= Interaktives Beispiel: Sinusfunktion =

Sei <math>f(x)=\sin(x)</math> und

<math>g(x)=1{,}5\sin(2(x+\frac{\pi}{4}))-0{,}5</math>.

Dann gilt

<math>a=1{,}5</math>, <math>b=2</math>, <math>c=-\frac{\pi}{4}</math> und <math>d=-0{,}5</math>.

Die Periode <math>2\pi</math> wird zu <math>\pi</math>. Die Mittellinie liegt nun bei <math>y=-0{,}5</math>. Die Amplitude ist <math>1{,}5</math>.

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/UqugmJGe/width/900/height/620/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

{{BR}}
= Besondere Punkte mittransformieren =

Für jeden Punkt <math>(u|v)</math> gilt bei <math>g(x)=a\cdot f(b(x-c))+d</math>:

<math>x'=c+\frac{u}{b}</math>

<math>y'=d+a\cdot v</math>.

'''Nullstelle:''' Ist <math>f(u)=0</math>, so hat der zugehörige Punkt des neuen Graphen die y-Koordinate <math>d</math>. Er liegt nur dann wieder auf der x-Achse, wenn <math>d=0</math> gilt.

'''Extrempunkt:''' Ein Extrempunkt wird nach denselben Koordinatengleichungen übertragen. Bei negativem <math>a</math> tauschen Maximum und Minimum ihre Rollen.

'''Wendepunkt:''' Auch ein Wendepunkt wird bei einer nicht entarteten Transformation entsprechend übertragen.

{{BR}}
== Definitionsmenge und Wertemenge ==

Ist <math>D_f</math> die Definitionsmenge, dann entsteht <math>D_g</math>, indem jede x-Koordinate <math>u</math> durch

<math>x'=c+\frac{u}{b}</math>

transformiert wird.

Ist <math>W_f</math> die Wertemenge, dann entsteht <math>W_g</math>, indem jeder y-Wert <math>v</math> durch

<math>y'=d+a\cdot v</math>

transformiert wird.

'''Leistungsfach:''' Begründe diese Aussagen aus den Koordinatengleichungen.

{{BR}}
= Üben mit Hilfe und Feedback =

{{BR}}
== Übung 1: Parameter lesen ==

Gegeben ist

<math>g(x)=3f(-2(x-1))+4</math>.

Bestimme <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> und beschreibe die Transformation.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Vergleiche direkt mit <math>a f(b(x-c))+d</math>. Denke beim Innenfaktor an den Kehrwert des horizontalen Skalierungsfaktors.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>a=3</math>, <math>b=-2</math>, <math>c=1</math>, <math>d=4</math>. Horizontal: Spiegelung an der y-Achse und Stauchung mit Faktor <math>\frac{1}{2}</math>, danach Verschiebung nach rechts. Vertikal: Streckung mit Faktor <math>3</math> und Verschiebung nach oben.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 2: Beschreibung in einen Term übersetzen ==

Der Graph von <math>f</math> soll an der y-Achse gespiegelt, in x-Richtung mit Faktor <math>3</math> gestreckt, um <math>2</math> nach links verschoben, in y-Richtung mit Faktor <math>\frac{1}{2}</math> gestaucht und um <math>1</math> nach unten verschoben werden.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Horizontaler Streckfaktor <math>3</math> bedeutet für den Betrag des Innenfaktors <math>\frac{1}{3}</math>. Die Spiegelung an der y-Achse macht den Innenfaktor negativ.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Eine passende Funktion ist

<math>g(x)=\frac{1}{2}f(-\frac{1}{3}(x+2))-1</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 3: Punkt übertragen ==

Auf dem Graphen von <math>f</math> liegt <math>P=(6|-2)</math>. Bestimme den entsprechenden Punkt des Graphen von

<math>g(x)=-3f(2(x+1))+5</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze <math>x'=c+\frac{u}{b}</math> und <math>y'=d+a\cdot v</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>a=-3</math>, <math>b=2</math>, <math>c=-1</math>, <math>d=5</math>.

<math>x'=-1+\frac{6}{2}=2</math>

<math>y'=5+(-3)\cdot(-2)=11</math>

Also lautet der neue Punkt <math>(2|11)</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 4: Transformation rückwärts lesen ==

Gegeben sind die Koordinatengleichungen

<math>x'=2-\frac{u}{4}</math>

und

<math>y'=3+5v</math>.

Bestimme eine passende Transformationsform.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Vergleiche mit <math>x'=c+\frac{u}{b}</math> und <math>y'=d+a\cdot v</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Es gilt <math>c=2</math>, <math>b=-4</math>, <math>d=3</math> und <math>a=5</math>. Damit:

<math>g(x)=5f(-4(x-2))+3</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =

{{BR}}
== Fehler 1: Innenfaktor nicht invertiert ==

'''Falsche Aussage:''' Bei <math>f(3x)</math> wird der Graph in x-Richtung mit Faktor <math>3</math> gestreckt.

'''Korrektur:'''

<math>3x=u</math>

<math>x=\frac{u}{3}</math>

Also werden x-Abstände gedrittelt.

{{BR}}
== Fehler 2: Minus in der Klammer falsch gelesen ==

'''Falsche Aussage:''' <math>f(x-4)</math> verschiebt um <math>4</math> nach links.

'''Korrektur:'''

<math>x-4=u</math>

<math>x=u+4</math>

Also verschiebt sich der Graph um <math>4</math> nach rechts.

{{BR}}
== Fehler 3: <math>f(2x-6)</math> als Verschiebung um 6 lesen ==

<math>2x-6=2(x-3)</math>

Die Verschiebung beträgt <math>3</math> nach rechts.

{{BR}}
== Fehler 4: Graphisches Bild mit Beweis verwechseln ==

Ein dynamischer Graph kann eine Vermutung unterstützen, aber er beweist sie nicht. Eine mathematische Begründung erfolgt zum Beispiel über

<math>b(x-c)=u</math>

und die daraus hergeleiteten Koordinatengleichungen.

'''KI-Ausgaben müssen mathematisch geprüft werden. Sie ersetzen keinen Beweis.'''

{{BR}}
= Weitere Transformationen und Ausblick =

Die Form <math>a f(b(x-c))+d</math> beschreibt achsenparallele Skalierungen, Spiegelungen und Verschiebungen.

[[Datei:2D affine transformation matrix.svg|500px|rahmenlos|center]]

Eine andere Transformation ist die Spiegelung eines Funktionsgraphen an der Geraden <math>y=x</math>. Ist die Funktion umkehrbar, entsteht der Graph der [[Umkehrfunktion]].

[[Datei:Obtaining the inverse function by reflection (small).gif|400px|rahmenlos|center]]

'''Leistungsfach-Ausblick:''' Die beiden Koordinatengleichungen verbinden Funktionsanalyse und [[Analytische Geometrie]].

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=J6GsLUZtK9E |500|center}}

{{BR}}
= Basisfach und Leistungsfach =

'''Gemeinsamer Kern:''' Transformationen sicher erkennen, ausführen, grafisch deuten und begründet erklären.

'''Basisfach:''' Schwerpunkt auf verständigen Verfahren, charakteristischen Punkten und anschaulicher Argumentation.

'''Leistungsfach:''' Zusätzlich vertiefte Formalisierung, Mengenbetrachtungen, Verkettungen, Parameterabhängigkeiten und Modellierung.

{{BR}}
= Abitur Baden-Württemberg: Prüfungsbezug =

Für den Prüfungsjahrgang 2027 verweist der Facherlass des Ministeriums für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg auf die Kompetenzen des Bildungsplans 2016. Im Leistungsfach umfasst die schriftliche Mathematikprüfung <math>300</math> Minuten einschließlich Auswahlzeit. Ein erster Teil wird ohne die später zugelassenen mathematischen Hilfsmittel bearbeitet; Formelsammlung und zugelassener wissenschaftlicher Taschenrechner werden erst danach verwendet.

Im Basisfach ist Mathematik im Facherlass 2027 als mündliche Prüfung vorgesehen. Analysis gehört zu den möglichen Sachgebieten.

'''Prüfungshinweis:''' Verbindlich sind immer der Facherlass Deines konkreten Prüfungsjahrgangs und die Hinweise Deiner Schule. Digitale Übungswerkzeuge wie GeoGebra sind nicht automatisch Prüfungshilfsmittel.

[https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Offizielle Informationen des Kultusministeriums Baden-Württemberg zum Abitur]

{{BR}}
= Transfer: Vom Graphen zum Term =

Angenommen, ein markanter Punkt wandert von <math>(0|0)</math> nach <math>(3|-1)</math>, horizontale Abstände werden halbiert, der Graph wird an der x-Achse gespiegelt und vertikale Abstände werden verdoppelt.

Dann passt

<math>a=-2</math>, <math>b=2</math>, <math>c=3</math> und <math>d=-1</math>.

Eine passende Funktion ist

<math>g(x)=-2f(2(x-3))-1</math>.

'''Denkfrage:''' Welche zusätzliche geometrische Wirkung hätte ein negativer Wert von <math>b</math>?

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

Bewerte Dich jeweils mit „sicher“, „teilweise“ oder „noch üben“.

# Ich kann bei <math>f(x-c)</math> die Richtung der Verschiebung korrekt nennen.
# Ich kann die Kehrwert-Regel bei <math>f(bx)</math> erklären.
# Ich kann negative Werte von <math>a</math> und <math>b</math> geometrisch deuten.
# Ich kann einen charakteristischen Punkt mit den Koordinatengleichungen übertragen.
# Ich kann einen beschriebenen Transformationsprozess in einen Funktionsterm übersetzen.
# Ich kann aus <math>f(4x-8)</math> zuerst eine passende Klammerform herstellen.
# Ich kann digitale Darstellungen nutzen, ohne sie mit einer mathematischen Begründung zu verwechseln.

{{BR}}
= Reflexion =

# [[Lernstrategie]]: Welche Regel hilft Dir am meisten gegen Vorzeichenfehler?
# [[Mathematische Argumentation]]: Wann reicht eine Zeichnung, und wann brauchst Du eine Rechnung?
# [[Darstellungswechsel]]: Fällt Dir Term zu Graph oder Graph zu Term leichter? Begründe.
# [[Fehlerkultur]]: Welchen typischen Fehler erkennst Du jetzt am schnellsten?

{{BR}}
= Folgekurs =

Passende nächste Themen sind [[Funktionenschar]], [[Kurvendiskussion]], [[Ableitung]], [[Umkehrfunktion]], [[Exponentialfunktion]], [[Trigonometrische Funktion]] und [[Modellierung]].

[https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe2/analysis/funktionenscharen/index.html Funktionenscharen auf dem Landesbildungsserver Baden-Württemberg]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}
'''Welche Wirkung hat der Parameter d?'''
(Verschiebung in y-Richtung)
(!Streckung in x-Richtung)
(!Spiegelung an der y-Achse)
(!Änderung des Innenfaktors)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Verschiebung beschreibt f von x minus 5?'''
(Um 5 nach rechts)
(!Um 5 nach links)
(!Um 5 nach oben)
(!Um 5 nach unten)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welcher horizontale Skalierungsfaktor gehört zum Innenfaktor 4?'''
(Ein Viertel)
(!Vier)
(!Minus vier)
(!Zwei)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was bewirkt ein negativer Außenfaktor zusätzlich?'''
(Spiegelung an der x-Achse)
(!Spiegelung an der y-Achse)
(!Verschiebung nach links)
(!Verschiebung nach unten)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was bewirkt ein negativer Innenfaktor zusätzlich?'''
(Spiegelung an der y-Achse)
(!Spiegelung an der x-Achse)
(!Verschiebung nach oben)
(!Vertikale Streckung)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Klammerform ist zu 2x minus 6 äquivalent?'''
(2 mal x minus 3 in Klammern)
(!2 mal x minus 6 in Klammern)
(!2 mal x plus 3 in Klammern)
(!x minus 3)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Formel beschreibt die neue x-Koordinate?'''
(c plus u geteilt durch b)
(!b mal u plus c)
(!u plus b geteilt durch c)
(!a plus u geteilt durch d)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wann liegt eine transformierte ursprüngliche Nullstelle wieder auf der x-Achse?'''
(Wenn d gleich null ist)
(!Wenn c gleich null ist)
(!Wenn b gleich eins ist)
(!Wenn a größer als eins ist)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Aussage zu dynamischen Graphen ist mathematisch korrekt?'''
(Sie unterstützen Vermutungen, ersetzen aber keinen Beweis)
(!Sie beweisen jede sichtbare Eigenschaft)
(!Sie machen Rechnungen überflüssig)
(!Sie sind automatisch im Abitur zugelassen)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Änderung spiegelt nur an der x-Achse?'''
(Der gesamte Funktionswert wird mit minus eins multipliziert)
(!Im Funktionsargument wird x durch minus x ersetzt)
(!Zum Funktionswert wird eins addiert)
(!Das Funktionsargument wird verdoppelt)
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Außenfaktor a || Vertikale Skalierung
|-
| Innenfaktor b || Horizontaler Kehrwertfaktor
|-
| Parameter c || Horizontalverschiebung
|-
| Parameter d || Vertikalverschiebung
|-
| Negatives a || Spiegelung an der x-Achse
|-
| Negatives b || Spiegelung an der y-Achse
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Außenfaktor'''
| Wirkung auf y-Abstände
|-
| '''Innenfaktor'''
| Kehrwertwirkung auf x-Abstände
|-
| '''Minus außen'''
| Spiegelung an der x-Achse
|-
| '''Minus innen'''
| Spiegelung an der y-Achse
|-
| '''Klammer x minus c'''
| Verschiebung nach rechts bei positivem c
|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Translation || Wie heißt eine Verschiebung fachsprachlich?
|-
| Spiegelung || Welche Transformation entsteht bei negativem Außenfaktor zusätzlich?
|-
| Streckung || Wie heißt eine Vergrößerung von Abständen durch Skalierung?
|-
| Stauchung || Wie heißt eine Verkleinerung von Abständen durch Skalierung?
|-
| Definitionsmenge || Welche Menge enthält die zulässigen Eingabewerte?
|-
| Wertemenge || Welche Menge enthält die möglichen Funktionswerte?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+-+Graphen+transformationssicher+lesen+und+verändern </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei <math>f(x-c)</math> verschiebt ein positives <math>c</math> den Graphen nach { rechts }.
Der Parameter <math>d</math> verändert die Lage des Graphen in { y-Richtung }.
Der Betrag von <math>a</math> bestimmt die vertikale { Skalierung }.
Ein negatives <math>a</math> erzeugt zusätzlich eine { Spiegelung } an der x-Achse.
Bei <math>f(bx)</math> ist der horizontale Skalierungsfaktor der { Kehrwert } von <math>|b|</math>.
Ein negatives <math>b</math> spiegelt den Graphen an der { y-Achse }.
Vor dem Ablesen einer Verschiebung aus <math>bx-c</math> sollte der innere Term { faktorisiert } werden.
Ein dynamischer Graph unterstützt eine Vermutung, ersetzt aber keinen mathematischen { Beweis }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Graphenvergleich]]: Zeichne einen einfachen Ausgangsgraphen und drei verschobene Varianten. Beschrifte die verwendeten Parameter.
# [[Schieberegler]]: Nutze ein dynamisches Graphenwerkzeug und untersuche nur den Parameter <math>c</math>. Formuliere eine Regel in eigenen Worten.
# [[Fehlersuche]]: Erfinde eine typische falsche Aussage zu <math>f(2x)</math> und korrigiere sie mit einer kurzen Rechnung.
# [[Punktabbildung]]: Wähle drei Punkte eines Graphen und übertrage sie mit einer selbst gewählten Transformation.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Transformation]]: Erstelle zu <math>g(x)=a f(b(x-c))+d</math> eine eigene visuelle Schrittfolge mit mindestens vier Transformationsschritten.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Erklärvideo zur Kehrwert-Regel. Verwende keine personenbezogenen Daten.
# [[Termrekonstruktion]]: Zeichne einen transformierten Graphen und lasse eine andere Person den Term rekonstruieren. Vergleicht die Begründungen.
# [[Sinusfunktion]]: Untersuche experimentell, wie <math>b</math> die Periode einer Sinusfunktion verändert, und leite eine allgemeine Regel ab.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Definitionsmenge]]: Untersuche Transformationen einer Wurzel- oder Logarithmusfunktion und bestimme die neue Definitionsmenge.
# [[Umkehrfunktion]]: Vergleiche die Spiegelung an der y-Achse mit der Spiegelung an <math>y=x</math> und erkläre den Unterschied.
# [[Modellierung]]: Entwickle einen realistischen Kontext, in dem Verschiebung und Skalierung eines bekannten Funktionsgraphen sinnvoll interpretiert werden.
# [[Beweis]]: Leite aus <math>g(x)=a f(b(x-c))+d</math> die beiden Koordinatengleichungen her und begründe damit die Wirkung aller vier Parameter.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Begründen]]: Erkläre, warum <math>f(5x)</math> horizontal gestaucht wird. Nutze einen beliebigen Punkt des Ausgangsgraphen.
# [[Vergleichen]]: Vergleiche <math>f(2(x-3))</math> und <math>f(2x-3)</math>. Zeige rechnerisch und geometrisch, warum die Horizontalverschiebung verschieden ist.
# [[Transfer]]: Ein charakteristischer Punkt wandert von <math>(4|-1)</math> nach <math>(0|5)</math>. Entwickle mehrere mögliche Transformationen und erkläre, warum die Information allein nicht eindeutig ist.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person behauptet, <math>-2f(-3(x+1))+4</math> sei nur nach links und oben verschoben. Analysiere vollständig, was fehlt.
# [[Modellieren]]: Ein Messkurvenverlauf soll zeitlich verzögert, zeitlich gestaucht und in seiner Amplitude verdoppelt werden. Formuliere einen passenden Term.
# [[Darstellungswechsel]]: Beschreibe eine Transformation zuerst über neue Punktkoordinaten und übersetze sie anschließend in einen Funktionsterm.
# [[Argumentieren]]: Erkläre, welche Aussagen Du aus einem dynamischen Graphen vermuten kannst und welche zusätzlich rechnerisch begründet werden sollten.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen überzeugenden Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:
# die Form <math>a f(b(x-c))+d</math> sicher lesen kannst.
# Transformationen vom Term zum Graphen und vom Graphen zum Term übersetzen kannst.
# die Kehrwert-Regel für horizontale Skalierungen begründen kannst.
# Punkte und besondere Stellen nachvollziehbar transformieren kannst.
# typische Fehler bei Vorzeichen und Klammern erkennst und korrigierst.
# zwischen anschaulicher Argumentation und formaler Begründung unterscheiden kannst.
# im Leistungsfach zusätzlich Koordinatengleichungen und Mengenbetrachtungen sauber herleitest.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Funktionsgraph </iframe>

'''Freie und offene Lernmedien:'''

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:FourGeometryTransformations.svg Wikimedia Commons: FourGeometryTransformations.svg]

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Translated_graph_of_a_function.png Wikimedia Commons: Translated graph of a function.png]

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Phase_shift.svg Wikimedia Commons: Phase shift.svg]

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:2D_affine_transformation_matrix.svg Wikimedia Commons: 2D affine transformation matrix.svg]

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Obtaining_the_inverse_function_by_reflection_(small).gif Wikimedia Commons: Animation zur Umkehrfunktion]

[https://www.geogebra.org/m/HGMS5HT3 GeoGebra: Graphen verschieben, strecken, stauchen und spiegeln]

[https://www.geogebra.org/m/C9vNb6fz GeoGebra: Eigenschaften von Funktionen und ihren Graphen]

'''Lizenzhinweis:''' Bei der Weiterverwendung von Wikimedia-Commons-Dateien gelten die Lizenz- und Namensnennungsangaben auf der jeweiligen Dateiseite. Bei extern eingebetteten Angeboten gelten zusätzlich deren Nutzungsbedingungen.

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Transformation von Funktionsgraphen]]'''
# [[Funktionsgraph]]
# [[Verschiebung]]
# [[Streckung]]
# [[Spiegelung]]
# [[Funktionenschar]]
# [[Kurvendiskussion]]
# [[Umkehrfunktion]]
# [[Analytische Geometrie]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Kursstufe]]
[[Kategorie:Oberstufe]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Basisfach]]
[[Kategorie:Leistungsfach]]
[[Kategorie:Mathematik Abitur]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI - Graphen transformationssicher lesen und verändern - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt