Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-09-27T19:29:12Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

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{{T}}

{{BR}}
= ABI - Ableitungsgraphen interpretieren =

{{BR}}
= Einleitung =

'''Mini-Beschreibung:''' Schließe vom Graphen von <math>f</math> auf Eigenschaften von <math>f'</math> und umgekehrt. Du trainierst Monotonie, Extremstellen, Steigungsstärke und das Vorzeichen von <math>f'</math> für das Mathematik-Abitur in Baden-Württemberg.

[[Datei:Tangent animation.gif|500px|rahmenlos|center]]

'''Einstiegsfrage:''' Wenn eine Tangente beim Wandern auf dem Graphen von <math>f</math> erst positiv, dann waagrecht und danach negativ geneigt ist: Was muss im Graphen von <math>f'</math> passieren?

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=FrDK4VTHwZs |500|center}}

'''Zielgruppe:''' Kursstufe, gemeinsamer Kurs für Basisfach und Leistungsfach.

'''Basisfach:''' Du deutest Graphen sicher, argumentierst anschaulich und verwendest verständige Verfahren.

'''Leistungsfach:''' Du formulierst Zusammenhänge präziser, begründest mit Ableitungskriterien und überträgst sie auf unbekannte Situationen.

{{BR}}
= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

# [[Ableitungsgraph|Graphen koppeln]]: Zu einem Graphen von <math>f</math> einen plausiblen Graphen von <math>f'</math> skizzieren und umgekehrt.
# [[Monotonie|Monotonie erkennen]]: Aus dem Vorzeichen von <math>f'</math> auf Steigen und Fallen von <math>f</math> schließen.
# [[Extremstelle|Extremstellen deuten]]: Nullstellen von <math>f'</math> mit Vorzeichenwechsel korrekt interpretieren.
# [[Steigung|Steigungsstärke vergleichen]]: Die Größe von <math>|f'(x)|</math> als Maß für die Steilheit von <math>f</math> nutzen.
# [[Argumentieren|Begründen]]: Aussagen zu Graphen mit mathematisch passenden Kriterien erklären.
# [[Abitur|Prüfungssicher arbeiten]]: Lernwerkzeuge von zugelassenen Prüfungshilfsmitteln unterscheiden.

{{BR}}
= Vorwissen-Check =

Beantworte zuerst ohne Werkzeug:

# Wenn <math>f'(2)=0</math> gilt: Ist bei <math>x=2</math> sicher ein Extrempunkt von <math>f</math> vorhanden?
# Wenn <math>f'(x)>0</math> auf einem Intervall gilt: Was macht <math>f</math> dort?
# Was bedeutet ein großer negativer Wert von <math>f'(x)</math> geometrisch?
# Welche Information liefert <math>f'(x)</math> über den Funktionswert <math>f(x)</math> selbst?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Kurzfeedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Nein. <math>f'(2)=0</math> ist allein noch kein Extremstellenkriterium.
# <math>f</math> steigt dort.
# Der Graph von <math>f</math> fällt dort steil.
# <math>f'(x)</math> beschreibt die lokale Steigung, nicht die Höhe von <math>f(x)</math>.
</div>
</div>

{{BR}}
= Die Schlüsselidee: zwei gekoppelte Graphen =

[[Datei:Derivative.svg|500px|rahmenlos|center]]

Der wichtigste Übersetzungsschritt lautet:

{| class="wikitable" style="width:100%;"
! Beobachtung bei <math>f</math>
! Aussage über <math>f'</math>
|-
| <math>f</math> steigt
| <math>f'(x)>0</math>
|-
| <math>f</math> fällt
| <math>f'(x)<0</math>
|-
| waagrechte Tangente
| <math>f'(x)=0</math>
|-
| stark steigend oder fallend
| <math>|f'(x)|</math> ist groß
|-
| fast waagrecht
| <math>|f'(x)|</math> ist klein
|}

'''Merksatz:''' Der Graph von <math>f'</math> speichert nicht die Höhe von <math>f</math>, sondern seine Steigung.

{{BR}}
== Dynamischer gekoppelter Graph ==

Bewege im GeoGebra-Modell den Punkt auf <math>f</math>. Beobachte gleichzeitig Tangente, Steigungswert und den entstehenden Punkt des Ableitungsgraphen.

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/A7HkT9NQ/width/900/height/560/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

'''Denkauftrag:''' Suche eine Stelle mit positiver, eine mit negativer und eine mit ungefähr verschwindender Steigung. Vergleiche jeweils die Lage des zugehörigen Punktes auf <math>f'</math>.

{{BR}}
= Vom Graphen von f zu f' =

[[Datei:Derivada2.gif|500px|rahmenlos|center]]

Gehe visuell in vier Schritten vor:

# '''Nullstellen von <math>f'</math>:''' Suche bei <math>f</math> waagrechte Tangenten.
# '''Vorzeichen von <math>f'</math>:''' Markiere steigende und fallende Abschnitte von <math>f</math>.
# '''Steigungsstärke:''' Schätze, wo <math>f</math> besonders steil oder besonders flach ist.
# '''Verbinden:''' Zeichne einen glatten, plausiblen Verlauf von <math>f'</math>.

{{BR}}
== Interaktives Skizziertraining ==

Hier kannst Du zuerst selbst den Ableitungsgraphen skizzieren und anschließend kontrollieren.

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ca9grmg2/width/900/height/600/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

'''Abiturstrategie:''' Zeichne zuerst nur Nullstellen und Vorzeichenbereiche von <math>f'</math>. Ergänze erst danach die genaue Form.

{{BR}}
= Von f' zurück zu f =

Wenn der Graph von <math>f'</math> gegeben ist, liest Du die Bewegung von <math>f</math> ab:

{| class="wikitable" style="width:100%;"
! Beobachtung bei <math>f'</math>
! Folgerung für <math>f</math>
|-
| oberhalb der <math>x</math>-Achse
| <math>f</math> steigt
|-
| unterhalb der <math>x</math>-Achse
| <math>f</math> fällt
|-
| Nullstelle mit Wechsel <math>+\to -</math>
| lokales Maximum von <math>f</math>
|-
| Nullstelle mit Wechsel <math>-\to +</math>
| lokales Minimum von <math>f</math>
|-
| großer Betrag von <math>f'</math>
| <math>f</math> ist steil
|}

'''Wichtig:''' Eine Nullstelle von <math>f'</math> ohne Vorzeichenwechsel muss kein Extremum von <math>f</math> erzeugen.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=DTMMRCba_oM |500|center}}

{{BR}}
= Interaktives Beispiel: f(x)=x³-3x =

Betrachte

<math>f(x)=x^3-3x</math>

und

<math>f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)</math>.

[[Datei:Derivative GIF.gif|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Schritt 1: Nullstellen der Ableitung ==

<math>f'(x)=0</math>

<math>3(x-1)(x+1)=0</math>

also

<math>x=-1</math> oder <math>x=1</math>.

{{BR}}
== Schritt 2: Vorzeichen lesen ==

Für <math>x<-1</math> gilt <math>f'(x)>0</math>.

Für <math>-1<x<1</math> gilt <math>f'(x)<0</math>.

Für <math>x>1</math> gilt <math>f'(x)>0</math>.

Daraus folgt die Abfolge: '''steigend → fallend → steigend'''.

{{BR}}
== Schritt 3: Extremstellen deuten ==

Bei <math>x=-1</math> wechselt <math>f'</math> von positiv zu negativ. Dort besitzt <math>f</math> ein lokales Maximum.

Bei <math>x=1</math> wechselt <math>f'</math> von negativ zu positiv. Dort besitzt <math>f</math> ein lokales Minimum.

'''Basisfach:''' Begründe mit dem Vorzeichenwechsel von <math>f'</math>.

'''Leistungsfach:''' Formuliere zusätzlich die notwendige Bedingung <math>f'(x_0)=0</math> und erkläre, warum sie allein nicht hinreichend ist.

{{BR}}
= Steigungsstärke =

Nicht nur das Vorzeichen, sondern auch der Betrag zählt:

Ist <math>|f'(x)|</math> groß, verläuft <math>f</math> steil.

Ist <math>|f'(x)|</math> klein, verläuft <math>f</math> flach.

Beispiel:

<math>f'(a)=4</math> bedeutet: stark steigend.

<math>f'(b)=-4</math> bedeutet: gleich stark, aber fallend.

<math>f'(c)=0{,}2</math> bedeutet: leicht steigend.

'''Denkfehler vermeiden:''' <math>f'(x)=5</math> sagt nicht, dass <math>f(x)=5</math> ist.

{{BR}}
= Dynamische Tangente und Ableitungswert =

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/RKcQxdzC/width/900/height/560/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

Auftrag:

# Bewege den Punkt zu einer Stelle mit <math>f'(x)\approx 0</math>.
# Finde zwei Stellen mit ungefähr gleichem <math>|f'(x)|</math>, aber unterschiedlichem Vorzeichen.
# Beschreibe jeweils die Steilheit von <math>f</math>.

{{BR}}
= Spezialfall Sinus und Kosinus =

[[Datei:Differentiation of sine.gif|500px|rahmenlos|center]]

Für

<math>f(x)=\sin(x)</math>

gilt

<math>f'(x)=\cos(x)</math>.

Nutze die Animation nicht zum bloßen Auswendiglernen. Prüfe stattdessen:

# Wo hat <math>\sin(x)</math> waagrechte Tangenten?
# Wo ist <math>\cos(x)=0</math>?
# Wo steigt <math>\sin(x)</math> besonders stark?
# Welche Werte nimmt <math>\cos(x)</math> dort an?

{{BR}}
= Übungen mit Hilfen und Feedback =

{{BR}}
== Übung 1: Vorzeichenband ==

Gegeben sei:

<math>f'(x)>0</math> für <math>x<2</math>,

<math>f'(2)=0</math>,

<math>f'(x)<0</math> für <math>x>2</math>.

'''Aufgabe:''' Beschreibe das Verhalten von <math>f</math> bei <math>x=2</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Lies zuerst nur die Vorzeichen links und rechts von <math>x=2</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Links steigt <math>f</math>, rechts fällt <math>f</math>. Daher besitzt <math>f</math> bei <math>x=2</math> ein lokales Maximum.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 2: Steilheit vergleichen ==

An drei Stellen gilt:

<math>f'(a)=-0{,}5</math>

<math>f'(b)=3</math>

<math>f'(c)=-5</math>

'''Aufgabe:''' Ordne die Stellen nach zunehmender Steilheit des Graphen von <math>f</math>.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Vergleiche <math>|f'(a)|</math>, <math>|f'(b)|</math> und <math>|f'(c)|</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Es gilt <math>0{,}5<3<5</math>. Also nimmt die Steilheit von <math>a</math> über <math>b</math> zu <math>c</math> zu. Bei <math>a</math> und <math>c</math> fällt der Graph, bei <math>b</math> steigt er.
</div>
</div>

{{BR}}
== Übung 3: Nullstelle ohne Extremum ==

Angenommen, <math>f'(0)=0</math>, aber <math>f'(x)>0</math> links und rechts von <math>0</math>.

'''Aufgabe:''' Darf man ein Extremum von <math>f</math> bei <math>x=0</math> behaupten?

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Hilfe'''
<div class="mw-collapsible-content">
Prüfe, ob <math>f'</math> sein Vorzeichen wechselt.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Feedback'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nein. <math>f</math> steigt auf beiden Seiten weiter. Die Bedingung <math>f'(0)=0</math> allein reicht nicht.
</div>
</div>

{{BR}}
= Fehleranalyse =

'''Fehler 1:''' „Nullstelle von <math>f'</math> bedeutet immer Extremstelle von <math>f</math>.“

'''Korrektur:''' Prüfe den Vorzeichenwechsel von <math>f'</math>.

'''Fehler 2:''' „Wenn <math>f'</math> steigt, dann steigt <math>f</math>.“

'''Korrektur:''' Für das Steigen von <math>f</math> ist das '''Vorzeichen''' von <math>f'</math> entscheidend. Ein steigender Ableitungsgraph kann trotzdem unterhalb der <math>x</math>-Achse liegen.

'''Fehler 3:''' „Ein großer Wert von <math>f'</math> bedeutet einen großen Funktionswert von <math>f</math>.“

'''Korrektur:''' <math>f'</math> beschreibt Steigung, nicht Höhe.

'''Fehler 4:''' „<math>f'(x)=-6</math> ist weniger steil als <math>f'(x)=4</math>, weil <math>-6<4</math>.“

'''Korrektur:''' Für Steilheit vergleichst Du die Beträge: <math>6>4</math>.

{{BR}}
= Selbstkontrolle: 60-Sekunden-Check =

Entscheide ohne Rechnung:

# <math>f'</math> liegt über der <math>x</math>-Achse. → <math>f</math> steigt.
# <math>f'</math> liegt unter der <math>x</math>-Achse. → <math>f</math> fällt.
# <math>f'</math> wechselt von <math>+</math> nach <math>-</math>. → Maximum von <math>f</math>.
# <math>f'</math> wechselt von <math>-</math> nach <math>+</math>. → Minimum von <math>f</math>.
# <math>|f'|</math> wird größer. → <math>f</math> wird steiler.

Wenn Du bei mindestens vier Aussagen sofort sicher bist, kannst Du in den Transfer wechseln.

{{BR}}
= Transfer: Graphen ohne Funktionsterm =

Beim Abitur kann die entscheidende Information direkt aus einer Grafik kommen. Trainiere deshalb bewusst ohne Funktionsterm.

<iframe> https://www.geogebra.org/material/iframe/id/t7udzuqk/width/900/height/600/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ld/false/sri/true/at/auto </iframe>

'''Transferauftrag:''' Skizziere zuerst <math>f'</math>, ohne die Lösung einzublenden. Markiere anschließend drei Stellen, an denen Deine Skizze besonders gut begründet werden kann: eine Nullstelle, einen positiven und einen negativen Ableitungswert.

{{BR}}
= Prüfungsbezug Baden-Württemberg =

Dieser Kurs trainiert den Bereich [[Analysis]] und insbesondere das Interpretieren von Funktions- und Ableitungsgraphen.

'''Stand September 2026:''' Für die Abiturprüfung 2027 verweist der Facherlass Mathematik auf die verbindlichen Inhalte des Bildungsplans. Im Leistungsfach ist eine schriftliche Prüfung mit Teilen ohne und mit Hilfsmitteln vorgesehen. Für das Basisfach gelten eigene Vorgaben zur mündlichen Prüfung.

'''Wichtig:''' Prüfe immer den Facherlass Deines eigenen Prüfungsjahrgangs.

[https://km.baden-wuerttemberg.de/de/schule/gymnasium/termine-und-informationen-zum-abitur Offizielle Abiturinformationen Baden-Württemberg]

[https://km.baden-wuerttemberg.de/fileadmin/redaktion/m-km/intern/PDF/Dateien/Gymnasium/Dokumente_Abitur/Abitur_2027/Facherlass_2027_Stand_09.09.2025.pdf Facherlass Abitur 2027]

'''Werkzeughinweis:''' GeoGebra, interaktive Applets und KI sind Lern- und Kontrollwerkzeuge. Sie sind nicht automatisch als Hilfsmittel in einer Prüfung zugelassen.

'''KI-Hinweis:''' Lass Dir von KI höchstens Vermutungen, Beispiele oder alternative Erklärungen geben. Prüfe mathematische Aussagen selbst. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen Beweis und keine Begründung.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was folgt auf einem Intervall aus f' größer als null?'''
(f ist dort steigend)
(!f ist dort fallend)
(!f ist dort konstant)
(!f hat dort zwingend ein Maximum)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet f' gleich null geometrisch für f?'''
(Die Tangente ist waagrecht)
(!Der Funktionswert ist null)
(!Der Graph schneidet die y-Achse)
(!Die Funktion ist überall konstant)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Vorzeichenwechsel von f' kennzeichnet ein lokales Maximum von f?'''
(von positiv zu negativ)
(!von negativ zu positiv)
(!von positiv zu positiv)
(!von null zu positiv)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Vorzeichenwechsel von f' kennzeichnet ein lokales Minimum von f?'''
(von negativ zu positiv)
(!von positiv zu negativ)
(!von negativ zu negativ)
(!von positiv zu null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Größe beschreibt die Steilheit von f am besten?'''
(der Betrag von f')
(!der Funktionswert von f)
(!die Nullstelle von f)
(!der y Achsenabschnitt von f)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet ein großer negativer Ableitungswert?'''
(f fällt steil)
(!f steigt steil)
(!f ist konstant)
(!f hat sicher eine Nullstelle)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zu einer Nullstelle von f' ist immer vorsichtig zu prüfen?'''
(Sie allein beweist noch kein Extremum von f)
(!Sie bedeutet immer ein Maximum von f)
(!Sie bedeutet immer ein Minimum von f)
(!Sie bedeutet immer eine Nullstelle von f)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wo liegt der Graph von f' wenn f fällt?'''
(unterhalb der x Achse)
(!oberhalb der x Achse)
(!immer auf der x Achse)
(!immer auf der y Achse)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beschreibt f' an einer Stelle?'''
(die Tangentensteigung von f)
(!die Höhe des Graphen von f)
(!die Fläche unter f)
(!die Symmetrieachse von f)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was folgt aus f' gleich minus vier?'''
(f fällt mit Steigungsbetrag vier)
(!f steigt mit Steigungsbetrag vier)
(!f hat den Funktionswert minus vier)
(!f besitzt dort sicher ein Minimum)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| <math>f'(x)>0</math> || <math>f</math> steigt
|-
| <math>f'(x)<0</math> || <math>f</math> fällt
|-
| <math>f'(x)=0</math> || waagrechte Tangente
|-
| Wechsel <math>+\to-</math> || lokales Maximum
|-
| Wechsel <math>-\to+</math> || lokales Minimum
|-
| großes <math>|f'(x)|</math> || starke Steigung
|-
| kleines <math>|f'(x)|</math> || flacher Verlauf
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Graphische Bedeutung
|-
| '''steigend'''
| <math>f'(x)>0</math>
|-
| '''fallend'''
| <math>f'(x)<0</math>
|-
| '''waagrecht'''
| <math>f'(x)=0</math>
|-
| '''Maximum'''
| Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ
|-
| '''Minimum'''
| Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv
|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Ableitung || Welche Funktion beschreibt die Steigung einer Ausgangsfunktion?
|-
| Tangente || Welche Gerade berührt den Graphen lokal und liefert seine Steigung?
|-
| Monotonie || Wie heißt die Eigenschaft des Steigens oder Fallens einer Funktion?
|-
| Extremstelle || Wie heißt eine Stelle eines lokalen Maximums oder Minimums?
|-
| Steigung || Welche geometrische Größe liefert die erste Ableitung?
|-
| Vorzeichen || Was entscheidet bei der Ableitung über Steigen oder Fallen?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=ABI+Ableitungsgraphen+interpretieren </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ist <math>f'(x)>0</math>, dann ist <math>f</math> dort { steigend }.
Ist <math>f'(x)<0</math>, dann ist <math>f</math> dort { fallend }.
Gilt <math>f'(x)=0</math>, besitzt der Graph von <math>f</math> dort eine { waagrechte } Tangente.
Wechselt <math>f'</math> von positiv zu negativ, liegt bei <math>f</math> ein lokales { Maximum } vor.
Wechselt <math>f'</math> von negativ zu positiv, liegt bei <math>f</math> ein lokales { Minimum } vor.
Für die Steilheit ist der { Betrag } von <math>f'(x)</math> entscheidend.
Eine Nullstelle von <math>f'</math> ohne Vorzeichenwechsel beweist kein { Extremum }.
Der Graph von <math>f'</math> beschreibt die lokale { Steigung } von <math>f</math>.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Kompetenzcheck =

Bewerte Dich mit „sicher“, „teilweise“ oder „noch üben“:

# Ich kann aus steigenden und fallenden Abschnitten von <math>f</math> das Vorzeichen von <math>f'</math> bestimmen.
# Ich kann aus Nullstellen und Vorzeichenwechseln von <math>f'</math> Extremstellen von <math>f</math> begründen.
# Ich kann <math>|f'(x)|</math> als Maß für die Steilheit interpretieren.
# Ich kann erklären, warum <math>f'(x_0)=0</math> allein kein Extremum garantiert.
# Ich kann auch vom Graphen von <math>f'</math> zurück auf den qualitativen Verlauf von <math>f</math> schließen.
# Ich kann meine Aussagen ohne digitale Hilfe mathematisch begründen.

'''Basisfach-Ziel:''' Die ersten fünf Punkte sollten mindestens „teilweise“, die ersten vier möglichst „sicher“ sein.

'''Leistungsfach-Ziel:''' Alle sechs Punkte sollten „sicher“ sein und mit korrekten Kriterien begründet werden können.

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Vorzeichenkarte]]: Zeichne einen beliebigen glatten Graphen von <math>f</math> und färbe auf einer zweiten Skizze nur die Bereiche, in denen <math>f'</math> positiv oder negativ sein muss.
# [[Tangentenfoto ohne Foto]]: Erstelle eine handgezeichnete Folge aus fünf Tangentenlagen von stark steigend bis stark fallend und ordne passende Werte von <math>f'</math> zu.
# [[Fehlerfinder Ableitung]]: Formuliere drei typische Fehlbehauptungen über <math>f</math> und <math>f'</math> und korrigiere sie.
# [[Mini-Erklärvideo]]: Produziere ein höchstens 60-sekündiges Erklärvideo ohne personenbezogene Daten zum Satz „Der Ableitungsgraph ist ein Steigungsgraph“.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Graphen-Puzzle]]: Erstelle vier Graphen von Funktionen und vier passende Ableitungsgraphen. Tausche das Puzzle mit einer Lerngruppe.
# [[GeoGebra-Experiment]]: Variiere in einem dynamischen Modell einen Funktionsgraphen und protokolliere drei Beobachtungen zu Nullstellen, Vorzeichen und Betrag von <math>f'</math>.
# [[Abiturbegründung]]: Schreibe zu einem selbst gewählten Graphen drei vollständige Begründungssätze mit „weil“ und mathematischem Kriterium.
# [[Steigungslandkarte]]: Markiere auf einem Graphen Stellen mit ungefähr gleicher Steigungsstärke, aber unterschiedlichem Vorzeichen.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Rückwärtskonstruktion]]: Entwirf einen Graphen von <math>f'</math> und konstruiere mindestens zwei verschiedene mögliche Graphen von <math>f</math>. Erkläre, warum beide passen.
# [[Parameterexperiment]]: Untersuche die Familie <math>f_a(x)=x^3-3ax</math> für <math>a>0</math> graphisch und beschreibe, wie sich die Nullstellen von <math>f_a'</math> verändern.
# [[Kriteriencheck]]: Entwickle ein Entscheidungsdiagramm, mit dem man aus <math>f'</math> auf Monotonie und Extremstellen von <math>f</math> schließt, und prüfe es an Gegenbeispielen.
# [[KI-Prüflabor]]: Lass eine KI eine graphische Ableitungsaufgabe erklären. Prüfe jeden mathematischen Schritt selbst, dokumentiere mindestens einen Verifikationsschritt und ersetze unbegründete Aussagen durch eigene Begründungen.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Graphentransfer]]: Ein Ableitungsgraph ist zunächst positiv, berührt die <math>x</math>-Achse ohne Vorzeichenwechsel und wird danach wieder positiv. Beschreibe einen möglichen Verlauf von <math>f</math> und begründe, warum an der Berührstelle kein Extremum erzwungen wird.
# [[Steigungsargument]]: Zwei Stellen besitzen Ableitungswerte <math>-2</math> und <math>5</math>. Vergleiche Richtung und Steilheit des Graphen von <math>f</math> und begründe Deine Aussage.
# [[Mehrdeutigkeit]]: Erkläre, warum ein gegebener Graph von <math>f'</math> die vertikale Lage des Graphen von <math>f</math> nicht eindeutig festlegt.
# [[Konstruktionsaufgabe]]: Skizziere einen möglichen Graphen von <math>f'</math>, wenn <math>f</math> zuerst steigt, dann ein lokales Maximum, danach ein lokales Minimum und anschließend wieder steigt.
# [[Gegenbeispiel]]: Finde oder skizziere eine differenzierbare Funktion, bei der <math>f'(x_0)=0</math> gilt, aber <math>x_0</math> keine Extremstelle ist. Erkläre den fehlenden Vorzeichenwechsel.
# [[Prüfungsargumentation]]: Formuliere zu einem selbst gewählten Extrempunkt eine kurze Basisfach-Begründung und anschließend eine präzisere Leistungsfach-Begründung.

{{BR}}
= Reflexion =

Beantworte zum Abschluss:

# Welche Information liest Du zuerst ab: Nullstellen, Vorzeichen oder genaue Form von <math>f'</math>? Begründe Deine Reihenfolge.
# Bei welchem Schritt verwechselst Du am ehesten Funktionswert und Steigung?
# Welche graphische Aussage kannst Du inzwischen ohne Rechnung sicher begründen?
# Welche Aufgabe solltest Du vor einer Abiturprüfung noch einmal ohne digitales Werkzeug lösen?

{{BR}}
= Folgekurs =

Als nächster Schritt eignen sich:

# [[ABI - Kurvendiskussion mit Ableitungen|Kurvendiskussion mit Ableitungen]]
# [[ABI - Wendepunkte und Krümmung|Wendepunkte und Krümmung]]
# [[ABI - Extremwertprobleme|Extremwertprobleme]]
# [[ABI - Integralgraphen interpretieren|Integralgraphen interpretieren]]
# [[ABI - Analysis ohne Hilfsmittel|Analysis ohne Hilfsmittel]]

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

# Du kannst den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen von <math>f'</math> und der Monotonie von <math>f</math> korrekt erklären.
# Du kannst Nullstellen von <math>f'</math> untersuchen und Extremstellen von <math>f</math> über Vorzeichenwechsel begründen.
# Du kannst die Steigungsstärke über <math>|f'(x)|</math> vergleichen.
# Du kannst aus einem Graphen von <math>f</math> einen qualitativen Graphen von <math>f'</math> skizzieren.
# Du kannst aus einem Graphen von <math>f'</math> den qualitativen Verlauf von <math>f</math> beschreiben.
# Du kannst typische Fehlschlüsse erkennen und korrigieren.
# Du kannst Deine Argumentation an das Niveau von Basisfach oder Leistungsfach anpassen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

[[Datei:Ableitung.png|500px|rahmenlos|center]]

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Ableitung </iframe>

Weitere freie Medien stammen aus Wikimedia Commons. Die jeweilige Lizenz- und Urheberangabe ist auf der Dateiseite hinterlegt.

<br>

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Ableitung]]'''
# [[Differentialrechnung]]
# [[Ableitungsfunktion]]
# [[Monotonie]]
# [[Extremstelle]]
# [[Tangente]]
# [[Kurvendiskussion]]
# [[Analysis]]
# [[Abitur Mathematik]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
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ABI - Ableitungsgraphen interpretieren - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt