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2026-09-27T19:30:55Z

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{{T}}
{{BR}}
= ABI - Funktionseigenschaften systematisch untersuchen =

'''Mini-Beschreibung:''' Untersuche [[Definitionsmenge]], [[Wertemenge]], [[Nullstelle]]n, [[Symmetrie]], [[Monotonie]], [[Extrempunkt]]e, [[Wendepunkt]]e und [[Grenzwert|Grenzverhalten]] systematisch. Du trainierst, welche Aussagen rechnerisch begründet werden müssen und was ein Graph nur vermuten lässt. Der Kurs richtet sich gemeinsam an '''Basisfach und Leistungsfach''' im Mathematik-Abitur Baden-Württemberg.

[[Datei:Cubic graph special points repeated.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Einleitung =

Bei einer Funktionsuntersuchung geht es nicht darum, möglichst viele Rechnungen hintereinander auszuführen. Du sollst aus Term, Ableitungen und Graph ein '''begründetes Gesamtbild''' einer Funktion entwickeln.

Als Leitbeispiel verwenden wir

<math>f(x)=x^3-3x.</math>

Der Graph liefert Orientierung. Die Rechnung liefert die Begründung.

[[Datei:Polynomial of degree three.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=0F0CeyAbpmA |500|center}}

{{BR}}
== Abiturbezug Baden-Württemberg ==

'''Stand: 27.09.2026.''' Maßgeblich ist immer der Facherlass Deines eigenen Prüfungsjahrgangs. Für das Abitur 2027 verweist der Mathematik-Facherlass auf die Inhalte und Kompetenzen des Bildungsplans 2016. Im Leistungsfach beträgt die schriftliche Prüfungszeit 300 Minuten einschließlich Auswahlzeit; der erste Prüfungsteil wird zunächst ohne Hilfsmittel bearbeitet, danach werden die vorgesehenen Hilfsmittel eingesetzt. Für das Basisfach sind insbesondere die Vorgaben zur mündlichen Prüfung relevant.

[https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Offizielle Abiturinformationen Baden-Württemberg]

[https://www.bildungsplaene-bw.de/BP2016BW_ALLG_GYM_BFOM_IK_11-12-BF_04 Bildungsplan: Funktionaler Zusammenhang im Basisfach]

'''Wichtig:''' GeoGebra, dynamische Graphen, Lernapps und KI sind hier '''Übungswerkzeuge'''. Daraus folgt nicht, dass sie in Deiner konkreten Abiturprüfung zugelassen sind. Prüfe den Facherlass Deines Prüfungsjahrgangs.

{{BR}}
= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du

# [[Definitionsmenge]] und [[Wertemenge]] passend zum Funktionstyp bestimmen oder begründet eingrenzen.
# [[Nullstelle]]n rechnerisch bestimmen und graphisch kontrollieren.
# [[Symmetrie]] mit Funktionstermen prüfen.
# [[Monotonie]] aus dem Vorzeichen der ersten Ableitung begründen.
# [[Extrempunkt]]e und [[Wendepunkt]]e mit notwendigen und hinreichenden Kriterien untersuchen.
# [[Grenzwert|Grenzverhalten]] mit Limes-Schreibweise beschreiben.
# zwischen '''graphischer Vermutung''' und '''mathematischer Begründung''' unterscheiden.
# im '''Basisfach''' Verfahren verständig anwenden und anschaulich erläutern.
# im '''Leistungsfach''' stärker formalisieren, begründen, verallgemeinern und modellieren.

{{BR}}
= Vorwissen-Check =

'''1. Ableiten'''

Bestimme für <math>g(x)=2x^3-5x^2+4</math> die erste Ableitung.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung anzeigen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>g'(x)=6x^2-10x</math>
</div>
</div>

'''2. Gleichung lösen'''

Löse <math>x(x^2-4)=0</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung anzeigen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Mit dem Satz vom Nullprodukt erhältst Du <math>x=-2</math>, <math>x=0</math> und <math>x=2</math>.
</div>
</div>

'''3. Vorzeichen lesen'''

Wenn in einem Intervall <math>f'(x)>0</math> gilt, ist <math>f</math> dort streng monoton steigend.

'''4. Zweite Ableitung deuten'''

Das bloße Ergebnis <math>f''(x_0)=0</math> beweist noch keinen Wendepunkt.

{{BR}}
= Die systematische Reihenfolge =

Eine sinnvolle Reihenfolge ist:

# [[Definitionsmenge]] prüfen.
# [[Symmetrie]] prüfen.
# [[Nullstelle]]n und Achsenschnittpunkte bestimmen.
# [[Grenzwert|Grenzverhalten]] untersuchen.
# Erste und zweite Ableitung bilden.
# [[Monotonie]] untersuchen.
# [[Extrempunkt]]e bestimmen.
# [[Krümmung]] und [[Wendepunkt]]e untersuchen.
# [[Wertemenge]] aus allen Ergebnissen begründen.
# Graph mit den Rechnungen abgleichen.

{{BR}}
== Rechnerisch oder graphisch? ==

{| class="wikitable"
! Eigenschaft
! Sichere Begründung
|-
| Definitionsmenge
| Aus dem Funktionsterm und seinen Einschränkungen
|-
| Wertemenge
| Aus Verlauf, Extrema, Grenzwerten und gegebenenfalls Stetigkeit
|-
| Nullstellen
| Gleichung <math>f(x)=0</math>
|-
| Symmetrie
| Vergleich von <math>f(-x)</math> mit <math>f(x)</math> oder <math>-f(x)</math>
|-
| Monotonie
| Vorzeichen von <math>f'(x)</math>
|-
| Extrempunkte
| Kandidaten über <math>f'(x)=0</math>, danach hinreichendes Kriterium
|-
| Wendepunkte
| Krümmungswechsel, zum Beispiel über Vorzeichenwechsel von <math>f''</math>
|-
| Grenzverhalten
| Grenzwerte für Randstellen oder <math>x\to\pm\infty</math>
|}

'''Prüfungsregel:''' Ein Graph kann eine Aussage '''sichtbar machen'''. Wenn die Aufgabe „begründen“, „nachweisen“ oder „zeigen“ verlangt, reicht bloßes Ablesen normalerweise nicht.

{{BR}}
= Definitionsmenge =

Die [[Definitionsmenge]] enthält alle erlaubten Eingabewerte.

'''Ganzrationale Funktionen:'''

<math>D_f=\mathbb{R}</math>

'''Gebrochenrationale Funktionen:''' Nenner darf nicht null sein.

Bei

<math>g(x)=\frac{x+1}{x-2}</math>

gilt

<math>D_g=\mathbb{R}\setminus\{2\}.</math>

'''Wurzelfunktionen:''' Unter einer reellen Quadratwurzel muss gelten:

<math>u(x)\ge 0.</math>

'''Leistungsfach-Vertiefung:''' Bei logarithmischen Termen muss das Argument positiv sein:

<math>u(x)>0.</math>

{{BR}}
== Dynamischer Check: Definitionsbereich und Kurvenverlauf ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/wCWnzrfM </iframe>

'''Denkfrage:''' Welche sichtbaren Teile eines Graphen verschwinden, wenn bestimmte <math>x</math>-Werte nicht zur Definitionsmenge gehören?

{{BR}}
= Wertemenge =

Die [[Wertemenge]] enthält alle tatsächlich angenommenen Funktionswerte.

Für <math>f(x)=x^3-3x</math> gilt wegen des Verhaltens für große positive und negative <math>x</math>:

<math>W_f=\mathbb{R}.</math>

Bei Funktionen mit globalem Maximum oder Minimum kann die Wertemenge durch diese Extremwerte begrenzt sein.

'''Achtung:''' Die Wertemenge ist oft kein früher Rechenschritt. Häufig lässt sie sich erst nach Extrema und Grenzverhalten sicher angeben.

{{BR}}
= Nullstellen =

Nullstellen erfüllen

<math>f(x)=0.</math>

Für unser Leitbeispiel:

<math>x^3-3x=0</math>

<math>x(x^2-3)=0</math>

Daraus folgen

<math>x_1=-\sqrt{3},\qquad x_2=0,\qquad x_3=\sqrt{3}.</math>

'''Graphisch''' sind dies die Schnittpunkte mit der <math>x</math>-Achse. '''Rechnerisch''' sind es die Lösungen der Gleichung.

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= Symmetrie =

Für Achsensymmetrie zur <math>y</math>-Achse prüfst Du:

<math>f(-x)=f(x).</math>

Für Punktsymmetrie zum Ursprung prüfst Du:

<math>f(-x)=-f(x).</math>

Beim Leitbeispiel:

<math>f(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x=-f(x).</math>

Also ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

[[Datei:Examples of odd and even functions.png|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=LeCig4qcMNE |500|center}}

{{BR}}
= Grenzverhalten =

Beim Leitbeispiel dominiert für große Beträge von <math>x</math> der Term <math>x^3</math>.

<math>\lim_{x\to\infty}(x^3-3x)=\infty</math>

und

<math>\lim_{x\to-\infty}(x^3-3x)=-\infty.</math>

Bei gebrochenrationalen Funktionen können zusätzlich Polstellen und waagrechte oder schiefe Asymptoten auftreten.

[[Datei:Mplwp rationaldegree2.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Ableitungen als Untersuchungswerkzeug =

Für das Leitbeispiel gilt:

<math>f'(x)=3x^2-3</math>

<math>f''(x)=6x</math>

<math>f'''(x)=6.</math>

Die erste Ableitung beschreibt die lokale Änderungsrate. Die zweite Ableitung hilft beim Krümmungsverhalten.

[[Datei:Derivative.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Dynamisches Modell: Funktion und Ableitungen ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/nsp4z63e </iframe>

'''Arbeitsauftrag:''' Blende nacheinander Eigenschaften von <math>f</math> und <math>f'</math> ein. Formuliere zu jedem Extrempunkt von <math>f</math> die passende Aussage über <math>f'</math>.

{{BR}}
= Monotonie =

Zuerst löst Du

<math>f'(x)=0.</math>

Also:

<math>3x^2-3=0</math>

<math>x^2=1</math>

<math>x=-1\quad\text{oder}\quad x=1.</math>

Nun untersuchst Du das Vorzeichen von <math>f'</math>.

{| class="wikitable"
! Intervall
! Vorzeichen von <math>f'</math>
! Verhalten von <math>f</math>
|-
| <math>(-\infty,-1)</math>
| positiv
| streng steigend
|-
| <math>(-1,1)</math>
| negativ
| streng fallend
|-
| <math>(1,\infty)</math>
| positiv
| streng steigend
|}

'''Begründungsmuster:''' Weil <math>f'(x)>0</math> im Intervall <math>I</math> gilt, ist <math>f</math> dort streng monoton steigend.

{{BR}}
= Extrempunkte =

Notwendige Bedingung für einen inneren Extrempunkt einer differenzierbaren Funktion:

<math>f'(x_E)=0.</math>

Das allein reicht nicht.

Für <math>x=-1</math> gilt:

<math>f''(-1)=-6<0.</math>

Also liegt ein lokales Maximum vor.

<math>f(-1)=2.</math>

Damit:

<math>H(-1\mid 2).</math>

Für <math>x=1</math> gilt:

<math>f''(1)=6>0.</math>

Also liegt ein lokales Minimum vor.

<math>f(1)=-2.</math>

Damit:

<math>T(1\mid -2).</math>

{{BR}}
== Basisfach und Leistungsfach unterscheiden ==

'''Basisfach:''' Du solltest das Verfahren sicher anwenden und erklären können, warum das Vorzeichen der Ableitung Monotonie und Extremstellen beschreibt.

'''Leistungsfach:''' Du solltest notwendige und hinreichende Bedingungen sauber unterscheiden, Sonderfälle erkennen und Begründungen auch bei Funktionsscharen oder Modellierungsaufgaben formulieren.

{{BR}}
= Wendepunkte =

Ein [[Wendepunkt]] ist ein Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert.

Ein häufiger Kandidat entsteht aus

<math>f''(x_W)=0.</math>

Beim Leitbeispiel:

<math>6x=0</math>

also

<math>x_W=0.</math>

Zur Absicherung kann hier verwendet werden:

<math>f'''(0)=6\ne 0.</math>

Damit liegt ein Wendepunkt vor:

<math>W(0\mid 0).</math>

'''Fehlerwarnung:''' Aus <math>f''(x_0)=0</math> allein folgt noch kein Wendepunkt. Bei <math>h(x)=x^4</math> gilt zwar <math>h''(0)=0</math>, aber die Krümmung wechselt dort nicht.

[[Datei:Stationary vs inflection pts.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=uoeQhtQ9QrA |500|center}}

{{BR}}
== Dynamisches Modell: Extremum, Sattelpunkt, Wendepunkt ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/dgcsvtym </iframe>

'''Leistungsfach-Frage:''' Warum ist <math>f'''(x_W)\ne 0</math> in vielen Standardfällen ein hinreichendes Wendekriterium, während <math>f''(x_W)=0</math> allein nur eine notwendige Kandidatenbedingung ist?

{{BR}}
= Gesamtergebnis zum Leitbeispiel =

Für

<math>f(x)=x^3-3x</math>

erhältst Du:

# <math>D_f=\mathbb{R}</math>
# <math>W_f=\mathbb{R}</math>
# Nullstellen: <math>-\sqrt{3}</math>, <math>0</math>, <math>\sqrt{3}</math>
# Punktsymmetrie zum Ursprung
# steigend auf <math>(-\infty,-1)</math> und <math>(1,\infty)</math>
# fallend auf <math>(-1,1)</math>
# Hochpunkt <math>H(-1\mid2)</math>
# Tiefpunkt <math>T(1\mid-2)</math>
# Wendepunkt <math>W(0\mid0)</math>
# <math>f(x)\to\infty</math> für <math>x\to\infty</math>
# <math>f(x)\to-\infty</math> für <math>x\to-\infty</math>

{{BR}}
= Interaktives Beispiel =

Untersuche

<math>p(x)=x^4-4x^2.</math>

'''Schritt 1: Symmetrie'''

Berechne <math>p(-x)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>p(-x)=(-x)^4-4(-x)^2=x^4-4x^2=p(x)</math>. Der Graph ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse.
</div>
</div>

'''Schritt 2: Nullstellen'''

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Klammere zuerst <math>x^2</math> aus.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>x^4-4x^2=x^2(x^2-4)=x^2(x-2)(x+2)</math>. Die Nullstellen sind <math>-2</math>, <math>0</math> und <math>2</math>.
</div>
</div>

'''Schritt 3: Extrempunkte'''

<math>p'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2).</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Die Kandidaten sind <math>x=0</math> und <math>x=\pm\sqrt{2}</math>. Prüfe sie mit <math>p''(x)=12x^2-8</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Bei <math>x=0</math> ist <math>p''(0)=-8</math>: lokales Maximum. Bei <math>x=\pm\sqrt{2}</math> ist <math>p''(\pm\sqrt{2})=16</math>: lokale Minima.
</div>
</div>

{{BR}}
= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung 1: Graph oder Rechnung? ==

Entscheide, ob die Aussage als sichere Begründung genügt:

'''„Der Graph sieht symmetrisch aus, also ist die Funktion gerade.“'''

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Als Vermutung ist das sinnvoll. Für einen rechnerischen Nachweis prüfst Du <math>f(-x)=f(x)</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 2: Wendepunktfalle ==

Gegeben ist <math>q(x)=x^4</math>. Eine Person behauptet: „Weil <math>q''(0)=0</math>, ist der Ursprung ein Wendepunkt.“

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Die Behauptung ist falsch. <math>q''(x)=12x^2</math> ist links und rechts von <math>0</math> nicht negativ, sondern positiv. Es gibt keinen Krümmungswechsel.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 3: Monotonie aus der Ableitung ==

Gegeben sei

<math>r'(x)=(x-2)(x+1).</math>

Bestimme die Monotonieintervalle von <math>r</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Prüfe das Vorzeichen von <math>r'</math> in den Intervallen <math>(-\infty,-1)</math>, <math>(-1,2)</math> und <math>(2,\infty)</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>r'>0</math> außerhalb der beiden Nullstellen und <math>r'<0</math> dazwischen. Also steigt <math>r</math>, fällt anschließend und steigt danach wieder.
</div>
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =

{| class="wikitable"
! Typischer Fehler
! Korrektur
|-
| <math>f'(x)=0</math> wird sofort als Extrempunkt bezeichnet.
| Erst hinreichendes Kriterium oder Vorzeichenwechsel prüfen.
|-
| <math>f''(x)=0</math> wird sofort als Wendepunkt bezeichnet.
| Krümmungswechsel oder geeignetes hinreichendes Kriterium prüfen.
|-
| Die Definitionsmenge wird aus dem Graphen geraten.
| Einschränkungen des Funktionsterms untersuchen.
|-
| Monotonie wird nur mit Pfeilen im Graphen begründet.
| Vorzeichen von <math>f'</math> angeben.
|-
| Eine numerische Näherung wird als exakte Nullstelle ausgegeben.
| Zwischen exakter und näherungsweiser Lösung unterscheiden.
|}

{{BR}}
= Transfer: Mathematik und Modell =

Ein vereinfachtes Höhenmodell lautet

<math>h(t)=-5t^2+20t+1.</math>

Im mathematischen Sinn ist der Term für alle reellen <math>t</math> definiert. Im Modell kann aber ein Zeitintervall vorgegeben sein, zum Beispiel

<math>0\le t\le 4.</math>

Damit unterscheiden sich '''mathematische Definitionsmenge''' und '''sinnvolle Modellmenge'''.

Bestimme im Intervall <math>[0,4]</math> den höchsten Wert.

<math>h'(t)=-10t+20.</math>

<math>h'(t)=0\iff t=2.</math>

<math>h(2)=21.</math>

Da zusätzlich die Randwerte geprüft werden,

<math>h(0)=1</math>

und

<math>h(4)=1,</math>

ist <math>21</math> der globale Maximalwert im Modellintervall.

'''Transferfrage:''' Warum wäre es unvollständig, bei einer Aufgabe auf einem abgeschlossenen Intervall nur die inneren Extremstellen zu prüfen?

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Bewerte Dich selbst:

# Ich kann aus einem Funktionsterm Einschränkungen der Definitionsmenge erkennen.
# Ich kann Nullstellen exakt oder begründet näherungsweise bestimmen.
# Ich kann Symmetrie rechnerisch nachweisen.
# Ich kann aus <math>f'</math> Monotonie begründen.
# Ich unterscheide notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrempunkte.
# Ich kann einen Wendepunkt durch einen Krümmungswechsel begründen.
# Ich kann Grenzverhalten mit Limes-Schreibweise formulieren.
# Ich erkenne, wann ein Graph nur eine Vermutung liefert.
# Ich prüfe bei Modellen auch Randpunkte und sinnvolle Definitionsbereiche.

{{BR}}
= KI sinnvoll einsetzen =

KI kann Dir Varianten von Aufgaben erzeugen, Rechenwege erklären oder einen Gegencheck liefern. Du solltest jede Ausgabe mathematisch prüfen.

'''Regel:''' Eine KI-Antwort ersetzt keinen Nachweis.

Prüfe insbesondere:

# Sind Definitionsmenge und Randbedingungen berücksichtigt?
# Wurde aus einer notwendigen Bedingung fälschlich eine hinreichende gemacht?
# Stimmen Ableitungen und Vorzeichen?
# Sind exakte und gerundete Werte klar getrennt?
# Passt die Begründung zum Operator der Aufgabe?

Verwende bei Lernwerkzeugen keine personenbezogenen Daten, die für die Mathematik nicht erforderlich sind.

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

'''Basisfach'''

Du bist auf gutem Weg, wenn Du Standardfunktionen systematisch untersuchen, Ergebnisse erläutern und Graphen sinnvoll zur Kontrolle verwenden kannst.

'''Leistungsfach'''

Zusätzlich solltest Du Kriterien präzise formulieren, Sonderfälle prüfen, Funktionsscharen untersuchen, Modellannahmen reflektieren und Ergebnisse argumentativ absichern können.

'''Prüfungssprache'''

Achte auf Operatoren:

# '''bestimmen''': Ergebnis mit geeignetem Verfahren ermitteln.
# '''begründen''': nachvollziehbare mathematische Argumente angeben.
# '''nachweisen''': geforderte Aussage durch Rechnung oder logische Argumentation bestätigen.
# '''interpretieren''': mathematisches Ergebnis in den Sachzusammenhang übertragen.

{{BR}}
= Reflexion =

Beantworte nach der Bearbeitung drei Fragen:

# Welche Funktionseigenschaft erkennst Du am Graphen schnell, musst sie aber rechnerisch absichern?
# Bei welchem Schritt hilft Dir eine Vorzeichentabelle am meisten?
# Welche Bedingung für Extrem- oder Wendepunkte hast Du früher möglicherweise zu schnell verwendet?

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächste Themen eignen sich:

# [[ABI - Funktionenscharen untersuchen]]
# [[ABI - Extremwertprobleme]]
# [[ABI - Integralrechnung und Flächen]]
# [[ABI - Modellieren mit Funktionen]]
# [[ABI - Ableitungsgraphen zuordnen]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Gleichung verwendest Du zur rechnerischen Bestimmung von Nullstellen?'''
(f von x gleich null)
(!f Strich von x gleich null)
(!f Doppelstrich von x gleich null)
(!f von x gleich eins)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Beziehung weist Achsensymmetrie zur y-Achse nach?'''
(f von minus x gleich f von x)
(!f von minus x gleich minus f von x)
(!f Strich von x gleich null)
(!f Doppelstrich von x gleich null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was folgt aus f Strich größer null auf einem Intervall?'''
(Die Funktion ist dort streng monoton steigend)
(!Die Funktion besitzt dort zwingend einen Wendepunkt)
(!Die Funktion ist dort achsensymmetrisch)
(!Die Funktion besitzt dort zwingend eine Nullstelle)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage über f Doppelstrich gleich null ist korrekt?'''
(Es entsteht zunächst nur ein möglicher Kandidat für einen Wendepunkt)
(!Es liegt immer ein Wendepunkt vor)
(!Es liegt immer ein Hochpunkt vor)
(!Die Funktion besitzt keine Krümmung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Ableitung wird zuerst für Extremstellen untersucht?'''
(Die erste Ableitung)
(!Die zweite Ableitung)
(!Die dritte Ableitung)
(!Keine Ableitung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Eigenschaft muss bei einem gebrochenrationalen Term zuerst beachtet werden?'''
(Der Nenner darf nicht null werden)
(!Der Zähler muss positiv sein)
(!Die Ableitung muss überall null sein)
(!Der Graph muss symmetrisch sein)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beschreibt das Grenzverhalten?'''
(Das Verhalten einer Funktion an Randstellen oder für sehr große Beträge der Variablen)
(!Nur die Lage ihrer Nullstellen)
(!Nur die Anzahl ihrer Extrempunkte)
(!Nur den y Achsenabschnitt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage ist für einen inneren Extrempunkt einer differenzierbaren Funktion notwendig?'''
(Die erste Ableitung ist dort null)
(!Die zweite Ableitung ist dort immer null)
(!Der Funktionswert ist dort null)
(!Die Definitionsmenge endet dort)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum reicht ein Graph allein häufig nicht als Begründung?'''
(Weil er Eigenschaften nur sichtbar oder näherungsweise zeigen kann)
(!Weil Graphen keine Funktionswerte enthalten)
(!Weil Ableitungen nie graphisch dargestellt werden können)
(!Weil Nullstellen nur bei Geraden vorkommen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was muss bei einem Modell zusätzlich zur mathematischen Definitionsmenge geprüft werden?'''
(Der sachlich sinnvolle Bereich)
(!Nur die Symmetrie)
(!Nur die dritte Ableitung)
(!Nur die Anzahl der Nullstellen)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Definitionsmenge || erlaubte Eingabewerte
|-
| Wertemenge || tatsächlich angenommene Ausgabewerte
|-
| Nullstelle || Schnitt mit der x Achse
|-
| Monotonie || Steigen oder Fallen auf Intervallen
|-
| Extrempunkt || lokales oder globales Maximum beziehungsweise Minimum
|-
| Wendepunkt || Wechsel des Krümmungsverhaltens
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''f von minus x gleich f von x'''
| Achsensymmetrie
|-
| '''f Strich positiv'''
| Steigen
|-
| '''f Strich wechselt von plus nach minus'''
| Hochpunkt
|-
| '''f Doppelstrich wechselt das Vorzeichen'''
| Wendepunkt
|-
| '''f von x gleich null'''
| Nullstelle

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Definitionsmenge || Wie heißt die Menge aller erlaubten Eingabewerte?
|-
| Nullstelle || Wie heißt eine Stelle mit Funktionswert null?
|-
| Symmetrie || Wie heißt eine Eigenschaft bei Spiegelung oder Punktspiegelung?
|-
| Monotonie || Wie heißt das systematische Steigen oder Fallen einer Funktion?
|-
| Wendepunkt || Wie heißt ein Punkt mit Wechsel des Krümmungsverhaltens?
|-
| Grenzwert || Wie heißt der Wert oder das Verhalten, dem sich eine Funktion annähert?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+-+Funktionseigenschaften+systematisch+untersuchen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die Menge der erlaubten Eingabewerte heißt { Definitionsmenge }.
Nullstellen werden rechnerisch mit der Gleichung { f(x)=0 } bestimmt.
Für Achsensymmetrie zur y-Achse prüfst Du die Beziehung { f(-x)=f(x) }.
Das Vorzeichen der ersten Ableitung beschreibt die { Monotonie }.
Eine Nullstelle der ersten Ableitung ist zunächst nur ein { Extremstellenkandidat }.
Bei einem Wendepunkt muss sich das { Krümmungsverhalten } ändern.
Das Verhalten für sehr große positive oder negative x-Werte wird durch { Grenzwerte } beschrieben.
Ein Graph dient häufig zur Kontrolle, ersetzt aber nicht automatisch eine { Begründung }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Funktionsgraph]]: Zeichne zu <math>f(x)=x^3-3x</math> einen Graphen und markiere Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkt.
# [[Symmetrie]]: Finde je eine gerade und eine ungerade Funktion und weise die jeweilige Symmetrie rechnerisch nach.
# [[Ableitung]]: Erstelle eine Karte, auf der Du den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen von <math>f'</math> und dem Verlauf von <math>f</math> visualisierst.
# [[Fehleranalyse]]: Erfinde eine falsche Begründung zu einem Wendepunkt und korrigiere sie nachvollziehbar.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Kurvendiskussion]]: Untersuche <math>p(x)=x^4-4x^2</math> vollständig und ordne jeden Rechenschritt einer Funktionseigenschaft zu.
# [[Monotonie]]: Entwickle eine Vorzeichentabelle zu einer Funktion Deiner Wahl und erkläre sie in einem kurzen Lernvideo.
# [[Wertemenge]]: Vergleiche die Wertemengen einer quadratischen, kubischen und exponentiellen Funktion anhand selbst erstellter Graphen.
# [[Modellierung]]: Erstelle ein realistisches Modell mit eingeschränktem Definitionsbereich und erkläre den Unterschied zur rein mathematischen Definitionsmenge.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Wendepunkt]]: Finde ein Beispiel, bei dem <math>f''(x_0)=0</math> gilt, aber kein Wendepunkt vorliegt, und beweise Deine Aussage.
# [[Funktionsschar]]: Untersuche eine Schar <math>f_a(x)</math> darauf, wie sich Extrem- und Wendepunkte mit dem Parameter verändern.
# [[Beweis]]: Formuliere einen nachvollziehbaren Beweis dafür, warum ein Vorzeichenwechsel von <math>f'</math> von positiv nach negativ ein lokales Maximum kennzeichnet.
# [[Digitale Mathematik]]: Baue in GeoGebra ein interaktives Modell, das <math>f</math>, <math>f'</math> und <math>f''</math> gleichzeitig zeigt, und ergänze Prüfaufträge für Mitschülerinnen und Mitschüler.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Begründung]]: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel den Unterschied zwischen „am Graphen erkennen“ und „rechnerisch nachweisen“.
# [[Extrempunkt]]: Untersuche eine Funktion mit mindestens zwei stationären Stellen und entscheide mit geeigneten Kriterien, welche davon Extrempunkte sind.
# [[Wendepunkt]]: Vergleiche zwei Funktionen mit <math>f''(0)=0</math>, von denen nur eine bei <math>x=0</math> einen Wendepunkt besitzt.
# [[Modellierung]]: Begründe, warum in einem Modell auf einem abgeschlossenen Intervall auch Randwerte für globale Extrema geprüft werden müssen.
# [[Transfer]]: Du erhältst nur den Graphen von <math>f'</math>. Rekonstruiere daraus Monotonie und mögliche Extremstellen von <math>f</math>.
# [[Argumentation]]: Formuliere eine vollständige Begründungskette von <math>f'</math> und <math>f''</math> zum lokalen Verlauf von <math>f</math>.

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{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

# Du kannst eine Funktion systematisch statt nur schematisch untersuchen.
# Du kannst Definitionsmenge, Nullstellen, Symmetrie, Monotonie, Extrema, Wendepunkte, Wertemenge und Grenzverhalten unterscheiden.
# Du setzt Ableitungen zielgerichtet ein.
# Du kennzeichnest Kandidatenbedingungen und hinreichende Kriterien korrekt.
# Du formulierst mathematische Begründungen passend zu Operatoren.
# Du kannst graphische Beobachtungen rechnerisch überprüfen.
# Du berücksichtigst bei Modellen sinnvolle Bereiche und Randwerte.
# Du kannst Basisfach-Verfahren sicher anwenden und im Leistungsfach vertiefend argumentieren.

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{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion </iframe>

'''Weitere freie bzw. offene Lernmedien im Kurs:''' Die eingebundenen Diagramme stammen aus Wikimedia Commons. Die dynamischen Modelle sind über GeoGebra verknüpft. Prüfe bei Weiterverwendung jeweils die dort angegebene Lizenz und Urheberschaft.

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Analysis]]'''
# [[Funktion]]
# [[Ableitung]]
# [[Kurvendiskussion]]
# [[Monotonie]]
# [[Extrempunkt]]
# [[Wendepunkt]]
# [[Grenzwert]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Basisfach]]
[[Kategorie:Leistungsfach]]
[[Kategorie:Oberstufe]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI - Funktionseigenschaften systematisch untersuchen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt