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2026-09-28T02:55:38Z

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{{T}}

{{BR}}
= Einleitung =

'''Mini-Beschreibung:''' Du modellierst mehrstufige Zufallsexperimente mit [[Baumdiagramm|Baumdiagrammen]], nutzt die [[Pfadregel|Pfadregeln]] sicher, vergleichst [[Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeiten]] mit [[Relative Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] und interpretierst Ergebnisse im Kontext.

'''Zielgruppe:''' Mathematik-Abitur Baden-Württemberg, gemeinsamer Kurs für Basisfach und Leistungsfach.

[[Datei:Probability tree diagram.svg|500px|rahmenlos|center]]

Ein Baumdiagramm macht aus einer Situation eine Folge klarer Entscheidungen:

'''Situation → Stufen → Zweige → Pfade → Rechnung → Kontextsatz'''

Die Grundidee ist kompakt:

Für einen vollständigen Pfad mit Zweigwahrscheinlichkeiten <math>p_1,p_2,\ldots,p_n</math> gilt:

<math>P(P)=p_1\cdot p_2\cdot \ldots \cdot p_n</math>

Für mehrere passende, sich gegenseitig ausschließende Pfade <math>P_1,P_2,\ldots</math> gilt:

<math>P(E)=P(P_1)+P(P_2)+\ldots</math>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=7B0rKLTUPZ0 |500|center}}

'''Prüfungshinweis Baden-Württemberg:''' Prüfe immer den Facherlass Deines eigenen Prüfungsjahrgangs. Für den aktuell veröffentlichten Prüfungsjahrgang 2027 sind Bildungsplan und Facherlass die maßgeblichen Quellen. Digitale Übungswerkzeuge wie GeoGebra, LearningApps oder Videos sind Lernhilfen und nicht automatisch zugelassene Prüfungshilfsmittel.

[https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Offizielle Informationen zum Abitur Baden-Württemberg]

[https://www.bildungsplaene-bw.de/ Bildungspläne Baden-Württemberg]

{{BR}}
= Lernziele =

{| class="wikitable" style="width:100%"
! Du kannst ...
! Schwerpunkt
|-
| ein mehrstufiges Zufallsexperiment als Baum darstellen
| Basis und Leistung
|-
| Zweigwahrscheinlichkeiten korrekt bestimmen
| Basis und Leistung
|-
| die Produktregel entlang eines Pfades anwenden
| Basis und Leistung
|-
| Wahrscheinlichkeiten mehrerer passender Pfade addieren
| Basis und Leistung
|-
| Ziehen mit und ohne Zurücklegen unterscheiden
| Basis und Leistung
|-
| relative Häufigkeiten berechnen und deuten
| Basis und Leistung
|-
| Modellannahmen wie Unabhängigkeit begründen oder kritisch prüfen
| besonders Leistung
|-
| bedingte Wahrscheinlichkeiten formal auswerten
| vertieft Leistung
|}

{{BR}}
== Basisfach und Leistungsfach ==

{| class="wikitable" style="width:100%"
! Basisfach
! Leistungsfach
|-
| sichere Verfahren, anschauliche Begründungen, Kontextdeutung
| zusätzlich stärkere Formalisierung, Modellkritik und vertiefte Begründungen
|-
| Baumdiagramm lesen und erstellen
| komplexere Bäume analysieren und umkehren
|-
| Pfadregeln anwenden
| Pfadregeln mit bedingten Wahrscheinlichkeiten verknüpfen
|}

'''Gemeinsamer Kern:''' Eine richtige Rechnung genügt im Abitur nicht. Du musst erklären können, welches Ereignis berechnet wurde und was das Ergebnis in der Situation bedeutet.

{{BR}}
= Vorwissen-Check =

Rechne zuerst selbst. Öffne danach die Rückmeldung.

{| class="wikitable" style="width:100%"
! Kurzcheck
! Deine Aufgabe
|-
| Gegenwahrscheinlichkeit
| Berechne <math>1-0{,}37</math>.
|-
| Relative Häufigkeit
| Bei 80 Versuchen tritt ein Ereignis 48-mal ein. Bestimme <math>h_{80}(E)</math>.
|-
| Produkt
| Berechne <math>0{,}4\cdot 0{,}5</math>.
|-
| Kontrollregel
| Ergänze <math>0{,}28+x=1</math>.
|}

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösungen anzeigen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>1-0{,}37=0{,}63</math><br>
<math>h_{80}(E)=\frac{48}{80}=0{,}6</math><br>
<math>0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2</math><br>
<math>x=0{,}72</math>
</div>
</div>

Wenn Dir mehr als eine Aufgabe schwerfällt, wiederhole kurz [[Gegenereignis]], [[Relative Häufigkeit]] und das Multiplizieren von Brüchen.

{{BR}}
= Baumdiagramme lesen =

[[Datei:01 Baumdiagramm-2 Münzenwürfe.svg|500px|rahmenlos|center]]

Jede Stufe steht für einen Teilschritt des Zufallsexperiments. Jeder vollständige Weg von links nach rechts ist ein '''Pfad'''.

'''Kontrollregel an jedem Knoten:'''

<math>p_1+p_2+\ldots+p_k=1</math>

Bei zwei Gegenereignissen gilt insbesondere:

<math>P(\overline{A})=1-P(A)</math>

{{BR}}
== Pfadregel 1: entlang eines Pfades multiplizieren ==

Für den Pfad <math>A\rightarrow B</math> gilt:

<math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)</math>

Bei unabhängigen Ereignissen vereinfacht sich das zu:

<math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)</math>

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=nR7hFCRgp1g |500|center}}

{{BR}}
== Pfadregel 2: passende Pfade addieren ==

Besteht ein Ereignis aus mehreren disjunkten Pfaden, werden deren Wahrscheinlichkeiten addiert.

Beispiel: Genau einmal Treffer bei zwei unabhängigen Versuchen mit <math>p=0{,}7</math>.

<math>P(TN)=0{,}7\cdot0{,}3=0{,}21</math>

<math>P(NT)=0{,}3\cdot0{,}7=0{,}21</math>

Für das Ereignis <math>E</math> = „genau ein Treffer“ gilt:

<math>P(E)=0{,}21+0{,}21=0{,}42</math>

'''Merksatz:''' Auf einem Pfad '''mal''', zwischen passenden Pfaden '''plus'''.

{{BR}}
= Interaktives Beispiel 1: Qualitätskontrolle =

Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit <math>0{,}96</math> in Ordnung. Zwei Bauteile werden betrachtet. Als Modellannahme gelten die beiden Prüfungen als unabhängig.

'''Gesucht:''' Genau ein Bauteil ist fehlerhaft.

[[Datei:Probability tree.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Schritt 1 – Gegenwahrscheinlichkeit'''

<math>P(F)=1-0{,}96=0{,}04</math>

'''Schritt 2 – erster passender Pfad'''

<math>P(I,F)=0{,}96\cdot0{,}04=0{,}0384</math>

'''Schritt 3 – zweiter passender Pfad'''

<math>P(F,I)=0{,}04\cdot0{,}96=0{,}0384</math>

'''Schritt 4 – Summenregel'''

Mit <math>E</math> = „genau ein fehlerhaftes Bauteil“ gilt:

<math>P(E)=0{,}0384+0{,}0384=0{,}0768</math>

'''Kontextsatz:''' Im verwendeten Modell liegt die Wahrscheinlichkeit für genau ein fehlerhaftes Bauteil bei <math>7{,}68\%</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Denkfrage'''
<div class="mw-collapsible-content">
Warum ist die angenommene Unabhängigkeit eine Modellannahme und keine automatische Tatsache? In einer realen Produktion könnten beide Bauteile beispielsweise von derselben Maschine oder derselben Charge beeinflusst werden.
</div>
</div>

{{BR}}
= Interaktives Beispiel 2: Ohne Zurücklegen =

In einer Stichprobe liegen fünf Bauteile: drei sind in Ordnung, zwei fehlerhaft. Zwei Bauteile werden nacheinander '''ohne Zurücklegen''' ausgewählt.

[[Datei:Urn problem qtl6.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Gesucht:''' Beide ausgewählten Bauteile sind fehlerhaft.

Erster Zug:

<math>P(F_1)=\frac{2}{5}</math>

Nach einem fehlerhaften Bauteil bleiben vier Bauteile, davon noch eines fehlerhaft:

<math>P(F_2\mid F_1)=\frac{1}{4}</math>

Damit:

<math>P(F_1\cap F_2)=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{10}=0{,}1</math>

'''Fehlerwarnung:''' Ohne Zurücklegen ändern sich Zähler und Nenner nach dem ersten Zug.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=ZjEjYIqd8bo |500|center}}

{{BR}}
= Interaktives Modell: Baumdiagramm verändern =

Verändere Wahrscheinlichkeiten im dynamischen Baum und beobachte, wie sich Pfadwahrscheinlichkeiten ändern.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/gzxz57ak </iframe>

'''Arbeitsauftrag:''' Stelle verschiedene Werte ein. Prüfe jedes Mal:

# Addieren sich die Zweige an einem Knoten zu <math>1</math>?
# Welche Wahrscheinlichkeit steht auf dem Pfad?
# Welche bedingte Wahrscheinlichkeit kannst Du direkt ablesen?

'''Datenschutz:''' Nutze das Modell ohne personenbezogene Angaben.

{{BR}}
= Mit oder ohne Zurücklegen? =

[[Datei:Urn problem qtl7.svg|500px|rahmenlos|center]]

{| class="wikitable" style="width:100%"
! Situation
! Folge
|-
| mit Zurücklegen
| Zusammensetzung bleibt gleich
|-
| ohne Zurücklegen
| Zusammensetzung verändert sich
|}

Beispiel mit drei roten und zwei blauen Kugeln:

'''Mit Zurücklegen'''

<math>P(RR)=\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{25}</math>

'''Ohne Zurücklegen'''

<math>P(RR)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}</math>

Die beiden Modelle sehen ähnlich aus, liefern aber verschiedene Wahrscheinlichkeiten.

{{BR}}
= Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit =

Die relative Häufigkeit eines Ereignisses <math>E</math> nach <math>n</math> Beobachtungen ist

<math>h_n(E)=\frac{H_n(E)}{n}</math>

mit der absoluten Häufigkeit <math>H_n(E)</math>.

Beispiel: In 120 Beobachtungen tritt <math>E</math> 30-mal ein.

<math>h_{120}(E)=\frac{30}{120}=0{,}25</math>

'''Wichtig:''' <math>0{,}25</math> ist zunächst eine beobachtete relative Häufigkeit. Sie ist nicht automatisch die exakte theoretische Wahrscheinlichkeit.

[[Datei:Fair dice probability distribution.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Dynamische Simulation ==

Beobachte, wie relative Häufigkeiten bei vielen Würfen schwanken und sich häufig stabilisieren.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/gDn8Sfz6 </iframe>

'''Denkfrage:''' Warum ist <math>h_{20}(E)=0{,}40</math> kein Widerspruch zu einem Modell mit <math>P(E)=0{,}5</math>?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Relative Häufigkeiten schwanken bei endlichen Stichproben zufällig. Eine einzelne Versuchsreihe muss nicht exakt die Modellwahrscheinlichkeit liefern.
</div>
</div>

{{BR}}
= Leistungsfach-Vertiefung: Bedingte Wahrscheinlichkeit =

Im Leistungsfach solltest Du die Zweige eines Baumes auch formal als bedingte Wahrscheinlichkeiten lesen.

<math>P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}</math>

für <math>P(A)>0</math>.

[[Datei:Bayes theorem tree diagrams.svg|500px|rahmenlos|center]]

Beispiel: 60 Prozent der Bauteile kommen von Lieferant A, 40 Prozent von Lieferant B. Bei A sind 2 Prozent fehlerhaft, bei B 5 Prozent.

<math>P(F)=0{,}6\cdot0{,}02+0{,}4\cdot0{,}05</math>

<math>P(F)=0{,}012+0{,}020=0{,}032</math>

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass ein fehlerhaftes Bauteil von B stammt:

<math>P(B\mid F)=\frac{P(B\cap F)}{P(F)}</math>

<math>P(B\mid F)=\frac{0{,}4\cdot0{,}05}{0{,}032}=0{,}625</math>

'''Interpretation:''' Unter den im Modell als fehlerhaft betrachteten Bauteilen stammen <math>62{,}5\%</math> von Lieferant B.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=LonDC-l4IVs |500|center}}

{{BR}}
= Drei Stufen sicher bearbeiten =

[[Datei:Three fair coin flips tree diagram.svg|500px|rahmenlos|center]]

Bei drei Münzwürfen mit einer fairen Münze besitzt jeder konkrete Pfad die Wahrscheinlichkeit

<math>\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}</math>

Das Ereignis „genau zweimal Kopf“ besteht aus drei Pfaden: <math>KKZ</math>, <math>KZK</math> und <math>ZKK</math>.

Daher gilt mit <math>E</math> = „genau zweimal Kopf“:

<math>P(E)=3\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{8}</math>

Ein dynamischer Drei-Stufen-Baum:

<iframe> https://www.geogebra.org/m/emypssv4 </iframe>

{{BR}}
= Rechenweg-Animation im Kopf =

Nutze bei jeder Abituraufgabe dieselbe sichtbare Schrittfolge:

{| class="wikitable" style="width:100%"
! Schritt
! Frage
|-
| 1
| Was sind die Stufen?
|-
| 2
| Welche Zweige gibt es?
|-
| 3
| Ändern sich Wahrscheinlichkeiten?
|-
| 4
| Welche Pfade gehören zum Ereignis?
|-
| 5
| Auf jedem Pfad multiplizieren
|-
| 6
| Passende Pfade addieren
|-
| 7
| Ergebnis im Kontext deuten
|}

'''Kurzform:''' Modell → Pfad → Produkt → Summe → Deutung

{{BR}}
= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung A – Basisfach ==

Ein Onlinedienst verarbeitet eine Anfrage mit Wahrscheinlichkeit <math>0{,}9</math> sofort. Zwei Anfragen werden modellhaft als unabhängig betrachtet.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass '''mindestens eine''' Anfrage nicht sofort verarbeitet wird.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze das Gegenereignis „beide sofort“.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback und Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Für das Gegenereignis <math>G</math> = „beide sofort“ gilt:<br>
<math>P(G)=0{,}9^2=0{,}81</math><br>
Für <math>E</math> = „mindestens eine Anfrage nicht sofort“ gilt:<br>
<math>P(E)=1-0{,}81=0{,}19</math><br>
Im Modell beträgt die Wahrscheinlichkeit <math>19\%</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung B – Basis und Leistung ==

In einer Box liegen vier grüne und zwei gelbe Karten. Zwei Karten werden ohne Zurücklegen gezogen.

Berechne <math>P(GG)</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nach einer grünen Karte bleiben fünf Karten, davon drei grüne.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback und Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>P(GG)=\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{12}{30}=0{,}4</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung C – Leistungsfach ==

Ein System erhält 70 Prozent seiner Datenpakete über Kanal A und 30 Prozent über Kanal B. Die Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt bei A <math>0{,}01</math>, bei B <math>0{,}04</math>.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes fehlerhaftes Paket über B kam.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Berechne zuerst <math>P(F)</math> und anschließend <math>P(B\mid F)</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback und Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>P(F)=0{,}7\cdot0{,}01+0{,}3\cdot0{,}04=0{,}019</math><br>
<math>P(B\mid F)=\frac{0{,}3\cdot0{,}04}{0{,}019}\approx0{,}6316</math><br>
Also stammen im Modell etwa <math>63{,}2\%</math> der fehlerhaften Pakete von Kanal B.
</div>
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =

{| class="wikitable" style="width:100%"
! Typischer Fehler
! Korrektur
|-
| Wahrscheinlichkeiten auf einem Pfad addieren
| Auf einem Pfad multiplizieren
|-
| Alternative Pfade multiplizieren
| Passende disjunkte Pfade addieren
|-
| Ohne Zurücklegen dieselben Brüche verwenden
| Bestände nach jedem Zug aktualisieren
|-
| Relative Häufigkeit mit Wahrscheinlichkeit gleichsetzen
| Beobachtung und Modell unterscheiden
|-
| Unabhängigkeit stillschweigend annehmen
| Modellannahme prüfen und nennen
|-
| Zu früh runden
| möglichst exakt weiterrechnen und erst am Ende runden
|}

'''Plausibilitätscheck:'''

<math>0\leq P(E)\leq1</math>

und an jedem vollständigen Knoten:

<math>\sum p_i=1</math>

{{BR}}
= Selbstkontrolle =

'''Aufgabe 1:''' Zwei unabhängige Treffer mit <math>p=0{,}8</math>. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>(1-0{,}8)^2=0{,}2^2=0{,}04</math>
</div>
</div>

'''Aufgabe 2:''' Bei 250 Versuchen tritt ein Ereignis 145-mal ein. Bestimme die relative Häufigkeit.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>h_{250}(E)=\frac{145}{250}=0{,}58</math>
</div>
</div>

'''Aufgabe 3:''' In einer Urne liegen fünf rote und drei blaue Kugeln. Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Bestimme <math>P(RB)</math> für genau diese Reihenfolge.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>P(RB)=\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}=\frac{15}{56}\approx0{,}2679</math>
</div>
</div>

{{BR}}
= Transfer: Welches Modell passt? =

Entscheide vor jeder Rechnung, welche Annahmen sinnvoll sind.

{| class="wikitable" style="width:100%"
! Situation
! Modellfrage
|-
| Ziehen von Losen
| mit oder ohne Zurücklegen?
|-
| zwei technische Prüfungen
| unabhängig oder gemeinsam beeinflusst?
|-
| empirische Fehlerquote
| relative Häufigkeit oder theoretische Wahrscheinlichkeit?
|-
| mindestens ein Treffer
| direkt rechnen oder Gegenereignis nutzen?
|}

'''Transferauftrag:''' Erfinde selbst eine realistische Situation mit zwei Stufen. Zeichne den Baum, berechne mindestens ein Ereignis und formuliere einen Kontextsatz.

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

{| class="wikitable" style="width:100%"
! Ich kann ...
! Selbstcheck
|-
| Stufen und Zweige sinnvoll festlegen
| sicher / teilweise / noch üben
|-
| Zweigwahrscheinlichkeiten kontrollieren
| sicher / teilweise / noch üben
|-
| Produkt- und Summenregel unterscheiden
| sicher / teilweise / noch üben
|-
| mit und ohne Zurücklegen unterscheiden
| sicher / teilweise / noch üben
|-
| relative Häufigkeit korrekt deuten
| sicher / teilweise / noch üben
|-
| Ergebnisse im Kontext formulieren
| sicher / teilweise / noch üben
|-
| Modellannahmen kritisch prüfen
| sicher / teilweise / noch üben
|}

{{BR}}
= Reflexion =

Beantworte knapp:

# Welcher Schritt verhindert bei Dir die meisten Fehler?
# Wann ist ein Baumdiagramm übersichtlicher als eine lange Rechnung?
# Welche Modellannahme musst Du besonders häufig prüfen?
# Woran erkennst Du, dass ein Ergebnis zwar rechnerisch korrekt, aber inhaltlich schlecht interpretiert ist?
# Wie würdest Du einer anderen Person die beiden Pfadregeln ohne Formel erklären?

'''KI-Hinweis:''' KI kann Rechenwege erklären oder alternative Lösungswege vorschlagen. Prüfe aber jede Zweigwahrscheinlichkeit, jede Modellannahme und jede Rechnung selbst. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis und keine Begründung.

{{BR}}
= Folgekurs =

Vertiefe anschließend:

# [[ABI - Bedingte Wahrscheinlichkeit sicher nutzen]]
# [[ABI - Vierfeldertafel sicher nutzen]]
# [[ABI - Binomialverteilung sicher anwenden]]
# [[ABI - Stochastik im Mathematik-Abitur]]
# [[ABI - Hypothesentests sicher interpretieren]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was gilt entlang eines vollständigen Pfades im Baumdiagramm?'''
(Die Zweigwahrscheinlichkeiten werden multipliziert)
(!Die Zweigwahrscheinlichkeiten werden addiert)
(!Die Zweigwahrscheinlichkeiten werden subtrahiert)
(!Es wird immer durch die Anzahl der Stufen geteilt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gilt für mehrere disjunkte Pfade, die gemeinsam ein Ereignis bilden?'''
(Die Pfadwahrscheinlichkeiten werden addiert)
(!Die Pfadwahrscheinlichkeiten werden multipliziert)
(!Nur der größte Pfad wird verwendet)
(!Alle Zweige werden auf eins gesetzt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Summe müssen die Zweigwahrscheinlichkeiten an einem vollständigen Knoten ergeben?'''
(1)
(!0)
(!2)
(!100)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was verändert sich typischerweise beim Ziehen ohne Zurücklegen?'''
(Die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ziehungen)
(!Nur die Beschriftung des Baumes)
(!Die Anzahl der bereits berechneten Pfade)
(!Die Bedeutung der Produktregel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''In einer Urne liegen drei rote und zwei blaue Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal Rot ohne Zurücklegen?'''
(0,3)
(!0,36)
(!0,6)
(!0,12)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Ein Ereignis tritt bei 120 Versuchen 72-mal ein. Wie groß ist die relative Häufigkeit?'''
(0,6)
(!0,5)
(!0,72)
(!0,4)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Für ein Ereignis gilt P von A gleich 0,18. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses?'''
(0,82)
(!0,18)
(!1,18)
(!0,64)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Zwei unabhängige Versuche haben jeweils Trefferwahrscheinlichkeit 0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer?'''
(0,42)
(!0,49)
(!0,21)
(!0,70)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Größe steht in einem Baum nach einem bereits eingetretenen Ereignis häufig auf der nächsten Stufe?'''
(Eine bedingte Wahrscheinlichkeit)
(!Eine sichere absolute Häufigkeit)
(!Eine Ableitung)
(!Eine Funktionsnullstelle)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Eine relative Häufigkeit von 0,49 wird nach vielen Würfen bei einem Modell mit Wahrscheinlichkeit 0,5 beobachtet. Welche Aussage ist angemessen?'''
(Das Ergebnis ist mit zufälliger Schwankung vereinbar)
(!Das Modell ist damit sicher falsch)
(!Die wahre Wahrscheinlichkeit muss exakt 0,49 sein)
(!Relative Häufigkeiten dürfen nie von 0,5 abweichen)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Produktregel || Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren
|-
| Summenregel || Wahrscheinlichkeiten disjunkter passender Pfade addieren
|-
| Gegenereignis || Wahrscheinlichkeit mit eins minus Ereigniswahrscheinlichkeit bestimmen
|-
| Relative Häufigkeit || Absolute Häufigkeit durch Versuchszahl teilen
|-
| Zurücklegen || Zusammensetzung bleibt nach dem Zug gleich
|-
| Ohne Zurücklegen || Zweigwahrscheinlichkeiten nach einem Zug anpassen
|-
| Bedingte Wahrscheinlichkeit || Wahrscheinlichkeit unter einer bereits bekannten Bedingung
|-
| Unabhängigkeit || Gemeinsame Wahrscheinlichkeit als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Multiplizieren'''
| Entlang eines Pfades
|-
| '''Addieren'''
| Zwischen passenden disjunkten Pfaden
|-
| '''Bestand anpassen'''
| Ziehen ohne Zurücklegen
|-
| '''Eins minus Ereignis'''
| Gegenereignis
|-
| '''Summe gleich eins'''
| Zweige an einem vollständigen Knoten
|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Produktregel || Welche Regel nutzt Du entlang eines Pfades?
|-
| Summenregel || Welche Regel verbindet mehrere passende disjunkte Pfade?
|-
| Gegenereignis || Wie heißt das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn das betrachtete Ereignis nicht eintritt?
|-
| Zurücklegen || Welcher Begriff beschreibt das Wiederhineinlegen eines gezogenen Objekts?
|-
| Unabhängigkeit || Wie heißt die Eigenschaft, wenn das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert?
|-
| Häufigkeit || Welches Wort ergänzt den Begriff relative ...?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+-+Baumdiagramme+sicher+nutzen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein Baumdiagramm stellt ein { mehrstufiges } Zufallsexperiment übersichtlich dar.
Entlang eines Pfades werden Zweigwahrscheinlichkeiten { multipliziert }.
Mehrere passende disjunkte Pfade werden { addiert }.
Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändern sich die { Zweigwahrscheinlichkeiten }.
Für ein Gegenereignis gilt die Rechenidee { eins minus } Ereigniswahrscheinlichkeit.
Die relative Häufigkeit ist die absolute Häufigkeit geteilt durch die { Versuchszahl }.
An einem vollständigen Knoten ergibt die Summe aller Zweigwahrscheinlichkeiten { eins }.
Im Leistungsfach werden Zweige häufig als { bedingte } Wahrscheinlichkeiten formalisiert.
Ein rechnerisches Ergebnis sollte abschließend im { Kontext } interpretiert werden.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Baumdiagramm zeichnen]]: Erstelle zu zwei Würfen einer Münze ein sauberes Baumdiagramm und markiere das Ereignis „genau einmal Kopf“.
# [[Pfadregeln erklären]]: Gestalte eine Mini-Grafik mit der Merkhilfe „auf dem Pfad mal, zwischen Pfaden plus“.
# [[Relative Häufigkeit untersuchen]]: Würfle mindestens 30-mal mit einem Würfel und vergleiche die relative Häufigkeit der Sechs mit <math>\frac{1}{6}</math>.
# [[Fehlerkarte erstellen]]: Erstelle eine Karte mit drei typischen Fehlern bei Baumdiagrammen und jeweils einer Korrektur.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Urnenmodell entwickeln]]: Erfinde ein Ziehexperiment mit farbigen Objekten ohne Zurücklegen und löse zwei Ereignisse mit Baumdiagramm.
# [[Alltag modellieren]]: Formuliere eine realitätsnahe Zwei-Stufen-Situation ohne personenbezogene Daten und begründe Deine Zweigwahrscheinlichkeiten.
# [[Simulation vergleichen]]: Simuliere ein Zufallsexperiment digital und vergleiche theoretische Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit.
# [[Lösungsweg kommentieren]]: Nimm einen vollständigen Rechenweg auf Papier oder als Erklärvideo auf und begründe jeden Rechenschritt.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Bedingte Wahrscheinlichkeit modellieren]]: Entwickle eine Lieferanten-Situation mit zwei Quellen und unterschiedlichen Fehlerwahrscheinlichkeiten. Berechne eine umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit.
# [[Modellkritik]]: Erfinde eine Situation, in der die Annahme der Unabhängigkeit problematisch ist, und zeige, wie sich das auf den Baum auswirkt.
# [[Abituraufgabe entwerfen]]: Entwickle eine mehrteilige Aufgabe zu Baumdiagramm, relativer Häufigkeit und Kontextinterpretation samt Musterlösung.
# [[KI-Lösung prüfen]]: Lasse Dir zu einer selbst formulierten Baumdiagramm-Aufgabe einen KI-Lösungsweg erzeugen und prüfe jede Zahl, jede Annahme und jeden Schluss mathematisch.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modellwahl begründen]]: Vergleiche zwei Situationen und entscheide begründet, in welcher ein Baumdiagramm mit konstanten und in welcher mit veränderlichen Zweigwahrscheinlichkeiten sinnvoll ist.
# [[Fehlerdiagnose]]: Analysiere einen Lösungsweg, in dem Pfadwahrscheinlichkeiten addiert statt multipliziert wurden. Erkläre den Denkfehler und korrigiere ihn.
# [[Kontextdeutung]]: Erkläre den Unterschied zwischen einer theoretischen Wahrscheinlichkeit von <math>0{,}3</math> und einer beobachteten relativen Häufigkeit von <math>0{,}34</math>.
# [[Unabhängigkeit bewerten]]: Beurteile in einer realistischen technischen Situation, ob die Annahme unabhängiger Ereignisse plausibel ist.
# [[Strategiewahl]]: Löse eine Aufgabe zu „mindestens ein Treffer“ einmal direkt über passende Pfade und einmal über das Gegenereignis. Vergleiche beide Wege.
# [[Transferleistung]]: Übertrage ein gegebenes zweistufiges Baumdiagramm auf einen neuen Sachkontext, ohne die mathematische Struktur zu verändern.

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{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

# mehrstufige Zufallsexperimente passend modellierst,
# Baumdiagramme vollständig und korrekt beschriftest,
# Produkt- und Summenregel sicher unterscheidest,
# mit und ohne Zurücklegen korrekt behandelst,
# relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten auseinanderhältst,
# bedingte Wahrscheinlichkeiten im Leistungsfach formal begründest,
# Rechenwege nachvollziehbar dokumentierst,
# Ergebnisse im Sachzusammenhang deutest,
# Modellannahmen und Plausibilität kritisch prüfst.

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{{BR}}
= OERs zum Thema =

'''Wikimedia Commons:''' Die eingebundenen Bilder stammen aus Wikimedia Commons. Lizenz und Urheberangaben sind jeweils auf der Dateiseite dokumentiert.

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Baumdiagramm </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Urnenmodell </iframe>

'''Dynamische Lernmedien:'''

[https://www.geogebra.org/m/gzxz57ak GeoGebra: Baumdiagramm und bedingte Wahrscheinlichkeit]

[https://www.geogebra.org/m/emypssv4 GeoGebra: Übungen zum dreistufigen Baumdiagramm]

[https://www.geogebra.org/m/gDn8Sfz6 GeoGebra: Würfeln und relative Häufigkeit]

'''Prüfungsbezug:'''

[https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Ministerium für Kultus Baden-Württemberg: Abiturinformationen und Facherlasse]

[https://www.bildungsplaene-bw.de/ Bildungspläne Baden-Württemberg]

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Stochastik]]'''
# [[Baumdiagramm]]
# [[Wahrscheinlichkeit]]
# [[Pfadregel]]
# [[Gegenereignis]]
# [[Relative Häufigkeit]]
# [[Bedingte Wahrscheinlichkeit]]
# [[Unabhängigkeit]]
# [[Urnenmodell]]
# [[Vierfeldertafel]]
# [[Binomialverteilung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Baumdiagramm]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Mathematik-Abitur]]
[[Kategorie:Baden-Württemberg]]
[[Kategorie:Basisfach]]
[[Kategorie:Leistungsfach]]
[[Kategorie:Oberstufe]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

ABI - Baumdiagramme sicher nutzen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt