Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-28T02:56:31Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

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{{T}}

{{BR}}
= ABI - Bedingte Wahrscheinlichkeiten verstehen =

'''Mini-Beschreibung:''' Du interpretierst <math>P(A\mid B)</math> als Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> unter der Bedingung <math>B</math>. Der Schwerpunkt liegt darauf, <math>P(A\mid B)</math> sicher von <math>P(B\mid A)</math> zu unterscheiden. Mengenbilder, Baumdiagramme und Vierfeldertafeln helfen Dir dabei.

[[Datei:Conditional probability.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Einleitung =

Bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit wird der Blick auf einen Teil der möglichen Fälle eingeschränkt.

'''Leitidee:'''

<math>P(A\mid B)</math>

bedeutet:

'''Wie wahrscheinlich ist <math>A</math>, wenn bereits bekannt ist, dass <math>B</math> eingetreten ist?'''

Nicht vertauschen:

<math>P(A\mid B)\neq P(B\mid A)</math>

im Allgemeinen.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=LonDC-l4IVs |500|center}}

{{BR}}
= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du

# [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingte Wahrscheinlichkeiten]] sprachlich und mathematisch deuten.
# <math>P(A\mid B)</math> und <math>P(B\mid A)</math> sicher unterscheiden.
# bedingte Wahrscheinlichkeiten aus einer [[Vierfeldertafel]] ablesen und berechnen.
# zwischen Vierfeldertafel, Mengenbild und [[Baumdiagramm]] wechseln.
# typische Fehlinterpretationen erkennen und begründen.
# im Basisfach verständige Verfahren anwenden und anschaulich argumentieren.
# im Leistungsfach zusätzlich formaler begründen, modellieren und Zusammenhänge vertiefen.

{{BR}}
= Vorwissen-Check =

Bevor Du startest, solltest Du diese Begriffe sicher beherrschen:

<math>A\cap B</math> bedeutet: <math>A</math> '''und''' <math>B</math> treten ein.

<math>A\cup B</math> bedeutet: <math>A</math> '''oder''' <math>B</math> tritt ein.

<math>\overline{A}</math> bedeutet: <math>A</math> tritt '''nicht''' ein.

<math>P(A)</math> ist die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> ohne zusätzliche Bedingung.

'''Mini-Check:'''

Für <math>P(A)=0{,}6</math>, <math>P(B)=0{,}5</math> und <math>P(A\cap B)=0{,}3</math> gilt

<math>P(A\mid B)=\frac{0{,}3}{0{,}5}=0{,}6</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Denkfrage:''' Was fällt Dir auf?<br>
<div class="mw-collapsible-content">
Hier gilt <math>P(A\mid B)=P(A)</math>. Das ist ein Kennzeichen dafür, dass <math>A</math> und <math>B</math> stochastisch unabhängig sind.
</div>
</div>

{{BR}}
= Kernidee: Die Bedingung verändert den Bezugsraum =

[[Datei:Venn-3.svg|500px|rahmenlos|center]]

Die Bedingung <math>B</math> sagt: '''Betrachte nur noch die Fälle in <math>B</math>.'''

Innerhalb dieses verkleinerten Bezugsraums interessiert der Anteil, der zusätzlich zu <math>A</math> gehört.

Daraus folgt für <math>P(B)>0</math>:

<math>P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>

'''Visuelle Lesart:'''

<math>B</math> ist der neue Grundraum.

<math>A\cap B</math> ist darin der günstige Teil.

{{BR}}
== Interaktives Mengenbild ==

Verändere in diesem dynamischen Modell die Wahrscheinlichkeiten und beobachte, wie sich die Flächen verändern:

<iframe> https://www.geogebra.org/m/edv7wV5P </iframe>

'''Arbeitsauftrag:''' Stelle verschiedene Werte für <math>P(A)</math>, <math>P(B)</math> und <math>P(A\cap B)</math> ein. Prüfe jeweils, ob Du <math>P(A\mid B)</math> aus dem Verhältnis der Flächen erklären kannst.

{{BR}}
= Das wichtigste Gegenbeispiel: Nicht vertauschen =

Nehmen wir eine Gruppe mit 100 Personen.

<math>A</math>: Person besteht einen Test.

<math>B</math>: Person hat einen Vorbereitungskurs besucht.

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:auto;"
!
! <math>A</math>
! <math>\overline A</math>
! Gesamt
|-
! <math>B</math>
| 36
| 4
| 40
|-
! <math>\overline B</math>
| 30
| 30
| 60
|-
! Gesamt
| 66
| 34
| 100
|}

{{BR}}
== Frage 1: Wie wahrscheinlich ist Bestehen unter den Kursteilnehmenden? ==

Die Bedingung ist <math>B</math>.

Also betrachten wir nur die Zeile mit insgesamt <math>40</math> Personen.

<math>P(A\mid B)=\frac{36}{40}=0{,}9</math>

'''Ergebnis:''' <math>90\,%</math>.

{{BR}}
== Frage 2: Wie wahrscheinlich ist Kursbesuch unter den Personen, die bestanden haben? ==

Jetzt ist die Bedingung <math>A</math>.

Also betrachten wir nur die Spalte mit insgesamt <math>66</math> Personen.

<math>P(B\mid A)=\frac{36}{66}\approx0{,}545</math>

'''Ergebnis:''' ungefähr <math>54{,}5\,%</math>.

'''Merksatz:''' Gleicher Schnitt <math>A\cap B</math>, aber anderer Nenner.

<math>P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>

<math>P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}</math>

{{BR}}
= Vierfeldertafel als Werkzeug =

Eine Vierfeldertafel zeigt zwei Ereignisse und ihre Gegenereignisse gleichzeitig.

'''Vorgehen:'''

# Bedingung identifizieren.
# Passende Zeile oder Spalte als neuen Bezugsraum markieren.
# Schnittmenge im Zähler verwenden.
# Randwert der Bedingung in den Nenner setzen.
# Ergebnis im Sachzusammenhang formulieren.

{{BR}}
== Dynamische Vierfeldertafel ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/uv6mzbkh </iframe>

'''Beobachtung:''' Wenn Du Werte veränderst, verändern sich gleichzeitig Randwahrscheinlichkeiten, Schnittmengen und bedingte Wahrscheinlichkeiten.

{{BR}}
= Baumdiagramm und bedingte Wahrscheinlichkeit =

[[Datei:Probability tree diagram.svg|500px|rahmenlos|center]]

Im Baumdiagramm steht eine bedingte Wahrscheinlichkeit typischerweise '''an einem Ast nach einer bereits eingetretenen Bedingung'''.

Beispiel:

<math>P(B)</math> beschreibt den ersten Schritt.

<math>P(A\mid B)</math> beschreibt danach die Wahrscheinlichkeit für <math>A</math>, wenn <math>B</math> bereits feststeht.

Für den gemeinsamen Pfad gilt:

<math>P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)</math>

Damit erhältst Du wieder:

<math>P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>

{{BR}}
== Dynamischer Rechenweg im Baumdiagramm ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/gzxz57ak </iframe>

'''Auftrag:''' Suche im Baumdiagramm gezielt nach bedingten Wahrscheinlichkeiten. Erkläre anschließend, warum die Reihenfolge der Ereignisse für die Beschriftung der Äste wichtig ist.

{{BR}}
= Schritt-für-Schritt-Beispiel =

Gegeben:

<math>P(B)=0{,}4</math>

<math>P(A\cap B)=0{,}28</math>

Gesucht:

<math>P(A\mid B)</math>

'''Schritt 1: Bedingung erkennen'''

Die Bedingung ist <math>B</math>.

'''Schritt 2: Formel wählen'''

<math>P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>

'''Schritt 3: Werte einsetzen'''

<math>P(A\mid B)=\frac{0{,}28}{0{,}4}</math>

'''Schritt 4: Berechnen'''

<math>P(A\mid B)=0{,}7</math>

'''Schritt 5: Deuten'''

Unter der Bedingung <math>B</math> tritt <math>A</math> mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>70\,%</math> ein.

{{BR}}
= Interaktive Beispiele mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Beispiel A: Vierfeldertafel lesen ==

In einer Erhebung gilt:

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:auto;"
!
! <math>A</math>
! <math>\overline A</math>
! Gesamt
|-
! <math>B</math>
| 24
| 16
| 40
|-
! <math>\overline B</math>
| 18
| 42
| 60
|-
! Gesamt
| 42
| 58
| 100
|}

Berechne <math>P(A\mid B)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 1'''
<div class="mw-collapsible-content">
Die Bedingung ist <math>B</math>. Dein neuer Bezugsraum enthält also 40 Fälle.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe 2'''
<div class="mw-collapsible-content">
Im Zähler stehen die Fälle, die zugleich zu <math>A</math> und <math>B</math> gehören.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>P(A\mid B)=\frac{24}{40}=0{,}6</math>. Unter der Bedingung <math>B</math> liegt <math>A</math> also mit <math>60\,%</math> vor.
</div>
</div>

{{BR}}
== Beispiel B: Richtung erkennen ==

Eine Aussage lautet:

'''Von den Personen mit Merkmal <math>A</math> besitzen 30 Prozent auch Merkmal <math>B</math>.'''

Gesucht ist nicht <math>P(A\mid B)</math>, sondern

<math>P(B\mid A)=0{,}3</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Das Wort „von den Personen mit <math>A</math>“ legt <math>A</math> als Bedingung fest. Die Bedingung steht rechts vom Strich.
</div>
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =

'''Fehler 1: Bedingung und Ziel vertauschen'''

Falsch gedacht:

„<math>A</math> unter <math>B</math>“ wird als <math>P(B\mid A)</math> notiert.

Richtig:

<math>P(A\mid B)</math>

Die Bedingung steht '''rechts''' vom Strich.

'''Fehler 2: Falscher Nenner'''

Falsch:

<math>P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}</math>

Richtig:

<math>P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>

'''Fehler 3: Prozentangaben ohne Bezugsgruppe'''

Eine Prozentangabe ist nur sinnvoll, wenn klar ist, worauf sie sich bezieht.

'''Fehler 4: Kausalität hineinlesen'''

Aus <math>P(A\mid B)>P(A)</math> folgt nicht automatisch, dass <math>B</math> die Ursache von <math>A</math> ist.

{{BR}}
= Basisfach und Leistungsfach =

'''Basisfach:''' Im Mittelpunkt stehen sichere Interpretation, anschauliche Begründung, Vierfeldertafel, Baumdiagramm und verständige Anwendung.

'''Leistungsfach:''' Zusätzlich solltest Du Zusammenhänge formaler darstellen, Modelle begründen und auch Umformungen sicher beherrschen.

Aus

<math>P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)</math>

und

<math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)</math>

folgt für geeignete Wahrscheinlichkeiten:

<math>P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}</math>

Das ist die Grundidee des [[Satz von Bayes|Satzes von Bayes]].

[[Datei:Bayes theorem visualisation.svg|450px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Stochastische Unabhängigkeit =

Sind <math>A</math> und <math>B</math> unabhängig, dann verändert die Information <math>B</math> die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> nicht:

<math>P(A\mid B)=P(A)</math>

äquivalent zu

<math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)</math>

'''Denkfrage:''' Warum ist das eine sinnvolle Definition von Unabhängigkeit?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Antwortidee'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn die Kenntnis von <math>B</math> den Wert von <math>P(A)</math> nicht verändert, liefert <math>B</math> für die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> keine zusätzliche Information.
</div>
</div>

{{BR}}
= Transfer: Medizinischer Test =

Ein Test kann positiv sein, obwohl eine Person die untersuchte Eigenschaft nicht besitzt. Deshalb darfst Du

<math>P(\text{positiv}\mid\text{Eigenschaft})</math>

nicht mit

<math>P(\text{Eigenschaft}\mid\text{positiv})</math>

verwechseln.

Gerade bei seltenen Ereignissen können sich diese Wahrscheinlichkeiten stark unterscheiden.

'''Transferauftrag:''' Erstelle für ein selbst gewähltes Beispiel mit 1000 hypothetischen Fällen eine Vierfeldertafel. Verwende ausschließlich erfundene Daten und keine personenbezogenen Informationen.

{{BR}}
= Prüfungsbezug Baden-Württemberg =

'''Stand September 2026:''' Für den Abiturjahrgang 2027 verweist der Facherlass Mathematik auf den Bildungsplan 2016. Im Leistungsfach gehört die Stochastik zu den Sachgebieten des schriftlichen Prüfungsteils mit Hilfsmitteln. Im Basisfach kann Stochastik Teil der mündlichen Prüfung sein.

Vor Deiner konkreten Prüfung musst Du immer den Facherlass und die zugelassenen Hilfsmittel '''Deines Prüfungsjahrgangs''' prüfen.

Digitale Übungswerkzeuge wie GeoGebra, Lernapps oder KI sind Lernhilfen. Daraus folgt '''nicht''', dass sie in einer Abiturprüfung zugelassen sind.

Eine KI-Ausgabe kann einen Rechenweg unterstützen, ersetzt aber keinen mathematischen Beweis und keine eigene Prüfung auf Plausibilität.

[https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Offizielle Informationen des Kultusministeriums Baden-Württemberg]

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

Prüfe Dich ohne Hilfsmittel:

# Kannst Du in einem Satz erklären, was <math>P(A\mid B)</math> bedeutet?
# Kannst Du in einer Vierfeldertafel sofort den richtigen Nenner bestimmen?
# Kannst Du <math>P(A\mid B)</math> von <math>P(B\mid A)</math> unterscheiden?
# Kannst Du erklären, warum die Schnittmenge in beiden Formeln gleich ist?
# Kannst Du erkennen, wann <math>P(A\mid B)=P(A)</math> auf Unabhängigkeit hinweist?

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

'''Stufe 1: Sicher'''

Du kannst eine bedingte Wahrscheinlichkeit aus einer Vierfeldertafel berechnen.

'''Stufe 2: Vernetzt'''

Du kannst dieselbe Situation als Vierfeldertafel, Baumdiagramm und Formel darstellen.

'''Stufe 3: Abiturniveau'''

Du kannst eine Sachsituation modellieren, die richtige Bedingung begründen, den Rechenweg darstellen und das Ergebnis sprachlich korrekt interpretieren.

'''Leistungsfach-Plus'''

Du kannst Beziehungen wie

<math>P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}</math>

herleiten und in Modellierungsaufgaben begründet einsetzen.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was bedeutet <math>P(A\mid B)</math>?'''
(Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B)
(!Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A)
(!Wahrscheinlichkeit von A oder B)
(!Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von B)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B?'''
(Schnittwahrscheinlichkeit von A und B geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von B)
(!Schnittwahrscheinlichkeit von A und B geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von A)
(!Wahrscheinlichkeit von A plus Wahrscheinlichkeit von B)
(!Wahrscheinlichkeit von A minus Wahrscheinlichkeit von B)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wo steht die Bedingung in <math>P(A\mid B)</math>?'''
(Rechts vom Strich)
(!Links vom Strich)
(!Im Zähler)
(!Außerhalb der Klammer)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Wert ist in der Vierfeldertafel der passende Nenner für <math>P(A\mid B)</math>?'''
(Die Gesamtzahl der Fälle in B)
(!Die Gesamtzahl der Fälle in A)
(!Die Gesamtzahl aller Fälle unabhängig von B)
(!Die Anzahl der Fälle außerhalb von B)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist bei <math>P(A\mid B)</math> der neue Bezugsraum?'''
(B)
(!A)
(!Die leere Menge)
(!Nur das Gegenereignis von A)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage kennzeichnet bei positiver Wahrscheinlichkeit von B stochastische Unabhängigkeit?'''
(Die Wahrscheinlichkeit von A bleibt unter der Bedingung B unverändert)
(!Die Wahrscheinlichkeit von A wird unter der Bedingung B immer größer)
(!A und B müssen dasselbe Ereignis sein)
(!A und B dürfen nie gemeinsam eintreten)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage über die beiden Richtungen einer bedingten Wahrscheinlichkeit ist richtig?'''
(Die Wahrscheinlichkeit von A unter B kann sich von der Wahrscheinlichkeit von B unter A unterscheiden)
(!Beide Richtungen sind immer gleich groß)
(!Die zuerst genannte Richtung ist immer größer)
(!Die zweitgenannte Richtung ist immer größer)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beschreibt <math>P(A\cap B)</math>?'''
(A und B treten gemeinsam ein)
(!Nur A tritt ein)
(!Nur B tritt ein)
(!Weder A noch B tritt ein)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Beziehung verbindet Schnittwahrscheinlichkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit?'''
(Schnittwahrscheinlichkeit gleich Wahrscheinlichkeit der Bedingung mal bedingte Wahrscheinlichkeit)
(!Schnittwahrscheinlichkeit gleich Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten)
(!Schnittwahrscheinlichkeit gleich Differenz der beiden Wahrscheinlichkeiten)
(!Schnittwahrscheinlichkeit gleich Gegenwahrscheinlichkeit der Bedingung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was solltest Du bei einer Prozentangabe zuerst klären?'''
(Auf welche Bezugsgruppe sie sich bezieht)
(!Ob sie größer als 50 Prozent ist)
(!Ob sie aus einem Diagramm stammt)
(!Ob sie gerundet wurde)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Bedingte Wahrscheinlichkeit || Wahrscheinlichkeit unter Zusatzinformation
|-
| Schnittmenge || Gemeinsames Eintreten zweier Ereignisse
|-
| Vierfeldertafel || Übersicht aus zwei Ereignissen und Gegenereignissen
|-
| Bezugsraum || Menge der unter der Bedingung betrachteten Fälle
|-
| Unabhängigkeit || Zusatzinformation verändert die Wahrscheinlichkeit nicht
|-
| Baumdiagramm || Darstellung mehrstufiger Wahrscheinlichkeiten
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Bedingung'''
| steht rechts vom Strich
|-
| '''Schnittmenge'''
| bildet den Zähler
|-
| '''Randwahrscheinlichkeit'''
| bildet den Nenner der Bedingung
|-
| '''Vierfeldertafel'''
| ordnet zwei Ereignisse und Gegenereignisse
|-
| '''Unabhängigkeit'''
| Zusatzinformation ändert die Wahrscheinlichkeit nicht

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Bedingung || Welcher Begriff bezeichnet die Zusatzinformation rechts vom Strich?
|-
| Schnittmenge || Wie heißt das gemeinsame Eintreten zweier Ereignisse?
|-
| Vierfeldertafel || Wie heißt die tabellarische Darstellung zweier Ereignisse und ihrer Gegenereignisse?
|-
| Bezugsraum || Wie heißt die Menge der Fälle, auf die sich eine Wahrscheinlichkeit bezieht?
|-
| Baumdiagramm || Wie heißt die verzweigte Darstellung eines Zufallsvorgangs?
|-
| Unabhängigkeit || Wie heißt die Eigenschaft, wenn eine Bedingung die Wahrscheinlichkeit nicht verändert?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+-+Bedingte+Wahrscheinlichkeiten+verstehen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei <math>P(A\mid B)</math> ist { B } die Bedingung. Der neue Bezugsraum besteht aus allen Fällen, in denen { B } eingetreten ist. Im Zähler der Formel steht die { Schnittmenge }. Im Nenner steht die Wahrscheinlichkeit der { Bedingung }. Die Formel lautet <math>P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>. Im Allgemeinen darf man <math>P(A\mid B)</math> nicht mit { P(B|A) } verwechseln. Gilt <math>P(A\mid B)=P(A)</math>, so spricht dies bei positiver Bedingungswahrscheinlichkeit für { Unabhängigkeit }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Üben mit Hilfen =

{{BR}}
== Aufgabe 1 – Basisfach ==

Gegeben sind <math>P(B)=0{,}25</math> und <math>P(A\cap B)=0{,}15</math>.

Berechne <math>P(A\mid B)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Tipp'''
<div class="mw-collapsible-content">
Teile die Schnittwahrscheinlichkeit durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>P(A\mid B)=\frac{0{,}15}{0{,}25}=0{,}6</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Aufgabe 2 – Basisfach ==

In einer Vierfeldertafel liegen in der Zeile <math>B</math> insgesamt 80 Fälle. Davon gehören 52 zugleich zu <math>A</math>.

Berechne <math>P(A\mid B)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>P(A\mid B)=\frac{52}{80}=0{,}65</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Aufgabe 3 – Leistungsfach ==

Gegeben sind

<math>P(A)=0{,}4</math>,

<math>P(B\mid A)=0{,}75</math>,

<math>P(B)=0{,}5</math>.

Bestimme <math>P(A\mid B)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Bestimme zunächst <math>P(A\cap B)</math> mit <math>P(A)\cdot P(B\mid A)</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>P(A\cap B)=0{,}4\cdot0{,}75=0{,}3</math> und damit <math>P(A\mid B)=\frac{0{,}3}{0{,}5}=0{,}6</math>.
</div>
</div>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=RyvaspNFciE |500|center}}

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Begriffsnetz]]: Erstelle ein kleines Begriffsnetz mit <math>P(A\mid B)</math>, Bedingung, Schnittmenge und Bezugsraum.
# [[Vierfeldertafel]]: Erfinde eine Vierfeldertafel mit insgesamt 100 Fällen und berechne zwei bedingte Wahrscheinlichkeiten.
# [[Mengenbild]]: Zeichne zwei sich überschneidende Mengen und markiere, welcher Teil bei <math>P(A\mid B)</math> betrachtet wird.
# [[Fehlerkarte]]: Gestalte eine Lernkarte zur Verwechslung von <math>P(A\mid B)</math> und <math>P(B\mid A)</math>.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Baumdiagramm]]: Überführe eine selbst erstellte Vierfeldertafel in ein Baumdiagramm.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Erklärvideo zur Frage „Warum steht die Bedingung im Nenner?“.
# [[Dateninterpretation]]: Formuliere zu einer Vierfeldertafel drei korrekte und zwei absichtlich falsche Aussagen und lasse sie von anderen prüfen.
# [[Modellierung]]: Entwickle eine alltagsnahe Aufgabe zu bedingten Wahrscheinlichkeiten mit vollständig erfundenen Daten.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Satz von Bayes]]: Leite den Satz von Bayes aus zwei Darstellungen von <math>P(A\cap B)</math> her.
# [[Unabhängigkeit]]: Entwickle zwei Beispiele, eines mit unabhängigen und eines mit abhängigen Ereignissen, und begründe den Unterschied.
# [[Abiturtraining]]: Erstelle eine mehrteilige Stochastik-Aufgabe mit Operatoren wie „bestimmen“, „begründen“ und „interpretieren“.
# [[Medienkritik]]: Untersuche eine selbst gewählte öffentliche Statistik auf mögliche Verwechslungen zwischen bedingten Wahrscheinlichkeiten und Grundwahrscheinlichkeiten.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Darstellungswechsel]]: Gegeben ist eine Vierfeldertafel. Überführe sie in ein Baumdiagramm und erkläre, welche Wahrscheinlichkeiten an den zweiten Ästen bedingt sind.
# [[Fehlerdiagnose]]: Eine Person berechnet <math>P(A\mid B)</math> mit dem Nenner <math>P(A)</math>. Erkläre den Denkfehler und korrigiere ihn.
# [[Transfer]]: Erkläre an einem Testbeispiel, warum ein hoher Wert von <math>P(\text{positiv}\mid\text{krank})</math> nicht automatisch einen ebenso hohen Wert von <math>P(\text{krank}\mid\text{positiv})</math> bedeutet.
# [[Unabhängigkeit prüfen]]: Entwickle ein Kriterium, mit dem Du aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten entscheiden kannst, ob zwei Ereignisse unabhängig sind.
# [[Modellkritik]]: Beurteile, welche Informationen in einer Sachaufgabe fehlen, wenn nur <math>P(A\mid B)</math>, aber keine Größe der Bezugsgruppe angegeben ist.
# [[Begründung]]: Erkläre geometrisch mit einem Mengenbild, weshalb <math>P(A\mid B)</math> als Verhältnis innerhalb von <math>B</math> verstanden werden kann.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können, dass Du

# die Bedeutung von <math>P(A\mid B)</math> sprachlich korrekt erklärst.
# die Bedingung als neuen Bezugsraum identifizierst.
# Vierfeldertafeln sicher auswertest.
# <math>P(A\mid B)</math> und <math>P(B\mid A)</math> unterscheidest.
# einen Rechenweg vollständig und nachvollziehbar darstellst.
# Ergebnisse im Sachzusammenhang interpretierst.
# Darstellungen zwischen Formel, Tabelle, Mengenbild und Baumdiagramm wechselst.
# im Leistungsfach Zusammenhänge formal begründest und modellierst.
# digitale oder KI-erzeugte Ergebnisse mathematisch überprüfst.

<br>
<br>

{{BR}}
= Reflexion =

Beantworte nach dem Lernen:

# Welcher Satz hilft Dir am meisten, um die Richtung einer bedingten Wahrscheinlichkeit zu erkennen?
# Welche Darstellung hilft Dir stärker: Mengenbild, Vierfeldertafel oder Baumdiagramm?
# Bei welchem Schritt machst Du noch Fehler?
# Kannst Du Deinen Rechenweg so erklären, dass eine andere Person den Nenner nachvollziehen kann?
# Welche Aufgabe würdest Du noch einmal ohne Hilfsmittel rechnen?

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächster Schritt bietet sich an:

# [[Stochastische Unabhängigkeit]]
# [[Satz von Bayes]]
# [[Baumdiagramm]]
# [[Vierfeldertafel]]
# [[Binomialverteilung]]
# [[Hypothesentest]]
# [[ABI - Stochastik]]

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit </iframe>

[[Datei:Conditional probability venn 1-10.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Bedingte Wahrscheinlichkeit]]'''
# [[Vierfeldertafel]]
# [[Baumdiagramm]]
# [[Schnittmenge]]
# [[Stochastische Unabhängigkeit]]
# [[Satz von Bayes]]
# [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Kursstufe]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Basisfach Mathematik]]
[[Kategorie:Leistungsfach Mathematik]]

= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI - Bedingte Wahrscheinlichkeiten verstehen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt