Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-27T20:23:10Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

Neue Seite

{{T}}

{{BR}}
= ABI - Binomialverteilung unter Abiturbedingungen anwenden =

'''Mini-Beschreibung:''' Bearbeite mehrschrittige prüfungsnahe Aufgaben mit Modellwahl, Einzel- und kumulierten Wahrscheinlichkeiten, Parameterinterpretation und Rückwärtsfragen. Der Kurs richtet sich an Basis- und Leistungsfach im Mathematik-Abitur Baden-Württemberg.

'''Prüfungsbezug:''' Abitur Baden-Württemberg, Prüfungsjahrgang 2027, Stand September 2026. Für spätere Prüfungsjahrgänge musst Du den jeweils aktuellen Facherlass prüfen. Übungswerkzeuge wie GeoGebra, Lernapps oder KI sind keine automatisch zugelassenen Prüfungshilfsmittel.

{{BR}}
= Einleitung =

Eine typische Abituraufgabe zur [[Binomialverteilung]] beginnt nicht mit einer Formel, sondern mit einer Entscheidung:

'''Ist ein Binomialmodell überhaupt passend?'''

Erst danach folgen Berechnung, Interpretation und Begründung.

[[Datei:Galton-Brett.svg|380px|rahmenlos|center]]

Das Galtonbrett macht eine Grundidee sichtbar: Viele gleichartige Ja-Nein-Entscheidungen erzeugen eine Verteilung von Trefferzahlen. Überlege beim Bild: Was könnte ein einzelner Schritt nach rechts bedeuten? Was zählt die Zufallsvariable am Ende?

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=0XKzD5taEUY |500|center}}

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du:
# [[Binomialmodell|ein Binomialmodell erkennen und begründen]]: Du prüfst zwei Ausgänge, feste Versuchszahl, konstante Trefferwahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit.
# [[Einzelwahrscheinlichkeit|Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen]]: Du bestimmst <math>P(X=k)</math>.
# [[Kumulierte Wahrscheinlichkeit|kumulierte Wahrscheinlichkeiten übersetzen]]: Du unterscheidest höchstens, mindestens, weniger als, mehr als und Intervalle.
# [[Parameter einer Binomialverteilung|Parameter interpretieren]]: Du deutest <math>n</math>, <math>p</math>, Erwartungswert und im Leistungsfach zusätzlich Varianz und Standardabweichung.
# [[Rückwärtsaufgabe|Rückwärtsfragen lösen]]: Du bestimmst unbekannte Parameter oder eine minimale Versuchszahl.
# [[Abitur Mathematik Baden-Württemberg|unter Abiturbedingungen arbeiten]]: Du trennst hilfsmittelfreie Teil-A-Strategien von WTR-Strategien im geeigneten Prüfungsteil.
# [[Mathematisches Argumentieren|Rechenwege begründen]]: Du formulierst nicht nur Ergebnisse, sondern erklärst Modell, Ereignis und Schlussfolgerung.

{{BR}}
== Prüfungsmodus Baden-Württemberg 2027 ==

'''Leistungsfach:''' Die schriftliche Prüfung umfasst 300 Minuten einschließlich Auswahlzeit. Teil A wird ohne Formelsammlung und ohne WTR bearbeitet. Vier Pflichtaufgaben und zwei von sechs Wahlaufgaben werden bearbeitet. Teil A wird spätestens 110 Minuten nach Prüfungsbeginn abgegeben. Danach werden Formelsammlung und WTR für Teil B verwendet.

'''Basisfach:''' Die mündliche Prüfung besteht aus einem etwa zehnminütigen Vortrag nach etwa 20 Minuten Vorbereitungszeit und einem etwa zehnminütigen Prüfungsgespräch. Die Prüfung selbst ist in beiden Teilen hilfsmittelfrei. In der Vorbereitungsaufgabe wird festgelegt, ob dort Hilfsmittel genutzt werden dürfen.

'''Konsequenz für diesen Kurs:''' Teil-A-Varianten trainierst Du grundsätzlich hilfsmittelfrei. WTR-Schritte erscheinen nur bei Aufgaben, die ausdrücklich als geeignete Teil-B-Übung markiert sind.

'''Offizielle Grundlage:''' [https://km.baden-wuerttemberg.de/fileadmin/redaktion/m-km/intern/PDF/Dateien/Gymnasium/Dokumente_Abitur/Abitur_2027/Facherlass_2027_Stand_09.09.2025.pdf Facherlass Abiturprüfung 2027 Baden-Württemberg]

{{BR}}
= Vorwissen-Check =

Bearbeite zunächst ohne Taschenrechner.

# [[Bernoulli-Versuch]]: Entscheide, ob „Treffer / kein Treffer“ zwei mögliche Ausgänge eines Einzelversuchs beschreibt.
# [[Potenzgesetze]]: Vereinfache <math>(1-p)^3\cdot(1-p)^2</math>.
# [[Binomialkoeffizient]]: Bestimme <math>\binom{5}{2}</math>.
# [[Gegenereignis]]: Formuliere das Gegenereignis zu „mindestens ein Treffer“.
# [[Ungleichung]]: Übersetze „höchstens vier Treffer“ in eine Aussage mit <math>X</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Selbstkontrolle'''
<div class="mw-collapsible-content">
Erwartete Kernideen: zwei Ausgänge; <math>(1-p)^5</math>; <math>\binom{5}{2}=10</math>; „kein Treffer“; <math>X\le 4</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
= Das Binomialmodell =

Eine Zufallsvariable <math>X</math> ist binomialverteilt mit den Parametern <math>n</math> und <math>p</math>, wenn <math>X</math> die Anzahl der Treffer in einer Folge gleichartiger Bernoulli-Versuche zählt.

'''Modellcheck:'''

<math>n</math> = feste Anzahl der Versuche

<math>p</math> = konstante Trefferwahrscheinlichkeit je Versuch

<math>X</math> = Anzahl der Treffer

Zusätzlich müssen die Einzelversuche für das Modell unabhängig sein oder in der Aufgabenmodellierung als unabhängig behandelt werden dürfen.

[[Datei:Bernoulli distribution examples.svg|620px|rahmenlos|center]]

'''Denkfrage:''' Warum reicht es nicht, nur zwei mögliche Ausgänge zu haben? Begründe, weshalb auch ein konstantes <math>p</math> und die Unabhängigkeit wichtig sind.

{{BR}}
== Modellwahl unter Prüfungsbedingungen ==

'''Passend:''' Eine Maschine produziert unter stabilen Bedingungen Bauteile; jedes Teil wird als „fehlerfrei“ oder „nicht fehlerfrei“ eingestuft; die Trefferwahrscheinlichkeit wird als konstant modelliert.

'''Nicht automatisch passend:''' Es werden ohne Zurücklegen Objekte aus einer kleinen endlichen Menge gezogen. Dann verändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit typischerweise von Zug zu Zug.

'''Abiturformulierung:''' Schreibe nicht nur „binomialverteilt“, sondern begründe kurz:

<math>X\sim B(n,p)</math>, weil eine feste Anzahl gleichartiger Versuche mit zwei Ausgängen betrachtet wird, die Trefferwahrscheinlichkeit konstant ist und die Versuche im Modell unabhängig sind.

{{BR}}
= Kernformeln =

'''Einzelwahrscheinlichkeit'''

<math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}</math>

'''Höchstens'''

<math>P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}</math>

'''Mindestens'''

<math>P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)</math>

'''Mehr als'''

<math>P(X>k)=1-P(X\le k)</math>

'''Weniger als'''

<math>P(X<k)=P(X\le k-1)</math>

'''Intervall'''

<math>P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a-1)</math>

'''Erwartungswert'''

<math>\mu=E(X)=np</math>

'''Leistungsfach-Vertiefung'''

<math>V(X)=np(1-p)</math>

<math>\sigma=\sqrt{np(1-p)}</math>

[[Datei:Binomial distribution PDF.svg|500px|rahmenlos|center]]

Das Diagramm zeigt Binomialverteilungen mit gleichem <math>n</math>, aber verschiedenen Werten von <math>p</math>. Beschreibe, wie sich das Zentrum der Verteilung mit wachsendem <math>p</math> verschiebt.

{{BR}}
= Dynamische Visualisierung =

'''Verändere zuerst nur <math>p</math>, dann nur <math>n</math>.''' Beobachte Lage, Breite und Form der Verteilung.

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/d8qm6r6v/width/800/height/500/border/888888/rc/true/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

'''Auftrag:''' Formuliere drei Wenn-Dann-Aussagen. Prüfe anschließend, ob sie zu <math>\mu=np</math> und <math>\sigma=\sqrt{np(1-p)}</math> passen.

{{BR}}
== Einzelwahrscheinlichkeit und kumulierte Wahrscheinlichkeit sehen ==

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/gskZ5crz/width/800/height/500/border/888888/rc/true/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

Schalte zwischen Wahrscheinlichkeitsfunktion und kumulierter Darstellung um. Prüfe visuell:

<math>P(X\le k)</math> wächst mit <math>k</math>.

<math>P(X=k)</math> ist dagegen nur die Höhe eines einzelnen Balkens.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=VA6Z9SzsV88 |500|center}}

{{BR}}
= Interaktive Beispiele =

{{BR}}
== Beispiel 1: Teil A hilfsmittelfrei ==

Eine Trefferwahrscheinlichkeit beträgt <math>p=0{,}5</math>. Es werden vier unabhängige Versuche durchgeführt. <math>X</math> zählt die Treffer.

'''a) Bestimme <math>P(X=3)</math>.'''

<math>P(X=3)=\binom{4}{3}\cdot 0{,}5^3\cdot 0{,}5</math>

<math>P(X=3)=4\cdot 0{,}5^4=\frac{4}{16}=\frac14</math>

'''b) Bestimme <math>P(X\ge1)</math>.'''

Direktes Addieren wäre unnötig. Nutze das Gegenereignis:

<math>P(X\ge1)=1-P(X=0)</math>

<math>P(X\ge1)=1-0{,}5^4=\frac{15}{16}</math>

'''Prüfungsidee:''' Erkenne früh, wann das Gegenereignis Rechenarbeit spart.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
„Mindestens ein Treffer“ hat genau ein einfaches Gegenereignis: „kein Treffer“.
</div>
</div>

{{BR}}
== Beispiel 2: Teil B mit WTR ==

Eine Qualitätsprüfung wird mit <math>n=12</math> unabhängigen Prüfungen modelliert. Die Trefferwahrscheinlichkeit für „Anforderung erfüllt“ beträgt <math>p=0{,}7</math>.

'''a) Genau acht Treffer'''

<math>P(X=8)=\binom{12}{8}\cdot 0{,}7^8\cdot 0{,}3^4\approx0{,}2311</math>

'''b) Höchstens acht Treffer'''

<math>P(X\le8)\approx0{,}5075</math>

'''c) Mindestens acht Treffer'''

<math>P(X\ge8)=1-P(X\le7)\approx0{,}7237</math>

'''d) Zwischen sieben und zehn Treffer einschließlich'''

<math>P(7\le X\le10)=P(X\le10)-P(X\le6)\approx0{,}7971</math>

'''WTR-Strategie:''' Nutze im geeigneten Teil B die Binomial-PDF für einzelne Trefferzahlen und die Binomial-CDF für kumulierte Wahrscheinlichkeiten. Die Tastenfolge hängt vom eingeführten WTR-Modell ab.

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/sfnxwk4n/width/800/height/500/border/888888/rc/true/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

'''Kontrolle:''' Ein WTR-Ergebnis ohne korrekt formuliertes Ereignis ist kein vollständiger mathematischer Lösungsweg.

{{BR}}
== Beispiel 3: Rückwärtsfrage nach der Versuchszahl ==

Pro Versuch beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit <math>p=0{,}2</math>. Gesucht ist die kleinste Versuchszahl <math>n</math>, sodass die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer mindestens <math>0{,}95</math> beträgt.

<math>P(X\ge1)\ge0{,}95</math>

<math>1-P(X=0)\ge0{,}95</math>

<math>1-(1-0{,}2)^n\ge0{,}95</math>

<math>0{,}8^n\le0{,}05</math>

<math>n\ge\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}8)}\approx13{,}43</math>

Da <math>n</math> eine natürliche Zahl ist:

<math>n_{\min}=14</math>

'''Wichtig:''' Die Rückwärtsfrage ist erst beendet, wenn Du die Ganzzahligkeit interpretierst und das kleinste zulässige <math>n</math> angibst.

{{BR}}
== Beispiel 4: Parameter interpretieren ==

Bei <math>n=30</math> gilt <math>E(X)=18</math>.

Aus

<math>E(X)=np</math>

folgt

<math>18=30p</math>

und damit

<math>p=0{,}6</math>.

'''Interpretation:''' Im Modell beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit je Versuch <math>60\%</math>. Der Erwartungswert 18 bedeutet nicht, dass in jeder Serie genau 18 Treffer auftreten.

'''Leistungsfach:'''

<math>V(X)=30\cdot0{,}6\cdot0{,}4=7{,}2</math>

<math>\sigma=\sqrt{7{,}2}\approx2{,}68</math>

{{BR}}
= Teil-A-Training ohne Hilfsmittel =

Bearbeite ohne WTR und ohne dynamisches Werkzeug.

'''Aufgabe A1'''

Für <math>X\sim B(5,0{,}5)</math> bestimme <math>P(X=4)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze <math>\binom54=5</math> und <math>0{,}5^5=\frac1{32}</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>P(X=4)=5\cdot\frac1{32}=\frac5{32}</math>.
</div>
</div>

'''Aufgabe A2'''

Für <math>X\sim B(5,0{,}5)</math> bestimme <math>P(X\ge1)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-\frac1{32}=\frac{31}{32}</math>.
</div>
</div>

'''Aufgabe A3'''

Eine Behauptung lautet: „<math>P(X\ge3)=1-P(X\le3)</math>.“ Prüfe sie.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Die Behauptung ist falsch. Das Gegenereignis zu <math>X\ge3</math> ist <math>X\le2</math>. Richtig ist <math>P(X\ge3)=1-P(X\le2)</math>.
</div>
</div>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=2oFd4j94hLg |500|center}}

Das Video behandelt eine baden-württembergische Abituraufgabe zur Binomialverteilung. Nutze es erst nach dem eigenen Lösungsversuch als Vergleich des Rechenwegs.

{{BR}}
= Teil-B-Training mit WTR =

'''Aufgabe B1'''

Es gilt <math>X\sim B(40,0{,}35)</math>. Bestimme mit geeignetem WTR-Befehl:

<math>P(X=15)</math>

<math>P(X\le15)</math>

<math>P(X\ge15)</math>

<math>P(12\le X\le18)</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Übersetze zuerst jedes Ereignis symbolisch. Nutze für „mindestens“ gegebenenfalls das Gegenereignis und für das Intervall die Differenz zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten.
</div>
</div>

'''Aufgabe B2'''

Eine Rückwärtsfrage verlangt das kleinste <math>n</math>, für das

<math>1-(1-p)^n\ge q</math>

gilt. Erkläre, warum das Ergebnis nach der logarithmischen Umformung auf die nächste ganze Zahl nach oben gerundet werden muss.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=y1J8y74jv-Y |500|center}}

{{BR}}
= Fehleranalyse =

'''Fehler 1: Signalwort falsch übersetzt'''

„Mindestens 6“ bedeutet

<math>X\ge6</math>

und nicht

<math>X>6</math>.

'''Fehler 2: Falsches Gegenereignis'''

Zu

<math>X\ge6</math>

gehört als Gegenereignis

<math>X\le5</math>.

'''Fehler 3: Binomialmodell ungeprüft verwendet'''

Eine Formel ist erst nach der Modellentscheidung sinnvoll.

'''Fehler 4: Parameter verwechselt'''

<math>n</math> zählt Versuche, <math>p</math> ist eine Wahrscheinlichkeit, <math>k</math> ist eine konkrete Trefferzahl.

'''Fehler 5: Rückwärtsfrage nicht abgeschlossen'''

Ein rechnerischer Wert wie <math>n\ge13{,}43</math> muss in eine zulässige ganze Versuchszahl übersetzt werden.

'''Fehler 6: WTR statt Begründung'''

Ein Displaywert ersetzt weder Ereignisnotation noch Modellbegründung.

{{BR}}
== Fehlerdetektiv ==

Eine Lösung lautet:

<math>P(X\ge4)=1-P(X\le4)</math>

'''Auftrag:''' Finde den Fehler, korrigiere ihn und formuliere das Gegenereignis in Worten.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Richtig ist <math>P(X\ge4)=1-P(X\le3)</math>. Das Gegenereignis lautet „höchstens drei Treffer“.
</div>
</div>

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Nutze diese Vier-Schritt-Kontrolle vor der Abgabe:

# [[Modellcheck]]: Habe ich begründet, warum eine Binomialverteilung passt?
# [[Ereignisnotation]]: Habe ich die sprachliche Bedingung korrekt mit <math>X</math> formuliert?
# [[Rechenweg]]: Ist erkennbar, warum ich Einzelwahrscheinlichkeit, Summe, Gegenereignis oder CDF verwende?
# [[Interpretation]]: Bezieht sich mein Endsatz auf die Fragestellung und ist eine Wahrscheinlichkeit sinnvoll gerundet?

{{BR}}
= Transfer =

Ein automatisches Prüfsystem meldet pro Test mit Wahrscheinlichkeit <math>0{,}08</math> einen Alarm. Unter dem Modell unabhängiger Tests werden 25 Tests betrachtet.

'''Transferfragen:'''

# [[Modellkritik]]: Welche reale Abhängigkeit könnte die Binomialannahme verletzen?
# [[Kumulierte Wahrscheinlichkeit]]: Wie würdest Du die Wahrscheinlichkeit für höchstens drei Alarme darstellen?
# [[Rückwärtsfrage]]: Wie würdest Du die kleinste Testzahl bestimmen, damit mindestens ein Alarm mit vorgegebener Mindestwahrscheinlichkeit auftritt?
# [[Interpretation]]: Welche Aussage liefert <math>E(X)=25\cdot0{,}08</math>, und welche Aussage liefert der Erwartungswert gerade nicht?

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

'''Basisfach'''

Du solltest eine Situation verständig modellieren, einfache Einzel- und kumulierte Wahrscheinlichkeiten sicher übersetzen, Rechenwege erklären und Ergebnisse anschaulich interpretieren können.

'''Leistungsfach'''

Zusätzlich solltest Du mehrschrittige Modellierungsaufgaben formal strukturieren, Rückwärtsfragen sicher lösen, Parameter und Kenngrößen vertieft interpretieren sowie Modellgrenzen begründet diskutieren können.

'''Selbsteinschätzung:'''

<math>\square</math> Ich erkenne ein Binomialmodell.

<math>\square</math> Ich übersetze „mindestens“, „höchstens“, „mehr als“ und „weniger als“ fehlerfrei.

<math>\square</math> Ich kann <math>P(X=k)</math> ohne unnötige Technik aufstellen.

<math>\square</math> Ich kann kumulierte Wahrscheinlichkeiten mit Gegenereignissen vereinfachen.

<math>\square</math> Ich kann eine Rückwärtsfrage nach <math>n</math> nachvollziehbar lösen.

<math>\square</math> Ich trenne Teil-A- und Teil-B-Strategien.

<math>\square</math> Ich kann ein Ergebnis im Kontext interpretieren.

{{BR}}
= KI und mathematische Kontrolle =

KI kann Varianten von Aufgaben, alternative Erklärungen oder Kontrollfragen erzeugen. Prüfe jede KI-Ausgabe mathematisch.

'''Prüfroutine:'''

# [[Modell]]: Sind Unabhängigkeit, konstantes <math>p</math> und feste Versuchszahl plausibel?
# [[Formel]]: Passt die verwendete Formel zum Ereignis?
# [[Grenzen]]: Liegt jede Wahrscheinlichkeit zwischen <math>0</math> und <math>1</math>?
# [[Plausibilität]]: Passt das Ergebnis zum Histogramm und zum Erwartungswert?
# [[Begründung]]: Ist der Rechenweg nachvollziehbar?

Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis und keine eigene Begründung.

{{BR}}
= Reflexion =

Beantworte nach einer Übungseinheit drei Fragen:

# [[Strategie]]: Welche Aufgabentypen erkenne ich sofort?
# [[Fehlerprofil]]: Wo verwechsle ich noch Ereignisgrenzen?
# [[Prüfungstraining]]: Welche Aufgaben muss ich noch konsequent ohne Hilfsmittel trainieren?

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächster Schritt eignet sich ein aiMOOC zu [[Hypothesentest|Hypothesentests mit Binomialverteilung]], weil dort Modellwahl, kumulierte Wahrscheinlichkeiten, Entscheidungsregeln und Interpretation miteinander verbunden werden.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Bedingung gehört zu einem Binomialmodell?'''
(Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt in jedem Versuch konstant)
(!Die Trefferzahl ist vor jedem Versuch bekannt)
(!Jeder Versuch hat mindestens drei Ausgänge)
(!Die Versuche müssen unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten besitzen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel beschreibt eine Einzelwahrscheinlichkeit der Binomialverteilung?'''
(P von X gleich k ist Binomialkoeffizient n über k mal p hoch k mal 1 minus p hoch n minus k)
(!P von X gleich k ist n mal p)
(!P von X gleich k ist p hoch n)
(!P von X gleich k ist n plus p plus k)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Ereignisformulierung passt zu mindestens k Treffern?'''
(X ist größer oder gleich k)
(!X ist kleiner oder gleich k)
(!X ist kleiner als k)
(!X ist gleich k minus eins)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie berechnet man mindestens k Treffer besonders günstig über das Gegenereignis?'''
(Eins minus P von X kleiner oder gleich k minus eins)
(!Eins minus P von X kleiner oder gleich k)
(!P von X kleiner oder gleich k)
(!P von X gleich k minus eins)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet der Parameter p?'''
(Trefferwahrscheinlichkeit eines Einzelversuchs)
(!Anzahl der Versuche)
(!Anzahl der beobachteten Treffer)
(!Standardabweichung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet der Erwartungswert einer Binomialverteilung?'''
(n mal p)
(!n plus p)
(!p geteilt durch n)
(!n mal eins minus p)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann wird im schriftlichen Mathematik-Abitur 2027 im Leistungsfach der WTR für die Aufgabenbearbeitung eingesetzt?'''
(Nach Abgabe von Teil A im Teil B)
(!Von Beginn an in Teil A)
(!Nur während der Auswahlzeit)
(!Gar nicht)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was kennzeichnet Teil A im Leistungsfach-Abitur 2027?'''
(Er wird ohne WTR und ohne Formelsammlung bearbeitet)
(!Er wird ausschließlich mit WTR bearbeitet)
(!Er besteht nur aus Stochastik)
(!Er wird nach Teil B bearbeitet)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie ist die mündliche Mathematikprüfung im Basisfach 2027 während Vortrag und Prüfungsgespräch geregelt?'''
(Beide Prüfungsteile selbst sind hilfsmittelfrei)
(!Der WTR ist durchgehend vorgeschrieben)
(!GeoGebra ist verpflichtend)
(!Eine KI darf als Hilfsmittel genutzt werden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist bei einer Rückwärtsfrage nach der kleinsten Versuchszahl besonders wichtig?'''
(Das rechnerische Ergebnis auf die kleinste zulässige ganze Versuchszahl zu übertragen)
(!Jede Dezimalzahl unverändert als Versuchszahl zu übernehmen)
(!Den Parameter p durch n zu ersetzen)
(!Die Gegenwahrscheinlichkeit grundsätzlich zu ignorieren)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Binomialmodell || feste Versuchszahl und konstante Trefferwahrscheinlichkeit
|-
| Einzelwahrscheinlichkeit || genau k Treffer
|-
| kumulierte Wahrscheinlichkeit || mehrere Trefferzahlen zusammenfassen
|-
| Gegenereignis || eins minus Gegenwahrscheinlichkeit
|-
| Erwartungswert || n mal p
|-
| Standardabweichung || Wurzel aus n mal p mal eins minus p
|-
| Teil A || hilfsmittelfreies Arbeiten
|-
| Teil B || WTR im Leistungsfach
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''höchstens k Treffer'''
| linksseitig kumuliert
|-
| '''mindestens k Treffer'''
| Gegenereignis bis k minus eins
|-
| '''genau k Treffer'''
| Einzelwahrscheinlichkeit
|-
| '''Treffer von a bis b'''
| Differenz zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten
|-
| '''mindestens ein Treffer'''
| Komplement zu kein Treffer

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Bernoulli || Wie heißt ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ausgängen?
|-
| Treffer || Wie nennt man den als Erfolg festgelegten Ausgang?
|-
| Gegenereignis || Welcher Begriff bezeichnet das komplementäre Ereignis?
|-
| Erwartungswert || Welche Kenngröße ist bei einer Binomialverteilung gleich n mal p?
|-
| Unabhängigkeit || Welche Eigenschaft der Einzelversuche ist für das Binomialmodell zentral?
|-
| Binomialkoeffizient || Welcher Begriff gehört zum Faktor n über k?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+-+Binomialverteilung+unter+Abiturbedingungen+anwenden </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei einer Binomialverteilung beschreibt { n } die feste Anzahl der Versuche. Die Trefferwahrscheinlichkeit eines Einzelversuchs wird mit { p } bezeichnet. Eine Wahrscheinlichkeit für genau eine Trefferzahl heißt { Einzelwahrscheinlichkeit }. Das Wort höchstens führt zu einer { kumulierten } Wahrscheinlichkeit. Für mindestens einen Treffer ist das { Gegenereignis } oft besonders günstig. Der Erwartungswert einer Binomialverteilung lautet { np }. Im Leistungsfach wird Teil A des Abiturs { hilfsmittelfrei } bearbeitet. Der WTR wird im geeigneten Prüfungsteil { Teil B } eingesetzt.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Signalwörter]]: Erstelle eine Karte mit den Begriffen mindestens, höchstens, mehr als, weniger als und genau und ergänze jeweils die passende Ereignisnotation.
# [[Modellcheck]]: Erfinde zwei Situationen, von denen eine binomial modelliert werden kann und eine nicht. Begründe beide Entscheidungen.
# [[Histogramm]]: Nutze die GeoGebra-Visualisierung und beschreibe, was sich bei festem <math>n</math> und wachsendem <math>p</math> verändert.
# [[Teil-A-Training]]: Entwickle eine kurze Aufgabe mit <math>p=0{,}5</math>, die vollständig ohne Taschenrechner lösbar ist.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Mehrschrittige Aufgabe]]: Erstelle eine Aufgabe mit Modellwahl, einer Einzelwahrscheinlichkeit, einer kumulierten Wahrscheinlichkeit und einem Interpretationssatz.
# [[Fehleranalyse]]: Formuliere drei typische falsche Lösungen zu Gegenereignissen und korrigiere sie mit Begründung.
# [[WTR-Vergleich]]: Löse eine geeignete Teil-B-Aufgabe einmal mit Formel und einmal mit WTR. Vergleiche Rechenweg, Zeitbedarf und Fehlerquellen.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Video ohne personenbezogene Daten, in dem Du <math>P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)</math> visuell erklärst.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Rückwärtsfrage]]: Entwickle eine Aufgabe, in der die kleinste Versuchszahl <math>n</math> für eine vorgegebene Mindestwahrscheinlichkeit bestimmt werden muss.
# [[Parameterrekonstruktion]]: Entwickle eine Aufgabe, in der aus <math>E(X)</math> und <math>n</math> die Trefferwahrscheinlichkeit <math>p</math> bestimmt und interpretiert wird.
# [[Modellkritik]]: Untersuche ein Beispiel ohne Zurücklegen und erkläre präzise, warum die Binomialverteilung dort nicht automatisch exakt anwendbar ist.
# [[Abitursimulation]]: Erstelle eine Mini-Prüfung mit einer hilfsmittelfreien Teil-A-Aufgabe und einer Teil-B-Aufgabe mit WTR. Formuliere zu beiden einen Erwartungshorizont.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modellentscheidung]]: Eine Serie von Prüfungen zeigt eine wechselnde Trefferwahrscheinlichkeit. Erkläre, welche Voraussetzung des Binomialmodells verletzt ist und welche Folge das für die Rechnung hat.
# [[Strategievergleich]]: Vergleiche direktes Summieren und Gegenereignis für eine Mindestwahrscheinlichkeit. Begründe, welche Darstellung effizienter ist.
# [[Parameterwirkung]]: Erkläre mit <math>\mu=np</math>, warum sich das Zentrum einer Binomialverteilung verändert, wenn <math>p</math> wächst und <math>n</math> fest bleibt.
# [[Rückwärtsdenken]]: Begründe, warum bei der Suche nach einer minimalen Versuchszahl nicht nur eine Gleichung gelöst, sondern anschließend eine Ganzzahligkeitsbedingung geprüft werden muss.
# [[Prüfungstransfer]]: Erkläre, weshalb Du auch dann Teil-A-Aufgaben hilfsmittelfrei trainieren solltest, wenn Du außerhalb der Prüfung jederzeit einen Rechner verwenden könntest.
# [[Plausibilitätsprüfung]]: Ein WTR liefert für eine Wahrscheinlichkeit den Wert <math>1{,}07</math>. Erkläre, was daraus über Eingabe oder Modellierung folgt.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:
# [[Modellwahl]]: Du begründest die Anwendbarkeit oder Nicht-Anwendbarkeit der Binomialverteilung.
# [[Notation]]: Du übersetzt sprachliche Bedingungen korrekt in Ereignisse mit <math>X</math>.
# [[Berechnung]]: Du berechnest Einzel- und kumulierte Wahrscheinlichkeiten passend zur Aufgabenstellung.
# [[Rückwärtsfrage]]: Du löst mindestens eine Aufgabe mit unbekanntem Parameter oder minimaler Versuchszahl.
# [[Interpretation]]: Du formulierst Ergebnisse im Sachzusammenhang.
# [[Hilfsmittelkompetenz]]: Du unterscheidest hilfsmittelfreie und WTR-geeignete Lösungswege.
# [[Argumentation]]: Du machst Rechenweg, Entscheidung und Begründung nachvollziehbar.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung </iframe>

'''Freie und interaktive Medien:'''

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binomial_distribution_PDF.svg Wikimedia Commons: Binomial distribution PDF.svg]

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Galton-Brett.svg Wikimedia Commons: Galton-Brett.svg]

[https://www.geogebra.org/m/d8qm6r6v GeoGebra: Eigenschaften der Binomialverteilung]

[https://www.geogebra.org/m/gskZ5crz GeoGebra: Darstellung der Binomialverteilung]

'''Medienhinweis:''' Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien sind auf ihren Dateibeschreibungsseiten mit freien Lizenzen beziehungsweise Public-Domain-Status ausgewiesen. Prüfe bei Weiterverwendung stets die dort genannten Lizenzbedingungen.

{{BR}}
= Quellen und Prüfungsbezug =

[https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg: Termine und Informationen zum Abitur]

[https://km.baden-wuerttemberg.de/fileadmin/redaktion/m-km/intern/PDF/Dateien/Gymnasium/Dokumente_Abitur/Abitur_2027/Facherlass_2027_Stand_09.09.2025.pdf Facherlass für die Abiturprüfung 2027]

'''Hinweis:''' Für Deinen tatsächlichen Prüfungsjahrgang gelten ausschließlich die jeweils aktuellen offiziellen Vorgaben. Übungswerkzeuge sind nicht automatisch zugelassene Prüfungshilfsmittel.

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Binomialverteilung]]'''
# [[Bernoulli-Versuch]]
# [[Bernoulli-Kette]]
# [[Binomialkoeffizient]]
# [[Zufallsvariable]]
# [[Kumulierte Wahrscheinlichkeit]]
# [[Gegenereignis]]
# [[Erwartungswert]]
# [[Varianz]]
# [[Standardabweichung]]
# [[Hypothesentest]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Binomialverteilung]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Oberstufe]]
[[Kategorie:Basisfach]]
[[Kategorie:Leistungsfach]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI - Binomialverteilung unter Abiturbedingungen anwenden - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt