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2026-09-27T20:24:22Z

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= ABI - Erwartungswert der Binomialverteilung nutzen =

'''Mini-Beschreibung:''' Du nutzt und interpretierst <math>E(X)=np</math> für binomialverteilte Zufallsgrößen und vergleichst den theoretischen Erwartungswert mit beobachteten Trefferzahlen aus Simulationen. Zielgruppe: Kursstufe, Mathematik-Abitur Baden-Württemberg.

[[Datei:Binomial distribution PDF.svg|500px|rahmenlos|center]]

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= Einleitung =

Bei einer [[Binomialverteilung]] zählt die Zufallsgröße <math>X</math>, wie oft ein Treffer in <math>n</math> gleichartigen, unabhängigen Bernoulli-Versuchen auftritt. Ist die Trefferwahrscheinlichkeit in jedem Versuch <math>p</math>, dann gilt:

<math display="block">X\sim B(n,p)</math>

<math display="block">E(X)=n\cdot p</math>

'''Kernidee:''' <math>E(X)</math> beschreibt die langfristig zu erwartende durchschnittliche Trefferzahl pro Serie. Eine einzelne beobachtete Trefferzahl muss nicht gleich <math>E(X)</math> sein.

Beispiel:

<math display="block">n=20,\qquad p=0{,}35</math>

<math display="block">E(X)=20\cdot 0{,}35=7</math>

In einer einzelnen Simulation können trotzdem etwa <math>5</math>, <math>8</math> oder <math>9</math> Treffer auftreten.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=x-TuJpsx8Jc |500|center}}

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== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du
# [[Binomialverteilung|Binomialmodelle]] an den Parametern <math>n</math> und <math>p</math> erkennen.
# den Erwartungswert mit <math>E(X)=np</math> berechnen.
# <math>E(X)</math> im Sachzusammenhang korrekt deuten.
# beobachtete Trefferzahlen aus Simulationen mit <math>E(X)</math> vergleichen.
# typische Fehlinterpretationen erkennen und verbessern.
# im Leistungsfach die Formel über Indikatorvariablen begründen und mit <math>\sigma=\sqrt{np(1-p)}</math> einordnen.

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== Abiturbezug Baden-Württemberg ==

Der Bildungsplan Baden-Württemberg und aktuelle ZSL-Unterstützung verorten Binomialverteilung, Erwartungswert und grafische Interpretation im Bereich Daten und Zufall beziehungsweise in der Kursstufen-Wiederholung der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Für die konkrete Abiturprüfung gilt immer der für Deinen Prüfungsjahrgang gültige Erlass beziehungsweise die aktuelle amtliche Regelung.

'''Wichtig:''' Übungswerkzeuge wie GeoGebra, Simulationen oder Lernapps sind '''nicht automatisch zugelassene Prüfungshilfsmittel'''.

'''Offizielle Orientierung:'''
# [https://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/BP2016BW_ALLG_GYM_M.V2_IK_9-10_05 Bildungsplan Baden-Württemberg: Daten und Zufall]
# [https://zsl-bw.de/ Zentrum für Schulqualität und Lehrerbildung Baden-Württemberg]

'''Prüfungsjahrgang beachten:''' Prüfe vor der Abiturvorbereitung die aktuell gültigen Vorgaben zu Aufgabenformaten und Hilfsmitteln. Dieser Kurs trainiert mathematische Kompetenzen; er ersetzt keine amtliche Prüfungsinformation.

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= Vorwissen-Check =

'''1. Bernoulli-Struktur'''

Entscheide, ob die Situation als Binomialmodell geeignet ist: Eine Maschine produziert <math>50</math> Teile. Jedes Teil ist mit konstanter Wahrscheinlichkeit <math>p=0{,}04</math> fehlerhaft; die Fehlerereignisse werden als unabhängig modelliert.

<math display="block">X=\text{Anzahl fehlerhafter Teile}</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung:''' Ja, unter den Modellannahmen gilt <math>X\sim B(50,0{,}04)</math>.
</div>

'''2. Parameter lesen'''

Bei <math>X\sim B(80,0{,}25)</math> gilt:

<math display="block">n=80,\qquad p=0{,}25</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung:''' <math>n</math> ist die Zahl der Versuche; <math>p</math> ist die Trefferwahrscheinlichkeit je Versuch.
</div>

'''3. Trefferzahl und Trefferanteil unterscheiden'''

Bei <math>n=40</math> und <math>12</math> Treffern ist

<math display="block">X=12,\qquad \frac{X}{n}=\frac{12}{40}=0{,}3</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Merke:''' <math>X</math> ist eine absolute Trefferzahl. <math>X/n</math> ist ein relativer Trefferanteil.
</div>

'''4. Erwartungswert allgemein'''

Für eine diskrete Zufallsgröße gilt grundsätzlich:

<math display="block">E(X)=\sum_k k\cdot P(X=k)</math>

Bei der Binomialverteilung vereinfacht sich dies zu <math>E(X)=np</math>.

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= Erwartungswert verstehen =

[[Datei:Galton Box.svg|500px|rahmenlos|center]]

Das Galtonbrett veranschaulicht viele aufeinanderfolgende Ja-Nein-Entscheidungen. Bei symmetrischen Abzweigungen ist <math>p=0{,}5</math>. Nach vielen Kugeln entsteht eine Häufigkeitsverteilung, deren Zentrum mit dem Erwartungswert des zugrunde liegenden Binomialmodells zusammenhängt.

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== Formel und Bedeutung ==

<math display="block">X\sim B(n,p)</math>

<math display="block">E(X)=np</math>

'''Bedeutung der Größen:'''

# <math>n</math>: Anzahl der Versuche.
# <math>p</math>: Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch.
# <math>E(X)</math>: langfristige mittlere Trefferzahl pro Versuchsserie.

'''Wichtig:''' <math>E(X)</math> ist kein Versprechen für die nächste Serie. Außerdem muss <math>E(X)</math> nicht ganzzahlig sein, obwohl <math>X</math> nur ganzzahlige Werte annehmen kann.

Beispiel:

<math display="block">X\sim B(12,0{,}4)</math>

<math display="block">E(X)=12\cdot0{,}4=4{,}8</math>

Die Zahl <math>4{,}8</math> ist keine mögliche Trefferzahl einer einzelnen Serie. Sie ist ein langfristiger Mittelwert über sehr viele gleichartige Serien.

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== Visuelle Erkundung: Erwartungswert im Histogramm ==

Verändere <math>n</math> und <math>p</math>. Beobachte, wie sich der Erwartungswert im Histogramm verschiebt.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/f9jp24w4 </iframe>

'''Denkfragen:'''
# Was geschieht mit <math>E(X)</math>, wenn <math>n</math> verdoppelt und <math>p</math> gleich bleibt?
# Was geschieht mit <math>E(X)</math>, wenn <math>p</math> halbiert und <math>n</math> gleich bleibt?
# Liegt der höchste Balken immer exakt bei <math>E(X)</math>? Begründe Deine Beobachtung.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' Aus <math>E(X)=np</math> folgt: Verdopplung von <math>n</math> verdoppelt <math>E(X)</math>. Halbierung von <math>p</math> halbiert <math>E(X)</math>. Der Erwartungswert ist nicht automatisch identisch mit der wahrscheinlichsten ganzzahligen Trefferzahl.
</div>

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== Rechenweg als Schrittfolge ==

Gegeben:

<math display="block">X\sim B(60,0{,}3)</math>

'''Schritt 1:''' Parameter identifizieren.

<math display="block">n=60,\qquad p=0{,}3</math>

'''Schritt 2:''' Formel einsetzen.

<math display="block">E(X)=n\cdot p</math>

<math display="block">E(X)=60\cdot0{,}3</math>

'''Schritt 3:''' Berechnen.

<math display="block">E(X)=18</math>

'''Schritt 4:''' Im Kontext deuten.

Bei sehr vielen vergleichbaren Serien mit jeweils <math>60</math> Versuchen liegt die durchschnittliche Trefferzahl pro Serie langfristig bei etwa <math>18</math>.

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= Erwartungswert und Simulation vergleichen =

Eine Simulation erzeugt konkrete Zufallsergebnisse. Der Erwartungswert bleibt ein theoretischer Kennwert des Modells.

Nimm

<math display="block">X\sim B(50,0{,}4)</math>

Dann gilt

<math display="block">E(X)=50\cdot0{,}4=20</math>

Mögliche simulierte Trefferzahlen in fünf unabhängigen Serien:

<math display="block">17,\ 21,\ 19,\ 24,\ 18</math>

Der Mittelwert dieser fünf Serien ist

<math display="block">\bar X=\frac{17+21+19+24+18}{5}=19{,}8</math>

Das liegt nahe bei <math>E(X)=20</math>, muss aber nicht exakt gleich sein.

Für <math>m</math> simulierte Serien mit Trefferzahlen <math>X_1,\dots,X_m</math> betrachtet man

<math display="block">\bar X_m=\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}X_j</math>

Mit wachsendem <math>m</math> stabilisiert sich <math>\bar X_m</math> typischerweise in der Nähe von <math>E(X)</math>. Das ist eine anschauliche Verbindung zum [[Gesetz der großen Zahlen|Gesetz der großen Zahlen]].

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== Dynamische Simulation ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/hdpaex8q </iframe>

'''Arbeitsauftrag:'''
# Setze <math>n=20</math> und <math>p=0{,}35</math>.
# Bestimme zuerst theoretisch <math>E(X)</math>.
# Verändere anschließend die Darstellung und beobachte die Lage des Histogramms.
# Wiederhole für <math>p=0{,}7</math>.
# Formuliere eine Regel, wie <math>p</math> die Lage des Verteilungsbildes beeinflusst.

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== Beobachtete Trefferzahl richtig deuten ==

Beispiel:

<math display="block">X\sim B(100,0{,}6),\qquad E(X)=60</math>

Eine Simulation liefert <math>X=54</math>.

Die Abweichung vom Erwartungswert ist

<math display="block">X-E(X)=54-60=-6</math>

Die absolute Abweichung ist

<math display="block">|X-E(X)|=6</math>

'''Zulässige Aussage:''' In dieser Serie wurden sechs Treffer weniger beobachtet als nach dem Erwartungswert des Modells.

'''Nicht zulässige Schlussfolgerung:''' Das Binomialmodell ist allein deshalb falsch. Einzelne Zufallsergebnisse schwanken.

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= Basisfach und Leistungsfach =

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== Basisfach: verständig rechnen und deuten ==

Im Basisfach steht besonders im Vordergrund:
# die Modellparameter <math>n</math> und <math>p</math> sicher zu identifizieren,
# <math>E(X)=np</math> korrekt anzuwenden,
# das Ergebnis im Sachkontext zu deuten,
# Erwartungswert und einzelne Beobachtung auseinanderzuhalten,
# Histogramme und Simulationsergebnisse anschaulich zu interpretieren.

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== Leistungsfach: begründen und modellieren ==

Für eine vertiefte Begründung schreibe die Trefferzahl als Summe von Indikatorvariablen:

<math display="block">X=I_1+I_2+\dots+I_n</math>

Dabei gilt für jeden Versuch:

<math display="block">I_i=\begin{cases}1,&\text{Treffer}\\0,&\text{kein Treffer}\end{cases}</math>

Mit

<math display="block">E(I_i)=1\cdot p+0\cdot(1-p)=p</math>

und der Linearität des Erwartungswertes folgt:

<math display="block">E(X)=E(I_1+\dots+I_n)</math>

<math display="block">E(X)=E(I_1)+\dots+E(I_n)</math>

<math display="block">E(X)=p+\dots+p=np</math>

Für die Streuung einer Binomialverteilung gilt zusätzlich:

<math display="block">\operatorname{Var}(X)=np(1-p)</math>

<math display="block">\sigma=\sqrt{np(1-p)}</math>

Damit kannst Du eine beobachtete Abweichung nicht nur absolut, sondern auch im Verhältnis zur typischen Streuung einordnen.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=CeV-pQ9Kbh8 |500|center}}

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= Interaktive Beispiele =

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== Beispiel 1: Qualitätskontrolle ==

Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit <math>p=0{,}03</math> fehlerhaft. Es werden <math>n=200</math> Bauteile betrachtet.

<math display="block">X\sim B(200,0{,}03)</math>

'''Aufgabe:''' Bestimme und interpretiere <math>E(X)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 1:''' Nutze <math>E(X)=np</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 2:''' <math>E(X)=200\cdot0{,}03</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>E(X)=6</math>. Langfristig sind in Serien von jeweils <math>200</math> Bauteilen durchschnittlich etwa <math>6</math> fehlerhafte Teile zu erwarten. Das bedeutet nicht, dass jede Serie genau <math>6</math> Fehler enthält.
</div>

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== Beispiel 2: Nicht-ganzzahliger Erwartungswert ==

Eine Trefferwahrscheinlichkeit beträgt <math>p=0{,}45</math>; es gibt <math>n=15</math> Versuche.

<math display="block">E(X)=15\cdot0{,}45=6{,}75</math>

'''Denkfrage:''' Wie deutest Du <math>6{,}75</math>, obwohl keine Serie <math>6{,}75</math> Treffer haben kann?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>6{,}75</math> ist der langfristige Mittelwert der Trefferzahl über viele Serien, nicht das Ergebnis einer einzelnen Serie.
</div>

{{BR}}
== Beispiel 3: Rückwärts rechnen ==

Gegeben sind

<math display="block">n=120,\qquad E(X)=30</math>

Gesucht ist <math>p</math>.

<math display="block">E(X)=np</math>

<math display="block">p=\frac{E(X)}{n}=\frac{30}{120}=0{,}25</math>

'''Kontrolle:'''

<math display="block">120\cdot0{,}25=30</math>

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= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung A ==

<math display="block">X\sim B(40,0{,}15)</math>

Berechne <math>E(X)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' Multipliziere <math>40</math> mit <math>0{,}15</math>.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>E(X)=6</math>.
</div>

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== Übung B ==

Eine Basketballspielerin trifft einen Freiwurf im Modell mit <math>p=0{,}8</math>. Sie wirft <math>25</math>-mal. Eine Simulation liefert <math>18</math> Treffer.

Berechne den Erwartungswert und vergleiche.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>E(X)=25\cdot0{,}8=20</math>. Die Simulation liegt mit <math>18</math> Treffern um <math>2</math> unter dem Erwartungswert.
</div>

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== Übung C ==

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße gilt

<math display="block">E(X)=14,\qquad p=0{,}35</math>

Bestimme <math>n</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe:''' Stelle <math>E(X)=np</math> nach <math>n</math> um.
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:''' <math>n=\frac{14}{0{,}35}=40</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung D: Leistungsfach ==

Für <math>X\sim B(80,0{,}25)</math> bestimme <math>E(X)</math> und <math>\sigma</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback:'''
<math display="block">E(X)=80\cdot0{,}25=20</math>
<math display="block">\sigma=\sqrt{80\cdot0{,}25\cdot0{,}75}=\sqrt{15}\approx3{,}87</math>
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =

'''Fehler 1: Erwartungswert = sicheres Ergebnis'''

Falsch:

<math display="block">E(X)=12\Rightarrow X=12</math>

Richtig:

<math display="block">E(X)=12</math>

bedeutet einen langfristigen Mittelwert; einzelne Werte von <math>X</math> können davon abweichen.

'''Fehler 2: Trefferzahl und Trefferwahrscheinlichkeit verwechseln'''

Bei <math>n=50</math> und <math>p=0{,}2</math> gilt

<math display="block">E(X)=10</math>

Nicht <math>0{,}2</math>. Die Größe <math>p</math> ist eine Wahrscheinlichkeit, <math>E(X)</math> ist hier eine erwartete Anzahl.

'''Fehler 3: Erwartungswert unnötig runden'''

Bei

<math display="block">E(X)=7{,}5</math>

sollst Du nicht automatisch auf <math>8</math> runden. <math>7{,}5</math> ist als Mittelwert sinnvoll.

'''Fehler 4: Binomialmodell ungeprüft verwenden'''

Prüfe:
# feste Anzahl <math>n</math> von Versuchen,
# je Versuch zwei relevante Ausgänge,
# konstante Trefferwahrscheinlichkeit <math>p</math>,
# Unabhängigkeit der Versuche im Modell.

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= Selbstkontrolle =

Beantworte ohne Hilfsmittel:

# Für <math>X\sim B(30,0{,}4)</math>: <math>E(X)=?</math>
# Eine Simulation liefert <math>X=9</math>. Wie groß ist die Abweichung von <math>E(X)</math>?
# Kann <math>E(X)=7{,}2</math> gelten, obwohl <math>X</math> nur ganze Zahlen annimmt?
# Wenn <math>n</math> verdoppelt wird und <math>p</math> konstant bleibt: Wie ändert sich <math>E(X)</math>?
# Warum widerlegt eine einzelne deutliche Abweichung nicht automatisch das Modell?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösungen:'''
# <math>E(X)=30\cdot0{,}4=12</math>.
# <math>9-12=-3</math>, also drei Treffer unter dem Erwartungswert.
# Ja. Der Erwartungswert ist ein langfristiger Mittelwert.
# Er verdoppelt sich.
# Zufallsgrößen schwanken von Serie zu Serie.
</div>

{{BR}}
= Transfer =

{{BR}}
== Von der Trefferzahl zum Anteil ==

Aus

<math display="block">E(X)=np</math>

folgt für den erwarteten Trefferanteil:

<math display="block">E\left(\frac{X}{n}\right)=\frac{E(X)}{n}=p</math>

Damit verbindet sich die erwartete Trefferzahl mit der zugrunde gelegten Trefferwahrscheinlichkeit.

{{BR}}
== Parameter aus dem Erwartungswert rekonstruieren ==

Wenn <math>n</math> bekannt ist:

<math display="block">p=\frac{E(X)}{n}</math>

Wenn <math>p</math> bekannt ist:

<math display="block">n=\frac{E(X)}{p}</math>

Bei <math>n</math> muss das Ergebnis als Anzahl von Versuchen sinnvoll und ganzzahlig sein. Ist das nicht der Fall, prüfe Modell, Daten oder Aufgabenangaben.

{{BR}}
== Modellkritik ==

Ein beobachteter Mittelwert vieler Serien kann zur Modellprüfung beitragen. Beispiel:

<math display="block">n=100,\qquad p=0{,}5,\qquad E(X)=50</math>

Wenn sehr viele gleichartige Serien systematisch Mittelwerte deutlich fern von <math>50</math> liefern, ist es sinnvoll, die Modellannahmen zu prüfen. Eine einzelne Serie reicht dafür nicht aus.

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

Markiere für Dich '''sicher''', '''teilweise''' oder '''noch üben'''.

# Ich erkenne, wann <math>X\sim B(n,p)</math> sinnvoll modelliert werden kann.
# Ich berechne <math>E(X)=np</math> sicher.
# Ich deute einen nicht-ganzzahligen Erwartungswert korrekt.
# Ich vergleiche Simulationsergebnisse mit <math>E(X)</math>, ohne aus Einzelwerten zu viel zu schließen.
# Ich kann <math>E(X)=np</math> nach <math>n</math> oder <math>p</math> umstellen.
# Leistungsfach: Ich kann <math>E(X)=np</math> über Indikatorvariablen begründen.
# Leistungsfach: Ich kann <math>E(X)</math> zusammen mit <math>\sigma=\sqrt{np(1-p)}</math> interpretieren.

{{BR}}
= Reflexion =

# Welche Bedeutung von <math>E(X)</math> war für Dich neu?
# Welche Fehlinterpretation würdest Du jetzt sicher vermeiden?
# Was zeigt eine Simulation, was die Formel allein nicht zeigt?
# Was zeigt die Formel, was eine einzelne Simulation nicht zeigt?
# Welche Annahme des Binomialmodells würdest Du in realen Daten zuerst prüfen?

'''KI-Hinweis:''' KI kann Rechenwege, Simulationen oder Erklärungen vorschlagen. Prüfe Parameter, Rechenoperationen und Schlussfolgerungen selbst. Eine KI-Ausgabe ersetzt keine mathematische Begründung und keinen Beweis.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wie lautet der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße?'''
(E von X gleich n mal p)
(!E von X gleich n plus p)
(!E von X gleich p durch n)
(!E von X gleich n minus p)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beschreibt n in einem Binomialmodell?'''
(Anzahl der Versuche)
(!Trefferwahrscheinlichkeit)
(!Beobachtete Trefferquote)
(!Standardabweichung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beschreibt p in einem Binomialmodell?'''
(Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch)
(!Anzahl der Versuche)
(!Sichere Trefferzahl)
(!Anzahl der Simulationen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Für n gleich 50 und p gleich 0 Komma 2 ist der Erwartungswert?'''
(10)
(!2)
(!25)
(!50)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet ein Erwartungswert von 7 Komma 5 Treffern?'''
(Langfristig liegt die mittlere Trefferzahl bei 7 Komma 5)
(!Jede Serie hat genau 8 Treffer)
(!Jede Serie hat genau 7 Treffer)
(!Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt 7 Komma 5 Prozent)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Eine Simulation liegt drei Treffer unter dem Erwartungswert. Was folgt sicher?'''
(Die beobachtete Trefferzahl ist um drei kleiner als der Erwartungswert)
(!Das Binomialmodell ist falsch)
(!Die Trefferwahrscheinlichkeit ist null)
(!Die nächste Simulation liegt drei Treffer darüber)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was passiert mit dem Erwartungswert wenn n verdoppelt und p konstant bleibt?'''
(Er verdoppelt sich)
(!Er halbiert sich)
(!Er bleibt gleich)
(!Er wird null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage über einzelne Simulationen ist richtig?'''
(Sie können vom Erwartungswert abweichen)
(!Sie ergeben immer den Erwartungswert)
(!Sie sind immer größer als der Erwartungswert)
(!Sie sind immer kleiner als der Erwartungswert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie bestimmt man p aus E von X und n?'''
(p gleich E von X geteilt durch n)
(!p gleich n geteilt durch E von X)
(!p gleich E von X mal n)
(!p gleich n minus E von X)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Bedingung gehört zum Binomialmodell?'''
(Konstante Trefferwahrscheinlichkeit)
(!Ständig wechselnde Trefferwahrscheinlichkeit)
(!Beliebig viele Ausgänge pro Versuch)
(!Abhängigkeit aller Versuche)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Erwartungswert || langfristige mittlere Trefferzahl
|-
| Parameter n || Anzahl der Versuche
|-
| Parameter p || Trefferwahrscheinlichkeit
|-
| Simulation || konkrete zufällige Realisierung
|-
| Abweichung || Differenz zur theoretischen Mitte
|-
| Standardabweichung || Maß für typische Streuung
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Versuchsanzahl'''
| Parameter n
|-
| '''Trefferwahrscheinlichkeit'''
| Parameter p
|-
| '''Erwartungswert'''
| Produkt aus n und p
|-
| '''Beobachtung'''
| konkrete Trefferzahl
|-
| '''Langfristiger Mittelwert'''
| theoretische Deutung

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Erwartungswert || Wie heißt der langfristige Mittelwert einer Zufallsgröße?
|-
| Trefferzahl || Welche Anzahl beschreibt X im Binomialmodell?
|-
| Parameter || Wie nennt man n und p gemeinsam?
|-
| Simulation || Wie heißt eine rechnerische Nachbildung zufälliger Versuche?
|-
| Binomial || Welcher Verteilungstyp liegt bei wiederholten Bernoulli-Versuchen vor?
|-
| Abweichung || Wie heißt die Differenz zwischen Beobachtung und theoretischer Mitte?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+-+Erwartungswert+der+Binomialverteilung+nutzen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße gilt für den Erwartungswert { E(X)=np }. Der Parameter <math>n</math> beschreibt die { Anzahl der Versuche }. Der Parameter <math>p</math> beschreibt die { Trefferwahrscheinlichkeit }. Eine einzelne simulierte Trefferzahl kann vom { Erwartungswert } abweichen. Ein nicht-ganzzahliger Erwartungswert ist als langfristiger { Mittelwert } sinnvoll. Werden sehr viele gleichartige Serien simuliert, nähert sich der Mittelwert der beobachteten Trefferzahlen typischerweise dem { theoretischen Erwartungswert }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Erwartungswert|Formelkarte]]: Gestalte eine Lernkarte mit <math>E(X)=np</math>, der Bedeutung aller Größen und einem eigenen Beispiel.
# [[Simulation|Mini-Simulation]]: Simuliere zehn Serien eines einfachen Bernoulli-Experiments ohne personenbezogene Daten und vergleiche die Trefferzahlen mit <math>E(X)</math>.
# [[Fehleranalyse|Fehlerposter]]: Stelle drei typische Fehlinterpretationen des Erwartungswertes mit Korrektur gegenüber.
# [[Histogramm|Bildanalyse]]: Beschreibe an einem Binomialhistogramm, wo Du den Erwartungswert ungefähr erwartest und warum.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Modellieren|Sachmodell]]: Erfinde eine realistische Binomialsituation, bestimme <math>n</math>, <math>p</math> und <math>E(X)</math> und begründe die Modellannahmen.
# [[Datenanalyse|Simulationsvergleich]]: Führe Simulationen mit <math>20</math>, <math>100</math> und <math>1000</math> Serien durch und untersuche, wie sich der Mittelwert der Trefferzahlen verändert.
# [[Erklärvideo|Erklärclip]]: Produziere ein kurzes Erklärvideo ohne personenbezogene Daten, das den Unterschied zwischen Erwartungswert und beobachteter Trefferzahl erklärt.
# [[Parameter|Parameterexperiment]]: Halte <math>n</math> konstant, variiere <math>p</math> und dokumentiere die Wirkung auf <math>E(X)</math> und das Histogramm.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Indikatorvariable|Herleitung]]: Begründe mit Indikatorvariablen, warum bei einer Binomialverteilung <math>E(X)=np</math> gilt.
# [[Standardabweichung|Streuungsvergleich]]: Vergleiche zwei Binomialmodelle mit demselben Erwartungswert, aber unterschiedlicher Streuung.
# [[Modellkritik|Modellprüfung]]: Entwickle Kriterien, wann beobachtete Simulationsergebnisse Anlass geben, die Annahme eines konstanten <math>p</math> zu hinterfragen.
# [[Abitur|Transferaufgabe]]: Entwirf eine mehrteilige abiturähnliche Aufgabe, in der <math>E(X)</math> berechnet, rückwärts nach einem Parameter aufgelöst und mit Simulationsdaten verglichen wird.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modellwahl|Modellwahl begründen]]: Eine reale Situation liefert wechselnde Trefferwahrscheinlichkeiten. Erkläre, warum <math>E(X)=np</math> möglicherweise nicht direkt anwendbar ist und welche Annahme verletzt ist.
# [[Simulation|Simulation interpretieren]]: Zwei Simulationen mit demselben <math>n</math> und <math>p</math> liefern unterschiedliche Trefferzahlen. Erkläre, warum das mit einem gemeinsamen Erwartungswert vereinbar ist.
# [[Parameteränderung|Parameteränderung analysieren]]: Untersuche, wie sich <math>E(X)</math> verändert, wenn <math>n</math> verdreifacht und <math>p</math> halbiert wird.
# [[Rückwärtsmodellierung|Rückwärtsmodellierung]]: Ein Prozess hat bei <math>n=200</math> einen erwarteten Wert von <math>16</math> Treffern. Bestimme <math>p</math> und interpretiere den Wert.
# [[Streuung|Erwartungswert und Streuung]]: Zwei Modelle haben denselben Erwartungswert. Begründe, warum ihre Histogramme trotzdem unterschiedlich breit sein können.
# [[Gesetz der großen Zahlen|Langzeitvergleich]]: Erkläre, warum der Mittelwert vieler simulierter Trefferzahlen näher an <math>E(X)</math> liegen kann als einzelne Simulationsergebnisse.

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{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:
# Du modellierst eine Situation als <math>X\sim B(n,p)</math> und begründest die Voraussetzungen.
# Du berechnest <math>E(X)=np</math> korrekt.
# Du deutest den Erwartungswert im Kontext als langfristigen Mittelwert der Trefferzahl.
# Du vergleichst beobachtete Trefferzahlen sachgerecht mit <math>E(X)</math>.
# Du vermeidest die Aussage, eine einzelne Serie müsse den Erwartungswert treffen.
# Du kannst <math>E(X)=np</math> nach einem fehlenden Parameter umstellen.
# Im Leistungsfach kannst Du die Formel über Indikatorvariablen begründen und mit <math>\sigma=\sqrt{np(1-p)}</math> einordnen.

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{{BR}}
= OERs zum Thema =

'''Wikimedia Commons:'''
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binomial_distribution_PDF.svg Binomial distribution PDF.svg] – freie Visualisierung mehrerer Binomialverteilungen.
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Galton_Box.svg Galton Box.svg] – freie schematische Darstellung eines Galtonbretts.

'''Dynamische Mathematik:'''
# [https://www.geogebra.org/m/f9jp24w4 GeoGebra: Histogramm und Erwartungswert]
# [https://www.geogebra.org/m/hdpaex8q GeoGebra: Einfluss der Parameter n und p]

'''Amtliche Orientierung:'''
# [https://www.bildungsplaene-bw.de/ Bildungspläne Baden-Württemberg]
# [https://zsl-bw.de/ ZSL Baden-Württemberg]

'''Wikipedia:'''
<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung </iframe>

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächsten Schritt bietet sich an:

<math display="block">\sigma=\sqrt{np(1-p)}</math>

und damit der Zusammenhang zwischen [[Erwartungswert]], [[Varianz]], [[Standardabweichung]] und der Form des Binomialhistogramms. Danach folgen je nach Kurs und Prüfungsjahrgang [[Normalverteilung]], [[Hypothesentest]] und weitere stochastische Modelle.

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Binomialverteilung]]'''
# [[Bernoulli-Experiment]]
# [[Zufallsgröße]]
# [[Erwartungswert]]
# [[Varianz]]
# [[Standardabweichung]]
# [[Histogramm]]
# [[Gesetz der großen Zahlen]]
# [[Stochastik]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Binomialverteilung]]
[[Kategorie:Erwartungswert]]
[[Kategorie:Kursstufe]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Basisfach Mathematik]]
[[Kategorie:Leistungsfach Mathematik]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI - Erwartungswert der Binomialverteilung nutzen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt