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2026-09-27T19:30:40Z

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{{T}}

{{BR}}
= ABI - Funktionsgraph und Funktionsterm verbinden =

'''Mini-Beschreibung:''' Ordne Funktionsterme charakteristischen Graphen zu und begründe Deine Zuordnung über [[Nullstelle|Nullstellen]], [[Symmetrie]], [[Monotonie|Wachstum]], [[Extrempunkt|Extrempunkte]] und [[Asymptote|Asymptoten]]. Du arbeitest mit [[Polynomfunktion|Polynomen]], [[Exponentialfunktion|Exponentialfunktionen]] und einfachen [[Gebrochen-rationale Funktion|gebrochen-rationalen Funktionen]] auf Abiturniveau der Kursstufe.

[[Datei:Graph Funktion animiert.gif|500px|rahmenlos|center]]

'''Leitfrage:''' Welche Eigenschaften eines Funktionsterms kannst Du erkennen, noch bevor Du eine vollständige Kurvendiskussion durchführst?

{{BR}}
= Einleitung =

Im Abitur ist häufig nicht eine lange Rechnung gefragt, sondern das schnelle Erkennen mathematischer Strukturen. Ein Graph liefert sichtbare Merkmale. Ein Funktionsterm liefert algebraische Merkmale. Deine Aufgabe ist, beide Darstellungen logisch zu verbinden.

'''Grundidee:'''

<math>\text{Funktionsterm} \longleftrightarrow \text{charakteristische Eigenschaften} \longleftrightarrow \text{Graph}</math>

Dabei reichen oft wenige Prüfschritte:

# [[Nullstelle]]: Für welche <math>x</math> gilt <math>f(x)=0</math>?
# [[Symmetrie]]: Gilt <math>f(-x)=f(x)</math> oder <math>f(-x)=-f(x)</math>?
# [[Monotonie]] und [[Extrempunkt]]: Wo steigt oder fällt der Graph? Wo gilt gegebenenfalls <math>f'(x)=0</math>?
# [[Grenzwert]]: Wie verhält sich <math>f(x)</math> für große positive und negative <math>x</math>?
# [[Asymptote]]: Gibt es Geraden, denen sich der Graph annähert?

'''Merksatz:''' Beginne nicht mit einer vollständigen Kurvendiskussion, wenn schon eine einzige Eigenschaft mehrere Kandidaten ausschließt.

{{BR}}
== Medienimpuls: Drei Funktionstypen erkennen ==

[[Datei:Graph of cubic polynomial.svg|420px|rahmenlos|center]]

Ein Polynom dritten Grades kann mehrere Nullstellen und zwei Extrempunkte besitzen. Sein Verhalten für <math>x\to\pm\infty</math> wird vom führenden Term bestimmt.

[[Datei:Exponential Functions.svg|420px|rahmenlos|center]]

Exponentialfunktionen besitzen charakteristische Wachstums- oder Zerfallsverläufe. Verschiebungen verändern mögliche waagerechte Asymptoten.

[[Datei:Function and its asymptote.svg|420px|rahmenlos|center]]

Gebrochen-rationale Funktionen können senkrechte, waagerechte oder schiefe Asymptoten besitzen.

'''Medienhinweis:''' Die eingebundenen Grafiken stammen von Wikimedia Commons. Lizenz und Urheberangaben stehen jeweils auf der Dateiseite.

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= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du

# [[Funktionsterm analysieren]]: aus einem Term Nullstellen, Symmetrien und grundlegendes Grenzverhalten ableiten.
# [[Funktionsgraph analysieren]]: markante Eigenschaften eines Graphen systematisch beschreiben.
# [[Darstellungen verknüpfen]]: einen Graphen einem passenden Term zuordnen und die Zuordnung begründen.
# [[Asymptote bestimmen]]: einfache senkrechte und waagerechte Asymptoten erkennen.
# [[Ableitung nutzen]]: Extrempunkte und Monotonie als zusätzliche Zuordnungskriterien verwenden.
# [[Argumentieren]]: eine Zuordnung nicht nur nennen, sondern mathematisch absichern.
# [[Abiturstrategie]]: zuerst starke Ausschlusskriterien verwenden und erst danach rechnen.

{{BR}}
= Abitur-Kontext Baden-Württemberg =

Der Kurs orientiert sich an der Leitidee '''funktionaler Zusammenhang''' der gymnasialen Kursstufe in Baden-Württemberg. Im Basisfach stehen verständige Verfahren, anschauliche Argumentation und das Erkennen mathematischer Zusammenhänge im Vordergrund. Im Leistungsfach kommen größere inhaltliche Breite sowie ein höherer Grad an Präzisierung, Formalisierung und Begründung hinzu.

'''Prüfungshinweis:''' Für Deine tatsächliche Abiturprüfung gilt immer der Facherlass Deines Prüfungsjahrgangs. Prüfe insbesondere die zugelassenen Hilfsmittel und die Aufgabenstruktur auf den offiziellen Seiten des Landes. Ein digitales Übungswerkzeug wie GeoGebra ist nicht automatisch ein zugelassenes Prüfungshilfsmittel.

[https://www.bildungsplaene-bw.de/ Bildungspläne Baden-Württemberg]

[https://rp.baden-wuerttemberg.de/rps/abt7/ref75/fachberater/seiten/mathematik/ Fachberater Mathematik und Abiturinformationen Baden-Württemberg]

Nach den derzeit veröffentlichten Fachinformationen bleiben die baden-württembergischen Anforderungen an wissenschaftliche Taschenrechner bis zum Prüfungsjahr 2029 maßgeblich; für spätere Jahrgänge sind die jeweils aktuellen Regelungen zu prüfen.

'''KI-Hinweis:''' KI kann Vermutungen zu Graphen und Termen liefern. Prüfe jede Aussage rechnerisch oder logisch. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.

{{BR}}
= Vorwissen-Check =

Bearbeite die fünf Kurzfragen ohne digitales Werkzeug.

'''1. Nullstelle'''

Für <math>f(x)=(x-2)(x+3)</math> gilt

<math>f(x)=0 \Longleftrightarrow x=2 \ \text{oder}\ x=-3</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe und Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze den Satz vom Nullprodukt. Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
</div>
</div>

'''2. Achsensymmetrie'''

Für <math>g(x)=x^4-3x^2</math> gilt

<math>g(-x)=(-x)^4-3(-x)^2=x^4-3x^2=g(x)</math>

Der Graph ist zur <math>y</math>-Achse symmetrisch.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe und Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gerade Exponenten bleiben beim Einsetzen von <math>-x</math> unverändert.
</div>
</div>

'''3. Punktsymmetrie zum Ursprung'''

Für <math>h(x)=x^3-2x</math> gilt

<math>h(-x)=-x^3+2x=-h(x)</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe und Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nur ungerade Potenzen ohne konstantes Glied sind ein typischer Hinweis auf Ursprungssymmetrie.
</div>
</div>

'''4. Exponentialfunktion'''

Für <math>k(x)=3e^x-2</math> gilt

<math>\lim_{x\to-\infty}k(x)=-2</math>

Damit ist <math>y=-2</math> eine waagerechte Asymptote.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe und Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze <math>e^x\to 0</math> für <math>x\to-\infty</math>.
</div>
</div>

'''5. Gebrochen-rationale Funktion'''

Für

<math>r(x)=\frac{2}{x-1}+1</math>

ist <math>x=1</math> eine senkrechte und <math>y=1</math> eine waagerechte Asymptote.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe und Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Der Nenner wird bei <math>x=1</math> null. Für große Beträge von <math>x</math> gilt <math>\frac{2}{x-1}\to 0</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
= Strategie: Vom Term zum Graphen =

Nutze möglichst diese Reihenfolge:

# '''Definitionsbereich prüfen''': Gibt es ausgeschlossene Stellen?
# '''Nullstellen prüfen''': Welche Schnittpunkte mit der <math>x</math>-Achse sind zwingend?
# '''Symmetrie prüfen''': Kannst Du die Form des Graphen sofort eingrenzen?
# '''Randverhalten prüfen''': Was passiert für <math>x\to\infty</math> und <math>x\to-\infty</math>?
# '''Asymptoten prüfen''': Welche Geraden darf der Graph nicht schneiden oder nur asymptotisch erreichen?
# '''Extrempunkte prüfen''': Erst jetzt bei Bedarf ableiten.
# '''Kontrollpunkt einsetzen''': Häufig genügt <math>x=0</math> oder ein anderer einfacher Wert.

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== Visuelle Schrittfolge ==

{| class="wikitable"
! Merkmal
! Leitfrage
|-
| Nullstellen
| Wo muss der Graph die <math>x</math>-Achse treffen?
|-
| Symmetrie
| Gibt es Spiegelung oder Punktsymmetrie?
|-
| Wachstum
| Steigt oder fällt der Graph langfristig?
|-
| Extrempunkte
| Wo wechselt die Monotonie?
|-
| Asymptoten
| Welchen Geraden nähert sich der Graph?
|}

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= Dynamisches Graphenlabor =

Nutze das dynamische Koordinatensystem, um Terme direkt mit ihren Graphen zu vergleichen.

<iframe> https://www.geogebra.org/graphing?lang=de </iframe>

'''Experiment 1: Polynome'''

Gib nacheinander ein:

<math>p(x)=(x+2)x(x-1)</math>

<math>q(x)=x^4-4x^2</math>

Beobachte Nullstellen, Symmetrie, Endverhalten und Extrempunkte.

'''Experiment 2: Exponentialfunktionen'''

<math>e_1(x)=2e^{0.5x}-1</math>

<math>e_2(x)=3e^{-x}+2</math>

Beobachte die unterschiedlichen Richtungen des Wachstums und die waagerechten Asymptoten.

'''Experiment 3: Gebrochen-rationale Funktionen'''

<math>r_1(x)=\frac{2}{x-1}+1</math>

<math>r_2(x)=\frac{x+1}{x-2}</math>

Schreibe den zweiten Term zusätzlich als

<math>r_2(x)=1+\frac{3}{x-2}</math>

und vergleiche die Asymptoten.

{{BR}}
= Interaktives Beispiel 1: Polynom zuordnen =

Gegeben sind

<math>f(x)=(x+2)x(x-1)</math>

und ein Graph mit den Nullstellen <math>-2</math>, <math>0</math> und <math>1</math>, der links nach unten und rechts nach oben verläuft.

'''Schritt 1: Nullstellen'''

<math>(x+2)x(x-1)=0</math>

<math>x=-2,\quad x=0,\quad x=1</math>

'''Schritt 2: Endverhalten'''

Der führende Term ist <math>x^3</math>.

<math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>

<math>\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty</math>

'''Schritt 3: Extrempunkte als Zusatzkontrolle'''

Zuerst ausmultiplizieren:

<math>f(x)=x^3+x^2-2x</math>

Dann ableiten:

<math>f'(x)=3x^2+2x-2</math>

Extremstellen erfüllen

<math>3x^2+2x-2=0</math>

<math>x=\frac{-1\pm\sqrt{7}}{3}</math>

'''Zuordnung:''' Der beschriebene Graph passt zu <math>f</math>, weil bereits Nullstellen und Endverhalten übereinstimmen.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Prüfungsstrategie'''
<div class="mw-collapsible-content">
Die Ableitung wäre für die reine Zuordnung häufig gar nicht nötig. Drei passende Nullstellen plus korrektes Endverhalten liefern bereits eine sehr starke Begründung.
</div>
</div>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=0F0CeyAbpmA |500|center}}

{{BR}}
= Interaktives Beispiel 2: Exponentialfunktion zuordnen =

Betrachte

<math>g(x)=2e^{0.5x}-1</math>

'''Schritt 1: Wachstum'''

Da <math>0.5>0</math>, wächst <math>e^{0.5x}</math> mit <math>x</math>. Also ist auch <math>g</math> streng wachsend.

'''Schritt 2: Waagerechte Asymptote'''

<math>\lim_{x\to-\infty}2e^{0.5x}-1=-1</math>

Damit ist

<math>y=-1</math>

eine waagerechte Asymptote.

'''Schritt 3: Achsenschnittpunkt'''

<math>g(0)=2e^0-1=1</math>

Der Graph geht durch <math>(0|1)</math>.

'''Schritt 4: Nullstelle'''

<math>2e^{0.5x}-1=0</math>

<math>e^{0.5x}=\frac12</math>

<math>0.5x=\ln\left(\frac12\right)=-\ln 2</math>

<math>x=-2\ln 2</math>

[[Datei:Exponential animation.gif|500px|rahmenlos|center]]

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Ein wachsender Graph mit waagerechter Asymptote <math>y=-1</math> und Punkt <math>(0|1)</math> ist mit diesen drei Merkmalen bereits eindeutig stark eingegrenzt.
</div>
</div>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=jJl8VWc2GZM |500|center}}

{{BR}}
= Interaktives Beispiel 3: Gebrochen-rationale Funktion zuordnen =

Betrachte

<math>h(x)=\frac{x+1}{x-2}</math>

'''Schritt 1: Senkrechte Asymptote'''

Der Nenner wird null bei

<math>x-2=0</math>

also bei

<math>x=2</math>

Da sich der Faktor nicht kürzt, besitzt der Graph dort eine senkrechte Asymptote.

'''Schritt 2: Umformen'''

<math>x+1=(x-2)+3</math>

also

<math>h(x)=1+\frac{3}{x-2}</math>

Damit ist

<math>y=1</math>

eine waagerechte Asymptote.

'''Schritt 3: Nullstelle'''

<math>x+1=0</math>

<math>x=-1</math>

'''Schritt 4: Kontrollpunkt'''

<math>h(0)=\frac{1}{-2}=-\frac12</math>

Der passende Graph besitzt also die Asymptoten <math>x=2</math> und <math>y=1</math>, schneidet die <math>x</math>-Achse bei <math>-1</math> und die <math>y</math>-Achse bei <math>-\frac12</math>.

[[Datei:Asymptote oblique.gif|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=nx2QHm6aE-w |500|center}}

{{BR}}
= Basisfach und Leistungsfach =

'''Basisfach:''' Begründe Zuordnungen bevorzugt mit klar erkennbaren Eigenschaften. Eine typische gute Begründung lautet:

„Der Graph gehört zu <math>f(x)=x^4-4x^2</math>, weil <math>f(-x)=f(x)</math> gilt, der Graph also achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse ist. Außerdem besitzt <math>f</math> die Nullstellen <math>-2</math>, <math>0</math> und <math>2</math>, wobei <math>x=0</math> eine doppelte Nullstelle ist.“

'''Leistungsfach:''' Ergänze die anschauliche Argumentation durch formale Bedingungen, Ableitungen und Grenzwerte. Zum Beispiel:

<math>f(x)=x^4-4x^2</math>

<math>f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)</math>

<math>f'(x)=0 \Longleftrightarrow x\in\{-\sqrt2,0,\sqrt2\}</math>

sowie

<math>\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty</math>

Diese Informationen sichern die qualitative Graphenform zusätzlich ab.

{{BR}}
= Schnelltest nach Funktionstyp =

{{BR}}
== Polynomfunktionen ==

Bei

<math>p(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0</math>

sind besonders wichtig:

# Grad <math>n</math> und Vorzeichen von <math>a_n</math>
# faktorisierte Form und Nullstellen
# gerade oder ungerade Potenzen als Symmetriehinweis
# Extrempunkte über <math>p'(x)=0</math>

'''Endverhalten bei positivem Leitkoeffizienten:'''

Für gerades <math>n</math>:

<math>p(x)\to\infty</math> für <math>x\to\pm\infty</math>

Für ungerades <math>n</math>:

<math>p(x)\to-\infty</math> für <math>x\to-\infty</math>

<math>p(x)\to\infty</math> für <math>x\to\infty</math>

{{BR}}
== Exponentialfunktionen ==

Eine typische Form ist

<math>f(x)=a e^{kx}+d</math>

Dabei ist <math>y=d</math> häufig eine waagerechte Asymptote.

Für <math>a>0</math> gilt:

# <math>k>0</math>: exponentielles Wachstum
# <math>k<0</math>: exponentieller Zerfall

Der Wert bei <math>x=0</math> ist besonders schnell berechnet:

<math>f(0)=a+d</math>

{{BR}}
== Einfache gebrochen-rationale Funktionen ==

Eine besonders gut erkennbare Form ist

<math>f(x)=d+\frac{a}{x-b}</math>

Dann gelten:

<math>x=b</math> als senkrechte Asymptote

und

<math>y=d</math> als waagerechte Asymptote.

Der Graph ist punktsymmetrisch zum Zentrum

<math>(b|d)</math>

sofern genau diese verschobene Hyperbelform vorliegt.

{{BR}}
= Übungsblock mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung 1: Nur ein Kriterium nötig ==

Welcher Term passt zu einem zur <math>y</math>-Achse symmetrischen Graphen?

<math>A(x)=x^3-4x</math>

<math>B(x)=x^4-4x^2</math>

<math>C(x)=e^x-1</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Prüfe <math>f(-x)</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Richtig ist <math>B</math>, denn <math>B(-x)=B(x)</math>. Bei <math>A</math> gilt Ursprungssymmetrie, bei <math>C</math> keine der beiden Standardsymmetrien.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 2: Asymptote als Ausschlusskriterium ==

Ein Graph nähert sich für <math>x\to-\infty</math> der Geraden <math>y=3</math> und wächst anschließend stark.

Welcher Term ist passend?

<math>A(x)=2e^x+3</math>

<math>B(x)=3e^{-x}+2</math>

<math>C(x)=x^3+3</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Für <math>x\to-\infty</math> gilt <math>e^x\to 0</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Richtig ist <math>A</math>. Es gilt <math>2e^x+3\to 3</math> für <math>x\to-\infty</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 3: Senkrechte Asymptote und Nullstelle ==

Ein Graph besitzt eine senkrechte Asymptote bei <math>x=2</math> und eine Nullstelle bei <math>x=-1</math>.

Welcher Term passt?

<math>A(x)=\frac{x+1}{x-2}</math>

<math>B(x)=\frac{x-2}{x+1}</math>

<math>C(x)=\frac{1}{x+2}+1</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Die Nullstelle kommt aus dem Zähler, die senkrechte Asymptote aus einer nicht gekürzten Nullstelle des Nenners.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Richtig ist <math>A</math>. Zähler null bei <math>x=-1</math>, Nenner null bei <math>x=2</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 4: Doppelte Nullstelle erkennen ==

Untersuche

<math>f(x)=x^2(x-2)(x+2)</math>

Die Nullstelle <math>x=0</math> besitzt Vielfachheit zwei. Daher berührt der Graph dort die <math>x</math>-Achse, statt das Vorzeichen zu wechseln.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Die weiteren Nullstellen <math>x=-2</math> und <math>x=2</math> sind einfach. Dort wechselt der Graph typischerweise die Seite der <math>x</math>-Achse.
</div>
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =

'''Fehler 1: „Jede Nullstelle ist ein Schnittpunkt.“'''

Nicht immer. Bei einer Nullstelle gerader Vielfachheit kann der Graph die Achse nur berühren.

Beispiel:

<math>f(x)=x^2</math>

bei <math>x=0</math>.

'''Fehler 2: „Ein Nenner gleich null bedeutet immer eine senkrechte Asymptote.“'''

Prüfe zuerst, ob sich ein gemeinsamer Faktor kürzt.

Beispiel:

<math>f(x)=\frac{x-1}{x-1}</math>

für <math>x\neq1</math>.

Hier entsteht eine Definitionslücke, aber keine senkrechte Asymptote.

'''Fehler 3: „Eine Exponentialfunktion hat immer die Asymptote <math>y=0</math>.“'''

Eine Verschiebung verändert die Asymptote.

Bei

<math>f(x)=e^x+4</math>

ist die waagerechte Asymptote

<math>y=4</math>.

'''Fehler 4: „Symmetrie kann man nur am Bild erkennen.“'''

Der Term liefert eine sichere Prüfung:

<math>f(-x)=f(x)</math>

für Achsensymmetrie zur <math>y</math>-Achse,

<math>f(-x)=-f(x)</math>

für Punktsymmetrie zum Ursprung.

'''Fehler 5: „Der Rechner zeigt den Graphen, also ist die Begründung fertig.“'''

Nein. Eine mathematische Zuordnung verlangt nachvollziehbare Kriterien. Ein Graphikwerkzeug ist ein Kontroll- und Erkundungsinstrument, kein Beweis.

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Kreuze für Dich ab:

# ☐ Ich kann aus einer faktorisierten Polynomfunktion die Nullstellen direkt ablesen.
# ☐ Ich kann Achsen- und Ursprungssymmetrie rechnerisch prüfen.
# ☐ Ich kann aus <math>a e^{kx}+d</math> die waagerechte Asymptote bestimmen.
# ☐ Ich kann bei <math>d+\frac{a}{x-b}</math> beide Asymptoten angeben.
# ☐ Ich kann das Endverhalten eines Polynoms aus Grad und Leitkoeffizient beschreiben.
# ☐ Ich kann erklären, warum eine doppelte Nullstelle graphisch anders wirkt als eine einfache.
# ☐ Ich kann mindestens zwei unabhängige Argumente für eine Graph-Term-Zuordnung angeben.

{{BR}}
= Transfer =

{{BR}}
== Transfer 1: Parameter verändern ==

Untersuche die Familie

<math>f_a(x)=e^x+a</math>

Was verändert sich, wenn <math>a</math> steigt?

Die waagerechte Asymptote ist

<math>y=a</math>

Der gesamte Graph wird in <math>y</math>-Richtung verschoben.

{{BR}}
== Transfer 2: Hyperbel verschieben ==

Untersuche

<math>g_{a,b}(x)=b+\frac{1}{x-a}</math>

Die Asymptoten sind

<math>x=a</math>

und

<math>y=b</math>

Das Symmetriezentrum liegt bei

<math>(a|b)</math>.

{{BR}}
== Transfer 3: Modellierung ==

Eine Größe wird durch

<math>N(t)=1200e^{-0.3t}+200</math>

modelliert.

Ohne vollständige Rechnung kannst Du sofort folgern:

<math>N(0)=1400</math>

und

<math>\lim_{t\to\infty}N(t)=200</math>

Der Graph fällt und nähert sich langfristig dem Wert <math>200</math>.

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

{| class="wikitable"
! Kompetenz
! Basisfach
! Leistungsfach
|-
| Nullstellen
| erkennen und deuten
| Vielfachheit und Struktur begründen
|-
| Symmetrie
| anschaulich und rechnerisch prüfen
| formal mit Funktionsgleichungen begründen
|-
| Wachstum
| qualitativ beschreiben
| mit Ableitungen und Grenzwerten absichern
|-
| Extrempunkte
| zur Zuordnung nutzen
| Bedingungen systematisch herleiten
|-
| Asymptoten
| aus einfachen Termformen erkennen
| durch Grenzwerte und Umformungen begründen
|-
| Zuordnung
| mehrere Merkmale verbinden
| effiziente und formale Argumentationskette entwickeln
|}

{{BR}}
= Reflexion =

# Welche Eigenschaft liefert Dir bei einer Zuordnungsaufgabe meist den schnellsten Ausschluss?
# Wann ist eine Ableitung wirklich nötig und wann nicht?
# Welchen Fehler machst Du eher: zu früh rechnen oder zu früh aus einer Skizze schließen?
# Kannst Du eine Zuordnung mit mindestens zwei voneinander unabhängigen Merkmalen begründen?
# Welche Aussage eines digitalen Werkzeugs würdest Du zusätzlich rechnerisch prüfen?

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächstes passen besonders:

# [[Kurvendiskussion]]
# [[Ableitung und Funktionsgraph]]
# [[Extrempunkte und Wendepunkte]]
# [[Exponentialfunktionen im Abitur]]
# [[Gebrochen-rationale Funktionen]]
# [[Modellieren mit Funktionen]]
# [[Integralrechnung]]
# [[Mathematik Abitur Baden-Württemberg]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Eigenschaft besitzt die Funktion f mit f von x gleich x hoch vier minus drei x hoch zwei?'''
(Achsensymmetrie zur y-Achse)
(!Punktsymmetrie zum Ursprung)
(!Senkrechte Asymptote)
(!Streng monotones Wachstum)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Nullstellen hat die Funktion f mit f von x gleich x mal x minus zwei?'''
(Nullstellen bei null und zwei)
(!Nur eine Nullstelle bei zwei)
(!Nullstellen bei minus zwei und zwei)
(!Keine Nullstelle)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche waagerechte Asymptote besitzt f von x gleich zwei e hoch x plus drei?'''
(y gleich drei)
(!x gleich drei)
(!y gleich zwei)
(!y gleich null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche senkrechte Asymptote besitzt f von x gleich eins durch x minus vier?'''
(x gleich vier)
(!y gleich vier)
(!x gleich minus vier)
(!y gleich null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was zeigt eine doppelte Nullstelle typischerweise im Graphen?'''
(Der Graph berührt dort die x-Achse)
(!Der Graph besitzt dort immer eine senkrechte Asymptote)
(!Der Graph hat dort zwingend einen Wendepunkt)
(!Der Graph ist dort nicht definiert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage passt zu einer Exponentialfunktion mit negativem Exponentenfaktor?'''
(Sie kann exponentiellen Zerfall beschreiben)
(!Sie ist immer achsensymmetrisch)
(!Sie besitzt immer zwei Nullstellen)
(!Sie ist stets ein Polynom)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Bedingung zeigt Achsensymmetrie zur y-Achse?'''
(f von minus x gleich f von x)
(!f von minus x gleich minus f von x)
(!f von x gleich null für alle x)
(!f Strich von x gleich null für alle x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wodurch wird bei einem Polynom das Verhalten für große Beträge von x wesentlich bestimmt?'''
(Durch den führenden Term)
(!Nur durch den konstanten Term)
(!Nur durch die Anzahl der Nullstellen)
(!Nur durch den y Achsenabschnitt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zuordnung ist bei f von x gleich d plus a durch x minus b richtig?'''
(Senkrechte Asymptote x gleich b und waagerechte Asymptote y gleich d)
(!Senkrechte Asymptote y gleich b und waagerechte Asymptote x gleich d)
(!Beide Asymptoten liegen auf den Koordinatenachsen)
(!Die Funktion besitzt keine Asymptoten)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist eine gute Strategie bei einer Graph Term Zuordnung?'''
(Zuerst starke Ausschlusskriterien wie Nullstellen und Asymptoten prüfen)
(!Immer zuerst die dritte Ableitung berechnen)
(!Nur das Aussehen des Graphen vergleichen)
(!Jeden Term vollständig integrieren)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Nullstelle || Schnitt mit oder Berührung der x-Achse
|-
| Achsensymmetrie || Bedingung f von minus x gleich f von x
|-
| Ursprungssymmetrie || Bedingung f von minus x gleich minus f von x
|-
| Exponentialfunktion || Charakteristisches Wachstum oder Zerfall
|-
| Senkrechte Asymptote || Nicht gekürzte Nennernullstelle
|-
| Waagerechte Asymptote || Grenzwert für große Beträge der Variablen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Faktorisierte Form'''
| Nullstellen schnell erkennen
|-
| '''Symmetrieprüfung'''
| Term mit minus x vergleichen
|-
| '''Grenzwert'''
| Verhalten im Unendlichen untersuchen
|-
| '''Ableitung'''
| Extremstellen untersuchen
|-
| '''Nennernullstelle'''
| Mögliche senkrechte Asymptote prüfen
|-
| '''Kontrollpunkt'''
| Letzte Kandidaten unterscheiden

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Nullstelle || Wie heißt ein x-Wert mit Funktionswert null?
|-
| Symmetrie || Welche Eigenschaft beschreibt spiegelbildliche oder punktsymmetrische Graphen?
|-
| Asymptote || Wie heißt eine Gerade, der sich ein Graph annähert?
|-
| Ableitung || Welches Werkzeug hilft bei der Bestimmung von Extremstellen?
|-
| Polynom || Wie heißt eine Summe aus Potenztermen mit ganzzahligen nichtnegativen Exponenten?
|-
| Grenzwert || Welcher Begriff beschreibt das Verhalten einer Funktion bei Annäherung?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+Funktionsgraph+und+Funktionsterm+verbinden </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei einer faktorisierten Polynomfunktion lassen sich die { Nullstellen } häufig direkt erkennen. Für Achsensymmetrie zur y-Achse prüfst Du die Gleichung { f(-x)=f(x) }. Bei einer Exponentialfunktion der Form a mal e hoch kx plus d ist y gleich { d } eine mögliche waagerechte Asymptote. Bei einer Funktion der Form d plus a durch x minus b liegt die senkrechte Asymptote bei { x=b }. Extremstellen können mit der { Ableitung } untersucht werden. Das Verhalten für große positive oder negative x-Werte wird mit einem { Grenzwert } beschrieben. Eine doppelte Nullstelle führt häufig dazu, dass der Graph die x-Achse nur { berührt }. Ein digitales Graphikwerkzeug kann eine Zuordnung kontrollieren, ersetzt aber keine mathematische { Begründung }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Graphen-Steckbrief]]: Erstelle für drei vorgegebene Graphen je einen Steckbrief mit Nullstellen, Symmetrie, Monotonie und Asymptoten.
# [[Termdetektiv]]: Suche zu jedem der drei Funktionstypen einen eigenen Term und notiere drei Merkmale, die den zugehörigen Graphen verraten.
# [[Fehlerkarte]]: Formuliere einen typischen Fehler beim Zuordnen von Graph und Term und verbessere ihn mit einem Gegenbeispiel.
# [[Graphikvergleich]]: Zeichne <math>e^x</math>, <math>e^x+2</math> und <math>e^{-x}+2</math> mit einem Graphikwerkzeug und beschreibe nur die Veränderungen.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Zuordnungsstationen]]: Erstelle sechs Karten mit Funktionstermen und sechs Karten mit passenden Eigenschaften. Lasse eine andere Person die Paare bilden und die Zuordnung begründen.
# [[Doppelte Nullstelle]]: Vergleiche <math>(x-1)^2(x+2)</math> mit <math>(x-1)(x+2)</math>. Erkläre den Unterschied am Graphen.
# [[Asymptotenlabor]]: Untersuche <math>2+\frac{a}{x-b}</math> für mehrere Werte von <math>a</math> und <math>b</math>. Dokumentiere, was sich verändert und was gleich bleibt.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Lernvideo ohne personenbezogene Daten, in dem Du eine Graph-Term-Zuordnung mit mindestens drei Kriterien begründest.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Minimalbegründung]]: Finde für fünf Zuordnungsaufgaben jeweils die kleinste Anzahl von Kriterien, die eine eindeutige Entscheidung ermöglicht.
# [[Parameterrekonstruktion]]: Ein Graph der Form <math>a e^{kx}+d</math> besitzt eine bekannte Asymptote und zwei gegebene Punkte. Bestimme geeignete Parameter und kontrolliere das Ergebnis.
# [[Rationale Rekonstruktion]]: Konstruiere eine Funktion der Form <math>d+\frac{a}{x-b}</math> zu vorgegebenen Asymptoten und einem Punkt.
# [[Abiturvergleich]]: Entwickle eine Basisfach- und eine Leistungsfachlösung zur gleichen Zuordnungsaufgabe. Zeige, wie sich Anschaulichkeit, Formalisierung und Begründungstiefe unterscheiden.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Effiziente Zuordnung]]: Du erhältst vier Funktionsterme und vier Graphen. Begründe für jedes Paar mit möglichst wenigen, aber eindeutigen Merkmalen, warum die Zuordnung stimmt.
# [[Gegenbeispiel entwickeln]]: Widerlege die Aussage „Eine Nennernullstelle erzeugt immer eine senkrechte Asymptote“ durch ein selbst gewähltes Beispiel und erkläre die Definitionslücke.
# [[Darstellungswechsel]]: Beschreibe einen Graphen nur über Eigenschaften und konstruiere anschließend einen passenden Funktionsterm. Begründe, warum mehrere Lösungen möglich oder unmöglich sind.
# [[Parameterwirkung]]: Vergleiche zwei Funktionen der Form <math>a e^{kx}+d</math>. Erkläre, welche Parameter für Streckung, Wachstumsrichtung und Asymptote verantwortlich sind.
# [[Strategievergleich]]: Löse eine Zuordnungsaufgabe einmal durch vollständige Kurvendiskussion und einmal durch gezielte Ausschlusskriterien. Vergleiche Aufwand und Begründungsqualität.
# [[Transferproblem]]: Ein realer Prozess nähert sich langfristig einem positiven Grenzwert. Entwickle ein einfaches Exponentialmodell und erläutere, wie dieser Grenzwert im Graphen sichtbar wird.

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

# Du erkennst Nullstellen und ihre Vielfachheit als graphische Merkmale.
# Du prüfst Symmetrie algebraisch.
# Du beschreibst Wachstum und Endverhalten passend zum Funktionstyp.
# Du nutzt Ableitungen gezielt zur Untersuchung von Extrempunkten.
# Du bestimmst einfache senkrechte und waagerechte Asymptoten.
# Du verknüpfst mindestens zwei unabhängige Eigenschaften zu einer nachvollziehbaren Zuordnung.
# Du unterscheidest zwischen visueller Vermutung, rechnerischer Kontrolle und mathematischer Begründung.
# Du kannst Basisfach-Argumentationen anschaulich und Leistungsfach-Argumentationen vertieft und formal darstellen.
# Du beachtest bei Abiturvorbereitung den Facherlass Deines Prüfungsjahrgangs und trennst Übungswerkzeuge von tatsächlich zugelassenen Prüfungshilfsmitteln.

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{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik) </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Polynomfunktion </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Gebrochen-rationale_Funktion </iframe>

{{BR}}
== Weitere freie Medien ==

[[Datei:Extrema.svg|420px|rahmenlos|center]]

Die Grafik unterstützt die Unterscheidung lokaler und globaler Extrempunkte.

[[Datei:Exp e.svg|420px|rahmenlos|center]]

Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Tangente bei <math>(0|1)</math> verbinden Funktionswert und Ableitungsinformation.

[[Datei:Animation of exponential function.gif|420px|rahmenlos|center]]

Die Animation macht den Funktionsverlauf einer Exponentialfunktion dynamisch sichtbar.

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Funktionsgraph und Funktionsterm]]'''
# [[Polynomfunktion]]
# [[Exponentialfunktion]]
# [[Gebrochen-rationale Funktion]]
# [[Nullstelle]]
# [[Symmetrie]]
# [[Monotonie]]
# [[Extrempunkt]]
# [[Asymptote]]
# [[Grenzwert]]
# [[Ableitung]]
# [[Kurvendiskussion]]
# [[Mathematik Abitur Baden-Württemberg]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Mathematik Abitur]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Kursstufe]]
[[Kategorie:Basisfach Mathematik]]
[[Kategorie:Leistungsfach Mathematik]]
[[Kategorie:Polynomfunktion]]
[[Kategorie:Exponentialfunktion]]
[[Kategorie:Gebrochen-rationale Funktion]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI - Funktionsgraph und Funktionsterm verbinden - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt