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2026-09-28T16:00:43Z

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{{T}}

{{BR}}
= ABI - Die natürliche Exponentialfunktion verstehen =

{{BR}}
= Einleitung =

'''Mini-Beschreibung:''' Untersuche <math>f(x)=e^x</math> hinsichtlich Definitions- und Wertemenge, Monotonie, Achsenschnitt, Grenzverhalten und besonderer Ableitungseigenschaft. Du arbeitest mit Wachstumsmodellen, dynamischen Graphen und prüfungsnahen Aufgaben für Basis- und Leistungsfach.

[[Datei:Exp.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Kernidee auf einen Blick:'''
# <math>D_f=\mathbb{R}</math>
# <math>W_f=(0,\infty)</math>
# <math>f(0)=1</math>
# <math>f'(x)=e^x=f(x)</math>
# <math>\lim_{x\to-\infty}e^x=0</math> und <math>\lim_{x\to\infty}e^x=\infty</math>

'''Prüfungsbezug Baden-Württemberg:''' Dieser Kurs trainiert Inhalte und Denkweisen für das Mathematik-Abitur im Basis- und Leistungsfach. Maßgeblich ist immer der Facherlass Deines Prüfungsjahrgangs. Stand der Kurserstellung ist September 2026; für das Abitur 2027 veröffentlicht das Kultusministerium einen eigenen Facherlass. Digitale Werkzeuge wie GeoGebra dienen hier dem Lernen und sind nicht automatisch als Prüfungshilfsmittel zugelassen.

[https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Offizielle Abiturinformationen Baden-Württemberg]

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du
# [[Exponentialfunktion|die natürliche Exponentialfunktion]] <math>f(x)=e^x</math> sicher beschreiben.
# Definitionsmenge, Wertemenge, Monotonie, Achsenschnitt und Grenzverhalten begründen.
# die besondere Beziehung <math>f'=f</math> nutzen.
# Wachstums- und Zerfallsmodelle der Form <math>N(t)=N_0e^{kt}</math> interpretieren.
# Graph, Funktionsterm und Ableitung miteinander verknüpfen.
# typische Fehler in Abituraufgaben erkennen und korrigieren.
# im Leistungsfach Eigenschaften auch formal über Ableitung und Grenzwerte begründen.

{{BR}}
== Vorwissen-Check ==

Prüfe ohne Taschenrechner:

<quiz display=simple>
{'''Ergänze die Grundideen.'''<br>
|type="{}"}
Für Potenzen gilt <math>a^0=</math> { 1 }.
Bei <math>a>1</math> wächst <math>a^x</math> mit zunehmendem <math>x</math> { monoton }.
Die Steigung eines Funktionsgraphen an einer Stelle beschreibt die { Ableitung }.
Eine waagerechte Gerade, der sich ein Graph annähert, kann eine { Asymptote } sein.
</quiz>

'''Wenn Du unsicher bist:''' Wiederhole [[Potenzen]], [[Ableitung]] und [[Grenzwert]].

{{BR}}
= Die natürliche Exponentialfunktion =

{{BR}}
== Die Zahl e und der Graph ==

Die Eulersche Zahl ist näherungsweise

<math>e\approx 2{,}71828</math>.

Die natürliche Exponentialfunktion lautet

<math>f(x)=e^x</math>.

Sie ist für jede reelle Zahl definiert und liefert nur positive Funktionswerte.

[[Datei:The exponemtial function.png|500px|rahmenlos|center]]

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_exponemtial_function.png Quelle und Lizenz: Wikimedia Commons]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=wbsf-06HyvA |500|center}}

{{BR}}
== Dynamischer Graph ==

Verändere im dynamischen Modell den Ausschnitt und untersuche den Verlauf von <math>e^x</math>.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/xZnxMm52 </iframe>

'''Beobachtungsauftrag:'''
# Verschiebe den sichtbaren Bereich weit nach links.
# Suche den Punkt mit <math>x=0</math>.
# Vergleiche Funktionshöhe und Tangentensteigung.
# Prüfe, ob der Graph die <math>x</math>-Achse erreicht.

{{BR}}
== Definitions- und Wertemenge ==

'''Definitionsmenge'''

<math>D_f=\mathbb{R}</math>

Jede reelle Zahl darf für <math>x</math> eingesetzt werden.

'''Wertemenge'''

<math>W_f=(0,\infty)</math>

Denn

<math>e^x>0</math>

für alle <math>x\in\mathbb{R}</math>.

'''Merke:''' Der Graph liegt vollständig oberhalb der <math>x</math>-Achse.

{{BR}}
== Achsenschnitt ==

Für den Schnitt mit der <math>y</math>-Achse gilt

<math>x=0</math>

und damit

<math>f(0)=e^0=1</math>.

Der Achsenschnitt ist

<math>S_y=(0|1)</math>.

Eine Nullstelle existiert nicht, weil

<math>e^x>0</math>.

{{BR}}
== Monotonie ==

Da

<math>f'(x)=e^x</math>

und zugleich

<math>e^x>0</math>,

gilt

<math>f'(x)>0</math>

für alle reellen <math>x</math>.

Also ist <math>f</math> auf ganz <math>\mathbb{R}</math> streng monoton steigend.

'''Basisfach:''' Erkläre die Monotonie am Graphen und über das positive Vorzeichen der Ableitung.

'''Leistungsfach:''' Formuliere die Argumentation vollständig mit Ableitung und Monotoniekriterium.

{{BR}}
== Grenzverhalten ==

Für große positive Werte von <math>x</math> wächst die Funktion unbegrenzt:

<math>\lim_{x\to\infty}e^x=\infty</math>.

Für große negative Werte nähert sich der Graph der <math>x</math>-Achse:

<math>\lim_{x\to-\infty}e^x=0</math>.

Damit ist

<math>y=0</math>

eine waagerechte Asymptote für <math>x\to-\infty</math>.

'''Wichtig:''' Annähern bedeutet nicht Erreichen.

{{BR}}
== Die besondere Ableitungseigenschaft ==

Die natürliche Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung:

<math>f(x)=e^x</math>

<math>f'(x)=e^x</math>.

Damit stimmen an jeder Stelle Funktionswert und Tangentensteigung überein.

[[Datei:Exponential Function derivative.png|500px|rahmenlos|center]]

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Exponential_Function_derivative.png Quelle und Lizenz: Wikimedia Commons]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=IU7s7GoujS4 |500|center}}

{{BR}}
=== Leistungsfach: Begründung über den Differenzenquotienten ===

Ausgehend von

<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}</math>

folgt

<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^x e^h-e^x}{h}</math>

und nach Ausklammern

<math>f'(x)=e^x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}</math>.

Mit der charakteristischen Grenzwerteigenschaft

<math>\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1</math>

erhält man

<math>f'(x)=e^x</math>.

'''Denkfrage:''' An welcher Stelle dieser Argumentation steckt die besondere Wahl der Basis <math>e</math>?

{{BR}}
== Krümmung als Zusatzblick ==

Auch die zweite Ableitung ist

<math>f''(x)=e^x>0</math>.

Der Graph ist daher überall linksgekrümmt beziehungsweise streng konvex.

[[Datei:Demonstration of integral and derivative of the exponential function.png|500px|rahmenlos|center]]

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Demonstration_of_integral_and_derivative_of_the_exponential_function.png Quelle und Lizenz: Wikimedia Commons]

{{BR}}
= Exponentialfunktionen vergleichen =

Nicht jede Exponentialfunktion hat die Basis <math>e</math>.

[[Datei:Exponential functions.png|500px|rahmenlos|center]]

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Exponential_functions.png Quelle und Lizenz: Wikimedia Commons]

Für

<math>g(x)=a^x</math>

mit <math>a>0</math> und <math>a\neq1</math> gilt allgemein

<math>g'(x)=\ln(a)\cdot a^x</math>.

Nur für

<math>a=e</math>

ist

<math>\ln(e)=1</math>

und deshalb

<math>g'(x)=g(x)</math>.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/xeXMrywa </iframe>

'''Interaktive Untersuchung:''' Vergleiche verschiedene Basen. Welche Graphen wachsen, welche fallen, und wodurch unterscheidet sich <math>e^x</math>?

{{BR}}
= Wachstumsmodelle =

{{BR}}
== Kontinuierliches Wachstum und Zerfall ==

Ein typisches Modell lautet

<math>N(t)=N_0e^{kt}</math>.

Dabei ist
# <math>N_0</math> der Anfangswert,
# <math>k>0</math> ein Wachstumsparameter,
# <math>k<0</math> ein Zerfallsparameter.

Aus

<math>N'(t)=kN_0e^{kt}</math>

folgt

<math>N'(t)=kN(t)</math>.

Die momentane Änderungsrate ist also proportional zum aktuellen Bestand.

[[Datei:Expon interest.jpg|500px|rahmenlos|center]]

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Expon_interest.jpg Quelle und Lizenz: Wikimedia Commons]

{{BR}}
== Interaktives Beispiel: Wachstum ==

Gegeben sei

<math>N(t)=200e^{0{,}15t}</math>.

'''Startwert'''

<math>N(0)=200</math>.

'''Momentane Änderungsrate nach 4 Zeiteinheiten'''

<math>N'(t)=0{,}15\cdot200e^{0{,}15t}</math>

<math>N'(4)=30e^{0{,}6}</math>

<math>N'(4)\approx54{,}7</math>.

'''Interpretation:''' Nach vier Zeiteinheiten wächst der Bestand in diesem Modell momentan um etwa <math>54{,}7</math> Einheiten pro Zeiteinheit.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe & Feedback'''
<br>
Wenn Du bei <math>N'(t)</math> nur <math>200e^{0{,}15t}</math> erhalten hast, fehlt der Faktor aus der Kettenregel. Die innere Ableitung von <math>0{,}15t</math> ist <math>0{,}15</math>.
</div>

{{BR}}
== Verdopplungszeit ==

Für

<math>N(t)=N_0e^{kt}</math>

mit <math>k>0</math> gilt bei Verdopplung

<math>2N_0=N_0e^{kT}</math>.

Kürzen:

<math>2=e^{kT}</math>.

Logarithmieren:

<math>\ln(2)=kT</math>.

Damit

<math>T=\frac{\ln(2)}{k}</math>.

'''Folgekurs-Hinweis:''' Das Lösen solcher Gleichungen führt direkt zum [[Natürlicher Logarithmus|natürlichen Logarithmus]].

{{BR}}
= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung 1: Eigenschaften ablesen ==

Gegeben ist <math>f(x)=e^x</math>.

Bestimme Definitionsmenge, Wertemenge und <math>y</math>-Achsenschnitt.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<br>
Setze für den Achsenschnitt <math>x=0</math>.
<br>
'''Feedback'''
<br>
Richtig ist <math>D_f=\mathbb{R}</math>, <math>W_f=(0,\infty)</math> und <math>S_y=(0|1)</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung 2: Monotonie begründen ==

Begründe rechnerisch, warum <math>f(x)=e^x</math> streng monoton steigt.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<br>
Untersuche das Vorzeichen von <math>f'(x)</math>.
<br>
'''Feedback'''
<br>
<math>f'(x)=e^x>0</math> für alle <math>x</math>. Deshalb ist <math>f</math> streng monoton steigend.
</div>

{{BR}}
== Übung 3: Kettenregel ==

Leite ab:

<math>g(x)=e^{3x-2}</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<br>
Äußere Funktion: Exponentialfunktion. Innere Funktion: <math>3x-2</math>.
<br>
'''Feedback'''
<br>
<math>g'(x)=3e^{3x-2}</math>.
</div>

{{BR}}
== Übung 4: Modellieren ==

Ein Bestand wird durch

<math>B(t)=80e^{-0{,}12t}</math>

beschrieben.

Entscheide, ob Wachstum oder Zerfall vorliegt, und bestimme den Anfangswert.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<br>
Achte auf das Vorzeichen des Parameters vor <math>t</math>.
<br>
'''Feedback'''
<br>
Wegen <math>-0{,}12<0</math> liegt Zerfall vor. Der Anfangswert ist <math>B(0)=80</math>.
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =

{{BR}}
== Typische Fehler ==

'''Fehler 1'''

Behauptung:

<math>e^x=0</math>

habe eine Lösung.

'''Korrektur:''' <math>e^x</math> ist stets positiv. Es gibt keine Nullstelle.

'''Fehler 2'''

Behauptung:

<math>\frac{d}{dx}e^{2x}=e^{2x}</math>.

'''Korrektur:'''

<math>\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}</math>.

'''Fehler 3'''

Behauptung: Weil sich der Graph für <math>x\to-\infty</math> der <math>x</math>-Achse nähert, schneidet er sie irgendwann.

'''Korrektur:''' Der Grenzwert ist <math>0</math>, aber alle Funktionswerte bleiben positiv.

'''Fehler 4'''

Behauptung: Jedes Modell mit <math>e^{kt}</math> beschreibt Wachstum.

'''Korrektur:''' Das Vorzeichen von <math>k</math> entscheidet. Bei <math>k<0</math> liegt Zerfall vor.

{{BR}}
== KI-Check ==

KI kann Rechenwege vorschlagen, aber Du musst mathematische Aussagen prüfen.

Kontrolliere insbesondere:
# Wurde die Kettenregel vollständig angewendet?
# Passt das Vorzeichen zur behaupteten Monotonie?
# Wurde ein Grenzwert mit einem tatsächlich angenommenen Funktionswert verwechselt?
# Ist die Einheit in einem Sachmodell korrekt?
# Ist eine Begründung wirklich ein Beweis?

'''Merke:''' Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Ohne Hilfsmittel solltest Du sofort erklären können:

# Warum ist <math>e^x</math> immer positiv?
# Warum besitzt <math>e^x</math> keine Nullstelle?
# Warum ist der Graph streng monoton steigend?
# Was bedeutet <math>f'=f</math> geometrisch?
# Was sagt <math>\lim_{x\to-\infty}e^x=0</math> aus?
# Wie erkennst Du bei <math>N_0e^{kt}</math> Wachstum oder Zerfall?

{{BR}}
= Transfer =

{{BR}}
== Vom Graphen zum Modell ==

Ein Bestand startet bei <math>500</math> und besitzt eine momentane relative Wachstumsrate von <math>8\%</math> pro Zeiteinheit.

Ein kontinuierliches Modell ist

<math>N(t)=500e^{0{,}08t}</math>.

Dann gilt

<math>N'(t)=0{,}08N(t)</math>.

'''Transferfrage:''' Warum beschreibt <math>0{,}08</math> hier nicht einfach eine feste Zunahme von <math>8</math> Einheiten?

{{BR}}
== Dynamisches Modellieren ==

Nutze einen dynamischen Graphen und vergleiche

<math>N_1(t)=100e^{0{,}1t}</math>

und

<math>N_2(t)=100e^{-0{,}1t}</math>.

<iframe> https://mat.geogebra.org/graphing?lang=de </iframe>

'''Arbeitsauftrag:''' Gib beide Funktionen ein, beobachte die Veränderung und formuliere den Einfluss des Vorzeichens im Exponenten.

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

{| class="wikitable"
! Kompetenz
! Das kann ich
|-
| Eigenschaften von <math>e^x</math> nennen und begründen
| □ sicher □ teilweise □ noch nicht
|-
| <math>e^x</math> und <math>e^{u(x)}</math> ableiten
| □ sicher □ teilweise □ noch nicht
|-
| Grenzverhalten korrekt deuten
| □ sicher □ teilweise □ noch nicht
|-
| Wachstumsmodelle interpretieren
| □ sicher □ teilweise □ noch nicht
|-
| Basisfach-Aufgaben anschaulich begründen
| □ sicher □ teilweise □ noch nicht
|-
| Leistungsfach-Aufgaben formal begründen
| □ sicher □ teilweise □ noch nicht
|}

{{BR}}
= Reflexion =

Beantworte schriftlich:

# Welche Eigenschaft von <math>e^x</math> findest Du mathematisch am auffälligsten?
# Wo hilft Dir der Graph mehr als der Funktionsterm?
# Wo reicht Anschauung nicht mehr aus und Du brauchst eine formale Begründung?
# Welchen Fehler würdest Du in einer Abiturprüfung jetzt schneller erkennen?
# Welche Rolle spielt die Ableitung beim Übergang von Funktion zu Wachstumsmodell?

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächstes bietet sich an:

'''[[ABI - Exponentialgleichungen und natürlicher Logarithmus verstehen]]'''

Dort nutzt Du <math>\ln(x)</math> als Umkehrfunktion von <math>e^x</math> und löst Gleichungen wie

<math>e^{kx}=a</math>.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=AvVZevycQZI |500|center}}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Definitionsmenge besitzt f(x)=e^x?'''
(Alle reellen Zahlen)
(!Nur positive reelle Zahlen)
(!Alle reellen Zahlen außer null)
(!Nur ganze Zahlen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Wertemenge besitzt f(x)=e^x?'''
(Alle positiven reellen Zahlen)
(!Alle reellen Zahlen)
(!Alle nichtpositiven reellen Zahlen)
(!Nur Zahlen größer als eins)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wo schneidet der Graph von f(x)=e^x die y-Achse?'''
(Im Punkt 0 Strich 1)
(!Im Punkt 1 Strich 0)
(!Im Ursprung)
(!Der Graph schneidet die y-Achse nicht)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zur Nullstelle von f(x)=e^x ist richtig?'''
(Die Funktion besitzt keine Nullstelle)
(!Die Nullstelle ist null)
(!Die Nullstelle ist eins)
(!Die Nullstelle ist minus eins)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie verhält sich f(x)=e^x auf den reellen Zahlen?'''
(Sie ist streng monoton steigend)
(!Sie ist streng monoton fallend)
(!Sie ist konstant)
(!Sie steigt nur für positive x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Ableitung besitzt f(x)=e^x?'''
(e^x)
(!x mal e hoch x)
(!e hoch x minus eins)
(!eins durch e hoch x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Grenzwert gilt für x gegen minus unendlich?'''
(Null)
(!Eins)
(!Minus unendlich)
(!Plus unendlich)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet f Strich gleich f bei der natürlichen Exponentialfunktion?'''
(Funktionswert und Tangentensteigung stimmen an jeder Stelle überein)
(!Der Graph besitzt überall die Steigung eins)
(!Die Funktion ist konstant)
(!Die Funktion besitzt keine Tangenten)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann beschreibt N gleich N null mal e hoch k t Wachstum?'''
(Wenn k positiv ist)
(!Wenn k negativ ist)
(!Wenn k null und N null null ist)
(!Nur wenn k gleich eins ist)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Ableitung hat g(x)=e hoch 3x?'''
(3 mal e hoch 3x)
(!e hoch 3x)
(!3 mal e hoch x)
(!e hoch x plus 3)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Definitionsmenge || alle reellen Zahlen
|-
| Wertemenge || positive reelle Zahlen
|-
| y-Achsenschnitt || Punkt bei x gleich null und y gleich eins
|-
| Ableitungseigenschaft || Funktion ist ihre eigene Ableitung
|-
| Asymptote || x-Achse für x gegen minus unendlich
|-
| Wachstumsparameter || positives k
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''streng monoton steigend'''
| positives Vorzeichen der Ableitung
|-
| '''keine Nullstelle'''
| ausschließlich positive Funktionswerte
|-
| '''waagerechte Asymptote'''
| Annäherung an die x-Achse
|-
| '''Selbstableitung'''
| Funktionswert entspricht Tangentensteigung
|-
| '''exponentieller Zerfall'''
| negativer Wachstumsparameter
|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Exponentialfunktion || Wie heißt der Funktionstyp von e hoch x?
|-
| Wertemenge || Wie heißt die Menge aller möglichen Funktionswerte?
|-
| Monotonie || Welcher Begriff beschreibt dauerhaftes Steigen oder Fallen?
|-
| Tangente || Welche Gerade zeigt die lokale Steigung eines Graphen?
|-
| Grenzwert || Wie heißt der Wert, dem sich eine Funktion annähert?
|-
| Wachstum || Was liegt bei einem positiven Parameter k im Modell N null mal e hoch k t vor?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+-+Die+natürliche+Exponentialfunktion+verstehen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die natürliche Exponentialfunktion lautet <math>f(x)=</math> { e^x }. Ihre Definitionsmenge ist die Menge der { reellen Zahlen }. Alle Funktionswerte sind { positiv }. Der Graph schneidet die y-Achse bei der Höhe { 1 }. Eine Nullstelle besitzt die Funktion { nicht }. Für die Ableitung gilt <math>f'(x)=</math> { e^x }. Deshalb ist die Funktion streng monoton { steigend }. Für <math>x\to-\infty</math> nähert sich der Funktionswert der Zahl { 0 }. In einem Modell <math>N(t)=N_0e^{kt}</math> beschreibt ein positives <math>k</math> exponentielles { Wachstum }. Ein negatives <math>k</math> beschreibt exponentiellen { Zerfall }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Graph lesen]]: Skizziere <math>e^x</math> und markiere den Punkt <math>(0|1)</math> sowie die Asymptote.
# [[Eigenschaften erklären]]: Erstelle eine Lernkarte mit Definitionsmenge, Wertemenge, Monotonie und Grenzverhalten.
# [[Tangente]]: Zeichne am Graphen bei <math>x=0</math> eine Tangente und erkläre, warum ihre Steigung <math>1</math> ist.
# [[Fehler finden]]: Erfinde zwei falsche Aussagen über <math>e^x</math> und korrigiere sie.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[GeoGebra]]: Untersuche dynamisch <math>e^x</math>, <math>e^{2x}</math> und <math>e^{-x}</math> und dokumentiere die Unterschiede.
# [[Wachstumsmodell]]: Entwickle ein eigenes realistisches Modell <math>N(t)=N_0e^{kt}</math> und erkläre die Bedeutung aller Parameter.
# [[Ableitung]]: Erstelle eine visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung zur Ableitung von <math>e^{ax+b}</math>.
# [[Grenzverhalten]]: Erkläre mit Graph und Rechnung, warum die x-Achse Asymptote, aber keine Schnittgerade des Graphen ist.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Differenzenquotient]]: Begründe im Leistungsfach mit dem Differenzenquotienten, warum <math>(e^x)'=e^x</math>.
# [[Modellvergleich]]: Vergleiche ein lineares Modell mit einem exponentiellen Modell bei gleichem Startwert und diskutiere langfristige Unterschiede.
# [[Parameterbestimmung]]: Bestimme aus zwei gegebenen Messpunkten ein Modell <math>N(t)=N_0e^{kt}</math> und überprüfe es grafisch.
# [[Abituraufgabe erstellen]]: Entwirf eine eigene Aufgabe mit Graph, Ableitung, Modellinterpretation und Transferteil. Formuliere anschließend eine Musterlösung.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Zusammenhang Graph und Ableitung]]: Erkläre, wie man allein aus <math>f'(x)=f(x)>0</math> wesentliche Aussagen über den Graphen von <math>e^x</math> gewinnt.
# [[Modellkritik]]: Ein exponentielles Wachstumsmodell sagt langfristig extrem große Werte voraus. Erkläre, warum reale Prozesse trotzdem nur zeitweise exponentiell verlaufen können.
# [[Parameterwirkung]]: Vergleiche <math>e^{0{,}2x}</math> und <math>e^{-0{,}2x}</math> hinsichtlich Monotonie, Grenzverhalten und Sachbedeutung.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Lösung behauptet aus <math>\lim_{x\to-\infty}e^x=0</math>, dass es ein <math>x</math> mit <math>e^x=0</math> gibt. Widerlege die Schlussfolgerung.
# [[Transfer zur Umkehrfunktion]]: Begründe, warum eine streng monoton steigende Funktion mit Wertemenge <math>(0,\infty)</math> eine Umkehrfunktion auf diesem Wertebereich besitzt.
# [[Basisfach und Leistungsfach]]: Formuliere dieselbe Monotoniebegründung einmal anschaulich und einmal formal mit Ableitung.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen überzeugenden Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du
# die Eigenschaften von <math>f(x)=e^x</math> korrekt benennst und begründest.
# Graph und Funktionsterm miteinander verknüpfen kannst.
# Ableitungen von <math>e^{u(x)}</math> mit der Kettenregel bestimmst.
# Grenzwerte korrekt interpretierst.
# exponentielle Wachstums- und Zerfallsmodelle aufstellst und deutest.
# zwischen anschaulicher Argumentation im Basisfach und vertiefter Formalisierung im Leistungsfach unterscheiden kannst.
# digitale Werkzeuge kritisch nutzt und Ergebnisse rechnerisch überprüfst.
# mathematische Aussagen einer KI eigenständig kontrollierst und Begründungen nicht durch bloße KI-Ausgaben ersetzt.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl </iframe>

'''Weitere freie und schulische Materialien:'''
# [https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe2/analysis/euler Landesbildungsserver Baden-Württemberg: Eulersche Zahl, e-Funktion und natürlicher Logarithmus]
# [https://www.geogebra.org/m/xZnxMm52 GeoGebra: f(x)=e^x]
# [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Exponential_functions Wikimedia Commons: Exponential functions]

{{BR}}
= Medienhinweis =

Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien sind über ihre Dateiseiten mit Lizenzangaben dokumentiert. YouTube-Videos werden eingebettet und nicht kopiert. Interaktive GeoGebra-Werkzeuge dienen der Exploration. Nutze bei eigenen Projekten nur Inhalte, deren Lizenz und Quellenangabe Du geprüft hast, und veröffentliche keine personenbezogenen Daten.

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Natürliche Exponentialfunktion]]'''
# [[Exponentialfunktion]]
# [[Eulersche Zahl]]
# [[Ableitung]]
# [[Kettenregel]]
# [[Grenzwert]]
# [[Asymptote]]
# [[Exponentielles Wachstum]]
# [[Exponentieller Zerfall]]
# [[Natürlicher Logarithmus]]
# [[Mathematik-Abitur]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Exponentialfunktion]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Abitur Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Basisfach]]
[[Kategorie:Leistungsfach]]
[[Kategorie:Sekundarstufe II]]
[[Kategorie:Mathematik Abitur]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI - Die natürliche Exponentialfunktion verstehen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt